Đa thức chebyshev và các bài toán xấp xỉ đa thức liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐA THỨC CHEBYSHEV VÀ CÁC BÀI TOÁN XẤP XỈ ĐA THỨC LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 \ Thái Nguyên – Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐA THỨC CHEBYSHEV VÀ CÁC BÀI TOÁN XẤP XỈ ĐA THỨC LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thái Nguyên – Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức đại số tính chất liên quan 1.2 Đa thức lượng giác tính chất liên quan 1.3 Xấp xỉ hàm số xấp xỉ đa thức 4 Đa 2.1 2.2 2.3 thức Chebyshev xấp xỉ Chebyshev Đa thức Chebyshev loại Đa thức Chebyshev loại Xấp xỉ Chebyshev 2.3.1 Xấp xỉ hàm biến theo nghĩa Chebyshev 2.3.2 Một số định lý quan trọng Gauss 12 12 15 18 18 19 Một số dạng toán liên quan 30 3.1 Đẳng thức bất đẳng thức với nút nội suy Chebyshev 30 3.2 Định lý Berstein - Markov 34 3.3 Bài toán xác định đa thức 37 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Một dạng toán thường gặp đề thi olympic sinh viên quốc gia quốc tế thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng tốn có liên quan đến đa thức Đặc biệt, toán đa thức Chebyshev dạng tập khó gây cho học sinh nhiều lúng túng dẫn đến cách giải khơng chặt chẽ, thiếu xác Ngun nhân phần đa thức Chebyshev tính chất liên quan không giảng dạy đầy đủ trường phổ thông đại học, tài liệu tham khảo nội dung chưa nhiều Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé khắc phục thiếu vắng nói trên, luận văn “Đa thức Chebyshev toán xấp xỉ đa thức liên quan” chủ yếu dựa kiến thưc đa thức Chebyshev, kết hợp với sử dụng kiến thức tổng hợp để sáng tác, chọn lọc, phân loại toán đa thức Chebyshev Luận văn gồm phần mở đầu, chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa, tính chất đa thức đại số, đa thức lượng giác hay kiến thức xấp xỉ hàm xấp xỉ đa thức Đây kiến thức để bắt đầu tìm hiểu đa thức Chebyshev từ giải toán đa thức Chebyshev Chương Đa thức Chebyshev xấp xỉ Chebyshev Nội dung chương trình bày khái niệm cần thiết chứng minh số kết đa thức Chebyshev Trước hết, tác giả nêu toán đặc biệt, ứng dụng kết chung nêu để dẫn đến định nghĩa đa thức Chebyshev tính chất đa thức Chebyshev Sau xét tốn xấp xỉ Chebyshev số định lý liên quan Chương Một số dạng tốn liên quan Hệ thống hóa dạng toán ứng dụng đa thức Chebyshev toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức với nút nội suy Chebyshev, toán Định lý Bertein - Markov toán xác định đa thức Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót cách trình bày Rất vui lịng mong muốn góp ý xây dựng thầy bạn bè Thái Nguyên, tháng 05 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức đại số tính chất liên quan Định nghĩa 1.1 (xem [1]-[2]) Cho A vành giao hốn có đơn vị Ta nói đa thức bậc n biến x biểu thức có dạng P( x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , ∈ A gọi hệ số, an hệ số bậc cao a0 hệ số tự đa thức Nếu = 0, i = 0, 1, , n − a0 = ta có bậc đa thức Nếu = 0, i = 0, 1, , n ta coi bậc đa thức −∞ gọi đa thức Tập hợp tất đa thức lấy vành A kí hiệu A[x] Khi A = K trường K[x] vành giao hốn có đơn vị Ta thường xét A = Z A = Q A = R A = C Khi ta có vành đa thức tương ứng Z[x], Q[x], R[x], C[x] Tính