Bài tập Microsoft Word BAI TAP A2 DTVT doc 112 BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Baøi 1 1 Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau a) 1 3 6 5 0 0 2 3 2 11 5 7 3 2 − b) ( )4 1 3 2 2 1 0 5.
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài 1.1 Thực phép toán sau 1 a) 0 2 3 2 5 4 5 11 5 3 1 −1 1 b) (4 2) c) (1 3) d) (1 2) 0 −7 2 1 0 3 5 1 3 − 1 − 0 ; B = ; C = Tính (2A + 3B)C e) A = 0 − 2 1 −1 0 1 an , a ∈ R vaø n ∈ N f) A = 1 ; f(x) = 3x2 + 2x - Tính f(A) g) 0 1 −1 1 0 2 0 −1 1 −1 0 ; B = ; C = 2 ; D = 3 −1 h) A = −1 1 0 2 3 −1 0 • Tính A - 2B + (3C – D)T • Tính (ATB)T – (2C)DT– 3I3 Bài 1.2 1 , B = − 1 a) Tính AB - BA biết A = − 3 − 1 1 b) Tìm tất ma trận cấp giao hoán với ma traän A = 1 3 Bài 1.3 Cho ma trận A = 2 , B = 2 5 2 −1 −2 −1 2 , C = 2 a) Tính 5A -BC, (AB)C , (BC)TAT b) Tính f(A) biết f(x) = 2x2 + 3x + 2 Bài 1.4 Cho ma trận A = 6 Tìm ma trận nghịch đảo A -1 phương pháp −1 7 Gauss- Jordan (phươmg pháp biến đổi sơ cấp hàng ma trận) 1/12 −4 Baøi 1.5 Cho ma traän A = −3 Tìm ma trận nghịch đảo A -1 bằn g phương pháp −5 −1 phần bù đại số Bài 1.6 Tìm ma trận X trường hợp sau 2 0 X = ; 4 2 − 2 = ; −2 −1 −1 1 a) b) X 1 2 2 X = 5 3 4 1 −1 1 X − X = 2 −1 −1 c) 2 e) 4 X 5 d) 5 5 6 =3 2 1 −2 1 1 −1 −1 3 f) X = 2 −1 −2 5 −3 −5 −2 = g) X 14 −15 23 −3 −7 13 Bài 1.7 Tính định thức sau a) −1 ; −2 2 −5 d) −3 −1 ; 4 −2 1 1 a a' a a' g) b b b' b' ab a' b ab' a' b' c) 4 b) ; x y z e) x z y y y x z z x x3 h) 4x x x2 2x 3x 2 x2 + ; x2 x 3x 2x f) xy xz x3 4x 3 4 ; xy xz y +1 yz ; yz z +1 a x x x x x a x x x x x a x x i) x x x a x x x x x a 2/12 n − n n − n n − n j) n n − k) n − n 2 n − n 3 n − n n − n − n − n − n n n n n n 1 −1 −1 −1 0 ; B = ; C = 0 −1 ; D = −1 Baøi 1.8 Cho A = −1 −1 1 1 a Tính det([(A – B)T + (C – 2D)]A) b Tính det((ATB) + (3C)DT – I3) Bài 1.9 Giải phương trình, bất phương trình sau 1 a) 1 x x2 16 x3 =0; 27 64 x x +1 x + 2 x + −1 b) x + x + x + =0 ; c) 1 −2 > x+6 x+7 x+8 −3 x Bài 1.10 Chứng minh a) Nếu A, B ma trận vuông khả nghịch cấp n AB = BA A-1B-1 = B-1A-1 b) Nếu A1, A2,…, Ak ma -1 −1 −1 (A1 A2 …….Ak) = A k A k −1 A −2 A1−1 trận vuông khả nghịch cấp Bài 1.11 Tìm hạng ma trận sau −4 0 − 1 1 − − − − 4 − − b) 4 − c) a) d) 5 − − 10 2 − 1 2 1 7 2 − 1 − − 0 − 1 − − 0 2 1 5 Baøi 1.12 Tìm hạng ma trận sau (biện luận theo m) 3 1 6 a) b) 9 17 10 m 12 3 −1 1 4 1 −3 10 2 3 c) d) −2 −7 22 m 10 −2 10 17 3 −1 −2 0 1 3 Bài 1.13 3/12 n m 3 a) Cho ma traän A = m 4 Tìm giá trị m để r(A) = m 1 4 m 1 b) Cho ma traän A = m m