Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http //www lrc tnu edu vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐA THỨC CHEBYSHEV VÀ CÁC BÀI TOÁN XẤP XỈ ĐA THỨC LIÊN QUAN Chuyên ngành To[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐA THỨC CHEBYSHEV VÀ CÁC BÀI TOÁN XẤP XỈ ĐA THỨC LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 \ Thái Nguyên – Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐA THỨC CHEBYSHEV VÀ CÁC BÀI TOÁN XẤP XỈ ĐA THỨC LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thái Nguyên – Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức đại số tính chất liên quan 1.2 Đa thức lượng giác tính chất liên quan 1.3 Xấp xỉ hàm số xấp xỉ đa thức 4 Đa 2.1 2.2 2.3 thức Chebyshev xấp xỉ Chebyshev Đa thức Chebyshev loại Đa thức Chebyshev loại Xấp xỉ Chebyshev 2.3.1 Xấp xỉ hàm biến theo nghĩa Chebyshev 2.3.2 Một số định lý quan trọng Gauss 12 12 15 18 18 19 Một số dạng toán liên quan 30 3.1 Đẳng thức bất đẳng thức với nút nội suy Chebyshev 30 3.2 Định lý Berstein - Markov 34 3.3 Bài toán xác định đa thức 37 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Một dạng toán thường gặp đề thi olympic sinh viên quốc gia quốc tế thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng tốn có liên quan đến đa thức Đặc biệt, toán đa thức Chebyshev dạng tập khó gây cho học sinh nhiều lúng túng dẫn đến cách giải khơng chặt chẽ, thiếu xác Ngun nhân phần đa thức Chebyshev tính chất liên quan không giảng dạy đầy đủ trường phổ thông đại học, tài liệu tham khảo nội dung chưa nhiều Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé khắc phục thiếu vắng nói trên, luận văn “Đa thức Chebyshev toán xấp xỉ đa thức liên quan” chủ yếu dựa kiến thưc đa thức Chebyshev, kết hợp với sử dụng kiến thức tổng hợp để sáng tác, chọn lọc, phân loại toán đa thức Chebyshev Luận văn gồm phần mở đầu, chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa, tính chất đa thức đại số, đa thức lượng giác hay kiến thức xấp xỉ hàm xấp xỉ đa thức Đây kiến thức để bắt đầu tìm hiểu đa thức Chebyshev từ giải toán đa thức Chebyshev Chương Đa thức Chebyshev xấp xỉ Chebyshev Nội dung chương trình bày khái niệm cần thiết chứng minh số kết đa thức Chebyshev Trước hết, tác giả nêu toán đặc biệt, ứng dụng kết chung nêu để dẫn đến định nghĩa đa thức Chebyshev tính chất đa thức Chebyshev Sau xét tốn xấp xỉ Chebyshev số định lý liên quan Chương Một số dạng tốn liên quan Hệ thống hóa dạng toán ứng dụng đa thức Chebyshev toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức với nút nội suy Chebyshev, toán Định lý Bertein - Markov toán xác định đa thức Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót cách trình bày Rất vui lịng mong muốn góp ý xây dựng thầy bạn bè Thái Nguyên, tháng 05 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức đại số tính chất liên quan Định