Mục lục Chương 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 1 1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng và dạng bậc thang của ma trận 1 1 2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 2 Chương 2 MA TRẬN 7 2 1 Các phép tính.
Mục lục Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng dạng bậc thang ma trận 1.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 1 Chương MA TRẬN 2.1 Các phép toán ma trận 2.2 Ma trận khả nghịch 10 Chương ĐỊNH THỨC 13 3.1 Khái niệm định thức 13 3.2 Các phép toán sơ cấp hàng định thức 14 3.3 Ứng dụng định thức 16 Chương KHÔNG GIAN VECTƠ 4.1 Không gian vectơ không gian 4.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở không gian vectơ 4.3 Tọa độ sở 4.4 Số chiều không gian vectơ 4.5 Không gian hàng hạng ma trận 4.6 Chuyển sở 21 21 28 33 35 37 38 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính, nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 5.2 Sự đẳng cấu không gian véctơ hạng ánh xạ tuyến tính 5.3 Biểu diễn ma trận ánh xạ tuyến tính 39 39 43 45 Chương VECTER RIÊNG, CHÉO HĨA VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG 49 6.1 Giá trị riêng vectơ riêng 49 6.2 Chéo hóa ma trận 52 Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 55 Chương MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO 57 Tài liệu tham khảo 61 Mục lục Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng dạng bậc thang ma trận Tóm tắt lí thuyết: Để có dạng bậc thang ma trận A, ta sử dụng thuật toán rút gọn hàng theo lược đồ sau: Bước 1: Dùng phép đổi hàng ( cần) để có phần tử cột khác (tính từ trái sang phải ) phần tử đỉnh cột Đây phần tử chốt thứ Bước 2: Dùng phép thay hàng để biến tất phần tử đứng phía phần tử chốt thứ (trong cột) thành phần tử Bước 3: Lặp lại hai bước ma trận thu từ ma trận ban đầu cách bỏ hàng cột chứa phần tử chốt thứ nhất, tiếp tục phần tử chốt cuối Bài tập 1.1 Đưa ma trận sau dang bậc thang: −3 A = −4 −5 −3 D = −2 −4 −4 −6 B= C = −5 −4 −2 2 E = −3 −1 −7 10 Bài tập 1.2 Đưa ma trận sau dang bậc thang rút gọn: 2 −1 10 A= 4 6 20 −1 11 −5 D= −5 1 13 19 −2 C= B = −1 −5 −5 −1 −2 E= F = −6 −2 1 −1 −2 −2 −1 0 1 −3 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Tóm tắt lí thuyết: Để tìm hạng ma trận A khác khơng, ta dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa A dạng bậc thang Lúc hạng ma trận A số hàng khác không ma trận bậc thang Bài tập 1.3 Xác định hạng A= D= 12 −1 −1 1 −2 G= −1 −9 Bài tập 1.4 Tìm 1 −3 A= m m 1 m 10 C= 17 2 1.2 ma trận sau: 1 B= C= 2 E= 1 F = 0 3 −2 −1 −2 H= 1 13 −2 −6 10 1 −3 −1 −3 6 biện luận hạng ma trận theo tham số m, n: m 5m −m m 10m B = 2m −m −2m −3m m 0 n D= n m 0 n m 0 n m Giải hệ tuyến tính tổng qt Phương pháp Gauss Tóm tắt lí thuyết: Để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b phương pháp Gauss ta thực bước sau: - Bước 1: Lập ma trận đầy đủ A∗ hệ: A∗ = [A|b] -Bước 2: Đưa A∗ dạng bậc thang Giả sử A∗ ∼ B -Bước 3: Kết luận + Nếu r(A∗ ) > r(A), tức ma trận B có hàng có dạng (0 α), α = hệ vô nghiệm + Nếu r(A∗ ) = r(A) = n (số ẩn) hệ có nghiệm + Nếu r(A∗ ) = r(A) = r < n hệ vô số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số +x2 +x3 = 3x1 +5x2 +9x3 = −2 Ví dụ: x1 +2x2 +3x3 = Giải 1.