Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)TRẦN CÔNG NGHỊ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
VÀ
CƠ HỌC KẾT CẤU
(2)(3)Chương
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Tóm tắt
Phương trình cân bằng:
⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 Z y x z Y z x y X z y x yz zx z yz yx y xz xy x τ τ σ τ τ σ τ τ σ (1.1)
trong X, Y, Z – lực khối
Phương trình biến dạng:
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = = = = x w z u y w z v x v y u z wy v x u zx yz xy z y x ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε (1.2)
Điều kiện tương hợp (liên tục):
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ z x z x z y y z y x x y xz x z yz z y xy y x γ ε ε γ ε ε γ ε ε 2 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ z y x z y x z y x y z x z y x x z y xy xz yz z xy xz yz y xy xz yz x γ γ γ ε γ γ γ ε γ γ γ ε 2 2 2 (1.3)
(4)với [ ] [ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =
z yz xz
yz y xy
xz xy x
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
c c c
c c c
c c c c
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ σ
;
* * *
* * *
* * *
Ứng suất xác định từ phương trình:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = − + +
= +
− +
= +
+ −
0 ) (
0 )
(
0 )
(
m l
k
m l
k
m l
k
z yz xz
zy y
xy
zx yx x
σ σ τ
τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
(1.5)
hoặc dạng ma trận:
} {
= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
−
m l k
z zy
zx
yz y
yx
xz xy
x
σ σ τ
τ
τ σ σ τ
τ τ
σ σ
(1.6)
trong tổng bình phương cosin đơn vị k2 + l + m2 = Lời giải hệ phương trình:
σ3 - σ2J
1 + σJ2 – J3 = (1.7)
trong J1 = σx + σy + σz
J2 = σyσz + σzσx + σxσy - τyx2 - τzx2 - τxy2 (1.8)
J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz - τxy2σz - τyz2σx - τzx2σy (1.9)
Các đại lượng J1, J2, J3 gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, bất biến thứ ba
tenso ứng suất
Trường hợp ứng suất phẳng, hệ tọa độ xOy ứng suất tính theo cơng thức:
2
1
,
1 ( )
2 x y xy
y
x σ σ σ τ
σ
σ = + ± − + (1.10)
Hướng trục ứng suất tính từ công thức: y
x xy n
tg
σ σ
τ θ
−
=
2 (1.11)
Ứng suất cắt lớn nhất:
2
2
max,
σ σ
τ =± − (1.12)
xy y x s
tg
τ σ σ
θ =2 −
2 (1.13)
(5)2
2
2
2 ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +
−σx σy τ σx σy
σ (1.14)
Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + − = + − = + − = y x z z z x y y z y x x E E E σ σ ν σ ε σ σ ν σ ε σ σ ν σ ε 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = zx zx yz yz xy xy G G G τ γ τ γ τ γ 1 (1.15)
trong
) ( +ν
= E
G (1.16)
Nếu ký hiệu: e=εx +εy +εz viết:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + + − + = + + − + = + + − + = z z y y x x E e E E e E E e E ε ν ν ν ν σ ε ν ν ν ν σ ε ν ν ν ν σ 1 1 1 (1.17) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + = + = + = z z y y x x G e G e G e ε λ σ ε λ σ ε λ σ 2 (1.18)
trong ( )( )
ν ν ν λ
1+ −
= E mang tên gọi số Lamé Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) =
; ; ; 2 2 y x y
x y xy
x ∂ ∂
Φ ∂ − = ∂ Φ ∂ = ∂ Φ ∂ = σ τ σ
Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c, chiều rộng b, chịu tác động tải phân bốđều q = const
Điều kiện biên sau: a) Tại x = 0:
σx = 0; τxy =
(6)Ứng suất:
⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫
=
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
− =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
− =
0 1
1
2 2
2 2
z r
dr w d dr dw r z E
dr dw r dr
w d z E
σ
ν ν
σ
ν ν
σ
θ (c)
Nếu ký hiệu M – momen uốn phân bố đơn vị chiều dài, công thức cuối viết thành:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =
=
3
12 12
t z Mt
z Mr
r
θ θ
σ σ
(d)
với
⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
2 2
2
1
dr w d dr dw r D M
dr dw r dr
w d D Mr
ν ν
θ
với ( 2)
3
1 12 −ν
= Et
D (e)
Cơng thức trình bày (d) dùng cho dày t có dạng: ⎪
⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ± =
± =
3
max,
3
max,
6 )
(
6 )
(
t Mt Mr
x
θ θ
σ σ
Phương trình vi phân bậc bốn uốn tấm, chịu tác động lực pháp tuyến p(r) viết thành:
D r p dr dw r dr
w d dr
d r dr
d r
w( ) 2 ( )
2
2
4 =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
∇
7 Xác định chiều dày t thép hình chữ nhật nhằm tránh ổn định trường hợp chịu lực nén P=30kN phân bốđều dọc cạnh ngắn Tấm tựa tự bốn cạnh Biết cạnh a = 35cm, b = 10cm, E = 2.105MPa, ν = 0,28
8 Tấm thép hình vng cạnh b = 25cm, tựa bốn mép gối, chịu lực nén cường độ q hai chiều, hình 5.6 Xác định ứng suất giới hạn (ứng suất Euler) tấm, biết chiều dày t = 0,40cm, E = 7.104MPa, ν = 0,3
Trường hợp lực nén cường độ tác động theo hướng, kết tính
nào?
(7)Hình 5.6 Hình 5.7
9 Tấm làm từ hợp kim nhơm, hình chữ nhật cạnh a = 40cm, b = 25cm, tựa tư bốn cạnh, chịu tác động lực cắt τ, hình 5.7 Xác định tải giới hạn, biết E = 7,2.104MPa, [τ] = 120MPa 10 Tấm hình chữ nhật cạnh nhật cạnh a = 36cm, b = 20cm, tựa tư bốn cạnh, chịu tác động lực cắt τ, lực nén T = 2τ, hình 5.8 Xác định τcr để không bị ổn định
τ τ
τ
τ