Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, A, B là các ideal của vành Xa. Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị.[r]
(1)QUAN HỆ - TẬP HỢP: 1. C/M: A X B Y thì:
a. AxB=(AxY) ∩ (XxB)
b. CXxY (AxB)= (CX(A)xY) (XxCY(B)
2. Giả sử X tập có n phần tử; r số tự nhiên khác bé n Tính:
a. Số tập X gồm r phần tử b. Số phần tử P(X)
3. Cho f: X Y ánh xạ, A; B X C; D Y C/M: a. f(A B)= f(A) f(B)
b. f(A ∩ B) f(A) ∩ f(B) c. f-1(C D) = f-1(C) f-1(D).
d. f-1(C ∩ D) = f-1(C) ∩ f-1(D).
e. f(X\A) f(X)\f(A) f. f-1(Y\C) = X\ f-1(C).
4. Cho ánh xạ f: A B CMR:
a. f đơn ánh <=> tập X cặp ánh xạ g:XA; g’:XA cho: fg=fg’ suy g=g’ b. f toàn ánh <=> tập Y cặp ánh xạ h:BY h’: BY cho hf=h’f suy
h=h’
5. Giả sử n số tự nhiên cho trước, xét ánh xạ f: N N xác định bỡi:
( ) n k voi k n
n k voi k n
f k
f có phải đơn ánh, tồn ánh, song ánh?
6. Giả sử f: X Y ánh xạ B Y C/M: a. f(f -1(B)) B.
b. f -1(f(A)) = B B Y f toàn ánh.
7. Cho ánh xạ f: R R biến x thành f(x) = x2 Hãy tìm:
a. Ảnh đoạn [ -1; 1]; [-1; 1); (-2; 1]
b. Tạo ảnh đoạn: [-1; 1); [1; + ∞)
8. Vói tậpp A X, ta định nghĩa ánh xạ: A: X {0; 1} sau:
:
1 neu x A
A neu x A
(x) =
A gọi hàm đặc trưng tập A X C/m với A; B X ta có:
a. A ∩ B(x) = A(x) B(x)
b. A B(x)= A(x)+ B(x)- A(x) B(x)
c. A\B(x)= A(x) (1- B(x))
9. Với hai tập X; Y tuỳ ý ta kí hiệu Hom(X, Y) tập tất ánh xạ từ X đến Y
a. C/m tương ứng từ P(A) Hom(X; Y) biến AA song ánh, trơng Y={0;1}
b. Từ câu a suy X có n phần tử tập P(X) có 2n phần tử.
NHÓM - ĐỒNG CẤU.
10.Giả sử S tập số thực nằm đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * tập S sau: a*b= a+b-a.b a, b S
C/m: (S; *) vị mnhóm giao hốn
11.Giả sử S tập số thực nằm đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * tập S sau: a*b= (a+b; 1)
a. C/m (S, *) vị nhóm giao hốn
b. Tìm phần tử khả nghịch jtrong vị nhóm giao hốn S
12.Cho X tập tùy ý L(X) tập ánh xạ từ XX
a. C/m: L(X) vị nhóm với phép tốn phép nhân hai ánh xạ
(2)13.Giả sử a; b phần tử nửa nhóm X cho: ab=ba, C/m (ab)n=(ba)n với số tự nhiên n
≥
14.Giả sử S tập số phức khác 0, ta định nghĩa phép toán * S sau: a*b=|a|.b với a, b S
a. C/m: (S, *) nửa nhóm
b. Tìm phần tử đơn vị trái phải S
c. C/m: với a, b S phương trình: a*x=b có nghiệm S 15.C/m nhóm hữu hạn khác rỗng nhóm <=> phép tốn có luật giản ước
16.C/m tập khác rỗng, hữu hạn, ổn định nhóm X nhóm nhóm X 17.Cho X nhóm với đơn vị e, C/M a X có a2=e X nhóm abel (giao hốn)
18.C/m nhóm có cấp bé nhóm abel
19.Trong tập hợp X gồm cặp số thực (a, b) với a ≠ 0, xác định phép toán sau: (a,b)*(c,d)=(ac,bc+d)
C/m: X nhóm khơng abel
20.C/m tập khác rỗng A nhóm cộng Z nhóm <=> A=mZ với m Z 21.C/m: nhóm nhóm xiclic nhóm xiclic
22.Cho X nhóm a;b phần tử X
a. C/m cấp ab cấp ba
b. Giả sử ab=ba cấp a; b r s (r; s)=1 cấp ab r.s
23.Giả sử X nhóm xiclic sinh bỡi phần tử a cấp n lấy b=ak C/m:
