Bai tap Dai so dai cuong thi cao hoc

Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, A, B là các ideal của vành Xa. Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị.[r]

(1)

QUAN HỆ - TẬP HỢP:

1.

a. AxB=(AxY) ∩ (XxB)

b. CXxY (AxB)= (CX(A)xY)  (XxCY(B)

2. Giả sử X tập có n phần tử; r số tự nhiên khác bé n Tính:

a. Số tập  X gồm r phần tử b. Số phần tử P(X)

3. Cho f: X Y ánh xạ, A; B  X C; D  Y C/M: a. f(A  B)= f(A)  f(B)

b. f(A ∩ B)  f(A) ∩ f(B) c. f-1(C  D) = f-1(C)  f-1(D).

d. f-1(C ∩ D) = f-1(C) ∩ f-1(D).

e. f(X\A)  f(X)\f(A) f. f-1(Y\C) = X\ f-1(C).

4. Cho ánh xạ f: A B CMR:

a. f đơn ánh <=>  tập X cặp ánh xạ g:XA; g’:XA cho: fg=fg’ suy g=g’ b. f toàn ánh <=>  tập Y cặp ánh xạ h:BY h’: BY cho hf=h’f suy

h=h’

5. Giả sử n số tự nhiên cho trước, xét ánh xạ f: N N xác định bỡi:



( )

n k voi k n

n k voi k n

f k

 



f có phải đơn ánh, tồn ánh, song ánh?

6. Giả sử f: X Y ánh xạ B  Y C/M: a. f(f -1(B))  B.

b. f -1(f(A)) = B  B  Y f toàn ánh.

7. Cho ánh xạ f: R R biến x thành f(x) = x2 Hãy tìm:

a. Ảnh đoạn [ -1; 1]; [-1; 1); (-2; 1]

b. Tạo ảnh đoạn: [-1; 1); [1; + ∞)

8. Vói tậpp  A X, ta định nghĩa ánh xạ: A: X {0; 1} sau:

:



1 neu x A

A neu x A

(x) =



A gọi hàm đặc trưng tập  A X C/m với A; B  X ta có:

a. A ∩ B(x) = A(x) B(x)

b. A B(x)= A(x)+ B(x)- A(x) B(x)

c. A\B(x)= A(x) (1- B(x))

9. Với hai tập X; Y tuỳ ý ta kí hiệu Hom(X, Y) tập tất ánh xạ từ X đến Y

a. C/m tương ứng từ P(A) Hom(X; Y) biến AA song ánh, trơng Y={0;1}

b. Từ câu a suy X có n phần tử tập P(X) có 2n phần tử.

NHÓM - ĐỒNG CẤU.

10.Giả sử S tập số thực nằm đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * tập S sau: a*b= a+b-a.b  a, b  S

C/m: (S; *) vị mnhóm giao hốn

11.Giả sử S tập số thực nằm đoạn [0;1]ta định nghĩa phép toán * tập S sau: a*b= (a+b; 1)

a. C/m (S, *) vị nhóm giao hốn

b. Tìm phần tử khả nghịch jtrong vị nhóm giao hốn S

12.Cho X tập tùy ý L(X) tập ánh xạ từ XX

a. C/m: L(X) vị nhóm với phép tốn phép nhân hai ánh xạ

(2)

13.Giả sử a; b phần tử nửa nhóm X cho: ab=ba, C/m (ab)n=(ba)n với số tự nhiên n

≥

14.Giả sử S tập số phức khác 0, ta định nghĩa phép toán * S sau: a*b=|a|.b với a, b  S

a. C/m: (S, *) nửa nhóm

b. Tìm phần tử đơn vị trái phải S

c. C/m: với a, b  S phương trình: a*x=b có nghiệm S 15.C/m nhóm hữu hạn khác rỗng nhóm <=> phép tốn có luật giản ước

16.C/m tập  khác rỗng, hữu hạn, ổn định nhóm X nhóm  nhóm X 17.Cho X nhóm với đơn vị e, C/M  a X có a2=e X nhóm abel (giao hốn)

18.C/m nhóm có cấp bé nhóm abel

19.Trong tập hợp X gồm cặp số thực (a, b) với a ≠ 0, xác định phép toán sau: (a,b)*(c,d)=(ac,bc+d)

C/m: X nhóm khơng abel

20.C/m tập  khác rỗng A nhóm cộng Z nhóm  <=> A=mZ với m  Z 21.C/m: nhóm  nhóm xiclic nhóm xiclic