nghĩa 1.1 (xem [1]-[2]) Cho A vành giao hốn có đơn vị Ta nói đa thức bậc n biến x biểu thức có dạng P( x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , ∈ A gọi hệ số, an hệ số bậc cao a0 hệ số tự đa thức Nếu = 0, i = 0, 1, , n − a0 6= ta có bậc đa thức Nếu = 0, i = 0, 1, , n ta coi bậc đa thức −∞ gọi đa thức Tập hợp tất đa thức lấy vành A kí hiệu A[x] Khi A = K trường K[x] vành giao hốn có đơn vị Ta thường xét A = Z A = Q A = R A = C Khi ta có vành đa thức tương ứng Z[x], Q[x], R[x], C[x] Tính chất 1.1 Cho hai đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 Ký hiệu k = max (m, n) Khi viết f (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bk xk + bk−1 xk−1 + · · · + b1 x + b0 , ak = 0, ứng với k > n bk = ứng với k > m Ta định nghĩa phép tính số học sau f (x) + g(x) := (ak + bk )xk + (ak−1 + bk−1 )xk + · · · + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ), f (x) − g(x) := (ak − bk )xk + (ak−1 − bk−1 )xk + · · · + (a1 − b1 )x + (a0 − b0 ), f (x).g(x) := cn+m xn+m + cn+m−1 xn+m−1 + · · · + c1 x + c0 , cj = a0 bj + a1 bj−1 + · · · + aj b0 , j = 0, 1, , n + m Định lý 1.1 (xem [1]-[2]) Giả sử A trường, f (x) g(x)(6= 0) hai đa thức vành A[x], có hai đa thức q(x) r(x) ∈ A[x] cho f (x) = g(x).q(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x) Nếu r(x) = ta nói f (x) chia hết cho g(x) Định lý 1.2 (xem [1]-[2]) Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A[x] Dư số phép chia f (x) cho (x − a) f (a) Định lý 1.3 Số a ∈ A nghiệm f (x) f (x) chi hết cho (x − a) Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A[x] m số tự nhiên lớn Khi a nghiệm bội cấp m f (x) f (x) chia hết cho (x − a)m f (x) không chia hết cho (x − a)m+1 Trong trường hợp m = ta gọi a nghiệm đơn cịn m = a gọi nghiệm kép Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức đó, kể bội nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng Định lý 1.4 (Định lý Vieete) a) Giả sử phương trình an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) có n nghiệm (thực phức) x1 , x2 , , xn an−1 E1 (x) := x1 + x2 + · · · + xn = − an an−2 E2 (x) := x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn = an ˙ a0 En (x) := x1 x2 xn = (−1)n an (1.1) (1.2) b) Ngược lại, số x1 , x2 , , xn thỏa mãn hệ (1.2) chúng nghiệm phương trình (1.1) Hệ (1.2) có n thành phần vế trái thành phần thứ k có Cnk số hạng c) Các hàm E1 (x), E2 (x), , En (x) gọi hàm đa thức đối xứng sơ cấp Vieete bậc 1, 2, , n tương ứng Định lý 1.5 (xem [1]-[2]) Mỗi đa thức R[x] bậc n có khơng q n nghiệm thực Hệ 1.1 Đa thức có vơ số nghiệm đa thức không Hệ 1.2 Hai đa thức có bậc khơng vượt q n mà nhận (n + 1) giá trị (n + 1) giá trị khác đối số đồng Định lý 1.6 (Định lý đại số) Mọi đa thức f (x) ∈ C[x] bậc n có n nghiệm (tính bội nghiệm) Định lý 1.7 (xem [1]-[2]) Mọi đa thức f (x) ∈ R[x] bậc n có hệ số (hệ số bậc cao nhất), an 