Sở GD - ĐT Bắc Ninh Cộng Hoà Xà Hội Chđ NghÜa ViƯt Nam Trêng THPT Yªn Phong - - §éc lËp Tự Hạnh Phúc -.-.-.-.--.-.-.-.- Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2008 - 2009 Môn: Toán lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút ************* Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc A = 11 y x y , víi x, y lµ số thực thoả mÃn x2 + y2 2x – 6y + = Bài 2: Cho sè thùc a, b, c ≥ 1, a2 + b2 + c2 = Tìm phần nguyên B = abc 1 a b c 2005 2007 2009 2004.C2008 2009 2.C2008 C2008 Bµi 3: TÝnh giá trị biÓu thøc C = 2009 2006.C2008 Bài 4: Giải phương trình lượng giác với x(0, ): 5( sinx cos3 x sin x ) cos x sin x Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyªn: x2 – 4y2 = 17 x y y y 10 Bài 6: Giải hệ phương trình: y z z z 10 z x x x 10 Bài 7: Giả sử ba điểm G, H, O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác no Chứng minh GO = HG Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi ABC nhän ta có tanA.tanB.tanC > Bài 9: Tìm tất hàm số f: thoả mÃn f(x3 – y) + 2y.(3f2(x) + y2) = f(y + f(x)), x, y Bài 10: Cho c¸c h»ng sè thùc a, b, c víi a ≠ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng (d) x = xøng cđa parabol (P) y = ax2 + bx + c ========== HÕt ========== (C¸n coi thi không giải thích thêm) DeThiMau.vn b trục đối 2a Trường THPT Yên Phong Đáp án kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2008 - 2009 môn Toán lớp 11 Ghi chú: Nếu học sinh làm theo cách khác với đáp án cho điểm tối đa Bài1: Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc A = 11 y x y , với x, y số Điểm (1 đ) 1.0 thực thoả mÃn x2 + y2 2x – 6y + = Gi¶i: Ta thÊy x2 + y2 – 2x – 6y + = phương trình đường tròn (C) tâm I(1;3), bán kính R = Vì x, y thoả mÃn x2 + y2 – 2x – 6y + = nªn ta cã 11 y x y A = = 2( 11 y + x y 20 ) = = 2( ( x y x y 6) (11 y ) + ( x y x y 6) (4 x y 20) ) = 0.25 = 2( ( x 1) ( y 4) + ( x 1) ( y 5) ) = 2(NM + PM), N(1;4) nằm bên (C), P(-1;5) nằm bên (C), M(x;y) (C) Mo ( C ) Gọi Mo giao điểm đoạn thẳng PN với (C) toạ độ NMo vµ NP cïng híng x + y - 2x - 6y + = x M ( ; 23 ) điểm Mo nghiệm cđa hƯ x 1 y o 5 0 y 23 2 Víi mäi M(x;y) (C) ta thÊy NM + PM ≥ PN = , dÊu “=” x¶y M(x;y) 23 Mo ( ; ) = PN (C) 5 x VËy (A) = 2(NMo+PMơ) = 2.PN = , đạt y 23 0.25 0.25 0.25 Bµi 2: Cho sè thùc a, b, c ≥ 1, a2 + b2 + c2 = Tìm phần nguyên (1 đ) B= abc 1 (Phần nguyên số thực x số nguyên lớn không a b c 1.0 vượt x, kí hiệu x ) Gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt suy ≤ a, b, c < a b 3 c Nh vËy (2 – a)(a – 1) ≥ ≤ T¬ng tù ≤ , ≤ Do ®ã a b 2 c abc 1 ≤ (1) ta cã B = a b c a b