a. Cấp b n/d đó: d=(n; k)
b. X= <b> <=> d=1 từ suy số phần tử sinh X
24.Giả sử X1 X2 hai nhóm xiclic có cấp n1; n2.C/M: X1xX2 nhóm xiclic <=>(n1; n2)=1
25.Cho X nhóm xiclic cấp n d ước n, C/m có nhóm cấp d nhóm nhóm xiclic
26.CMR X nhóm có nhóm tầm thường X {e} X nhóm xiclic hữu hạn cấp
nguyên tố
27.C/m nhóm abel cấp nhóm xiclic
28.Tìm tất nhóm nhóm xiclic cấp 12; cấp 24 29.C/m nhóm cấp vơ hạn có vơ hạn nhóm
30.kí hiệu n1là tập bậc của đơn vị trường số phức C C/M: a n1 Là nhóm xiclic C*
b G =
1
k p k
với p_nguyên tố nhóm cấp vơ hạn C*, G khơng nhóm xiclic
c Một nhóm thực G nhóm xiclic cấp hữu hạn
31.Cho A nhóm abel, với số tự nhiên n ≥ ta xác định An={x A|xn=e} C/M:
a. An nhóm A
b. Nếu (m; n)=1 Am ∩ An= {e}
32.Cho A nhõm hữu hạn cấp chẵn, C/m số phần tử có cấp A số lẻ
33.Cho X nhóm , xét tập X: C(X)={a X|ax=xa x X} gọi tâm nhóm X a. C/m C(X) nhóm giao hốn X nhóm C(X) nhóm chuẩn tắc
của X
b. Tìm tâm nhóm GL(n, R): nhóm ma trận vuông cấp n thực SL(n, R): tậpp định thức thực cấp n có định thức
34.Giả sử A; B hai nhóm chuẩn tắc nhóm X
C/M:
a. AB nhóm chuẩn tắc X AB=BA
(3)35.Cho S tập nhóm X, tập con: NS={a X|aS=Sa} Gọi chuẩn tắc hoá S
CM:
a. NS nhóm S
b. Nếu A ≤ X A chuẩn tắc NA
c. Nếu A ≤ X B ∆ \ A A NB
36.Cho X nhóm, x, y hai phần tử X ta gọi phần tử x-1y-1xy hoán tử x y.
a. C/mr nhóm A sinh bỡi tập hoán tử tất cặp x, y X nhóm
chuẩn tắc X nhóm A gọi đạo nhóm X kí hiệu [X; X]
b. C/m nhóm thương X/[X, X] nhóm abel
c. CMR H nhóm chuẩn tắc X nhóm thương X/H abel <=> [X, X] H 37.Cho X nhóm Đặt [x; y]= x-1y-1xy x; y X C/M:
a. [a; b]-1=[b; a].
b. [ab; c]=[a, c]b.[b, c].
c.
-1
-1 a
[a , b]=[b, a] trong xy=y-1xy.
38.Hãy mơ tả nhóm thương sau:
a. Nhóm cộng mZ nhóm mnZ
b. Nhóm nhân số thưc khác nhóm số thưc dương
39.C/m nhóm thương nhóm xiclic nhóm xiclic; ảnh đồngcấu nhóm xicliclà nhóm xiclic
40.C/m: GL(n; R)/SL(n; R) đẳng cấu với R*
41.C/M nhóm cộng số thực đẳng cấu với nhóm nhân số thực dương
42.C/M nhóm cộng số hữu tỉ khơng đẳng cấu với nhóm nhân số hữu tỉ dương
43.C/M: nhóm cấp đẳng cấu với Z4 đẳng cấu với Z2xZ2
44.C/M nhóm cấp đẳng cấu với Z6 đẳng cấu với S3
45.C/m định lí đảo định lí Lagrange khơng đúng,VD: A4 có cấp 12 khơng chứa nhóm
cấp
46.C/M: nhóm xiclic cấp vơ hạn đẳng cấu với
47.CMR: hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng cấu với <=> chúng cấp
48.Cho X; Y hai nhóm xiclic cấp tương ứng s, t có phần tử sinh x y
a. C/m quy tắc cho ứng với xn X với phần tử (yk)n Y, với k số tự nhiên khác
cho trước, đồng cấu nhóm <=> s.k bội t
b. C/m đẳng cấu (s; k)=1
49.Giả sử X; G1; G2 nhóm, G=G1xG2 f: XG1; g: XG2 ánh xạ Xét ánh xạ h: XG biến x
h(x)=(f(x); g(x)) C/M:
a. h đồng cấu <=> f g đồng cấu
b. Nếu f g đơn cấu h đơn cấu
c. Nếu h tồn cấu f g tồn cấu
d. Chiều ngược lại b c có khơng?