6= phân tích thành nhân tử dạng m s Y Y f (x) = an (x − di ) (x2 + bk x + ck ), i=1 k=1 với di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, m, n ∈ N∗ Định lý 1.8 (xem [1]-[2]) Điều kiện cần đủ để hai đa thức P (x) Q(x) nguyên tố tồn cặp đa thức u(x) v(x) cho P (x)u(x) + Q(x)v(x) ≡ Nếu hai đa thức P (x) Q(x) không đồng có ước chung d(x) đa thức chia hết cho tất ước chung khác d(x) gọi ước chung lớn P (x) Q(x) Cũng ta có ước chung lớn nhiều đa thức 1.2 Đa thức lượng giác tính chất liên quan Định nghĩa 1.2 Biểu thức: An (x) = a0 + n X (ak cos kx + bk sin kx) (1.3) k=1 a0 , ak , bk ∈ R (k ∈ {1, 2, , n}); |an | + |bn | 6= (n ∈ N∗ ) gọi đa thức lượng giác bậc n (cấp n) với hệ số a0 , ak , bk ∈ R (k ∈ {1, 2, , n}) Định nghĩa 1.3 Nếu đa thức (1.3) tất hệ số bk (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cos cấp n Bn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx (an 6= 0) (1.4) Định nghĩa 1.4 Nếu đa thức (1.4) tất hệ số ak (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác sin cấp n Bn (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx (bn 6= 0, b0 = a0 ) (1.5) Tính chất 1.2 Cho An (x), Bm (x) hai đa thức lượng giác có cấp theo thứ tự n, m Trong n, m số nguyên dương Khi đó: + Tổng An (x) + Bm (x) đa thức lượng giác có cấp nhỏ max{m, n} + Tích An (x) · Bm (x) đa thức lượng giác có cấp m + n + Khi a0 = 0, đa thức lượng giác An (x) có nghiệm + Mọi đa thức lượng giác An (x) tồn đa thức Pn (t) Qn−1 (t) để An (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x) + Mọi đa thức lượng giác Bn (x) dạng (1.4) tồn đa thức Pn (t) để Bn (x) = Pn (cos x) + Mọi đa thức lượng giác Cn (x) dạng (1.5) tồn đa thức Pn−1 (t) để Cn (x) = b0 + sin xPn−1 (cos x) 1.3 Xấp xỉ hàm số xấp xỉ đa thức Định lý 1.9 (xem [5]) Giả sử X khơng gian tuyến tính định chuẩn, X0 không gian hữu hạn chiều X x ∈ X phần tử cố định Khi đó, với phần tử x ∈ X tồn phần tử x0 ∈ X0 cho k x − x0 k≤k x − y k, ∀y ∈ X0 Bài tốn 1.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính định chuẩn, X0 khơng gian hữu hạn chiều X x ∈ X phần tử cố định Hãy xác định phần tử x0 ∈ X0 cho: k x − x0 k≤k x − y k với y ∈ X0 Trong toán đại lượng k x − y k gọi độ lệch x y, k x − y k gọi đại lượng xấp xỉ tốt x X0 y∈X0 Phần tử x0 ∈ X0 mà với độ lệch đạt cực tiểu, k x − x0 k= k x − y k y∈X0 gọi xấp xỉ tốt x X0 Định nghĩa 1.5 Giả sử hàm số f (x) xấp xỉ đa thức Pn (x) Gọi P [f, P, n] = |f (x) − P n (x)| độ lệch phép xấp xỉ Ta cần xác định P (x) n cho P [f, P, n] nhỏ đoạn [a, b] cho trước Khi Pn (x) gọi đa thức xấp xỉ tốt f (x) [a, b] kí hiệu là: f (x) ≈ Pn (x) Nếu f (x) khả vi (n + 1) lần sử dụng công thức khai triển Taylor x = ta có f (x) = n X f k (0) k=0 k! xk + R(x, n), với phần dư R(x, n) = 0(xn ) Như f (x) ≈ Pn (x) = n X f k (0) k! k=0 xk + R(x, n) Tuy nhiên lớp hàm khả vi (n + 1) lần dùng để xấp xỉ đa thức hẹp Song