22.Cho X nhóm a;b phần tử X

a. C/m cấp ab cấp ba

b. Giả sử ab=ba cấp a; b r s (r; s)=1 cấp ab r.s

23.Giả sử X nhóm xiclic sinh bỡi phần tử a cấp n lấy b=ak C/m:

a. Cấp b n/d đó: d=(n; k)

b. X= <b> <=> d=1 từ suy số phần tử sinh X

24.Giả sử X1 X2 hai nhóm xiclic có cấp n1; n2.C/M: X1xX2 nhóm xiclic <=>(n1; n2)=1

25.Cho X nhóm xiclic cấp n d ước n, C/m có nhóm  cấp d nhóm  nhóm xiclic

26.CMR X nhóm có nhóm  tầm thường X {e} X nhóm xiclic hữu hạn cấp

nguyên tố

27.C/m nhóm abel cấp nhóm xiclic

28.Tìm tất nhóm  nhóm xiclic cấp 12; cấp 24 29.C/m nhóm cấp vơ hạn có vơ hạn nhóm 

30.kí hiệu n1là tập bậc của đơn vị trường số phức C C/M: a n1 Là nhóm  xiclic C*

b G =

1

k p k







với p_nguyên tố nhóm  cấp vơ hạn C*, G khơng nhóm xiclic

c Một nhóm  thực G nhóm xiclic cấp hữu hạn

31.Cho A nhóm abel, với số tự nhiên n ≥ ta xác định An={x  A|xn=e} C/M:

a. An nhóm  A

b. Nếu (m; n)=1 Am ∩ An= {e}

32.Cho A nhõm hữu hạn cấp chẵn, C/m số phần tử có cấp A số lẻ

33.Cho X nhóm , xét tập  X: C(X)={a  X|ax=xa  x  X} gọi tâm nhóm X a. C/m C(X) nhóm  giao hốn X nhóm  C(X) nhóm  chuẩn tắc

của X

b. Tìm tâm nhóm GL(n, R): nhóm ma trận vuông cấp n thực SL(n, R): tậpp định thức thực cấp n có định thức

34.Giả sử A; B hai nhóm  chuẩn tắc nhóm X

C/M:

a. AB nhóm  chuẩn tắc X AB=BA

(3)

35.Cho S tập  nhóm X, tập con: NS={a  X|aS=Sa} Gọi chuẩn tắc hoá S

CM:

a. NS nhóm  S

b. Nếu A ≤ X A chuẩn tắc NA

c. Nếu A ≤ X B ∆ \ A A  NB

36.Cho X nhóm, x, y hai phần tử X ta gọi phần tử x-1y-1xy hoán tử x y.

a. C/mr nhóm  A sinh bỡi tập hoán tử tất cặp x, y X nhóm 

chuẩn tắc X nhóm  A gọi đạo nhóm X kí hiệu [X; X]

b. C/m nhóm thương X/[X, X] nhóm abel

c. CMR H nhóm  chuẩn tắc X nhóm thương X/H abel <=> [X, X]  H 37.Cho X nhóm Đặt [x; y]= x-1y-1xy  x; y  X C/M:

a. [a; b]-1=[b; a].

b. [ab; c]=[a, c]b.[b, c].

c.

-1

-1 a

[a , b]=[b, a]

38.Hãy mơ tả nhóm thương sau:

a. Nhóm cộng mZ nhóm mnZ

b. Nhóm nhân số thưc khác nhóm  số thưc dương

39.C/m nhóm thương nhóm xiclic nhóm xiclic; ảnh đồngcấu nhóm xicliclà nhóm xiclic

40.C/m: GL(n; R)/SL(n; R) đẳng cấu với R*

41.C/M nhóm cộng số thực đẳng cấu với nhóm nhân số thực dương

42.C/M nhóm cộng số hữu tỉ khơng đẳng cấu với nhóm nhân số hữu tỉ dương

43.C/M: nhóm cấp đẳng cấu với Z4 đẳng cấu với Z2xZ2

44.C/M nhóm cấp đẳng cấu với Z6 đẳng cấu với S3

45.C/m định lí đảo định lí Lagrange khơng đúng,VD: A4 có cấp 12 khơng chứa nhóm 

cấp

46.C/M: nhóm xiclic cấp vơ hạn đẳng cấu với

47.CMR: hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng cấu với <=> chúng cấp

