Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn: Toán 930213

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1(4đ): Cho biểu thức: x 1     1 x  x  :    với x > 0; x  x x  x   x   b) Tính P x = - x4 P=  a) Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để P x = x - Câu (5đ): a) Chứng minh rằng: Nếu n số nguyên n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30 b) Tìm số nguyên x; y cho: 3x  xy  c) Tìm số a b cho x  ax  b chia cho x  dư 7; chia cho x  dư Câu (4 đ): a) Cho a, b, c số dương CMR:  a b c   2 ab bc ca b) Cho x, y, z số dương thỏa mãn: x3 + y3 + z3 = CMR: x2  x2  y2 1 y2  z2 1 z2 2 Câu (2 đ): Chứng minh tam giác có đỉnh giao điểm hai cạnh đối tứ giác, hai đỉnh trung điểm hai đường chéo tứ giác có diện tích diện tích tứ giác Câu (4đ): Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh OM=ON b) Chứng minh 1   AB CD MN c) Biết S AOB  a ; S COD  b Tính S ABCD ? Câu (1đ) Tìm GTNN, GTLN A = x2 + y2 biết x, y thỏa mãn: x2 + y2 – xy = ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm đáp án:  x  1 Câu 1: a) Rút gọn được: P = x b) Tính x=  nên P =   1 c) Sử dụng A2 + B2 = Câu 2: a) = n5 + 5n3 – 6n = ( n5 – n ) + ( 5n3 – 5n) = n( n - 1)( n + 1)( n2 +1) - 5n( n + 1)( n - 1) Mỗi số hạng A chia hết cho mà ( 5; 6) = nên A 30 b/ 3x  xy   x3x  y  Do x; y số nguyên nên ta có: TH1 1 a b c   2 ab bc ca Ta có: a a b b c c , ,    ab abc cb abc ca abc Ta lại có: Cộng lại ta < b ba c bc a ca    , , Cộng lại ta > cb abc ca abc ab abc x  x  x    (thỏa mãn) (thỏa mãn)    2 3 x  y   y  26 y  3 x  y  x  :  x  3  x  3  x  1    (thỏa mãn) (thỏa mãn)  3x  y  1  y  28  y  6 3 x  y  3  x  1 TH2:  c/ Vì x  ax  b chia cho x  dư nên ta có: x  ax  b = x  1.Q( x)  với x  1 -1-a+b=7, tức a-b = -8 (1) Vì x  ax  b chia cho x  dư nên ta có: x  ax  b = x  2.P( x)  với x  8+2a+b=4, tức 2a+b=-4 (2) Từ (1) (2) suy a=-4;b=4 E Câu A B M Hình vẽ N D C ThuVienDeThi.com Gọi M, N trung điểm đường chéo BD, AC tứ giác ABCD, E giao điểm DA CB Ta có: SEMN = SEDC – SEMD – SENC – SDMC – SMNC 1 1 SEBD - SEAC - SDBC - SAMC 2 2 1 = (SEDC – SEBD – SDBC) + (SEDC – SEAC - SAMC) 2 1 = + (SADM + SCDM) = SABCD = SEDC - B A hình vẽ A B N M O D C D a/ Ta có  H E K C OA OB  Do MN//DC AC BD OM ON   OM=ON DC DC b/ Do MN//AB CD  OM AM OM DM   Do đó: CD AD AB AD OM OM AM  MD   1 DC AB AD (1) Tương tự: ON ON   (2) DC AB Từ (1);(2)  MN MN 1   =>   DC AB DC AB MN c/ Hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích tam giác tỉ số cạnh đáy tương ứng Do : S AOB OB S OA AOD   S AOD OD S COD OC ThuVienDeThi.com Nhưng S S OB OA   AOB  AOD  S AOD  S AOB S COD  a b nên S AOD  ab OD OC S AOD S COD Tương tự S BOC  ab Vậy S ABCD  a  b 2 d/ Hạ AH, BK vng góc với CD H K Do Dˆ  Cˆ  90 nên H, K nằm đoạn CD Ta có AEˆ D  BCˆ D  Cˆ  Dˆ  AD  AE Tứ giác BCEA hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC  DH>KC  DK > CH Theo định lý pitago cho tam giác vng BKD ta có : 2 DB  BK  DK  AH  CH  AC (Do AH  BK )  BD  AC ThuVienDeThi.com ...  với x  8+2a+b=4, tức 2a+b=-4 (2) Từ (1) (2) suy a=-4;b=4 E Câu A B M Hình vẽ N D C ThuVienDeThi.com Gọi M, N trung điểm đường chéo BD, AC tứ giác ABCD, E giao điểm DA CB Ta có: SEMN = SEDC... diện tích tam giác tỉ số cạnh đáy tương ứng Do : S AOB OB S OA AOD   S AOD OD S COD OC ThuVienDeThi.com Nhưng S S OB OA   AOB  AOD  S AOD  S AOB S COD  a b nên S AOD  ab OD OC S AOD S... pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 2 DB  BK  DK  AH  CH  AC (Do AH  BK )  BD  AC ThuVienDeThi.com