hàm số liên tục [a, b] có định lý tương tự xấp xỉ chúng đa thức Ta xây dựng đa thức xấp xỉ thơng qua cơng thức nội suy hay cơng thức tính độ lệch sai số xấp xỉ Bài toán 1.2 (Nội suy Lagrange) Cho hàm số f (x) cho tập X gồm (n + 1) điểm phân biệt xj , (x0 < x1 < · · · < xn ) tập xác định hàm số f (x) Chứng minh tồn đa thức Pn (x), bậc không n cho P (xj ) = f (xj ) (j = 0, 1, , n) Mặt khác, đa thức Pn (x) có dạng: Pn (x) = n X ak xk k=0 hệ số ak xác định cách từ hệ phương trình n X ak xkj = f (xj ) (j = 0, 1, , n) k=0 Lời giải Ta thấy Pn (x) xác định công thức nội suy Lagrange, đa thức bậc khơng vượt n Ngoài |f (x) − Pn (x)| = 0, ∀x ∈ X nên Pn (x) gọi đa thức xấp xỉ tốt f (x) X Do: max |f (x) − Pn (x)| = x∈X nên tồn đa thức Qn (x) xấp xỉ tốt f (x) X phải có f (x) = Qn (x), ∀x ∈ X Hai đa thức Pn (x) Qn (x) có bậc khơng vượt q n nhận giá trị trùng (n + 1) điểm khác nên chúng đồng Do đó, đa thức Pn (x) số đa thức bậc không vượt n max Tn ξ = x− = an 2n−1 ξ∈[−1,1] b−a b−a b − a n = an 2n−1 Như vậy, với phép biến đổi cho phép đồ thị hàm số cho tịnh tiến, đồng thời co dãn theo trục hồnh cịn độ lệch giữ ngun, khơng thay đổi 11 Chương Đa thức Chebyshev xấp xỉ Chebyshev 2.1 Đa thức Chebyshev loại Ta có đẳng thức sau: cos x = cos x, cos 2x = cos2 x − 1, cos 3x = cos3 x − cos x, cos 4x = cos4 x − cos2 x + 1, Bằng quy nạp ta chứng minh định lý sau đây: Định lý 2.1 (xem [2]) Với n ∈ N∗ cho trước, tồn đa thức đại số Tn (x) bậc n cho cos nx = Tn (cos x) Đa thức Tn (x) xác định công thức truy hồi T0 (x) = 1, T1 (x) = x, T2 (x) = 2x2 − 1, T3 (x) = 4x3 − 3x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) Chứng minh Ta có cos nx = Tn (cos x) hay Tn (x) = cos(n arccos x) = cos nθ với θ = arccos x, x ∈ [−1, 1] Từ công thức: cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ = cos θ cos nθ, ∀n ≥ 1, Ta có Tn+1 (x) + Tn−1 (x) = 2xTn (x), ∀n ≥ 1, hay Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x), ∀n ≥ Cụ thể, đa thức dãy là: 12 T0 (x) = cos(0 arccos x) = cos = 1, T1 (x) = cos(1 arccos x) = x, T2 (x) = 2xT1 (x) − T0 (x) = 2x2 − 1, T3 (x) = 2xT2 (x) − T1 (x) = 4x3 − 3x, Định nghĩa 2.1 Các đa thức Tn (x) (n ∈ N∗ ) xác định sau: T0 (x) = 1; T1 (x) = x Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) gọi đa thức Chebyshev loại bậc n Tính chất 2.1 Tn (x) có bậc n hệ số cao 2n−1 hàm chẵn n chẵn hàm lẻ n lẻ Tính chất 2.2 Tn (x) có n nghiệm phân biệt [−1, 1] xk = cos 2k + π, (k = 0, 1, , n − 1) 2n Tính chất 2.3 |Tn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1, 1] có n + nghiệm x = cos kπ , k = 0, 1, , n n |Tn (x)| = x = 1, −1, 12 , − 12 Tính chất 2.4 Đa thức T ∗ (x) = 21−n Tn (x) đa thức bậc n với hệ số bậc cao có độ lệch so với [−1, 1] nhỏ tất đa thức bậc n với hệ số cao Nghĩa là, P (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 max |P (x)| ≥ max |x|≤1 |x|≤1 Tn (x) = 2n−1 