Nghiên cứu một số bài toán xấp xỉ hàm số và quá trình ngẫu nhiên bằng hệ mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI −−−−−−−−− HOÀNG VIỆT LONG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM SỐ VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BẰNG HỆ MỜ Chuyên ngành: Đảm bảo tốn cho máy tính hệ thống tính tốn Mã số: 62.46.35.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH BÙI CÔNG CƯỜNG PGS TS NGUYỄN CẢNH LƯƠNG Hà Nội - 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn khoa học PGS TSKH Bùi Công Cường PGS TS Nguyễn Cảnh Lương Các kết phát biểu luận án mới, trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Tác giả Hoàng Việt Long LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tâm quý báu PGS TSKH Bùi Công Cường PGS TS Nguyễn Cảnh Lương Các thầy dành nhiều công sức, dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học, động viên khích lệ tác giả vượt lên khó khăn học tập sống Tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc thầy Trong trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả ln nhận quan tâm, động viên, giúp đỡ thầy cô mơn Tốn ứng dụng, Khoa Tốn - Tin Ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Viện Đào tạo sau đại học trường tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập hồn thành luận án Tác giả xin cảm ơn đồng nghiệp Bộ môn Đại số - Xác suất thống kê, Trường Đại học Giao thông Vận tải quan tâm, động viên giúp đỡ, giúp cho tác giả có thời gian điều kiện để chuyên tâm nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Cơ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình hồn thành luận án Luận án khơng thể hồn thành thiếu cảm thông, giúp đỡ người thân gia đình Tác giả xin trân trọng kính tặng Gia đình thân u q tinh thần với lòng biết ơn chân thành sâu sắc MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU CÁC HÌNH VẼ VÀ BẢNG BIỂU MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 15 1.1 Một số kiến thức lý thuyết tập mờ 15 1.1.1 Tập mờ phép toán 15 1.1.2 Quan hệ mờ biến ngôn ngữ 17 1.2 Hệ mờ 18 1.2.1 Cấu trúc hệ mờ 19 1.2.2 Một số hệ mờ thường gặp 21 1.3 Sơ lược biến ngẫu nhiên không gian xác suất Chương XẤP XỈ HÀM SỐ BỞI HỆ MỜ 2.1 Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ 25 28 29 2.1.1 Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ đa tuyến tính mảnh 29 2.1.2 Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ phân tầng 37 2.1.3 Thuật toán xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ phân tầng 41 2.2 Xấp xỉ hàm khả tích bậc hai hệ mờ 43 2.2.1 Hệ mờ hàm Spline 43 2.2.2 Xấp xỉ hàm khả tích bậc hai hệ mờ hàm Spline 44 2.2.3 Ví dụ minh hoạ 48 2.3 Kết luận chương 51 Chương ĐÁNH GIÁ TỐC ĐỘ XẤP XỈ ĐỀU CỦA HỆ MỜ TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM SỐ 52 3.1 Hệ mờ hàm hạch 52 3.1.1 Hàm hạch 53 3.1.2 Hệ mờ hàm hạch 55 3.2 Tính chất xấp xỉ hệ mờ hàm hạch 56 3.2.1 Tính chất xấp xỉ hàm số liên tục 3.2.2 Tính chất xấp xỉ đồng thời hàm số khả vi liên tục 61 3.3 Tốc độ xấp xỉ 56 65 3.3.1 Đánh giá tốc độ xấp xỉ cho hàm nhiều biến 65 3.3.2 Đánh giá tốc độ xấp xỉ cho hàm biến 67 3.4 Kết luận chương 84 Chương XẤP XỈ LỚP CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BỞI HỆ MỜ 