Luận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại sốLuận văn thạc sĩ: Độ tăng của đa thức trên tập đại số
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu THÁI NGUYÊN - 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2014 Xác nhận thầy HD Người viết Luận văn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Nguyễn Thị Lan i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình GS TSKH Nguyễn Quang Diệu (Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 1) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Lan ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Mở đầu 1 Kiến thức liên quan 1.1 1.2 1.3 Hàm chỉnh hình biến 1.1.1 Định nghĩa hàm C - khả vi 1.1.2 Điều kiện Cauchy - Rieman 1.1.3 Hàm chỉnh hình biến 1.1.4 Các tính chất hàm chỉnh hình biến Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.2.1 Hàm C - tuyến tính 1.2.2 Hàm C - khả vi 1.2.3 Hàm chỉnh hình nhiều biến 10 1.2.4 Các tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến 11 Tập giải tích tập đại số 13 1.3.1 Tập giải tích 13 1.3.2 Tập đại số 15 1.4 Định lý Bezout 16 1.5 Định lý Remmert 19 1.6 Định lý Sadullaev 19 Độ tăng đa thức tập đại số 21 2.1 Định lý 21 2.2 Ví dụ 25 iii 2.3 Độ tăng đa thức hàm song quy 27 2.4 Định lý đường cong đại số 28 2.5 Trường hợp siêu mặt đại số 32 Kết luận chung 38 Tài liệu tham khảo 39 iv Mở đầu Tập đại số phức không điểm chung họ đa thức Cn Việc nghiên cứu tập đại số phức vấn đề quan trọng hình học đại số giải tích phức nhiều biến Mục đích tác giả nghiên cứu cấu trúc không gian đa thức tập đại số thỏa mãn điều kiện độ tăng vơ hạn Ngồi ra, tác giả đưa ví dụ minh họa cho kêt Đề tài luận văn Độ tăng đa thức tập đại số Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương nhắc lại số kiến thức có liên quan hàm chỉnh hình, tập đại số, tập giải tich, vài định lý quan trọng Chương trình bày định lý độ tăng đại số tập đại số Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp nên nội dung luận văn mang tính chất xếp cách hệ thống kiến thức có liên quan trình bày lại kết báo The growth of regular functions on algebraic sets tác giả A STREBONSKI ( Kraków) Chương Kiến thức liên quan Trong Chương 1, nhắc lại kết quan trọng hàm chỉnh hình biến phức, nhiều biến phức, định nghĩa, định lý quan trọng, kiến thức chương sở cho vấn đề nghiên cứu chương sau Nội dung chương chủ yếu dựa nguồn tài liệu [1], [2] 1.1 Hàm chỉnh hình biến Hàm hai biến thực xem hàm biến phức Điều với cấu trúc đại số C dẫn ta đến lớp hàm quan trọng, lớp hàm C - khả vi 1.1.1 Định nghĩa hàm C - khả vi Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định miền D ⊂ C Xét giới hạn f (∆z + z) − f (z) , z, ∆z ∈ D ∆z→∞ ∆z lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f df z , kí hiệu f (z) hay (z) dz Như f (∆z + z) − f (z) ∆z→∞ ∆z f (z) = lim (1.1) Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C - khả vi z 1.1.2 Điều kiện Cauchy - Rieman Định nghĩa 1.2 (Hàm R2 - khả vi) Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định miền D ⊂ C Hàm f gọi R2 - khả vi z = x + iy hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) (theo nghĩa biết giải tích thực) Điều kiện Cauchy - Rieman Để hàm số f C - khả vi z = x + iy ∈ D điều kiện cần đủ hàm R2 - khả vi z điều kiện Cauchy - Rieman sau thỏa mãn ∂u ∂v (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂u ∂v (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f