chất 1.1 Cho hai đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 Ký hiệu k = max (m, n) Khi viết f (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bk xk + bk−1 xk−1 + · · · + b1 x + b0 , ak = 0, ứng với k > n bk = ứng với k > m Ta định nghĩa phép tính số học sau f (x) + g(x) := (ak + bk )xk + (ak−1 + bk−1 )xk + · · · + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ), f (x) − g(x) := (ak − bk )xk + (ak−1 − bk−1 )xk + · · · + (a1 − b1 )x + (a0 − b0 ), f (x).g(x) := cn+m xn+m + cn+m−1 xn+m−1 + · · · + c1 x + c0 , cj = a0 bj + a1 bj−1 + · · · + aj b0 , j = 0, 1, , n + m Định lý 1.1 (xem [1]-[2]) Giả sử A trường, f (x) g(x)(= 0) hai đa thức vành A[x], có hai đa thức q(x) r(x) ∈ A[x] cho f (x) = g(x).q(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x) Nếu r(x) = ta nói f (x) chia hết cho g(x) Định lý 1.2 (xem [1]-[2]) Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A[x] Dư số phép chia f (x) cho (x − a) f (a) Định lý 1.3 Số a ∈ A nghiệm f (x) f (x) chi hết cho (x − a) Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A[x] m số tự nhiên lớn Khi a nghiệm bội cấp m f (x) f (x) chia hết cho (x − a)m f (x) không chia hết cho (x − a)m+1 Trong trường hợp m = ta gọi a nghiệm đơn m = a gọi nghiệm kép Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức đó, kể bội nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng Định lý 1.4 (Định lý Vieete) a) Giả sử phương trình an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an = 0) có n nghiệm (thực phức) x1 , x2 , , xn  an−1   E1 (x) := x1 + x2 + · · · + xn = −   an   an−2  E2 (x) := x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn = an  ˙    a0   En (x) := x1 x2 xn = (−1)n  an (1.1) (1.2) b) Ngược lại, số x1 , x2 , , xn thỏa mãn hệ (1.2) chúng nghiệm phương trình (1.1) Hệ (1.2) có n thành phần vế trái thành phần thứ k có Cnk số hạng c) Các hàm E1 (x), E2 (x), , En (x) gọi hàm đa thức đối xứng sơ cấp Vieete bậc 1, 2, , n tương ứng Định lý 1.5 (xem [1]-[2]) Mỗi đa thức R[x] bậc n có khơng q n nghiệm thực Hệ 1.1 Đa thức có vơ số nghiệm đa thức không Hệ 1.2 Hai đa thức có bậc khơng vượt q n mà nhận (n + 1) giá trị (n + 1) giá trị khác đối số đồng Định lý 1.6 (Định lý đại số) Mọi đa thức f (x) ∈ C[x] bậc n có n nghiệm (tính bội nghiệm) Định lý 1.7 (xem [1]-[2]) Mọi đa thức f (x) ∈ R[x] bậc n có hệ số (hệ số bậc cao nhất), an = phân tích thành nhân tử dạng m s (x − di ) f (x) = an i=1 (x2 + bk x + ck ), k=1 với di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, m, n ∈ N∗ Định lý 1.8 (xem [1]-[2]) Điều kiện cần đủ để hai đa thức P (x) Q(x) nguyên tố tồn cặp đa thức u(x) v(x) cho P (x)u(x) + Q(x)v(x) ≡ Nếu hai đa thức P (x) Q(x) không đồng có ước chung d(x) đa thức chia hết cho tất ước chung khác d(x) gọi ước chung lớn P (x) Q(x) Cũng ta có ước chung lớn nhiều đa thức 1.2 Đa thức lượng giác tính chất liên quan Định nghĩa 1.2 Biểu thức: n An (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx) (1.3) k=1 a0 , ak , bk ∈ R (k ∈ {1, 2, , n}); |an | + |bn | = (n ∈ N∗ ) gọi đa thức lượng giác bậc n (cấp n) với hệ số a0 , ak , bk ∈ R (k ∈ {1, 2, , n}) Định nghĩa 1.3 Nếu đa thức (1.3) tất hệ số bk (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cos