48.Cho X; Y hai nhóm xiclic cấp tương ứng s, t có phần tử sinh x y

a. C/m quy tắc  cho ứng với xn X với phần tử (yk)n Y, với k số tự nhiên khác

cho trước, đồng cấu nhóm <=> s.k bội t

b. C/m  đẳng cấu (s; k)=1

49.Giả sử X; G1; G2 nhóm, G=G1xG2 f: XG1; g: XG2 ánh xạ Xét ánh xạ h: XG biến x

h(x)=(f(x); g(x)) C/M:

a. h đồng cấu <=> f g đồng cấu

b. Nếu f g đơn cấu h đơn cấu

c. Nếu h tồn cấu f g tồn cấu

d. Chiều ngược lại b c có khơng?

50.Cho f: XY đồng cấu từ nhms hữu hạn X đến nhóm Y C/M:

a. Cấp a  X chia hết cho cấp f(a) b. Cấp f(X) chia hết cấp X

51.Hãy tìm tất đồng cấu từ:

a. Nhóm xiclic cấp đến nhóm xiclic cấp 18

b. Nhóm xiclic cấp 18 đến nhóm xiclic cấp

c. Một nhóm xiclic cấp n đến

d. Một nhóm xiclic cấp n đến nhóm xiclic cấp vơ hạn

e. Nhóm cộng số hữu tỉ Q đến nhóm cộng số nguyên Z

52.C/m nhóm thương R/Z đẳng cấu với nhóm nhân U số phức có mơdun

53.C/M nhóm A nhóm chuẩn tắc nhóm Xthì tồn song ánh từ tập nhóm 

(4)

54.Cho X nhóm abel End(X) tập tất tự đồng cấu X C/m:

a. End(X) nhóm abel với phép cộng xác định sau: (f+g)(x)=f(x)+g(x)

b. End(Z) đẳng cấu với Z, End(Zn) đẳng cấu Zn End(Q) đẳng cấu với Q

55.Cho Aut(X) tập tất tự đồng cấu nhóm X C/m:

a. Aut(X) nhóm với phép nhân ánh xạ

b. Aut(Z) đẳng cấu Z2 ; Aut(Zn) đẳng cấu Un ( nhóm phần tử khả nghịc Zn)

Aut(Q) đẳng cấu Q*

56.Cho nhóm X a  X xét ánh xạ: a^: X X biến x a.x.a-1

a. C/m a^ tự đồng cấu X ( gọi tự đồng cấu X)

b. Tập Int(X) tập tất tự đồng cấu Xlà nhóm  chuẩn tắc Aut(X)

c. C/m: X/C(X) đẳng cấu với Int(X)

57.cho A nhóm  có số hữu hạn X C/m rằg tồn nhóm  chuẩn tắc B X chứa

trong nhóm  A số B X hữu hạn

58.Cho nhóm G p số nguyên tố bé chia hết cấp G hữu hạn ; H nhóm  số p

G C/m H nhóm  chuẩn tắc G

59.C/m nhóm  cấp p2( p- nguyên tố) đẳng cấu với

Z

p

60.Giả sử p; q hai số nguyên tố p < q; q ≠ (mod p) CMR: nhóm cấp p.q nhóm xiclic cấp p.q

61.Mơ tả tất nhóm hữu hạn cấp p.q với p;q số nguyên tố

62.mô tả tất nhóm hữu hạn có cấp ≤ 10

VÀNH TRƯỜNG.

63.C/m tập sau với phép cộng nhân số lập t7hành vành:

a. tập Z

b. Tập số nguyên bội n cho trước

c. Q

d. R

e. C

f. Tập Z( 2)={a+b 2|a, b  Z} g. Tập Z(i)= {a+bi| a, b  Z}

64.C/M tập sau vành với phép cộng nhân ma trận:

a. M(n Z)

b. M(n; R)

c.

a b

b a với a, b

 R

65.Cho A nhóm cộng abel End(A) ập tất tự đồng cấu A CMR với phép cộng phép nhân cho sau: (f+g)(a)= f(a)+g(a) fg(a)=f(g(a)) Là vành có đơn vị

66.Cho X vành S tập kí hiệu XS tập ánh xạ từ SX C/m: XS vành với

phép nhân cộng sau: (f+g)(s)= f(s) = g(s) fg(s)= f(s).g(s)