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ma trận đầy đủ hệ là: 1 3 h ↔h3 −2 A∗ = −2 −−1−−→ 3 1 1 1 −3 h2 ↔h3 h2 →h2 +h3 −−−−−−−→ 0 −8 −−−−→ 1 h1 →h1 −2h3 1 0 h2 →h2 −3h1 − −−−−−−→ −1 0 1 −3 h2 →h2 −h3 −−−−−−→ h1 →h1 −h3 −8 0 −11 11 −8 Vậy nghiệm hệ là: (5, 11, −8) Bài tập 1.5 Mỗi ma trận cho sau ma trận đầy đủ hệ phương trình tuyến tính, xác định hệ có nghiệm khơng, có viết nghiệm 1 1 −1 b A∗ = 1 a A∗ = 0 −5 0 3 1 −1 0 d A∗ = c A∗ = 0 0 0 0 −2 0 Bài tập 1.6 Xác x1 +2x2 x1 +3x2 a 2x1 +5x2 x1 +2x2 2x1 +5x2 c 4x1 +9x2 x1 −6x2 x2 e −x1 +6x2 −x2 định tồn tính nghiệm hệ sau: −3x3 = −3x1 +6x2 +16x3 = 36 −5x3 = 11 x1 −2x2 −5x3 = −11 b −8x3 = 19 2x1 −3x2 −8x3 = −77 −x3 = = −5 x1 +2x2 −3x3 +x3 = 10 2x1 +4x2 −6x3 +x4 = −8 d −x3 = 19 6x1 +13x2 −17x3 +4x4 = −21 =5 2x2 −2x3 +2x5 = −4x3 +x4 = x1 +2x2 −3x3 +x4 +4x5 = f +x3 +5x4 = 2x1 +5x2 −7x3 +3x4 +10x5 = +5x3 +4x4 = 2x1 +4x2 −5x3 +3x4 +8x5 = Bài tập 1.7 Hãy xác định a, b, c, d để hệ cho ma trận đầy đủ sau có nghiệm, trường hợp hệ có nghiệm nghiệm −3 a b 0 a a −1 −2 b 0 d 0 cd c Bài tập 1.8 Viết nghiệm hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với ma trận sau: Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH −2 0 −3 0 −3 a A = 0 −4 0 0 0 −2 0 −3 −2 c C = 0 −5 0 0 b B = 0 d D = 0 −5 −8 −1 0 0 0 0 −3 −6 −7 0 0 Bài tập 1.9 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = a 3x + 2x + x + 2x = 4x ‘ + 3x + 2x + x = −5 x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2x1 + 5x2 − 2x3 + x4 = b 5x + 12x2 − 7x3 + 6x4 = 2x1 + x2 + x3 = x1 + 3x2 + x3 = c x + x + 5x = −7 2x + 3x − 3x = 14 −x1 + x2 + x3 + x4 = 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = d 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5 3x1 + x2 − x3 − 3x4 = −10 2x1 − 2x3 − 2x4 = −4 e 3x1 + 4x2 + 4x3 + 6x4 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = x1 + x2 + x3 − x4 = −6 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = f 2x x3 + 2x4 = + 2x2 + 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = Bài tập 1.10 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm hệ phương trình ax1 +x2 +x3 +x4 = x1 +ax2 +x3 +x4 = a a x1 +x2 +ax3 +x4 = b x 2x b 3x x +2y −y +y −3y +2z +z −z +5z =a =b =c =d 1.