2n−1 Chứng minh (Sử dụng phương pháp phản chứng) Giả sử tìm đa thức P (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 cho max |P (x)| ≤ |x|≤1 2n−1 Đặt G(x) = Tn (x) + P (x) 2n−1 13 Vì biểu thức Tn (x) 2n−1 P (x) có hệ số bậc cao nên bậc G(x) ≤ n − Xét dãy (n + 1) điểm luân phiên hàm Tn (x) xk = cos kπ , k = 0, 1, , n n Ta có Tn (xk ) = (−1)k nên (−1)k+1 + P (xk ), k = 0, 1, , n G(xk ) = 2n−1 Theo giả thiết: max |P (x)| ≤ |x|≤1 2n−1 với k = 0, 1, , n nên ta có G(x0 ) ≤ 0, G(x1 ) ≥ 0, G(x2 ) ≤ 0, Vì dãy điểm phân biệt: −1 ≤ xn ≤ xn−1 ≤ · · · ≤ x1 ≤ x0 ≤ nên đa thức G(x) đổi dấu liên tục (n + 1) lần biến số x chạy qua điểm xk nói −1 Thật vậy, G(xi ) ≤ hay n−1 + P (xi ) ≤ G(xi+1 ) = 2n−1 + P (xi+1 ) ≥ 0, ∀i = 0, 1, , n − Do G(x) có n nghiệm phân biệt [−1, 1] có bậc khơng vượt q (n − 1) G(x) đồng hay P (x) ≡ Tn (x) 2n−1 Điều mâu thuẫn với giả thiết max |P (x)| ≤ |x|≤1 Ta có điều phải chứng minh 14 2n−1 2.2 Đa thức Chebyshev loại Ta có đẳng thức sau: sin x = sin x, sin 2x = sin x(2 cos x), sin 3x = sin x(4 cos2 x − 1), sin 4x = sin x(8 cos3 x − cos x), Bằng quy nạp ta chứng minh định lý sau đây: Định lý 2.2 (xem [2]) Với n ∈ N∗ cho trước, tồn đa thức đại số Un−1 (x) bậc (n − 1) cho sin(nx) = sin x.Un−1 (cos x) Đa thức Un−1 (x) xác định công thức truy hồi U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x, U2 (x) = 4x2 − 1, Un (x) = 2x.Un−1 (x) − Un−2 (x) Chứng minh Ta có: Un (x) = sin(n arccos x) sin(nθ) √ =√ − x2 − x2 với θ = arccos x, x ∈ (−1, 1) Từ công thức sin(n + 1)θ + sin(n − 1)θ = sin nθ.(cos θ), ∀n ≥ 1, hay sin(n + 1)θ sin(n − 1)θ sin nθ.(cos θ) √ √ + √ = , ∀n ≥ 1 − x2 − x2 − x2 Từ ta có: Un+1 (x) + Un−1 (x) = 2x.Un (x), ∀n ≥ 1, hay Un+1 (x) = 2x.Un (x) − Un−1 (x), ∀n ≥ Cụ thể, đa thức dãy là: sin(0.θ) = 0, U0 (x) = √ − x2 15 p sin(1.θ) − cos2 (θ) U1 (x) = √ = √ = 1, − x2 − x2 U2 (x) = 2x.U1 (x) − U0 (x) = 4x2 − 1, U3 (x) = 2x.U2 (x) − U1 (x) = 8x3 − 4x, Định nghĩa 2.2 Các đa thức Un (x) (n ∈ N∗ xác định sau: U0 (x) = 0; U1 (x) = Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x) gọi đa thức Chebyshev loại bậc n Tính chất 2.5 Khi cos t = x Un (x) = sin nt Tn (x) = , n sin t đa thức có bậc (n − 1) hệ số cao 2n−1 hàm chẵn n lẻ hàm lẻ n chẵn Tính chất 2.6 Un (x) có (n − 1) nghiệm phân biệt [−1, 1] xk = cos kπ π, (k = 1, 2, , n − 1) n Tính chất 2.7 |Un (x)| ≤ n + 1, ∀x ∈ [−1, 1] Bổ đề 2.1 Mọi đa thức bậc n biểu diễn dạng f (x) = an Tn (x) + an−1 Tn−1 (x) + · · · + a1 T1 (x) + a0 T0 (x), (2.1) đó, an 6= Tk (x)(k = 0, 1, , n) đa thức Chebyshev Cách biểu diễn Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n tồn cách biểu diễn (2.1) Nếu bậc f = : f (x) = a 6= Vì T0 (x) = nên lấy a0 = a 6= Ta có f (x) = a0 T0 (x) Nếu bậc f = : f (x) = ax + b, a 6= Vì T0 (n) = 1, T1 (x) = x nên lấy a0 = b, a1 = a 6= Ta có f (x) = a1 T1 (x) + a0 T0 (x) 16 Giả sử (2.1) với đa thức