67.Cho X vành, tập C(X)={a  X|ax=xa,  x  X} gọi tâm X C/m C(X) vành  giao

hoán X

68.Tìm tâm vành M(n; R)

69.Giả sử X vành, A B ideal X C/m: tập A+B={a+b|a  A, b  B} ideal X 70.Giả sử X vành, a số tự nhiên cho trước C/m tập A={x  X|ax=0} ideal X 71.Giả sử A miền nguyên, e đơn vị A giả sử n số nguyên dương bé nhất: ne=0 (n cấp

của e nhóm cộng vành A) C/m:

a. n số nguyên tố

b. Các cấp phần tử a  A, a ≠ 0trong nhóm cộng vành A

(5)

c. Tập con: kA={k.a|a  A} với k số nguyên cho trước ideal A

d. kA={0} k chia hết cho n

kA=A k không chia hết cho n

72.Cho A vành, B tập có hai phhép tốn cộng nhân; f: AB song ánh thoả: f(a+b)=f(a)+fb) f(ab)=f(a).f(b)  a, b  A

C/m:

a. B vành

b. Nếu A vành giao hoán có đơn vị B vành giao hốn có đơn vị

73.C/m; vành M(n; R) khơng có ideal ngồi ediel tầm thường

74.Cho X vành tuỳ ý Z vành số nguyên Trên XxZ định nghĩa phép toán: (x1, n1)+(x2; n2)= (x1+x2; n1+n2)

(x1, n1).(x2; n2)= (x1x2+n1x2 +n2x1; n1.n2)

C/m: XxZ vành có đơn vị

C/m: ánh xạ f: XXxZ biến x f(x)= (x; 0) đơn cấu suy vành nhúng vào vành có đơn vị

75.Cho X vành a  X C/m:

a. Ánh xạ ha: XX biến xax đơn cấu nhóm cộng vào vành X

b. Ánh xạ: h: X  End(X) biến a  h(a)=ha đẳng cấu

c. Tìm Kerh C/m: h đơn cấu X vành ó đơn vị

76.Giả sử X, Y vành, f: X  Y đồng cấu vành A B theo thứ tự ideal X Y cho f(A)  B Ánh xạ: p: XX/A; p’: Y  Y/B tồn cấu tắc C/M: tồn

đồng cấu: f ‘ :X/A Y/B cho hình vng sau giao hốn, tức là: f’p=p’f.

X - Y (f) - Y/B (p’) X - X/A(p) Y/B (f ‘)

Nếu f tồn cấu f ‘ toanc cấu

77.Cho X vành có đơn vị, S tập  khác rỗng X <S> ideal sinh bỡi S C/M: a. <S>=

| , ; ;

n

i i i i i i i

x a y x y X a S n N



 

  

 





b. Nếu X vành giao hoán S=



a a

an



| ; ;

n

i i i i i

a x x X a S n N 

 

 

 





78.Cho A mộy ideal vành X, p: X X/A tồn cấu tắc C/m:

a. Nếu B ∆ \ X p(B) ideal X/A

b. Tương ứng B p(B) song ánh từ tập ideal cũa chứa A lên tập ideal X/A

c. Áp dụng: tìm ideal Z10

79.Xét tích trực tiếp: X=X1xX2 hai vành C/m:

a. tập A1= {(x1; 0)| x1 X1} A2={(0; x2)| x2 X2} Là ideal X

A1∩ A2= {0}; A1+A2=X

b. Kerpi= Ai với pi: X Ai la phép chiếu tắc Do đó: X/Ai đẳng cấu Xi

c. Gọi: qi: Xi X phép nhúng tắc C/m: q1.p1+q2.p2=1X.;

piqi=1Xi

Và piqj=0 với I ≠ j

80.Giả sử A; B ideal vành X Nếu X=A+B A ∩ B ={0} ta nói X phân tích thành tổng trực tiếp ideal A B, k/h: X=AB.

a. C/m: X=AB <=>mọi phần tử x  X víêt dạng: x=a+b

a A b  B

b. Nếu X=AB X đẳng cấu với AxB.

(6)

81.Tìm đồng cấu vành:

a. Z6Z18

b. Z18 Z6

c. Z  Q

82.Tìm tất tự đồng cấu vành: Z; Z( 2) Z(i)

83.CMR vành có đơn vị có p phần tử (p_nguyên tố) đẳng cấu với vành Zp

84.Có hay khơng mội vành có đơn vị có m phần tử đẳng cấu với Zm

TRƯỜNG

85.