C - khả vi z = x + iy ∈ D Khi tồn giới hạn f (z + ∆z) − f (z) , ∆z = ∆x + i∆y ∆z→0 ∆z f (z) = lim Vì giới hạn tồn khơng phụ thuộc vào cách tiến đến ∆ nên chọn ∆z = ∆x, ta có u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y) ∆z→0 ∆x u(x + ∆x, y) − u(x, y) v(x + ∆x, y) − v(x, y) = lim + i lim ∆z→0 ∆z→0 ∆x ∆x f (x) = lim tức u v có đạo hàm riêng theo x (x, y) f (z) = ∂v ∂u (x, y) + i (x, y) ∂x ∂x (1.2) Tương tự, cách chọn ∆z = i∆y ta có f (z) = −i ∂u ∂v (x, y) + (x, y) ∂y ∂y So sánh (1.2) (1.3) ta nhận ∂u ∂v (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂u ∂v (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x Ta phải chứng tỏ u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) (1.3) Vì f C - khả vi z nên ∆f = f (z + ∆z) − f (z) = f (z)∆z + 0(∆z) với 0(∆z) vô bé bậc cao ∆z , tức 0(∆z) = ∆z→0 ∆z lim Rõ ràng ∆f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y Theo (1.2) ta có ∆u + i∆v = ∂u ∂v +i (∆x + i∆y) + i0(∆z) ∂x ∂x Từ ∂u ∂v ∆x − ∆y + 0(∆z) = ∂x ∂x ∂u ∂v ∆x + ∆y + 0(∆z) = ∆v = ∂x ∂x ∆u = ∂u ∂u ∆x + ∆y + 0(|∆z|) ∂x ∂y ∂v ∂v ∆x + ∆y + 0(|∆z|) ∂x ∂y Điều có nghĩa u v khả vi (x, y) Điều kiện đủ Vì u v khả vi (x, y) nên ∂u ∆u = ∆x + ∂x ∂v ∆v = ∆x + ∂x p ∂u 2 ∆y + ∆x + ∆y ∂y p ∂v 2 ∆y + ∆x + ∆y ∂y Theo điều kiện Cauchy - Rieman, hai đẳng thức viết thành ∂u ∂v ∆x − + 0(|∆z|) ∂x ∂x∆y ∂v ∂v ∆x + ∆y + 0(|∆z|) ∆v = ∂x ∂y ∆u = |δ(z0 ∆z)| ≤ δn (z0 , ∆z) + |δ(z0 , ∆z)| < n=0 1.2 n=N Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.2.1 Hàm C - tuyến tính Định nghĩa 1.4 Hàm ` : Cn → C gọi C - tuyến tính i) `(z + z 00 ) = `(z ) + `(z 00 ), ∀z , z 00 ∈ Cn ii) `(λz) = λ`(z), ∀z ∈ Cn , ∀λ ∈ C Nhận xét 1.3 Hiển nhiên hàm ` : Cn → C C - tuyến tính `(iz) = i`(z), ∀z ∈ Cn Nếu `(λz) = λz ta nói ` C - phản tuyến tính Hiển nhiên hàm tọa độ z →z−j z → zj C - tuyến tính C - phản tuyến tính 1.2.2 Hàm C - khả vi Định nghĩa 1.5 Hàm f : D → C, D tập mở Cn , gọi C - khả vi z ∈ D f (z + h) = f (z) + `(h) + 0(h), 0(h) → h → h Hàm ` gọi C - đạo hàm f z kí hiệu f (z) hay df (z) ` C - tuyến tính Nhận xét 1.4 Bằng cách viết zj = xj + iyj , z j = xj − iyj , j − 1, n ta có dzj + dz j dzj − dz j dz i = dxj − iyj ⇒ dxj = dzj = dxj + iyj ⇒ dxj = Do df = n X j−1 ∂f ∂f dxj + dy ∂x − j ∂y j j ! ta có n X ∂f ∂f df = dzj + dz j , ∂z − j ∂z j j−1 (1.5) đó, với j = 1, n, ∂f ∂f ∂f = −i ∂zj ∂xj ∂yj ∂f ∂f ∂f = +i ∂z j ∂xj ∂yj Nếu tổng thứ vế phải (1.5) lý hiệu ∂f tổng thứ hai ∂f df = ∂f + ∂f 1.2.3 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.6 Hàm f gọi hàm chỉnh hình z ∈ Cn f C - khả vi lân cận z Hàm f : D → Cm với D mở Cn gọi chỉnh hình z fj chỉnh hình z với ∀j = 1, m Nếu hàm f chỉnh hình z ∂f đạo hàm riêng f theo ∂zj biến zj 10 1.2.4 Các tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến Giả sử P = P (a, r) = z ∈ Cn : |zj aj | < rj , ∀j = i, n đa đĩa tâm a bán kính r Γ = {z ∈ Cn : |zj − aj | = rj , ∀j = 1, n} Định lý 1.4 Nếu f hàm liên tục P chỉnh hình P Z n f (ξ)dξ1 dξn f (z) = , ∀z ∈ P (1.6) 2πi (ξ1 − z1 ) (ξn − zn ) Γ Chứng minh Viết z = (z , zn ) ∈ Cn−1 × C z ∈ Cn Áp dụng cơng thức tính tích phân Cauchy cho hàm biến zn → f (z , zn ) ta nhận f (z) = 2πi f (z , ξn ) ξn − zn Z γn dξn γn = {zn ∈ C : |zn − an | = r} Với ξn ∈ γn cố định, ta lại có Z f (z1 , , zn−1 , ξn−1 , ξn ) f (z , ξn ) = 2πi ξn−1 − zn−1 dξn−1 γn−1 Vậy tính liên tục f ta có Z f (z1 , , zn−1 , ξn−1 , ξn ) f (z) = 2πi (ξn−1 − zn−1 )(ξn − zn ) dξn−1 dξn γn−1 ×γn Cứ tiếp tục ta nhận (1.6) Viết 1 = ξ−z ξ−a z1 − a1 zn − an 1− − ξ1 − a1 ξn − an ∞ X (z − a)α α = ξ−a ξn − an |α|=0 = ∞ X |α|=0 (z − a)α , (ξn − an )α+1 11 α + = (α1 + 1, , αn + 1) chuỗi hội tụ compact P Định lý 1.5 Giả sử f hàm liên tục P chỉnh hình P Khi ∞ X f (z) = Cα (z − a)α |α=0| Cα = 2πi n Z f (ξ) d(ξ), d(ξ) = d(ξ1 ) (ξn ) (ξ − a)α+1 Γ Nhận xét 1.5 Để có Định lý 1.4 Định lý 1.5 thật ta cần giả thiết f liên tục P chỉnh hình theo biến phân biệt Trong trường hợp biến phức, chuỗi lũy thừa X Cα (z − a)α |α=0| hội tụ P tới hàm f (z) f chỉnh hình f có tất đạo hàm riêng cấp Hơn đạo hàm riêng đồng thời chỉnh hình P Như ta có định lý sau Định lý 1.6 Nếu f chỉnh hình P f có đạo hàm riêng cấp P Các đạo hàm riêng đồng thời chỉnh hình P Định lý 1.7 Nếu f chỉnh hình a ∈ Cn f (z) = ∞ X Cα (z − a)α |α=0| khai triển thành chuỗi lũy thừa f lân cận a Cα = α ∂ f (a) α! = α1 ! αn ! ∂ α1 + +αn f (α) ∂z1α1 ∂z1αn Định lý 1.8 Nếu f liên tục P chỉnh hình P |Cα | ≤ M , rα ∀α ∈ Zn+ M = sup{|f (z) : z ∈ Γ|} 12 Định lý 1.9 Định lý tính Nếu f hàm chỉnh hình miền D ⊂ Cn cho đạo hàm riêng f không a ∈ D f ≡ Chứng minh Đặt G = {z ∈ D : f = lân cận z} Hiển nhiên G mở f có khai triển thành chuỗi lũy thừa lân cận a nên từ (1.4) suy f = lân cận a Vậy a ∈ G Ta cịn chứng minh G đóng D Giả sử z ∈ ∂G Khai triển f thành chuỗi lũy thừa f (z) = X cα (z − z )α |α∈Nn | lân cận z Bởi vì, z ∈ G cα = α ∂ α f (z ) = lim z∈G α ∂z α z→z ∂ α f (z ) = ∂z α D liên thông nên G = D tức f ≡ 1.3 Tập giải tích tập đại số 1.3.1 Tập giải tích Định nghĩa 1.7 Cho Ω tập mở Cn Một tập A ⊂ Ω gọi tập giải tích với a ∈ Ω tồn lân cận U a hàm chỉnh hình {fα }α∈A lân cận cho A ∩ U = {z ∈ U : fα (z) = ∀α ∈ A} Ví dụ 1.3 Mỗi trục tọa độ {zi = 0} tập giải tích Cn Theo đinh lý hàm biến phức, với tập giải tích A ⊂ Ω, họ A chọn bao gồm hữu hạn hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.8 Điểm a tập giải tích A khơng gian phức C gọi quy có lân cận U a Cn cho A ∩ U đa tạp phức Cn Tập điểm quy tập giải tích A kí hiệu reg A Chiều đa tạp phức chiều tập giải tích A điểm quy a, kí hiệu dima A Mọi điểm nằm phần bù A\regA = sngA gọi điểm kỳ dị A 13 Định nghĩa 1.9 Chiều tập giải tích Cho A tập giải tích Cn Chiều tập A điểm a ∈ A tùy ý số z→a dim A dima A = lim z∈regA z Chiều A số dimA = max dimz A = max dimz A z∈A z∈regA Để thuận tiện, điểm a 6∈ A, ta đặt dimA A = −1 Nhận xét 1.6 Trong lân cận điểm quy thuộc A, chiều A số Đặt A(p) = {z ∈ A : dimz A = p} Một tập giải tích gọi có chiều p chiều tất điểm trùng Ví dụ 1.4 Tập giải tích {z1 z2 = z1 z3 = 1} C3 có chiều Ví dụ 1.5 Tập giải tích {z1 z2 = z1 z3 = 0} C3 có chiều tất điểm phẳng phức C23 điểm phẳng C1 \{0} Một số tính chất tập giải tích Giao hữu hạn tập giải tích tập giải tích Hợp hữu hạn tập giải tích tập giải tích Chứng minh Giả sử U ⊂ C Các tập Aj định nghĩa tập hàm chỉnh hình {fjk }N k=1 Thế (∪m Aj ) ∪ U tập nghiệm chung tất hàm có dạng m Y fjkj , ≤ kj ≤ Nj j=1 14 ... nghiên cứu cấu trúc không gian đa thức tập đại số thỏa mãn điều kiện độ tăng vơ hạn Ngồi ra, tác giả đưa ví dụ minh họa cho kêt Đề tài luận văn Độ tăng đa thức tập đại số Nội dung luận văn trình... 19 Độ tăng đa thức tập đại số 21 2.1 Định lý 21 2.2 Ví dụ 25 iii 2.3 Độ tăng đa thức hàm song quy 27 2.4 Định lý đường cong đại. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02