50.Cho f: XY đồng cấu từ nhms hữu hạn X đến nhóm Y C/M:
a. Cấp a X chia hết cho cấp f(a) b. Cấp f(X) chia hết cấp X
51.Hãy tìm tất đồng cấu từ:
a. Nhóm xiclic cấp đến nhóm xiclic cấp 18
b. Nhóm xiclic cấp 18 đến nhóm xiclic cấp
c. Một nhóm xiclic cấp n đến
d. Một nhóm xiclic cấp n đến nhóm xiclic cấp vơ hạn
e. Nhóm cộng số hữu tỉ Q đến nhóm cộng số nguyên Z
52.C/m nhóm thương R/Z đẳng cấu với nhóm nhân U số phức có mơdun
53.C/M nhóm A nhóm chuẩn tắc nhóm Xthì tồn song ánh từ tập nhóm
(4)54.Cho X nhóm abel End(X) tập tất tự đồng cấu X C/m:
a. End(X) nhóm abel với phép cộng xác định sau: (f+g)(x)=f(x)+g(x)
b. End(Z) đẳng cấu với Z, End(Zn) đẳng cấu Zn End(Q) đẳng cấu với Q
55.Cho Aut(X) tập tất tự đồng cấu nhóm X C/m:
a. Aut(X) nhóm với phép nhân ánh xạ
b. Aut(Z) đẳng cấu Z2 ; Aut(Zn) đẳng cấu Un ( nhóm phần tử khả nghịc Zn)
Aut(Q) đẳng cấu Q*
56.Cho nhóm X a X xét ánh xạ: a^: X X biến x a.x.a-1
a. C/m a^ tự đồng cấu X ( gọi tự đồng cấu X)
b. Tập Int(X) tập tất tự đồng cấu Xlà nhóm chuẩn tắc Aut(X)
c. C/m: X/C(X) đẳng cấu với Int(X)
57.cho A nhóm có số hữu hạn X C/m rằg tồn nhóm chuẩn tắc B X chứa
trong nhóm A số B X hữu hạn
58.Cho nhóm G p số nguyên tố bé chia hết cấp G hữu hạn ; H nhóm số p
G C/m H nhóm chuẩn tắc G
59.C/m nhóm cấp p2( p- nguyên tố) đẳng cấu với Zp2 đẳng cấu với ZpxZp
60.Giả sử p; q hai số nguyên tố p < q; q ≠ (mod p) CMR: nhóm cấp p.q nhóm xiclic cấp p.q
61.Mơ tả tất nhóm hữu hạn cấp p.q với p;q số nguyên tố
62.mô tả tất nhóm hữu hạn có cấp ≤ 10
VÀNH TRƯỜNG.
63.C/m tập sau với phép cộng nhân số lập t7hành vành:
a. tập Z
b. Tập số nguyên bội n cho trước
c. Q
d. R
e. C
f. Tập Z( 2)={a+b 2|a, b Z} g. Tập Z(i)= {a+bi| a, b Z}
64.C/M tập sau vành với phép cộng nhân ma trận:
a. M(n Z)
b. M(n; R)
c.