86.a m tập con: Q( 2) ={a+b 2| a,b  Q} Q(i) ={a+bi| a,b  Q}là trường 

trường số phức C

b C/m: trường Q( 2}, Q(i) không đẳng cấu với c Tìm tất trường Q( 2}, Q(i)

87.Giả sử X trường , Y tập hợp cho với phép toán cộng nhân Y, f: X Y song ánh đến Y thoả: f(a+b) = f(a) + f(b) f(ab) = f(a).f(b)  a, b  X

C/m: Y trường X đẳng cấu với Y

88.C/m tập hợp ma trân dạng:

a b

b a với a; b  Q, trường đôiz với phép cộng nhân

ma trận Trường đẳng cấu với Q( 2)

89.Cho X trường A vành  vành X

a. CMR: A có nhiều phần tử A có đơn vị phần tử đơn vị A đơn vị X

b. Giả sử A miền nguyên C/m: tập : P={a.b-1|a; b  A; b ≠ 0}là trường  X P

trường thương miền nguyên A

c. C/m: P trường  bé trgong trường  X chứa A 90.Tìm trường thương miền nguyên sau:Z( 2); Z(i) Z(3 2)

91.Cho p số nguyên tố C/m: tập số hữu tỉ dạng:

m

n n nguyên tố với p miền

nguyên Tìm trường thương miền nguyên

92.Hãy tìm tất tự đồng cấu trường sau:

a. Q

b. Q( 2)

c. Q(i)

d. R

e. C cho tự đồng cấu R ánh xạ đồng

VÀNH G

IAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ IAO

93.Cho X vành có đơn vi, cho: x2=x  x  X C/m:

a. x=-x  x  X b. X vành giao hoán

c. Mọi ideal nguyên tố X ideal tối đại

d. Mọi ideal hữu hạn sinh X ideal

e. Nếu X miền ngun X trường gồm có phần tử X={0, 1}

Vành có tính chất gọi vành boole

94.Tìm ideal nguyên tố tối đại trường sau: Z; Z12; Z2xZ2

95.Giả sử A miền nguyên nhóm  nhóm cộng Alà ideal vành A C/m: A đẳng

(7)

96.Cho a phần tử vành giao hốn có đơn vị X kí hiệu: Ann (a) = {x  A| xa=0} a. C/m: Ann (a) ideal vành X

b. Tìm Ann(4) vành Z32

97.Trong vành giao hốn có đơn vị X, phần tử x gọi luỹ linh tồn số tự nhiên n>0: xn=0 C/m:

a. Mọi phần tử luỹ linh khác ước

b. Nếu x luỹ linh thì 1+xkhả nghịch; 1-x nghịch

c. Nếu x luỹ linh u khả nghịch u+x khả nghịch. 98.Cho X vành giao hốn có đơn vi C/m:

a Tập R(X) tất phần tử luỹ linh vành X ideal X R(X) gọi nil-căn X

b. C/m: vành thương X/R(X) khơng có phần tử luỹ linh khác khơng

99.C/m: nil-căn R(X) vành giao hốn, có đơn vị X giao tất ideal nguyên tố vành X

100. Giả sử X vành giao hốn có đơn vị, R(X) nil-can X C/m khẳng định sau tương đương:

a. X có ideal nguyên tố

b. Một phần tử X khả nghịch luỹ linh

c. Vành thương X/R(X) trường

101. Giả sử X vành giáo hốn có đơn vị phần tử x  X tồn số tự nhiên n > (phụ

thuộc vào x) cho xn=x C/m: ideal nguyên tố X ideal tối đại.

102. Giả sử A ideal vành giao hốn có đơn vị X xét r(A)= {x  X| xn  A}.

a. C/m: r(A) ideal vành X ideal r(A) gọi ideal A

b. C/m: r(A)= p-1(R(X/A)) P: X X/A tồn cấu tắc R(X/A) nil-căn

vành X/A

c. C/m: r(A) giao tất ideal nguyên tố X chứa A

103. Giả sử X vành giao hoán có đơn vị, A, B ideal vành X C/m: a r(A)  A; r(A)=X <=> X=A

b r(r(A))= r(A)

c r(AB)= r(A ∩B)= r(A) ∩ r(B)

d Nếu P ideal nguyên tố r(Pn)=r(P)=P  n ≥ n  N.