Tìm giá trị m để r(A) < 2 1 1 m 1 −1 c) Cho ma traän A = 2 0 6 1 Tìm giá trị m để r(A) = −1 0 m 4 Bài 2.1 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x +2 y +3z = −1 a) x + y + z = ; x +4 y +9 z = x − y +2 z = b) 2 x + y +2 z = ; x −3y +4 z = − x +3y −3z = 11 c) x −5y − z = ; 3x +2 y +3z = 15 x +2 y +3z = 14 d) 2 x +3y +4 z = 20 ; 3x +4 y +4 z = 23 x1 2 x e) x1 x1 + 3x2 + 5x2 + x3 + x3 + x4 + x4 = = + 5x2 + 3x2 + x3 + x3 + x4 + 3x4 = = ; 3 x 2 x f) x 5 x + 2y +z −t = + 3y +z +t = + 2y + 3z −t + 5y + 2z = = Bài 2.2 Giải hệ phương trình sau, rõ nghiệm tổng quát hệ nghiệm (nếu có) x1 + x + x3 + x = a) x1 − x − x3 − x = 3x + x + x + x = x − y + z = b) 4 x + y − 3z = 5 x − y − z = x1 − 3x + x − x = 2 x + x − x + x = c) 3x1 − x + x + x = x1 + x − x + 3x = x1 +2x 2x −3x d) − x1 + x 5x1 + x −x3 +7x = = +3x +2x = = Bài 2.3 Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer − x +3y −3z = 11 a) x −5y − z = 3x +2 y +3z = 15 x +2 y +3z = 14 b) 2 x +3y +4 z = 20 3x +4 y +4 z = 23 4/12 x1 +2x 2x −3x c) − x + x 5x1 + x −x3 +7x +3x +2x x1 x d) x1 x = = −1 = = +x2 −2 x −2 x −x +3x +x = = +7 x −5x −8x +4 x +11x −5x = = Bài 2.4 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m + y −3z = x a) 2 x + y + mz = ; x + my +3z = 2 x − y +3z = b) x + y + z = m ; x −3y = m +z = mx + y c) x + my + z = m ; x + y + mz = m + y + (1 − m )z = m + x +2 z = ; d) (1 + m)x − y 2x − my +3z = m+2 x1 e) x x −2 x +x2 +7 x 3x 2 x g) x 5x +2 y + z − t = +3y + z + t = ; +2 y +3z − t = +5y +2 z = m +1 x1 2 x i) − x 5x +x −x3 −5x +2 x +x4 −x4 = = m ; = 4m +2 x −3x −x3 +7x = = −1 +x +x +3x +2 x = = m x1 − x + x + x = f) x1 + x − x + x = ; x + 7x − x + 11x = m x1 2 x h) x1 x ; x1 x j) 2 x 3x x +3x +5x +2 x +2 x +4 x +9 x = = +5x +3x +6 x +4 x + mx +3x = = ; +2 x +x +3x +x3 + mx + mx = = m+2 m +1 +3x +4 x +x +4 x +2 x +2 x +2 mx +3mx +2 mx = 2m + = 3m + = m +m+2 Bài 2.5 Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm +y +z = m mx a) x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − ; x +y + mz = (2 + m )x + my + mz = b) x + my + z = m x + y + mz = ax −3y + z = −2 Baøi 2.6 Cho hệ phương trình ax + y +2 z = với a, b tham số 3x +2 y + z = b a) Xác định a, b để hệ hệ Cramer, tìm nghiệm hệ theo a, b b) Tìm a, b để hệ vô nghiệm c) Tìm a, b để hệ có vô số nghiệm tìm nghiệm tổng quát hệ Bài 2.7 Tìm đa thức bậc ba f(x) biết a) f(1) = 2; f(-1) = -4; f(2) = 8; f(-2) = -28 b) Đồ thị hàm số y = f(x) qua điểm: (1;4), (3;32), (-3;-4), (2;11) 5/12 Baøi 3.1 a) Chứng minh tập hợp sau không