không vượt n, ta chứng minh với đa thức tùy ý bậc (n + 1), f (x) = bn+1 xn+1 + bn xn + · · · + b1 x + b0 , bn+1 6= Ta biết Tn+1 (x) = 2n xn+1 + ϕ(x), ϕ(x) đa thức bậc (n − 1) nên suy xn+1 = 1 T (x) − ϕ(x) n+1 2n 2n hay bn+1 xn = bn+1 bn+1 Tn+1 (x) − n ϕ(x) n 2 Từ ta thu f (x) = bn+1 Tn+1 (x) + H(x) 2n hay H(x) = − bn+1 ϕ(x) + bn xn + · · · + b1 x + b0 , deg H ≤ n n Áp dụng giả thiết quy nạp H(x) rõ ràng f (x) = an Tn (x) + an−1 Tn−1 (x) + · · · + a1 T1 (x) + a0 T0 (x), bn+1 6= 2n Vậy theo nguyên lý quy nạp (2.1) cho đa thức bậc n Tính Giả sử đa thức f (x) bậc n viết dạng (2.1), tồn đa thức an+1 = f (x) = bn Tn (x) + bn−1 Tn−1 (x) + · · · + b1 T1 (x) + b0 T0 (x) (2.2) Trừ vế (2.1) (2.2) ta có với x = (an −bn )Tn (x)+(an−1 −bn−1 )Tn−1 (x)+· · ·+(a1 −b1 )T1 (x)+(a0 −b0 )T0 (x) hay = cn Tn (x) + cn−1 Tn−1 (x) + · · · + c1 T1 (x) + c0 T0 (x), với ci = − bi (i = 1, 2, , n) Nếu hệ số ci khơng đồng thời gọi cm số số cn , cn+1 , , c1 , c0 mà cm 6= Ta có, với x = cm Tm (x) + cm−1 Tm−1 (x) + · · · + c1 T1 (x) + c0 , cm 6= 17 (2.3) Vế phải (2.3) có bậc m còn: cm−1 Tm−1 (x) + · · · + c1 T1 (x) + c0 đa thức bậc nhỏ m Đòi hỏi đa thức bậc m đồng thỏa mãn điều kiện sau: i Đa thức bậc 0, m = tức đa thức vế phải (2.3) thu số c0 ii Hằng số Như vậy, ta có ci = 0, ∀i = 0, 1, , n tức = bi , ∀i = 0, 1, , n Nói cách khác, biểu diễn (2.1) f (x) 2.3 2.3.1 Xấp xỉ Chebyshev Xấp xỉ hàm biến theo nghĩa Chebyshev Gauss Xét C[a, b] không gian hàm liên tục đoạn [a, b] Giả sử ϕ0 (t), ϕ1 (t), , ϕn (t) hệ (n + 1) hàm độc lập tuyến tính C[a, b] Xét không gian hữu hạn chiều X0 ∈ X = C[a, b] gồm tất tổ hợp tuyến tính {ϕi (t)}, i = 0, 1, , n với hệ số thực ϕ(t) = n X Ci ϕi (t) i=0 Trường hợp hệ {ϕi (t) {1, t, t2 , , tn } X0 = Pn , Pn tập đa thức với hệ số thực biến t [a, b] có bậc khơng q n Nếu tốn chuẩn sử dụng k x k= max |x(t)| = max |ω(t).x(t)|, t∈[a,b] t∈[a,b] ω(t) ≥ hàm trọng phép xấp xỉ gọi xấp xỉ theo nghĩa Chebyshev (xấp xỉ đều) vắn tắt T - xấp xỉ Còn chuẩn sử dụng Z b 21 k x k= [x(t)] dx a có xấp xỉ theo nghĩa Gauss hay gọi xấp xỉ theo nghĩa bình phương tối thiểu trung bình bình phương Trường hợp đưa hàm trọng vào Với chuẩn khác xấp xỉ tốt tương ứng nói chung khác Từ ta xét toán xấp xỉ Chebyshev C[a, b] sau: 18 ... để xấp xỉ đa thức hẹp Song hàm số liên tục [a, b] có định lý tương tự xấp xỉ chúng đa thức Ta xây dựng đa thức xấp xỉ thông qua công thức nội suy hay cơng thức tính độ lệch sai số xấp xỉ Bài. .. kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa, tính chất đa thức đại số, đa thức lượng giác hay kiến thức xấp xỉ hàm xấp xỉ đa thức Đây kiến thức để bắt đầu tìm hiểu đa thức Chebyshev từ giải toán. .. nghĩa đa thức Chebyshev tính chất đa thức Chebyshev Sau xét toán xấp xỉ Chebyshev số định lý liên quan Chương Một số dạng toán liên quan Hệ thống hóa dạng tốn ứng dụng đa thức Chebyshev toán chứng