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Tóm tắt lí thuyết: Để giải hệ Ax = phương pháp Gauss ta giải sau: -Bước 1: Lập ma trận hệ số A -Bước 2: Đưa ma trận A dạng bậc thang -Bước 3: Kết luận + Nếu r(A) = n (số ẩn) hệ có nghiệm tầm thường (0, 0, , 0) + Nếu r(A) < n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n − r(A) tham số Chú ý : Hệ khơng vơ nghiệm ln có nghiệm (0, 0, , 0) Ví dụ: Giải hệ phương trình sau x1 + 5x2 − 3x3 = 3x1 + 5x2 − 9x3 = x1 + x2 − 3x3 = Giải Ma trận hệ số hệ phương A= 1 −1 h2 → 10 h2 −−−− −→ 0 trình: −3 −3 h →h2 −3h1 −9 −−2−−− −−→ −10 h3 →h3 −h1 −3 −4 −3 −3 h →h1 −5h2 −−1−−− −−→ h3 →h3 +4h2 −4 0 0 Vậy nghiệm hệ là: (3t, 0, t) với t ∈ R Bài tập 1.11 Giải hệ x1 + 2x2 − 3x3 = 2x1 + 5x2 − 2x3 = a 3x1 − x2 − 4x3 = sau: 0 x1 + 3x2 − 2x3 = 2x1 − 3x2 + x3 = c 3x1 − 2x2 + 2x3 = x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 3x1 − 7x2 − 2x3 + 4x4 = e 4x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = Bài tập 1.12 Cho hệ phương trình: 2x1 x1 x1 4x1 +3x2 −x2 +2x2 +x2 x1 x1 b 3x1 x1 2x1 d x1 x1 x1 2x1 f 4x1 −x3 +x3 +λx3 +x3 =5 =2 =8 =9 + 3x2 − 2x3 = − 8x2 + 8x3 = − 2x2 + 4x3 = + + + + 2x2 5x2 4x2 3x2 − x3 + 2x3 + 7x3 + 3x3 = = = = 0 0 + 2x2 − 5x3 + 4x4 = − 3x2 + 2x3 + 3x4 = − 7x2 + x3 − 6x4 = Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH a Giải hệ phương trình λ = b Tìm λ để hệ có nghiệm Bài tập 1.13 Xác định m để hệ x1 2x1 x1 4x1 Bài tập 1.14 Giải x1 + 2x2 + 2x1 + ax2 + a x1 + 2x2 − biện ax3 3x3 2x3 phương trình sau có nghiệm: −2x2 +x2 −x2 −2x2 +x3 +x4 −x3 +2x4 +2x3 −3x4 +2x3 luận theo a số nghiệm = 2ax1 = −1 x1 b = x1 =1 =0 = −2 =m hệ phương trinh + x2 + x3 + 2ax2 + x3 + x2 + 2ax3 sau = = 2a = 4a2 Chương MA TRẬN 2.1 Các phép toán ma trận Tóm tắt lí thuyết: Giả sử A = [aij ], B = [bij ] Khi đó, + Ma trận A cộng cho B A, B có cấp A + B = C = [cij ] với cij = aij + bij , tức ta cộng tương ứng phần tử ma trận A với B + Một số k nhân với ma trận A ta nhân k với phần tử A, tức kA = [kaij ] + Ma trân A nhân đuợc với ma trận B số cột A số dòng B, tức m A ∈ Mn×m (R), B ∈ Mm×p (R) tồn C = [cij ]n×p = AB, với cij = hi A.bj = aik bkj k=1 + Ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT ma trận thu cách đổi dòng ma trận A thành cột ma trận AT Bài tập 2.1 Thực phép tính: a A + B với A = −2 −6 b 3A −5A với A = c 2A − 3B với A = −1 −5 B = −2 −6 −7 B = d 5A − 2B; 2A + 3B; A(BC); (AB)C; AT ; B T ; AT B T ; A2 ; AC biết A= −4 e AAT AT A biết A = ; B= −6 ; C= −3 −5 −1 Bài tập 2.2 Tìm x, y, z, w biết: x y z w = x −1 2w + x+y z+w Chương MA TRẬN Bài tập 2.3 Cho A = tìm ma trận B ∈ M2×3 cho AB = Bài tập 2.4 Cho ma trận −3 1 −2 −2 ,B = , C = −5 A= −1 −1 Gọi D = [dij ] = 2AB +C khơng tính tồn ma trận D mà tính cụ thể phần tử: a d11 b d21 c d32 Bài tập 2.5 Cho A = −1 ;B = −1 4 3 ; D = −1 ;C = −3 a Hãy tính tích sau giải thích chúng khơng tồn tại: AB; BA; AC; DC; CD; C T D b Kiểm tra A(BC) = (AB)C (AB)T = B T AT c Khơng thực phép tính, tìm DT C Bài tập 2.6 3 −5 −6 15 Cho