gian vectơ R-kgvt Mat(2x2) a b ∈ 2 + = U = Mat x : a d ( ) c d b) Chứng minh tập hợp sau không gian vectơ R-kgvt R3[x] V = {a0 + a1 x + a2 x + a3 x ∈ R3 [ x ] : a0 + a1 + a2 + a3 = 0} Bài 3.2 Trong trường hợp sau đây, xét xem W có không gian vectơ R-kgvt Rn khoâng a) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0} b) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 + 2x2 = x3} c) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 + x2 + + xn = 0} d) W = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : x1 + x2 + + xn = 1} Baøi 3.3 a) Hãy biểu diễn x = ( 7; −2;15 ) thành tổ hợp tuyến tính thành tổ hợp tuyến tính hợp tuyến tính u = ( 2; 3; ) ,v = ( 3; 7;8 ) ,w = (1; −6;1) 1 A= −7 4 2 16 U = ,V = ,W = −3 1 −2 b) Hãy biểu c) Hãy biểu diễn diễn 4 9 −3 f ( x ) = + 6x2 thành tổ u ( x ) = + x + x ,v ( x ) = − x − x ,w ( x ) = + x + x Bài 3.4 Trong trường hợp sau đây, xác định tham số m để véctơ x tổ hợp tuyến tính véctơ u, v, w a) Trong R3: u = (3, 4, 2), v = (6, 8, 7), w = (5, 6, m), x = (1,3, 5) b) Trong R3: u = (1, -3, 2), v = (2, -1, 1), w = (3, -4, 3), x = (1, m, 5) c) Trong R4: u = (1, 2, -3, 2), v = (4, 1, 3, -2), w = (16, 9, 1, -3), x =(m, 4, -7, 7) d) Trong R2[t]: u(t) = + 2t + 4t2, v(t) = - t - 3t2, w(t) = +3t + 6t2, x(t) = m+9t+5t2 Baøi 3.5 Xét tính độc lập tuyến tính , phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ sau 1) M = {(1, 2, 3), ( 3, 6, 7)} R3 2) M = {(2, -3, m), ( 3,-2, 5), ( 1, -4, 3)} R3 3) M = {(4, -5, 2, 6), (2, -2, 1, 3), ( 6, -3, 3, 9), ( 4, -1, 5, 6)} R4 4) M = {x2 + x + 1, 2x2 + x + 2, 3x2 + mx + 3} R2[x] Bài 3.6 Tìm hạng hệ vectơ sau a) S = {u1 = (1, 2, -1), u2 = (0, 1, 1), u3 =(2, 3, -3)} 6/12 b) T = {u1 = (1, 2, -1 ), u2 =(1, 1, -2), u3 =(0, 3, 3), u4 =(2, 3, -3)} c) H = {u1 = (1, -1, 0, ), u2 =(0, 1, -1, 0), u3 =(0, 0, 1, -1), u4 =(-1, 0, 0, 1)} −1 1 −2 1 1 ,B = ,C = ,D = 4 16 24 3 ’ 12 d) K = A = u1 ( x ) = + x − x ,u2 ( x ) = x + 3x − x ,u3 ( x ) = −1 + x + x3 , e) I = u4 ( x ) = + x − 11x + 14 x Bài 3.7 Gọi W không gian vectơ R4 sinh hệ vectơ {u1 = (2,-1,3,2); u2 = (-1,1,1,-3); u3 = (1, 1, 9, -5)} Hỏi vectơ u = (3, -1, 0, -1) có thuộc không gian vectơ W không? Tại sao? Bài 3.8 Trong R3, cho taäp M = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (-1, 0, 1), u3 =(1, 2, m)} Với giá trị m M tập sinh R3 Bài 3.9 Trong tập vectơ sau, xét xem tập sở R3 a) M = {u1 =(1, 2, 3), u2 = (1, 1, 1), u3 = (3,4,2), u4 = (7, 2,1)} b) M = {u1 = (1, 1, 2), u2 =(1,2,1), u3 =(3 , 2, 2)} c) M = {u1 =(1, 2, 3), u2 =(2, 3, 4), u3 =(3, 4, 5)} Baøi 3.10 a) Chứng minh tập hợp sau sở R-kgvt Mat(2x2) 1 2 2 1 3 S = A = ,B = ,C = ,D = −1 1 −1 −1 −2 b) Chứng minh tập hợp sau sở R-kgvt R3[x] T = {α1 ( x ) = x + x + x ,α ( x ) = + x + x ,α ( x ) = + x + x3 ,α ( x ) = + x + x } Bài 3.11 Trong không gian R4 cho taäp hợp W1={(x1, x2, x3, x4)∈R4: x1+ x2 =2x3, x1 - x2 = 2x4}, W2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = x2 = x3} a) Chứng minh W1, W2 không gian vectơ R4 b) Tìm sở W1, sở W2 Bài 3.12 Trong không gian R4, cho hệ vectô U ={u1 = (1, -1, -4, 0), u2 = (1, 1, 2, 4), = (2, 1, 1, 6), u4 =(2, -1, -5, 2)} Đặt W = span(U) u3 a) Tìm hạng U b) Tìm số chiều sở W c) Vectơ u = (6, 2, 0, 16) có thuộc W không? Nếu u thuộc W tìm tọa độ vectơ u sở vừa tìm câu b) Bài 3.13 Cho B = {u1, u2, u3} sở R- không gian vectơ V, đặt E ={v1= mu1 + u2 + 3u3, v2 = mu1 - 2u2 + u3, v3 = u1 - u2 + u3} a) Xaùc định m để E sở V b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang E 7/12 Bài 3.14 Chứng minh tập hợp B ={1 + x + x2, + 2x, + 3x + 2x2} sở R-kgvt R2[x], tìm tọa độ vectơ u = 3x2 - x + sở B Bài 3.15 Trong R-kgvt Mat(2x2), cho S = { A,B,C,D} sở Mat(2x2), tìm tọa độ vectơ H sở S 1 2 2 1 3 14 ,B = ,C = ,D = H = −1 −2 −1 1 −1 −1 Trong A = Bài 3.16 Trong không gian R3 cho hệ vectơ B = {u1=(1,2,3), u2 =(1,1,2),u3 =(1,1,1)} hệ vectơ E ={v1 = (2,1,-1), v2 = (3,2,-5), v3 =(1, -1, m)} a) Chứng minh B sở R3 Xác định m để E sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang E c) Cho ( x ) E = ( 2; 2;1) , ( y ) E = ( 2; 4; −1) , tìm vectơ x, [3x + 2y]E , [x]B 3 d) Cho [v] = −2 , tìm v, [v] E B 1 Bài 3.17 Trong không gian R3, cho B ={v1 =(1,0,1), v2 =(1,2,2), v3 =(0,-1,-1)} E ={u1 =(1,0,-1), u2 = (1,1,1), u3 = (-1,2,2)} a) Chứng minh B, E cở sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang E Cho u =(1, 2, 3), tìm [u] B c) Tìm ma trận chuyển sở từ E sang B Cho [ v ]B , [u] E 3 = −2 , tìm v, [v] E 1 Baøi 3.18 Trong R-kgvt R2[x], cho B sở tắc R2[x] E ={v1 = + 3x, v2 = x + 2x2, v3 = + x + x2} a) Chứng minh E sở R2[x] b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang E c) Cho ( v ) E = (1; −2; 3) , tìm v, [v] B Bài 3.19 Cho B ={u1, u2, u3} sở R3 vectơ v1, v2, v3 có tọa độ sở B [ v1 ]B 1 1 2 = 1 , [ v2 ]B = , [ v3 ]B = 1 3 1 a) Chứng minh E ={v1, v2, v3} sở R3 Tìm v1, v2, v3 theo u1, u2 , u3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ E sang B Bài 3.20 Hãy tìm số chiều sở không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau 8/12 x1 − x + x = a) 4 x1 + x − 3x = 5 x − x − x = x1 + x + x = b) 2 x1 + x + x = 4 x + x + x = x1 − x + x3 − x = 2 x + x − x + x = c) − + + x x x x =0 x1 + x − x3 + x = − − 3 − 6 d) AX = với A = −2 −5 − − 9 Bài 3.21 Cho không gian R3 với tích vô hướng Euclide Hãy xác định m để vectơ u, v trực giao a) u = (2, m,3), v = (1, 3, -4) b) u = (m m,1), v = (m, 5, 6) Baøi 3.22 Trong R-kgvt R2[x] xét tích vô hướng f ,g = ∫ f ( x ).g( x )dx −1 (∀ f(x), g(x) ∈ R2[x]) Hãy tính tích vô hướng f g trường hợp sau a) f(x) = 1- x +2x2, g(x) = x – 3x2 b) f(x) = x + 5x2, g(x) = + 6x2 Baøi 3.23 Trong không gian R3 với tích vô hướng Euclide Hãy áp dụng trình trực giao Gram-Schmidt để biến sở {u1 , u , u } thành sở trực chuẩn a) u1 = (1,1,1), u2 = (1,-1,0), u3 = (1,2,1) b) u1 = (1,0,0), u2 = (3,1,-2), u3 = (0,1,1) Baøi 3.24 Trong R-kgvt R2[x] xét tích vô (∀ f(x), g(x) ∈ R2[x]) hướng f ,g = ∫ f ( x ).g( x )dx −1 a) Hãy áp dụng trình trực giao Gram-Schmidt để biến sở tắc B={1, x, x2} thành sở trực giao b) Gọi W không gian vectơ R2[x] gồm tất vectơ trực giao với = x2 Tìm sở trực giao W Bài 3.25 u(x) Trong không gian R3 xét tích vô hướng x, y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ( ∀x = ( x1 ,x2 ,x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ R ) a) Haõy áp dụng trình trực giao Gram-Schmidt để biến sở U = { u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0), u3 = (1,0,0)} thành sở trực chuẩn V={ v1, v2, v3} b) Tìm tọa độ x = (1,2,3) sở V Bài 4.1 Chứng minh ánh xạ sau ánh xạ tuyến tính 9/12 a) f : R → R , f ( x, y,z ) = ( x,0 ,0 ) ( ) b) f : R2 [ x ] → R , f a0 + a1 x + a2 x = ( a0 ,−a1 ) a b = ( a + b,c − d ) d c) f : Mat ( x ) → R , f c Bài 4.2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R xác định f ( x, y,z,t ,k ) = ( x + y + z + 9k ,3x − y + z − k ,− x − z − k ,2 x + y + z + t + 8k ) a) Tìm số chiều sở kerf b) Tìm số chiều sở imf Bài 4.3 Cho ánh xạ tuyến tính f : Mat ( x ) → R xác định a b f = ( 2a + 3b + 5c + 6d ,3a + 4b + 6c + d ,3a + b + c + 4d ) c d a) Tìm số chiều sở kerf b) Tìm số chiều sở imf Bài 4.4 Tìm ánh xạ tuyến tính T : R2 [ x ] → R2 [ x ] biết T (1) = + x , T ( x ) = − x , T ( x ) = + x − x Tính T ( − x + x ) Bài 4.5 Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R xác định f ( x, y,z ) = ( x + y,−2 y + z,4 x − y + z ) a) Xác định ma trận tắc f b) Tìm ma trận f sở B = {b1 = ( −1; 2;1) ,b2 = ( 0;1;1) ,b3 = ( 0; −3; −2 )} Baøi 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 [ x ] → R xác định f ( ax + bx + c ) = ( a − 2b + c,b + c,a + b − 2c ) a) Tìm