104. Giả sử X vành giao hốn có đơn vị, A, B ideal vành X C/m:

a. r(A+B) = r( r(A)+r(B))

b. Các ideal A B nguyên tố r(A) r(B) nguyên tố

105. Giả sử X vành giao hốn có đơn vị, S tập  nhân X, A ideal vành X S-1A=

1 | a

S X a A s



 

 

 

 

a C/m: S-1A ideal S-1X ideal S-1X có dạng S-1A với A ideal X.

b Tương ứng: P S-1P song ánh tập ideal nguyên tố X không giao với S tập

các ideal nguyên tố vành S-1X.

106. Giả sử X vành giao hốn, có đơn vị A, B ideal vành X, S tập  nhân C/m: a. S-1(A+B)= S-1(A)+S-1(B).

b. S-1(A ∩ B) = S-1(A)∩ S-1(B).

c. S-1(r(A)) = r(S-1(A)).

d. S-1(R(X)) = R(S-1(X)).

VÀNH CHÍNH -VÀNH EUCLIDE.

107.

108. Giả sử X vành A ideal X C/m:

a. ideal vành X/A ideal

(8)

109. Giả sử X vành Euclide A ideal X C/m: thương X/A vành Euclide A ideal nguyên tố X

110. C/m: vành  chứa đơn vị vành khơng phải Vành 111. C/m: vành  chứa đơn vị vành Euclide Vành Euclide 112. C/m: trường vành Euclide

113. Giả sử A vànhEuclide C/m: A trường ánh xạ: : A* N ánh xạ hằng, tức (x)= n  x

114. Giả sử X vành S tập  nhân X C/m rằng: vành S-1X vành

VÀNH ĐA THỨC.

115. Tính số đa thức bậc n vành Z3[x]

116. C/m: đa thức 1x214  Z15[x] có nghiệm Z15.

117. Cho I ideal vành giao hốn có đơn vị A CMR:

a. Tập con: I[x]={

 

( ) n i | , 0, ,

i i i

f x a x A x a I i n



 

    

 





A[x]

b. A[x]/I[x]  (A/I)[x]

c. I ideal nguyên tố A <=> I[x] ideal nguyên tố A[x]

d. Nếu I ideal tối đại A I[x] ideal tối đại không?

118. CMR: A[x]/<x>  A

Do <x> ideal nguyên tố A[x] X miền nguyên Là ideal tối đại X trường

119. Giả sử A vàh giao hốn có đơn vị đa thức f(x) = a0+a1x+…+anxn A[x] C/M:

a. f khả nghịch A[x] <=> a0 khả nghịch A a1;…;an phần tử luỹ linh

b. f luỹ linh A[x] <=> a0, …,an luỹ linh A

c. f ước không <=> tồn phần tử khác q  A cho qf=0 120. Giả sử A vành giao hốn, có đơn vị f(x)  A[x] C/m:\

a. với b  A f(x) bất khả quy <=> f(x+b) bất khả quy

b. Nếu A trường a, b  A, a ≠ f(x) bkq <=> f(ax+b) bkq 121. Cho A trường f(x)  A[x] C/m:

a. Nếu deg f(x) = f(x) BKQ

b. Nếu deg f(x) =2 f(x) BKQ f(x) khơng có nghiệm A

122. Giả sử A trường f(x)=a0+a1x+…+anxn đa thức BKQ A[x] bậc n > C/m:

g(x)=an+an-1x+… +a1xn-1+a0xn ssa thức BKQ A[x]

123. Cho đa thức f(x) với hệ số nguyên biết tồn số nguyên khác x1; x2; x3; x4

cho f(xi)=5 với i=1,…,4 C/m: với số nguyên n f(n) ≠ 1998

124. C/m: đa thức sau BKQ Q[x] với a1; a2; …;an số nguyên phân biệt:

a. (x-a1)(x-a2)…(x-an)-1

b. (x-a1)2 (x-a2)2 …(x-an)2 -1

125. C/m đa thức sau bất khả quy Q[x]:

a. 5x3+6x2 +5x+ 25

b. 7x3+ 6x2+ 11x+ 11.

c. 3x4+ 5x3- 4x+ 1

d. X4- 9x3 + 6x-1

e. X4 +8x3+x2+2x+5

126. CMR: f(x) = ax2+ bx+ c  Z[x] với a ≠ có nghiệm hữu tỷ số a, b, c