cấp n Bn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx (an = 0) (1.4) Định nghĩa 1.4 Nếu đa thức (1.4) tất hệ số ak (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác sin cấp n Bn (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx (bn = 0, b0 = a0 ) (1.5) Tính chất 1.2 Cho An (x), Bm (x) hai đa thức lượng giác có cấp theo thứ tự n, m Trong n, m số nguyên dương Khi đó: + Tổng An (x) + Bm (x) đa thức lượng giác có cấp nhỏ max{m, n} + Tích An (x) · Bm (x) đa thức lượng giác có cấp m + n + Khi a0 = 0, đa thức lượng giác An (x) có nghiệm + Mọi đa thức lượng giác An (x) tồn đa thức Pn (t) Qn−1 (t) để An (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x) + Mọi đa thức lượng giác Bn (x) dạng (1.4) tồn đa thức Pn (t) để Bn (x) = Pn (cos x) + Mọi đa thức lượng giác Cn (x) dạng (1.5) tồn đa thức Pn−1 (t) để Cn (x) = b0 + sin xPn−1 (cos x) 1.3 Xấp xỉ hàm số xấp xỉ đa thức Định lý 1.9 (xem [5]) Giả sử X khơng gian tuyến tính định chuẩn, X0 không gian hữu hạn chiều X x ∈ X phần tử cố định Khi đó, với phần tử x ∈ X tồn phần tử x0 ∈ X0 cho x − x0 ≤ x − y , ∀y ∈ X0 Bài tốn 1.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính định chuẩn, X0 không gian hữu hạn chiều X x ∈ X phần tử cố định Hãy xác định phần tử x0 ∈ X0 cho: x − x0 ≤ x − y với y ∈ X0 Trong toán đại lượng x − y gọi độ lệch x y, x − y gọi đại lượng xấp xỉ tốt x X0 y∈X0 Phần tử x0 ∈ X0 mà với độ lệch đạt cực tiểu, x − x0 = y∈X0 x−y gọi xấp xỉ tốt x X0 Định nghĩa 1.5 Giả sử hàm số f (x) xấp xỉ đa thức Pn (x) Gọi P [f, P, n] = |f (x) − P n (x)| độ lệch phép xấp xỉ Ta cần xác định P (x) n cho P [f, P, n] nhỏ đoạn [a, b] cho trước Khi Pn (x) gọi đa thức xấp xỉ tốt f (x) [a, b] kí hiệu là: f (x) ≈ Pn (x) Nếu f (x) khả vi (n + 1) lần sử dụng cơng thức khai triển Taylor x = ta có n f (x) = k=0 f k (0) k x + R(x, n), k! với phần dư R(x, n) = 0(xn ) Như n f k (0) k x + R(x, n) k! f (x) ≈ Pn (x) = k=0 Tuy nhiên lớp hàm khả vi (n + 1) lần dùng để xấp xỉ đa thức hẹp Song hàm số liên tục [a, b] có định lý tương tự xấp xỉ chúng đa thức Ta xây dựng đa thức xấp xỉ thông qua công thức nội suy hay cơng thức tính độ lệch sai số xấp xỉ Bài tốn 1.2 (Nội suy Lagrange) Cho hàm số f (x) cho tập X gồm (n + 1) điểm phân biệt xj , (x0 < x1 < · · · < xn ) tập xác định hàm số f (x) Chứng minh tồn đa thức Pn (x), bậc không n cho P (xj ) = f (xj ) (j = 0, 1, , n) Mặt khác, đa thức Pn (x) có dạng: n ak xk Pn (x) = k=0 hệ số ak xác định cách từ hệ phương trình n ak xkj = f (xj ) (j = 0, 1, , n) k=0 Lời giải Ta thấy Pn (x) xác định cơng thức nội suy Lagrange, đa thức bậc khơng vượt q n Ngồi |f (x) − Pn (x)| = 0, ∀x ∈ X nên Pn (x) gọi đa thức xấp xỉ tốt f (x) X Do: max |f (x) − Pn (x)| = x∈X nên tồn đa thức Qn (x) xấp xỉ tốt f (x) X phải có f (x) = Qn (x), ∀x ∈ X Hai đa thức Pn (x) Qn (x) có bậc khơng vượt q n nhận giá trị trùng (n + 1) điểm khác nên chúng đồng Do đó, đa thức Pn (x) số đa thức bậc không vượt n xác định công thức: g(x) = f (x) − an ξ= b−a n 2n−1 Tn (ξ) b+a x− , f (x) = x5 , [a, b] = [0, 3] b−a b−a suy an b−a n 3−0 =1 35 = ; ξ = x − Khi T5 (ξ) = 2ξT4 (ξ) − T3 (ξ) = 2ξ(8ξ − 8ξ + 1) − (4ξ − 3ξ) 5 = 16ξ − 20ξ + 5ξ = 16(ξ − ξ + ξ) 16 