a b
b a với a, b
R
65.Cho A nhóm cộng abel End(A) ập tất tự đồng cấu A CMR với phép cộng phép nhân cho sau: (f+g)(a)= f(a)+g(a) fg(a)=f(g(a)) Là vành có đơn vị
66.Cho X vành S tập kí hiệu XS tập ánh xạ từ SX C/m: XS vành với
phép nhân cộng sau: (f+g)(s)= f(s) = g(s) fg(s)= f(s).g(s)
67.Cho X vành, tập C(X)={a X|ax=xa, x X} gọi tâm X C/m C(X) vành giao
hoán X
68.Tìm tâm vành M(n; R)
69.Giả sử X vành, A B ideal X C/m: tập A+B={a+b|a A, b B} ideal X 70.Giả sử X vành, a số tự nhiên cho trước C/m tập A={x X|ax=0} ideal X 71.Giả sử A miền nguyên, e đơn vị A giả sử n số nguyên dương bé nhất: ne=0 (n cấp
của e nhóm cộng vành A) C/m:
a. n số nguyên tố
b. Các cấp phần tử a A, a ≠ 0trong nhóm cộng vành A
(5)c. Tập con: kA={k.a|a A} với k số nguyên cho trước ideal A
d. kA={0} k chia hết cho n
kA=A k không chia hết cho n
72.Cho A vành, B tập có hai phhép tốn cộng nhân; f: AB song ánh thoả: f(a+b)=f(a)+fb) f(ab)=f(a).f(b) a, b A
C/m:
a. B vành
b. Nếu A vành giao hoán có đơn vị B vành giao hốn có đơn vị
73.C/m; vành M(n; R) khơng có ideal ngồi ediel tầm thường
74.Cho X vành tuỳ ý Z vành số nguyên Trên XxZ định nghĩa phép toán: (x1, n1)+(x2; n2)= (x1+x2; n1+n2)
(x1, n1).(x2; n2)= (x1x2+n1x2 +n2x1; n1.n2)
C/m: XxZ vành có đơn vị
C/m: ánh xạ f: XXxZ biến x f(x)= (x; 0) đơn cấu suy vành nhúng vào vành có đơn vị
75.Cho X vành a X C/m:
a. Ánh xạ ha: XX biến xax đơn cấu nhóm cộng vào vành X
b. Ánh xạ: h: X End(X) biến a h(a)=ha đẳng cấu
c. Tìm Kerh C/m: h đơn cấu X vành ó đơn vị
76.Giả sử X, Y vành, f: X Y đồng cấu vành A B theo thứ tự ideal X Y cho f(A) B Ánh xạ: p: XX/A; p’: Y Y/B tồn cấu tắc C/M: tồn
đồng cấu: f ‘ :X/A Y/B cho hình vng sau giao hốn, tức là: f’p=p’f.
X - Y (f) - Y/B (p’) X - X/A(p) Y/B (f ‘)
Nếu f tồn cấu f ‘ toanc cấu
77.Cho X vành có đơn vị, S tập khác rỗng X <S> ideal sinh bỡi S C/M: a. <S>=
| , ; ;
n
i i i i i i i
x a y x y X a S n N
Đặc biệt s={a} ….
b. Nếu X vành giao hoán S=a a1, , ,2 an thì <S>=
| ; ;
n
i i i i i
a x x X a S n N
78.Cho A mộy ideal vành X, p: X X/A tồn cấu tắc C/m:
a. Nếu B ∆ \ X p(B) ideal X/A
b. Tương ứng B p(B) song ánh từ tập ideal cũa chứa A lên tập ideal X/A
c. Áp dụng: tìm ideal Z10
79.Xét tích trực tiếp: X=X1xX2 hai vành C/m:
a. tập A1= {(x1; 0)| x1 X1} A2={(0; x2)| x2 X2} Là ideal X
A1∩ A2= {0}; A1+A2=X
b. Kerpi= Ai với pi: X Ai la phép chiếu tắc Do đó: X/Ai đẳng cấu Xi
c. Gọi: qi: Xi X phép nhúng tắc C/m: q1.p1+q2.p2=1X.;
piqi=1Xi
Và piqj=0 với I ≠ j
80.Giả sử A; B ideal vành X Nếu X=A+B A ∩ B ={0} ta nói X phân tích thành tổng trực tiếp ideal A B, k/h: X=AB.
a. C/m: X=AB <=>mọi phần tử x X víêt dạng: x=a+b
a A b B
b. Nếu X=AB X đẳng cấu với AxB.