số chiều kerf imf, xác định sở kerf b) Tìm ma trận f sở U T, U = {u1 ( x ) = x + x ,u2 ( x ) = + x ,u3 ( x ) = + x} T = {t1 = (1; 2; 3) ,t2 = ( 2;5;3) ,t3 = (1; 0;10 )} Bài 4.7 Tìm ánh xạ tuyến tính f : R → R2 [ x ] biết ma trận tắc f xác định −1 A = −4 Tính số chiều kerf imf, xác định sở imf 7 10/12 −2 ma trận ánh xạ tuyến tính f : Mat x → R đối Baøi 4.8 Cho ( ) −3 với sở U T, với 1 2 1 4 U = A = ,B = ,C = ,D = 1 −1 −1 −1 T = {t1 = ( 0;8;8 ) ,t2 = ( −7;8;1) ,t3 = ( −6;9;1)} a) Tìm f ( B ) , f ( C ) T T b) Tìm f ( A ) , f ( D ) 2 2 0 c) Tìm f Bài 4.9 Tìm ánh xạ tuyến tính f : R → R2 [ x ] biết f (1,1,1) = + x , f (1,1,0 ) = + x + x , f (1,0,0 ) = + x + x Bài 4.10 Tìm ánh xạ tuyến tính f : R2 [ x ] → R biết ma trận f sở U T −2 A = 1 , 1 −2 U = {u1 ( x ) = + x + x ,u2 ( x ) = + x,u3 ( x ) = 1} T = {t1 = (1; 4; −2 ) ,t2 = ( −1;1; −1) ,t3 = ( 3; 0;1)} Bài 5.1 Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận sau 3 −1 a) A = 0 c) A = −4 0 −2 2 1 − 2 − 1 d) A = 1 −1 b) A = Bài 5.2 Tìm ma trận làm chéc hóa A (nếu có) −14 12 −20 17 1 0 c) A = 1 0 1 a) A = 1 −1 −2 d) A = 0 b) A = Bài 5.3 Chéc hóa ma trận sau (nếu có) 11/12 −3 2 a) A = −4 4 −4 5 −1 0 b) A = 0 0 3 −1 c) A = −1 −1 0 2 0 d) A = 0 −1 1 −2 −1 e) A = −1 −2 4 f) A = −2 −1 −4 0 2 Bài 5.4 Chéc hoá trực giao ma trận sau −1 −1 a) A = −1 −1 −1 −1 2 b) A = 2 2 1 −1 c) A = −1 −1 −1 −3 2 d) A = −3 2 −3 Bài 5.5 Đưa dạng toàn phương f dạng tắc phép biến đổi trực giao a) f(x1, x2) = 5x12 + 8x 22 − x1 x b) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x 23 + x1 x + x1 x − x x c) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x 23 + x1 x + x1 x + x x d) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x32 + x1 x + x1 x + x x3 e) f(x1, x2, x3) = 3x12 + x 22 + x 32 + x1 x + x x f) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + 3x 32 − x1 x − x x g) f(x1, x2, x3) = −2 x12 − 5x 22 − 5x 23 − x1 x + x1 x + 8x x h) f(x1, x2, x3) = x12 + 5x 22 + 5x 23 + x1 x − x1 x − 8x x i) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x32 + x1 x + x1 x3 + x x3 j) f(x1, x2, x3) = x x + x x + x x Bài 5.6 Đưa dạng toàn phương f dạng tắc phương pháp Lagrange a) f(x1, x2, x3) = x x + x x + x x b) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x 23 + x1 x + x1 x − x x c) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 − x32 + x1 x − x1 x3 d) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x32 + x1 x + x1 x3 + x x3 e) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + 3x 32 − x1 x − x x 12/12