86 4.1 Xấp xỉ lớp trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục hầu khắp nơi 87 4.1.1 Hệ mờ ngẫu nhiên 87 4.1.2 Định lý xấp xỉ 87 4.2 Xấp xỉ trình ngẫu nhiên thuộc lớp H(ϕ) 89 4.2.1 Biểu diễn phổ lớp trình ngẫu nhiên H(ϕ) 90 4.2.2 Định lý xấp xỉ 94 4.3 Ví dụ áp dụng 99 4.4 Kết luận chương 101 KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 102 104 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 CHỈ MỤC 112 MỘT SỐ KÍ HIỆU N, R, R+ tập số tự nhiên, số thực, số thực không âm Rn không gian Euclide n chiều C(X) không gian hàm liên tục tập X C 1(X) không gian hàm khả vi liên tục tập X B σ−đại số sinh nửa đoạn [a, b) ⊂ R+ σ−đại số tích Bn (Ω, A, P ) khơng gian xác suất (R+ , B, F ) không gian đo hu hn trờn R+ (R2+ , B ì B, à) không gian đo hữu hạn R2+ L2(Ω) không gian biến ngẫu nhiên khả tích bậc hai L2(R+ ) = {f : R+ → R| L2(R2+ ) LB (Rn ) = {f : R2+ → R| R+ R2+ |f (t)|2dF < +∞} |f (t, s)|2dµ < +∞} khơng gian hàm Lipschitz bị chặn C(X) = sup|f (x)| với X ⊂ Rn ∞ = sup|f (x)| LB (Rn ) = sup |f (x)| + f L2 (R+ ) g ={ L2 (R2+ ) f f f x∈X x∈R x∈Rn ={ R+ R2+ sup x,y∈Rn ;x=y 1/2 |f (x)−f (y)| x−y |f (t)| dF } |f (t, s)|2dµ}1/2 E(◦) toán tử kỳ vọng Bϕ (◦, ◦) hàm tự tương quan trình ngẫu nhiên ϕ ω(C(U ), f, δ) ∗ ω (C(U ), f, δ) m(χ, α) = sup|h|0.5} 1620000 = π {t>0.5,θ>0.5} t4 4−θ M(dθ)G(dt) (4 + θ2)2 (1 + 900t2)2 {t>0.5,θ>0.5} = Ψ 2M(dθ)G(dt) 1620000 π − θ2 t4 exp(−10t) dθdt (4 + θ2)2 (1 + 900t2)2 {t>0.5,θ>0.5} = 0.0001629379085 ≤ ε2 = 0.00125 Sử dụng hàm tìm giá trị lớn hàm số Matlab ta tính D(Ψ) = max{D(ψ1 ), D(ψ2)} ≤ Áp dụng định lý độ đo tích (Định lý 7.6 [27]) ta có µ([0, 0.5]2) = M([0, 0.5]) exp(−10t)dt = R+ 0.5 = 10 20 Do áp dụng Bổ đề 4.2.4, ta tính ước lượng N từ bất đẳng thức N> 4mD() à(D) ì 0.5 ì = 35.7771 = ε 0.1 × 20 101 Do ta chọn N = 36 Trong Định lý 4.2.5 đặt q = 20 Từ (4.35) ta có thuật tốn xây dựng hệ mờ ngẫu nhiên FN (t) :  20 36  ap = µA2 (θj ) a1pj2 (w1(θj ) − w1(θj−1)) + a2pj2 (w2(θj ) − w2(θj−1)) j=1 j2 =0 j2  a1 = ψ ( p , j2 ), a2 = ψ ( p , j2 ) 36 36 36 36 pj2 pj2 (4.39) Từ định nghĩa vể chuyển động Brownian, ta chọn θj = j 40 (i = 1, 2) ta có E{|wi(θj ) − wi(θj−1)|} = |θj − θj−1| = 40 (4.40) Do từ (4.39) (4.40) ta tìm hàm tự tương quan hệ mờ ngẫu nhiên FN (t) sau 36 BFN (t, s) = p1 ,p2 =0 = 20 p p1 36 p2 20 µA1 (t).µA1 (s).µA2 ( ,p2 ,p3 ,p4 =0 ψ1 ( 4.4 µA1 (t)µA2 (s)E{ap1 ap2 } j=1 p1 p2 p3 j j ).µA2 ( ) p4 40 40 p1 p3 p2 p4 p1 p3 p2 p4 , ).ψ1( , ) + ψ1 ( , ).ψ2( , ) 36 36 36 36 36 36 36 36 Kết luận chương Trong chương này, nghiên cứu khả xấp xỉ hệ mờ cho lớp trình ngẫu nhiên Các kết đạt • Xấp xỉ q trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục hầu khắp nơi hệ mờ ngẫu nhiên • Xấp xỉ trình ngẫu nhiên lớp H(ϕ) hệ mờ ngẫu nhiên hàm Spline Quá trình chứng minh kết mang tính kiến thiết, khả ứng dụng cao Đồng thời chúng tơi đưa số ví dụ để minh họa cho kết 102 KẾT LUẬN Trong luận án nghiên cứu khả xấp xỉ hàm số xấp xỉ trình ngẫu nhiên hệ mờ Các kết luận án là: Chứng minh tính chất xấp xỉ hệ mờ Mamdani với hàm thuộc hàm Spline cho hàm số khả tích bậc hai Rn Sử dụng phương pháp chứng minh có tính kiến thiết, chúng tơi chứng tỏ hệ mờ phân bậc với hàm thuộc hàm Spline hệ mờ Mamdani với