(6)81.Tìm đồng cấu vành:
a. Z6Z18
b. Z18 Z6
c. Z Q
82.Tìm tất tự đồng cấu vành: Z; Z( 2) Z(i)
83.CMR vành có đơn vị có p phần tử (p_nguyên tố) đẳng cấu với vành Zp
84.Có hay khơng mội vành có đơn vị có m phần tử đẳng cấu với Zm
TRƯỜNG 85.C/m: vành Zn trường <=> n- nguyên tố
86.a m tập con: Q( 2) ={a+b 2| a,b Q} Q(i) ={a+bi| a,b Q}là trường
trường số phức C
b C/m: trường Q( 2}, Q(i) không đẳng cấu với c Tìm tất trường Q( 2}, Q(i)
87.Giả sử X trường , Y tập hợp cho với phép toán cộng nhân Y, f: X Y song ánh đến Y thoả: f(a+b) = f(a) + f(b) f(ab) = f(a).f(b) a, b X
C/m: Y trường X đẳng cấu với Y
88.C/m tập hợp ma trân dạng:
a b
b a với a; b Q, trường đôiz với phép cộng nhân
ma trận Trường đẳng cấu với Q( 2)
89.Cho X trường A vành vành X
a. CMR: A có nhiều phần tử A có đơn vị phần tử đơn vị A đơn vị X
b. Giả sử A miền nguyên C/m: tập : P={a.b-1|a; b A; b ≠ 0}là trường X P
trường thương miền nguyên A
c. C/m: P trường bé trgong trường X chứa A 90.Tìm trường thương miền nguyên sau:Z( 2); Z(i) Z(3 2)
91.Cho p số nguyên tố C/m: tập số hữu tỉ dạng:
m
n n nguyên tố với p miền
nguyên Tìm trường thương miền nguyên
92.Hãy tìm tất tự đồng cấu trường sau:
a. Q
b. Q( 2)
c. Q(i)
d. R
e. C cho tự đồng cấu R ánh xạ đồng
VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ IAO
93.Cho X vành có đơn vi, cho: x2=x x X C/m:
a. x=-x x X b. X vành giao hoán
c. Mọi ideal nguyên tố X ideal tối đại
d. Mọi ideal hữu hạn sinh X ideal
e. Nếu X miền ngun X trường gồm có phần tử X={0, 1}
Vành có tính chất gọi vành boole
94.Tìm ideal nguyên tố tối đại trường sau: Z; Z12; Z2xZ2
95.Giả sử A miền nguyên nhóm nhóm cộng Alà ideal vành A C/m: A đẳng
(7)96.Cho a phần tử vành giao hốn có đơn vị X kí hiệu: Ann (a) = {x A| xa=0} a. C/m: Ann (a) ideal vành X
b. Tìm Ann(4) vành Z32
97.Trong vành giao hốn có đơn vị X, phần tử x gọi luỹ linh tồn số tự nhiên n>0: xn=0 C/m:
a. Mọi phần tử luỹ linh khác ước
b. Nếu x luỹ linh thì 1+xkhả nghịch; 1-x nghịch
c. Nếu x luỹ linh u khả nghịch u+x khả nghịch. 98.Cho X vành giao hốn có đơn vi C/m:
a Tập R(X) tất phần tử luỹ linh vành X ideal X R(X) gọi nil-căn X
b. C/m: vành thương X/R(X) khơng có phần tử luỹ linh khác khơng
99.C/m: nil-căn R(X) vành giao hốn, có đơn vị X giao tất ideal nguyên tố vành X
100. Giả sử X vành giao hốn có đơn vị, R(X) nil-can X C/m khẳng định sau tương đương:
a. X có ideal nguyên tố
b. Một phần tử X khả nghịch luỹ linh
c. Vành thương X/R(X) trường
101. Giả sử X vành giáo hốn có đơn vị phần tử x X tồn số tự nhiên n > (phụ
thuộc vào x) cho xn=x C/m: ideal nguyên tố X ideal tối đại.
102. Giả sử A ideal vành giao hốn có đơn vị X xét r(A)= {x X| xn A}.
a. C/m: r(A) ideal vành X ideal r(A) gọi ideal A
b. C/m: r(A)= p-1(R(X/A)) P: X X/A tồn cấu tắc R(X/A) nil-căn
vành X/A
c. C/m: r(A) giao tất ideal nguyên tố X chứa A
103. Giả sử X vành giao hoán có đơn vị, A, B ideal vành X C/m: a r(A) A; r(A)=X <=> X=A
b r(r(A))= r(A)
c r(AB)= r(A ∩B)= r(A) ∩ r(B)
d Nếu P ideal nguyên tố r(Pn)=r(P)=P n ≥ n N.
