SỞ GD - ĐT QUẢNG NINH TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ ®Ị thi chän häc sinh giái cÊp trêng M«n : Toán - lớp 10 Thời gian: 180 phút (không kể thêi gian giao ®Ị) Bài (4 điểm) Giải phương trình: x x 1 Tìm m để phương trình x6 x9 m x2 x9 8 x 3m có hai nghiệm x1 , x cho x1 10 x Bài (2,5 điểm) Với giá trị m bất phương trình sau nghiệm với x: 6x2 + 4x + > |2x2 + 4mx + 1| (1) 2 x y Bài (3 điểm) Cho hệ phương trình: x y m Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, có G trọng tâm Chứng minh rằng: GA2 GB GC (a b c ) a b2 c2 R OG 2 Bài (4,5 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; -5), B(-4; 5) đường thẳng d: x - 2y + = Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cho khoảng cách từ B đến lớn Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: bc ac ab - Hết - DeThiMau.vn ĐÁP ÁN Đáp án Bài điểm x b = x §K b a 0; b a b a 1; b PT a b a 2; b Đặt a = *) a = 0; b = gi¶i ®ỵc x = *) a = ; b = giải x = *) a = -2; b=3 giải x = 10 Vậy nghiệm phương trình là: x = 1; x = 2, x = 10 Thang điểm 0, 25 đ 0, 75 đ 0, 75 đ 0,25 đ 3m đặt t x 9, t 3m PT trở thành : t m t 1 t 2t m 1 t m 13 (1) PT ban đầu có nghiệm x1 10 x 2 PT x m x 1 x ' (1) có nghiệm t1 t t1 1 t 1 t1 t m 1 m 13 m 25 m 13 m 13 m m 13 m 1 m Bài 2,5 điểm 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ Vì 6x2 + 4x + > với x nên (1) - (6x2 + 4x + ) < 2x2 + 4mx + < 6x2 + 4x + 1,0 đ x (1 m) x 0,5 đ 4 x 2(1 m) x (2) Vây, (1) nghiệm với x hai bất phương trình hệ (2) đồng thời nghiệm với x Điều tương đương với 1 (1 m) m 2m ' 2 (1 m) 12 m 2m 11 1 m 1 m 1 1 m 1 Bài 3 điểm 2 x y y x m x y m 2 x x 3m (1) Với m = 1: (1) x x Đặt t = |x| (t 0) ta phương trình: DeThiMau.vn 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2t2 t + 3t - = t (lo¹i) 0,75 đ 0,25 đ 0,5 đ Với t = |x| = x = Vậy hệ có nghiệm (1; 2) (-1; 2) Hệ có nghiệm PT (1) có nghiệm 0,25 đ t PT 2t2 + 3t + 3m - = (2) có nghiệm thoả mãn: t2 0,5 đ 3m m Bài điểm 0,25 đ Có : 0,5 đ GA2 GB GC (ma2 mb2 mc2 ) 2 b c a c2 a b2 a b2 c2 9 4 4 a b2 c2 0,5 đ 0,5 đ Có: OA OB OC (OG GA) (OG GB ) (OG GC ) 3OG GA GB GC 2OG (GA GB GC ) Do OA = OB = OC = R GA GB GC nên: 3R 3OG GA2 GB GC hay 3R 3OG GA2 GB GC R OG Bài 4,5 điểm a b2 c2 Gọi H hình chiếu B , ta có: BH AB 0,5đ 0,5 đ a b c 2 0,5 đ 0,5 đ Đẳng thức xảy H A Khi đường thẳng qua A 0,5 đ vng góc với AB PTTQ: 3x - 5y - 31 = Kiểm tra A B phía với d 0,5 đ 0,5 đ Gọi A’ điểm đối xứng A qua d 0,5 đ Có: MA + MB = MA’ + MB A’B Đẳng thức xảy A’, M, B thẳng hàng Suy M giao điểm 0,5 đ đường thẳng A’B với d Gọi d’ đường thẳng qua A vng góc với d d’ có PTTQ: 0,25đ 2x + y + = Gọi H giao điểm d’ d Tọa độ H = (-1; 1) DeThiMau.vn 0,25đ H trung điểm AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7) Đường thẳng A’B có VTCP A ' B (0; 2) nên có VTPT n A ' B (1;0) PTTQ đường thẳng A’B: x + = 0,25 đ 0,25đ Toạ độ giao điểm M A’B d nghiệm hệ phương trình: y x 11 M(-11; -4) x y y 4 Bài điểm Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: bc ac ab a2 bc a2 b c Có: 2 a bc bc Tương tự: b2 ac b2 a c 2 b; ac ac c2 ab c2 a b 2 c ab ab Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta DeThiMau.vn 0,5 đ ... x = *) a = -2; b=3 giải x = 10 Vậy nghiệm phương trình l? ?: x = 1; x = 2, x = 10 Thang điểm 0, 25 đ 0, 75 đ 0, 75 đ 0,25 đ 3m đặt t x 9, t 3m PT trở thành : t m t 1 t ... thẳng A’B: x + = 0,25 đ 0,25đ Toạ độ giao điểm M A’B d nghiệm hệ phương trình: y x 11 M(-11; -4) x y y 4 Bài điểm Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a +... Chứng minh rằng: bc ac ab a2 bc a2 b c C? ?: 2 a bc bc Tương t? ?: b2 ac b2 a c 2 b; ac ac c2 ab c2 a b 2 c ab ab Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta DeThiMau.vn 0,5