hàm thuộc dạng tam giác xấp xỉ hàm số liên tục với độ xác tuỳ ý Xây dựng hệ mờ Mamdani với hàm thuộc có dạng hàm hạch khơng gian nhiều chiều (gọi tắt hệ mờ hàm hạch) Sử dụng kỹ thuật giải tích Fourier nhiều chiều, chúng tơi chứng minh tính chất xấp xỉ hệ mờ hàm hạch cho lớp hàm số liên tục Rn Bên cạnh đó, khả xấp xỉ đồng thời hệ mờ hàm hạch cho hàm số đạo hàm cấp hàm số khả vi liên tục đưa chứng minh cách chi tiết Đánh giá tốc độ xấp xỉ hệ mờ hàm hạch cho lớp hàm nhiều biến bị chặn Lipschitz Đặc biệt không gian thực chiều, nhận kết đánh giá tốt cho lớp hàm số liên tục Chứng minh tính chất xấp xỉ hệ mờ (ngẫu nhiên) cho lớp q trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục hầu chắn Chứng minh kết tổng quát việc xấp xỉ lớp trình ngẫu nhiên thuộc lớp H(ϕ) (bao gồm tất trình ngẫu nhiên dừng số trình ngẫu nhiên không dừng) hệ mờ ngẫu nhiên theo nghĩa bình phương trung bình Đề thuật tốn để xây dựng lớp hệ mờ cụ thể 103 tốn xấp xỉ Đưa ví dụ hình vẽ bảng biểu so sánh nhằm minh hoạ kết đạt Phương pháp nghiên cứu luận án có tính kiến thiết, nhờ chúng tơi đưa thuật tốn để xây dựng hệ mờ cách cụ thể Các chương trình chạy phần mềm hỗ trợ thông dụng Matlab 6.5 Maple 10 104 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Tiếp theo kết luận án tác giả thấy có số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu • Nghiên cứu tốn tương tự cho loại hệ mờ sử dụng phương pháp suy diễn khác • Tiếp tục nghiên cứu "tốc độ xấp xỉ đều" cho hệ mờ Takagi-Sugeno tổng qt • Nghiên cứu tốn xấp xỉ q trình ngẫu nhiên hệ mờ hàm hạch • Nghiên cứu ứng dụng tính chất xấp xỉ hàm hệ mờ cho toán cụ thể 105 DANH MỤC CƠNG TRÌNH Bui Cong Cuong and Hoang Viet Long (2008), An approach to the functions approximation problems by Mamdani fuzzy system, Proc of IEEE, 10th Intl Conf on Control, Automation, Robotics and Vision, pp 850-855 Bui Cong Cuong, Hoang Viet Long, Pham Hong Phong (2009), On the approximation of continuous function by Spline function Hierarchical fuzzy systems, Tạp chí Tin học Điều khiển học, 25(2), pp 99-108 Bui Cong Cuong and Hoang Viet Long (2010), On the approximate realization of a class of stochastic processes by Spline functions fuzzy systems, Advances in Fuzzy Mathematics, 5(1), pp 47-64 Bui Cong Cuong, Nguyen Canh Luong and Hoang Viet Long (2010), Approximation properties of fuzzy systems for multi-variables functions, PanAmerican Mathematical Journal, 20(3), pp 97-113 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Công Cường (Chủ biên), Nguyễn Doãn Phước (2006), Hệ mờ mạng nơ ron ứng dụng, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Phan Xuân Minh, Nguyễn Doãn Phước (2004), Lý thuyết điều khiển mờ, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh M R Belli, M Conti, P Crippa and C Turchetti (1999), Artificial neural network as approximators of stochastic processes, Neural Networks, 12(4), pp 647-658 J C Bezdek, J Keller, R Krisnapuram and N R Pal (2005), Fuzzy models and algorithms for pattern recognition and image processing, Springer Verlag P L Butzer, R J Nessel (1971), Fourier analysis and approximation, Vol 1, Birkhăauser Press, West Germany C L Chang (1968), Fuzzy topological spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 24, pp 182-190 B C Cuong (1999), On group decision making under linguistic assessments, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and KnowledgeBased Systems 7(4), pp 301-308 10 B C Cuong, N H Phuong, P H Anh, K Yamada (2002), Fuzzy Relation with Thresholds and Applications, Journal of Advanced Comp 107 Intel and Intel Inf., 6(1), pp 2-6 11 B C Cuong, N H Phuong, H K Le, B T Son, and K Yamada (2003), Fuzzy inference methods employing T-norm with threshold and their implementation, Journal of Advanced Comp Intel and Intel Inf., 7(3), pp 362-369 12 Y Ding, H Ying (2000), Necessary conditions on minimal system configuration for general MISO mamdani fuzzy systems as universal approximators, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 30(6), pp 857-863 13 J L Doob (1962), Stochastic processes, Wiley, New York 14 D Dubois and H Prade (1980), Fuzzy sets and systems: Theory and Applications, Academic Press, Inc 15 A Dvoretzky, J Kiefer, J Wolfowitz (1956), Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of the classical multinomial estimator, Annals of Mathematical Statistics, 27, pp 642–669 16 J A Goguen (1967), L-Fuzzy sets, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 18, pp 145-174 17 R Hassine, F Karray, A M Alimi and M Selmi (2003), Approximation properties of fuzzy systems for smooth functions and their first-order derivative, IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics - Part A, 33(2), pp 160-168 18 N C Ho and W Whechler (1992), Extended hedge algebras and their application to fuzzy logic, Fuzzy Sets and Systems, 52(3), pp 259-281 19 M Jordan (1989), Generic constraints on under specified target trajectories, in Proc Int Joint Conf Neural Networks, Vol I Piscataway, NJ, pp 217-225 20 C C Lee (1990), Fuzzy logic in control systems – Fuzzy Logic Controller, IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics, 20, pp 419-435 108 21 M Lefebvre (2005), Applied stochastic processes, Springer Science 22 D Li, Z Shi, Y Li (2008), Sufficient and necessary conditions for Boolean fuzzy systems as universal approximators, Information Sciences, 178, pp 414-424 23 E H Mamdani (1974), Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic farm, Proceedings of the Institution of Electrical Engineers – London, 121, pp 1585-1588 24 E H Mamdani and S Assilian (1975), An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller, International Journal of Man-Machine Studies, 7, pp 1-13 25 S Mitaim, B Kosko (2001), The shape of fuzzy sets in adaptive function approximation, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 9(4), pp 637-656 26 H T Nguyen and M Sugeno (1998), Fuzzy systems: Modeling and control, Kluwer, Boston, MA 27 G V S Raju, J Zhou and R A Kisner (1991), Hierarchical fuzzy control, International Journal of Control, 54, pp 1201-1216 28 W Rudin (1987), Real and complex analysis, 3rd ed New York: McGraw Hill 29 A N Shiryaev (1996), Probability, Second Edition, Springer-Verlag 30 M Sugeno (1985), Industrial applications of fuzzy control, Elsevier Science Pub Co 31 M Sugeno and G.T Kang (1998), Structure identification of fuzzy model, Fuzzy Sets and