104. Giả sử X vành giao hốn có đơn vị, A, B ideal vành X C/m:
a. r(A+B) = r( r(A)+r(B))
b. Các ideal A B nguyên tố r(A) r(B) nguyên tố
105. Giả sử X vành giao hốn có đơn vị, S tập nhân X, A ideal vành X S-1A=
1 | a
S X a A s
a C/m: S-1A ideal S-1X ideal S-1X có dạng S-1A với A ideal X.
b Tương ứng: P S-1P song ánh tập ideal nguyên tố X không giao với S tập
các ideal nguyên tố vành S-1X.
106. Giả sử X vành giao hốn, có đơn vị A, B ideal vành X, S tập nhân C/m: a. S-1(A+B)= S-1(A)+S-1(B).
b. S-1(A ∩ B) = S-1(A)∩ S-1(B).
c. S-1(r(A)) = r(S-1(A)).
d. S-1(R(X)) = R(S-1(X)).
VÀNH CHÍNH -VÀNH EUCLIDE. 107. Giả sử a; b hai phần tử vành X (a; b)=d C/m: <a, b>=<d>
108. Giả sử X vành A ideal X C/m:
a. ideal vành X/A ideal
(8)109. Giả sử X vành Euclide A ideal X C/m: thương X/A vành Euclide A ideal nguyên tố X
110. C/m: vành chứa đơn vị vành khơng phải Vành 111. C/m: vành chứa đơn vị vành Euclide Vành Euclide 112. C/m: trường vành Euclide
113. Giả sử A vànhEuclide C/m: A trường ánh xạ: : A* N ánh xạ hằng, tức (x)= n x
114. Giả sử X vành S tập nhân X C/m rằng: vành S-1X vành VÀNH ĐA THỨC.
115. Tính số đa thức bậc n vành Z3[x]
116. C/m: đa thức 1x214 Z15[x] có nghiệm Z15.
117. Cho I ideal vành giao hốn có đơn vị A CMR:
a. Tập con: I[x]={
( ) n i | , 0, ,
i i i
f x a x A x a I i n
laf ideal vành đa thức
A[x]
b. A[x]/I[x] (A/I)[x]
c. I ideal nguyên tố A <=> I[x] ideal nguyên tố A[x]
d. Nếu I ideal tối đại A I[x] ideal tối đại không?
118. CMR: A[x]/<x> A
Do <x> ideal nguyên tố A[x] X miền nguyên Là ideal tối đại X trường
119. Giả sử A vàh giao hốn có đơn vị đa thức f(x) = a0+a1x+…+anxn A[x] C/M:
a. f khả nghịch A[x] <=> a0 khả nghịch A a1;…;an phần tử luỹ linh
b. f luỹ linh A[x] <=> a0, …,an luỹ linh A
c. f ước không <=> tồn phần tử khác q A cho qf=0 120. Giả sử A vành giao hốn, có đơn vị f(x) A[x] C/m:\
a. với b A f(x) bất khả quy <=> f(x+b) bất khả quy
b. Nếu A trường a, b A, a ≠ f(x) bkq <=> f(ax+b) bkq 121. Cho A trường f(x) A[x] C/m:
a. Nếu deg f(x) = f(x) BKQ
b. Nếu deg f(x) =2 f(x) BKQ f(x) khơng có nghiệm A
122. Giả sử A trường f(x)=a0+a1x+…+anxn đa thức BKQ A[x] bậc n > C/m:
g(x)=an+an-1x+… +a1xn-1+a0xn ssa thức BKQ A[x]
123. Cho đa thức f(x) với hệ số nguyên biết tồn số nguyên khác x1; x2; x3; x4
cho f(xi)=5 với i=1,…,4 C/m: với số nguyên n f(n) ≠ 1998
124. C/m: đa thức sau BKQ Q[x] với a1; a2; …;an số nguyên phân biệt:
a. (x-a1)(x-a2)…(x-an)-1
b. (x-a1)2 (x-a2)2 …(x-an)2 -1
125. C/m đa thức sau bất khả quy Q[x]:
a. 5x3+6x2 +5x+ 25
b. 7x3+ 6x2+ 11x+ 11.
c. 3x4+ 5x3- 4x+ 1
d. X4- 9x3 + 6x-1
e. X4 +8x3+x2+2x+5
126. CMR: f(x) = ax2+ bx+ c Z[x] với a ≠ có nghiệm hữu tỷ số a, b, c