a Theo B§T Cauchy ta cã ≥ = T¬ng tù ≥ 2, a b a abc 1 c ≥ > (2) vµ ≥ Suy B = a b c c DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 Tõ (1) vµ (2) dÉn tíi < B < VËy B = 0.25 Bài 3: TÝnh giá trị biÓu thøc C = 2009 C 2009 C 2009 C C (1 ®) Giải: áp dụng công thức nhị thức Niutơn ta có: 2007 2008 ( x 1)2008 x 2008C2008 x 2007 C2008 x 2006 C2008 x 2005 C2008 xC2008 C2008 , 2006 2008 2004 2008 2005 2008 2007 2008 2007 2008 ( x 1)2008 x 2008C2008 x 2007 C2008 x 2006 C2008 x 2005 C2008 xC2008 C2008 ( x 1)2008 ( x 1)2008 2005 2007 x 2007 C2008 x 2005 C2008 x 3C2008 xC2008 ( x 1)2008 ( x 1)2008 2005 2007 x 2006 C2008 x 2004 C2008 x C2008 C2008 2x 1.0 0.5 Từ đẳng thức cho x = 2009 ta ®ỵc (2010)2008 (2008)2008 2005 2007 20092006 C2008 20092004 C2008 20092 C2008 C2008 2.2009 (2010)2008 (2008)2008 VËy C = 2.2009 Bi 4: Giải phương trình lượng giác với x(0, ): (1 ®) cos3 x sin x 5( sinx ) cos x sin x Gi¶i: §iỊu kiƯn: sin 2x ≠ Ta thÊy cos3x sin 3x sinx.(1 2sin x) cos3 x sin x sinx 2sin x.sinx cos3 x sin x sinx 2sin x 2sin x 2sin x sinx cos x cos3x cos3 x sin x cosx 2sin x.cosx (1 2sin x).cosx cosx 2sin x 2sin x 2sin x Nên PT đà cho trở thành 5cosx = + cos2x cosx 2cos x 5cosx cosx x k 2 , k Z cosx 2(loại) Vì x(0, ) nên ta lấy x1 = , x2 = 5 C¶ hai giá trị thoả mÃn DeThiMau.vn 1.0 0.25 0.25 0.25 sin 2x 5 ≠ Vậy x1 = , x2 = nghiệm cần tìm 3 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4y2 = 17 (1 đ) Giải: Viết phương trình dạng (|x| + 2.|y|).(|x| - 2.|y|) = 17 råi nhËn xÐt thªm r»ng |x| + 2.|y| ≥ |x| - 2.|y| > 0, 17 số nguyên tố, |x| + 2.|y| |x| - 2.|y| số nguyên dương, suy x |x| + 2.|y| =17 x (0.25 ®iĨm) (0.25 ®iĨm) y y 4 |x| - 2.|y| = Thö lại thấy PT đà cho có bốn nghiệm nguyên (9, 4), (9, - 4), (- 9, 4), (- , - 4) 0.5 0.25 1.0 0.25 0.5 0.25 Bµi 6: (1 ®) x y y y 10 Giải hệ phương trình: y z z z 10 z x x x 10 1.0 Giải: Từ phương trình đầu hệ ta thấy x + 10 = y.( y + y + 1) y > T¬ng tù ta cã x > 0, z > Hơn x, y, z hoán vị vòng quanh hệ nên ta giả sử x = maxx, y, z Đặt f(t) = t t t 10 , thấy hàm số đồng biến Hệ phương trình đà x2 f ( y) cho viết thành y f ( z ) z f ( x) NÕu x ≥ y ≥ z > th× x ≥ y ≥ z (1) Mặt khác f(t) đồng biến nên f(x) ≥ f(y) ≥ f(z) z ≥ x ≥ y (2) Tõ (1) vµ (2) x = y = z x = y = z NÕu x≥ z ≥ y > tương tự ta suy ®ỵc x = y = z Víi x = y = z thay vào hệ đà cho ta x3 + x -10 = x = Thö lại thấy x = y = z = nghiệm hệ đà cho Bài 7: Giả sử ba điểm G, H, O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp (1 đ) tam giác no Chứng minh r»ng GO = HG Gi¶i: Gi¶ sư ABC có trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, A/, B/, C/ trung điểm cạnh BC, CA, AB Đường trung trực BC qua A/ vuông góc với B/C/ nên trở thành đường cao đỉnh A/ A/B/C/ Từ ta dễ dàng suy O trực tâm A/B/C/ Phép vị tự tâm G tỉ sè k = - biÕn A/, B/, C/ thµnh A, B, C tương ứng, nên biến A/B/C/ thành ABC Như phép vị tự biến O (là trực tâm A/B/C/ ) thành H (là trực tâm ABC) Suy GH = - GO , hay GO = HG (®pcm) Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi ABC nhän ta có tanA.tanB.tanC > (1 đ) Giải: Vì ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC > (1) Lại có tan(A + B) = tan( - C) = - tanC < tan A tan B tan A tan B Vì < nên tanA.tanB = > tan( A B) tan( A B) T¬ng tù ta cã tanB.tanC > 1, tanC.tanA > Từ ba bất đẳng thức vừa kể suy tan2A tan2B tan2C > (2) VËy tanA.tanB.tanC > (do (1) (2)) Bài 9: Tìm tất hàm số f: thoả mÃn f(x3 y) + 2y(3f2(x) + y2) = f(y + f(x)), (1 đ) x, y Giải: Giả sử f(x) hàm số thoả mÃn điều kiện đề Từ đẳng thức đề bài: - Cho x = y = ta f(f(0)) = f(0) (1) - Cho x = 0, y = - f(0) ta f(f(0)) = 8f3(0) + f(0) (2) Tõ (1) vµ (2) f(0) = 8f3(0) + f(0) f(0) = DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 0.25 0.5 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 - Cho y = - f(x) ta ®ỵc f(x3+f(x)) = 8f3(x), x (3) - Cho y = x3 ta f(x3+f(x)) = 6x3f2(x) + 2x9, x (4) Tõ (3) vµ (4) 8f3(x) = 6x3f2(x) + 2x9, x (f(x) – x3)(4f2(x) + x3f(x) + x6) = 0, x f(x) = x3, x Thử lại thấy hàm số f(x) = x3 thoả mÃn điều kiện đề nên hàm số cần tìm Bài 10: b (1 đ) Cho số thực a, b, c víi a ≠ Chøng minh r»ng ®êng thẳng (d) x = 2a trục đối xứng parabol (P) y = ax2 + bx + c Gi¶i: LÊy tuú ý M(x, y) (P), §d(M) = M/(x/, y/), ta có biểu thức toạ độ b b / / x x x x thay vào phương trình (P) ta a a y / y y y / b b y/ = a( x / )2 + b( x / ) + c y/ = a(x/)2 + bx/ + c a a (P/) = Đd(P) có phương tr×nh y = ax2 + bx + c (P/) (P) hay Đd(P) = (P) b Vậy đường thẳng (d) x = trục đối xứng parabol (P) y = ax2 + bx + c 2a DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 0.25 0.5 .. .Trường THPT Yên Phong Đáp án kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2008 - 2009 môn Toán lớp 11 Ghi chú: Nếu học sinh làm theo cách khác với đáp án cho... mÃn điều kiện đề Từ đẳng thức đề bài: - Cho x = y = ta f(f(0)) = f(0) (1) - Cho x = 0, y = - f(0) ta f(f(0)) = 8f3(0) + f(0) (2) Từ (1) vµ (2) f(0) = 8f3(0) + f(0) f(0) = DeThiMau.vn 0.25... B§T Cauchy ta cã ≥ = T¬ng tù ≥ 2, a b a abc 1 c ≥ > (2) vµ ≥ Suy B = a b c c DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 Tõ (1) vµ (2) dÉn tíi < B < VËy B = 0.25 Bài 3: TÝnh giá trị biÓu thøc