Thay ξ = x − Ta có 5 T (ξ) = ξ − ξ + ξ 24 16 5 = x−1 − x−1 + x−1 16 −25 25 24 23 35 22 25 = x5 − 5x5 + x3 + x2 + x − 3 4 6 Vậy 35 25 24 23 35 22 −25 25 g(x) = x − 5 x − 5x + x + x + x − 3 4 6 15 315 675 2025 + 243 = x4 − x + x − x 16 32 256 512 Độ lệch tính an b−a n 2n−1 3−0 = 234 = 24 512 Bài toán 3.14 (HOMC 2014, Junior) Xác định đa thức bậc hai dạng f (x) = ax2 + bx + c thỏa mãn đồng thời điều kiện |f (x)| ≤ for |x| ≤ f (x) ≥ for x ≥ Lời giải Xét g(x) = 2x2 − − f (x), deg g ≤ Nhận xét: g(−1) = − f (−1) ≥ 0, g(0) = −1 − f (0) ≤ 0, g(1) = − f (1) mặt khác: g(2) = − f (2) ≤ − = Vậy nên đa thức g(x) có ba nghiệm Điều chứng tỏ g(x) ≡ f (x) = 2x2 − 38 Bài toán 3.15 Xác định đa thức bậc ba dạng: P (x) = ax3 +bx2 +x (a = 0) đoạn [0, 1] cho max |ax3 + bx2 + x| x∈[0,1] đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải Giả sử đa thức Q(x) = cx3 + dx2 + x có tính chất max |Q(x)| = α; Q(x1 ) = α, Q(x2 ) = −α; Q(1) = α, (3.1) x∈[0,1] α số dương đó, < x1 < x2 < Xét đa thức P (x) = ax3 + bx2 + x mà max |P (x)| = β < α x∈[0,1] Kí hiệu R(x) = P (x) − Q(x), ta có R(x1 ) = P (x1 ) − Q(x1 ) < R(x2 ) = P (x2 ) − Q(x2 ), > R(1) = P (1) − Q(1) < Suy R(x) có hai nghiệm phân biệt khác (x1 , x2 ) (x2 , 1) Nhưng R(x) = [(a − c)x + (b − d)]x2 suy R(x) có khơng q nghiệm khác (mâu thuẫn) Vậy β ≥ α Điều có nghĩa α giá trị nhỏ số max |P (x)| x∈[0,1] Vậy α giá trị phải tìm tốn dẫn tìm đa thức P (x) = ax3 + bx2 + x có tính chất (3.1) Mặt khác ta lại biết đa thức Chebyshev T3 (ξ) có tính chất (3.1) đoạn [−1, 1], tức T3 (ξ) = 4ξ − 3ξ thỏa mãn 1 max |T3 (ξ)| = 1, T3 (− ) = 1, T3 = −1, T3 (1) = ξ∈[−1,1] 2 Vậy trước hết ta tìm đa thức T (x) có dạng ax3 + bx2 + x max |T (x)| = x∈[0,1] 39 luân phiên dãy điểm x1 < x2 < 1, x1 , x2 ∈ (0, 1) Muốn ta phải điều chỉnh đa thức T3 (ξ) cách biến đổi ξ = px + q, p > 0, q tùy ý Đặt T (x) = T3 (ξ = px + q) = 4(px + q)3 − 3(px + q) = 4p3 x3 + 12p2 qx2 + (12pq )x + (4q − 3q) Để xác định √ đa thức T (x) cần phải cho 4q − 3q = q = q = ± Để có cực trị x1 , x2 ∈ (0, 1), ta xét T (x) = tương đương với 12(px + q)2 p − 3p = (px + q)2 = (p > 0) T (x) có cực tiểu điểm x1,2 ± −q = q < − nên q = − 2 Ta tính √ − 3±1 x1,2 = 2p Khi T (x1,2 ) = T3 (ξ = px1,2 + q) = T3 (± ) Với T3 = 4x3 − 3x, |x| ≤ suy T (x) thỏa mãn tính chất (3.1) với giá trị α = Khi √ ta có T (1) = suy 4(p + q) − 3(p + q) = hay p + q = nên 2+ p= Do ta có √ √ √ 2+ + 3 T (x) = x3 + 12 − x 2 40 √ √ √ 2+ 2+ 3 + 12 − −3 x 2 √ √ √ √ (2 + 3)3 −3 3(2 + 3)2 x + x + 3(2 + 3)x = 2 Đa thức P (x) phải tìm √ √ √ T (x) (2 + 3)2 3(2 + 3) √ = P (x) = x − x + x 3(2 + 3) Rõ ràng ta có ... nghĩa đa thức Chebyshev tính chất đa thức Chebyshev Sau xét toán xấp xỉ Chebyshev số định lý liên quan Chương Một số dạng toán liên quan Hệ thống hóa dạng tốn ứng dụng đa thức Chebyshev toán chứng... luận văn ? ?Đa thức Chebyshev toán xấp xỉ đa thức liên quan? ?? chủ yếu dựa kiến thưc đa thức Chebyshev, kết hợp với sử dụng kiến thức tổng hợp để sáng tác, chọn lọc, phân loại toán đa thức Chebyshev. .. kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức đại số tính chất liên quan 1.2 Đa thức lượng giác tính chất liên quan 1.3 Xấp xỉ hàm số xấp xỉ đa thức 4 Đa 2.1 2.2 2.3 thức Chebyshev