Systems, 28, pp 15-33 32 A I Stepanets (2005), Methods of approximation theory, Brill Academic Pub., Published in September 33 G Strang, G J Fix (1973), An analysis of the finite element method, Englewood Cliffs, Prentice-Hall 109 34 T Takagi and M Sugeno (1985), Fuzzy identification of systems and it application to modeling and control, IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics, 15, p.p.116-132 35 J R Thompson and R A Tapia (1990), Nonparametric function, Modeling and Simulation, Society for industrial and Applied Mathematics Philadelphia, USA 36 D Tikk (2002), Notes on the approximation rate of fuzzy KH interpolators, Fuzzy Sets and Systems, 138, pp 441-453 37 D Tikk, L T Kóczy, T D Gedeon (2003), A survey on universal approximation and its limits in soft computing techniques, International Journal of Approximate Reasoning, 33, pp 185-202 38 C Turchetti, M Conti, P Crippa and S Orcioni (1998), On the approximation of stochastic processes by approximate identity neural networks, IEEE Trans on Neural Networks, 9, pp 1069-1084 39 A Ullah (1998), Non parametric estimation of econometric functionals, Can J Econ., 21, pp 625-658 40 L X Wang, J M Mendel (1992), Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal least-squares learning, IEEE Trans on Neural Networks, 3(5), pp 807-814 41 L X Wang (1994), Adaptive fuzzy systems and control: Design stability analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 42 L X Wang (1997), A Course in fuzzy systems and control, Prentice-Hall 43 L X Wang (1998), Universal approximation by hierarchical fuzzy systems, Fuzzy Sets and Systems 93, pp 223 - 230 44 L X Wang (1999), Analysis and design of hierarchical fuzzy systems, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 7(5), pp 617-624 110 45 L X Wang, J M Mendel (1992), Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal least-squares learning, IEEE Trans on Neural Networks, 3(5), pp 807-814 46 D Wang, X J Zeng and John A Keane (2007), Hierarchical hybrid fuzzy-neural networks for approximation with mixed input variables, Neurocomputing, 70, pp 3019 - 3033 47 R R Yager, V Kreinovich (2003), Universal approximation theorem for uninorm-based fuzzy systems modeling, Fuzzy Sets and Systems, 140, pp 331–339 48 H Ying (1998), General SISO Takagi-Sugeno fuzzy systems with linear rule consequent are universal approximators, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 6(4), pp 582-587 49 H Ying (1998), General Takagi–Sugeno fuzzy systems with simplified linear rule consequents are universal controllers, models and filters, J Inform Sci 108, pp 91–107 50 H Ying (1998), Sufficient conditions on uniform approximation of multivariate functions by general Takagi–Sugeno fuzzy systems with linear rule consequents, IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics, Part A, 28(4), pp 515–520 51 L A Zadeh (1965), Fuzzy sets, Information and Control, 8, pp 338-353 52 L A Zadeh (1968), Fuzzy algorithms, Information and Control, 12(2), pp 94-102 53 L A Zadeh (1971), Similarity relations and fuzzy ordering, Information Sciences, 3(2), pp 177-200 54 L A Zadeh (1973), Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes, IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics, 3(1), pp 28-44 111 55 L A Zadeh (1975), The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Information Sciences, 8, pp 199-251, pp 301-357; 9, pp 43-80 56 K Zeng, N Y Zhang, W L Xu (2000), A comparative study on sufficient conditions for Takagi–Sugeno fuzzy systems as universal approximators, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 8(6), pp 773–780 57 X J Zeng, M G Sing (1995), Approximation theory of fuzzy systems MIMO case, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 3(2), pp 219-235 58 X J Zeng, M G Sing (1996), Approximation accuracy analysis of fuzzy systems as function approximators, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 4, pp 44-63 59 X J Zeng, J Y Goulermas, P Liatsis, D Wang and John A Keane (2008), Hierarchical fuzzy systems for function approximation on discrete input spaces with application, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 16(5), pp 1197-1215 60 H J Zimmermann (1978), Fuzzy programming and linear programming with several objective functions, Fuzzy Sets and Systems, 1, pp 45-55 61 H J Zimmermann (1991), Fuzzy set theory and its applications, 2nd ed., Boston, MA: Kluwer Academic Publishers 62 H Zhang and D Liu (2006), Fuzzy modeling and fuzzy control, Birkhăauser: Boston - Basel - Berlin 112 CHỈ MỤC Độ đo ngẫu nhiên trực giao, 90 Hệ mờ phân tầng, 38 Động suy diễn mờ, 19 Hệ mờ Takagi-Sugeno, 22 Điều kiện Lipschitz, 68 Hệ mờ Takagi-Sugeno phân tầng, 24 Điều kiện Lipschitz tổng quát, 68 Hạch, 53 Biến ngôn ngữ, 18 Biểu diễn phổ, 90 Cơ sở luật mờ, 19 Chuyển động Brownian, 93 Dãy hệ số vị tự quy, 55 Hạch đồng xấp xỉ, 53 Mô men tuyệt đối bậc α, 71 Mờ hóa, 20 Mờ hố đơn tử, 20 Phép bù mờ, 17 Phép giao theo luật min, 17 Giải mờ, 20 Phép giao theo luật tích đại số, 17 Giao hai tập mờ, 16 Phép hợp tập mờ, 16 Hàm đa tuyến tính mảnh, 30 Hàm Gauss, 74 Hàm Laplace, 76 Hàm mật độ xác suất, 27 Hàm Parabol, 75 Phép phân hoạch mờ, 37 Phép tích hợp quan hệ mờ, 17 Phương pháp trung bình điểm trọng tâm, 20 Hàm phân phối xác suất, 26 Quá trình ngẫu nhiên, 26 Hàm Spline, 37, 76 Q trình ngẫu nhiên có số gia trực Hàm tự tương quan, 26 giao , 90 Hàm tam giác, 74 Quá trình ngẫu nhiên dừng, 26 Hàm thuộc, 15 Q trình Wiener , 93 Hàm tuyến tính mảnh, 29 Quan hệ mờ, 17 Hệ mờ, 19 Số mờ, 15 Hệ mờ hàm hạch, 56 Hệ mờ đa tuyến tính mảnh, 29, 30, 32 Hệ mờ Mamdani, 21 Hệ mờ ngẫu nhiên, 87 Tích Đề tập mờ, 17 Tập mờ, 15 Xấp xỉ theo nghĩa bình phương trunh bình, 94 ... phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu ứng dụng hệ mờ vào việc xấp xỉ hàm số xấp xỉ trình ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu bao gồm loại hệ mờ: hệ mờ Mamdani, hệ mờ Takagi-Sugeno, hệ mờ phân... Chương XẤP XỈ HÀM SỐ BỞI HỆ MỜ 2.1 Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ 25 28 29 2.1.1 Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ đa tuyến tính mảnh 29 2.1.2 Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ phân tầng ... Thuật toán xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ phân tầng 41 2.2 Xấp xỉ hàm khả tích bậc hai hệ mờ 43 2.2.1 Hệ mờ hàm Spline 43 2.2.2 Xấp xỉ hàm khả tích bậc hai hệ mờ hàm