A = −1 −1 x = −1 , y = , z = −2 −4 −4 −4 a Tính tích Ax, By, Cz b Dùng kết câu a) để tính tích A x y z Tóm tắt lí thuyết: Cho đa thức f (x) = an xn + + a2 x2 + a1 x + a0 , A ∈ Mk (R) ln tồn biểu thức f (A) = an An + + a2 A2 + a1 A + a0 f (A) gọi đa thức ma trận A Nếu f (A) = A gọi nghiệm f (x) Bài tập 2.7 Cho A = −3 a Tính A2 ;A3 b Tìm f (A) với f (x) = 2x3 − 4x + 5.3 Biểu diễn ma trận ánh xạ tuyến tính 47 Bài tập 5.21 Cho ánh xạ T : P2 [x] → P2 [x], T (p(x)) = p (x) Tìm [T ]B , [T ]C , B = {1, x, x2 }, C = {1, + x, + x2 } Bài tập 5.22 Gọi E = {e1 , e2 , e3 } sở tắc R3 , B = {v1 , v2 , v3 } sở không gian vectơ V f : R3 → V ánh xạ tuyến tính xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x3 − x2 )v1 − (x1 + x3 )v2 + (x1 − x2 )v3 a Tìm ảnh f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) b Tìm ma trận f theo sở E B p(−1) Bài tập 5.23 Cho ánh xạ f : P2 [x] → R3 , f (p) = p(0) (f (p) ∈ R3 , viết dạng p(1) vectơ cột) a Tìm ảnh qua f p(x) = + 3x b Chúng tỏ f ánh xạ tuyến tính c Tìm ma trận f theo sở B = {1, x, x2 } ⊆ P2 [x] sở tắc E R3 Bài tập 5.24 Tìm ma trận biểu diễn [T ]B [T ]C phép biến đổi tuyến tính sau sau tìm ma trận khả nghịch P khả nghịch cho [T ]C = P −1 [T ]B P a T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (x+y; x+z; y−z) Các sở B = {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)} C = E (E sở tắc R3 ) b T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (z; 0; x) Các sở B = {(3; 1; 2), (1; 2; 1), (2; −1; 0)} C = {(1; 2; 1), (2; 1; −1), (5; 4; 1)} c T : P2 [x] → P2 [x], T (p(x)) = p(x + 1) + p(x) Các sở B = {x2 ; x; 1} C = {1; x; x2 } d T : P2 [x] → P2 [x], T (p(x)) = p(x + 1) + p(x) Các sở B = {x2 ; x; 1} C = {x2 + 1; x + 1; 2} e T : P3 [x] → P3 [x], T (p(x)) = p (x) đạo hàm p(x) Các sở B = {x3 ; x2 ; x; 1} C = {1; x + 1; x2 + 1; x3 + 1} Bài tập 5.25 Cho M(2; 2) không gian vectơ ma trận vuông cấp M = ma trận cho trước Hãy tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính T : M(2; 2) → M(2; 2) cho sau sở E = 0 , 0 , 0 , 0 1 48 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH a T (A) = M A, b T (A) = AM , c T (A) = M A − AM Bài tập 5.26 Cho ánh xạ f : P2 [x] → P2 [x] xác định qui tắc sau: f (ax2 + bx + c) = (a − b + 2c)x2 + (a − 2b + c)x + (2a + b + c) a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b Tìm sở Kerf c Chứng minh B = {x2 + x + 1, x2 + x, x2 } sở P2 [x] d Tìm [f ]B Chương VECTER RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG 6.1 Giá trị riêng vectơ riêng Tóm tắt lí thuyết: 1/ Tìm giá trị riêng, vectơ riêng ma trận A ta làm sau: + Bước 1: Lập đa thức đặc trưng p(λ) = det(A − λI) +Bước 2: Giải phương trình đặc trưng p(λ) = để tìm giá trị riêng A +Bước 3: Với giá trị riêng λ (nếu có) A, giải hệ phương trình (A − λI)x = 0, tập nghiệm khác không hệ tập vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ 2/ Tính giá trị đa thức ma trận tìm nghịch đảo ma trận: Cho ma trận A ∈ M(n, n) f đa thức Giả sử đa thức đặc trưng A p(λ) = (−1)n λn + an−1 λn−1 + + a1 λ + a0 (1) Thực phép chia f (λ) cho p(λ) ta f (λ) = q(λ)p(λ) + r(λ) với bậc r(λ) nhỏ n Và ta có f (A) = q(A)p(A) + r(A) = r(A) p(A) = (2) Ma trận A khả nghịch ⇔ a0 = Khi a0 = 0, ma trận nghịch đảo A A−1 = − (−1)n An−1 + an−1 An−2 + + a1 I a0 −3 Ví dụ: Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận sau: A = −7 −7 Giải Phương trình đặc trưng: det(A − λI) = 1−λ −3 4 −7 − λ −7 7−λ = ⇔ (1 + λ)2 (3 − λ) = ⇔ 49 λ1 = −1 λ2 = 50 Chương VECTER RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG + Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ1 = −1 −3 −3 −3 −1 2 A + I = −6 → 22 −4 → 21 −2 → −2 −7 0 0 0 0 x1 = x3 x2 = 2x3 Nghiệm tổng quát hệ là: x3 ∈ R Suy vectơ cột v = t, ∀t = tập hợp tất riêng λ1 = −1 + Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ2 = −2 −3 −2 1 → A − 3I = −10 → −16 16 −7 −16 16 vectơ riêng ứng với giá trị −1 −2 2 → 1 −1 0 0 x1 = x3 Nghiệm tổng quát hệ là: x = x3 x3 ∈ R Suy vectơ cột v = 21 t, ∀t = tập hợp tất vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ2 = Bài tập 6.1 Cho ma trận A, xác định xem vectơ cột sau đây, véc tơ vectơ riêng tìm giá trị riêng tương ứng −3 −1 1 1 −3 a A = , u1 = , u2 = , u3 = −1 , u4 = −1 −1 −1 −3 5 −1 1 b A = −3 −1 , u1 = , u2 = , u3 = , u4 = −1 −1 −1 Bài tập 6.2 Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận sau đây: 0 a A = −1 −2 , −1 −1 0 b A = −4 −1 , 0 1 c A = −2 −2 −1 6.1 Giá trị riêng vectơ riêng d A = −1 −3 , −1 −2 51 −1 −1 e A = −3 −1 , −3 f A = 0 0 0 0 0 Bài tập 6.3 Chứng minh rằng: a Nếu ma trận A ∈ M (2, 2) đa thức đặc trưng A p(λ) = λ2 − tr(A)λ + det(A) b Nếu ma trận A ∈ M (3, 3) đa thức đặc trưng A p(λ) = −λ3 + tr(A)λ2 − (A11 + A22 + A33 )λ + det(A) Bài tập 6.4 Giả sử A ma trận vuông cấp n, chứng minh rằng: a Tập giá trị riêng A tập giá trị riêng AT trùng Cho ví dụ chứng tỏ vectơ riêng A không thiết phải vectơ riêng AT b λ giá trị riêng A λk giá trị riêng Ak Tìm mối liên hệ vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ vectơ riêng Ak ứng với giá trị riêng λ k∈N c Các ma trận AAT AT A có tập giá trị riêng d A khả nghịch u vectơ riêng A u vectơ riêng A−1 Tìm quan hệ hai giá trị riêng tương ứng e Nếu C ma trận vuông cấp n khả nghịch tập giá trị riêng A C −1 AC trùng Bài tập 6.5 Định lí Cayley-Hamilton phát biểu:“ Mỗi ma trân vng A thỏa mãn phương trình đặc trưng ” Nghĩa với phương trình : p(λ) = det(A − λI) = (−1)n λn + an−1 λn−1 + + a1 λ + a0 = ma trận A nghiệm : p(A) = (−1)n An + an−1 An−1 + + a1 A + a0 I = (0 vế phải ma trận không) Hãy ma trận A cho sau thỏa mãn phương trình đặc trưng a A = , −1 Bài tập 6.6 Tính A−1 với A = b A = −1 −8 −6 52 Chương VECTER RIÊNG, CHÉO HĨA VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG 6.2 Chéo hóa ma trận Tóm tắt lí thuyết: Cho A ∈ M(n, n) Để chéo hóa A (nếu ) ta làm sau: + Bước 1: Lập đa thức đặc trưng A giải phương trình đặc trưng tìm giá trị riêng A (a) Nếu A khơng có giá trị riêng A khơng chéo hóa Thuật tốn kết thúc (b) Giả sử A có k giá trị riêng khác đôi λ1 , λ2 , , λk với số bội tương ứng n1 , n2 , , nk (i) Nếu n1 + n2 + + nk < n A khơng chéo hóa Thuật tốn kết thúc (ii) Nếu n1 + n2 + + nk = n làm tiếp bước +Bước 2: Với giá trị λi , tính r(A − λi I) = ri , i = 1, , k (a) Nếu tồn λi mà n − ri < ni A khơng chéo hóa Thuật toán kết thúc (b) Nếu n − ri = ni , ∀i = 1, , k kết luận A chéo hóa Với λi tìm sở N ul(A − λi I) Sau sang bước +Bước 3: Lập ma trận P mà cột vectơ sở N ul(A − λi I), i = 1, , k Khi P ma trận làm chéo hóa A D = P −1 AP ma trận dạng chéo A với phần tử nằm đường chéo giá trị riêng λi (kể số bội nó) Chú ý: (1) Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm với số bội n ma trận A khơng chéo hóa (2) Nếu phương trình đặc trưng có n nghiệm đơn ma trận A chắn chéo hóa Ví dụ: Tìm ma trận P chéo hóa A A = −6 −6 cho biết dạng chéo tương ứng A −1 −4 −6 Giải Phương trình đặc trưng det(A − λI) = ⇔ 4−λ −1 −6 −4 − λ −6 −6 5−λ = ⇔ (1 − λ)(λ − 2)2 = ⇔ λ = 1, λ = • Xác định tính chéo hóa A −1 + Với λ = 1, A − I = −6 −5 → −6 −6 Suy dim N ul(A − I)= 2 −1 + Với λ = 2, A − 2I = −6 −6 → −6 −6 1 −1 0 −1 0 0 6.2 Chéo hóa ma trận 53 Suy dim N ul(A − 2I) = ⇒ dim N ul(A − I) + dim N ul(A − 2I) = Vậy A chéo hóa đựoc • Tìm vectơ riêng A + Vectơ riêng ứng với λ = p1 = −3 , −3 + Vectơ riêng ứng với trị riêng λ = p2 = , p3 = 2 1 Ma trận chéo hóa A, P = −3 −3 2 0 Dạng chéo ma trận A, D = 0 Bài tập 6.7 Xác định tính chéo hóa ma trận sau, cho biết β tập giá trị riêng: −1 −2 , β = {1, 2, 3} a A = ; b A = −3 0 −3 2 −1 −3 −1 −1 , β = {5, 1}; c A = d A = −7 −1 , β = {−2, 4} −1 −2 −6 −2 −3 −2 e A = 0 0 Bài tập 6.8 Tìm ma trận P chéo hóa A cho biết dạng chéo tương ứng A trường hợp sau đây: 2 −3 2 −1 , −1 a 2 , b −2 −1 c 2 16 −7 −1 −2 −3 −20 16 −4 −12 , , d e. f −1 −2 −5 −3 k Bài tập 6.9 Tính A , biết: 2 −1 −1 , a A = −1 −2 2 b A = 2 , 2 16 c A = −2 −2 −5 54 Chương VECTER RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bài tập 6.10 Cho ánh xạ T : P2 [x] → P2 [x] xác định qui tắc sau: T (ax2 + bx + c) = (5a − b + c)x2 + 2bx − 12a + 4b − 2c Chứng minh T ánh xạ tuyến tính Tìm KerT Từ suy r(T ) Chứng minh B = {x2 + 3x + 2, x + 3, −1} sở P2 [x] Tìm [T ]B Tìm cho P2 [x] sở cho ma trận T sở ma trận chéo Bài tập 6.11 Cho ánh xạ T : P2 [x] → P2 [x] xác định qui tắc sau: T (ax2 + bx + c) = (a + 3b − c)x2 + (a − b + c)x + 3a − 9b + 5c Chứng minh T ánh xạ tuyến tính Tìm KerT Từ suy r(T ) Chứng minh B = {x2 + 2x + 3, x + 1, 1} sở P2 [x] Tìm [T ]B Tìm cho P2 [x] sở cho ma trận T sở ma trận chéo Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI Bài tập 7.1 Quy phương trình sau dạng khơng cịn hạng tử chéo: √ a x2 − 3xy + 2y = √ b 3x2 − 3xy + y = √ √ c 3x2 + 3xy + y − 8x + 3y = d x2 − 2xy + y = √ √ √ e 2x2 + 2xy + 2y − 8x + 8y = Bài tập 7.2 Nhận dạng đường cong sau: a 17x2 + y − 34x + 6y + 280 = b 17x2 + 12xy + 8y − 46x − 28y + 17 = c x2 + 6xy + y + 6x + 2y − = d 4x2 − 4xy + y − 2x − 14y + = e 3x2 + 2xy + 3y = 19 √ f 3x2 + 3xy − y = Bài tập 7.3 Dựng đồ thị đường bậc hai cho phươg trình: a 7x2 − 8xy + y − 16x − 2y + 20 = 0; b 5x2 − 6xy + 5y − 16x − 16y − 16 = 0; c 5x2 + 8xy + 5y − 18x − 18y = 0; d 9x2 − 6xy + y − 4x + 8y − = Bài tập 7.4 Ghép phương trình mặt cho với đồ thị nó, ý số phương trình cho nhiều số đồ thị: a x2 + y + 4z = 10 b x2 + 2z = c z + 4y − 4x2 = d z + x2 − y = e 9y + z = 16 f x = z2 − y2 2 g x=y −z h z = −4x2 − y i x = −y − z j y + z = x2 55 56 Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI Bài tập 7.5 Trong trường hợp sau, rõ giao tuyến hai mặt bậc hai mặt phẳng (bằng cách rõ phương trình, toạ độ tâm, bán trục, toạ độ đỉnh, toạ độ tiêu điểm phương trình tiệm cận ) (nếu có): a x2 y z + + = z = 25 b x2 y z + − = z = 1; z = 36 c x2 y z + − = −1 z = 0; z = 2; z = 36 x2 d z = − y z = h (h số) Bài tập 7.6 Hãy gọi tên vẽ sơ lược hình dạng mặt cho phương trình sau: a x2 + y = b.z − x2 − y = c z − y = z2 =1 d 9x2 + y + z = e.z = x2 + 4y f x2 − y − 2 2 2 g y − z = x − h z = y − i −x + 2y + z = 2 j −9x + y + 4z = Bàitập 7.7 Vẽ phần không gian bao gồm điểm mà toạ độ chúng thoả mãn: 2 x x2 y z y z + + = a b 25 + + = 25 |z| ≥1 |x| ≤1 c x2 + y + z ≤ x2 + y ≥1 d x2 + y + z ≤ x2 + y ≤1 Chương MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO ĐỀ Câu 1: Cho E = a b c d = ⊂ M(2, 2) a b c 1 : a Chứng minh E không gian M(2, 2) b Chứng minh B = 1 , −1 −5 , , −3 sở M(2, 2) c Tìm sở cho E từ véc tơ sở B câu b Câu 2: Cho ánh xạ f : R3 → P2 [x] xác định qui tắc sau: f (a; b; c) = (a − b + 2c)x2 + (a − 2b + c)x + (2a + b + c) a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b Tìm Kerf c Cho B = {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)} sở R3 C = {2x2 + x + 2; 2x2 + 2x + 1, x2 + x + 1} sở R3 Tìm [f ]B,C −7 Câu 3: Cho ma trận A = −5 2 −3 Tìm ma trận P chéo hóa A dạng chéo D A ĐỀ Câu 1: Cho E = (a; b; c) : a b c 2 1 = ⊂ R3 a Chứng minh E không gian R3 57 58 Chương MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO b Tìm sở E c Mở rộng sở vừa tìm thành sở R3 Câu 2: Cho ánh xạ f : R3 → M(2, 2) xác định qui tắc sau: f (a; b; c) = a + b + 2c b+c c+a a + b + 2c a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b Tìm sở số chiều Imf c Tìm [f ]B,C , biết B = {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)} sở R3 1 1 1 C = , , , sở M(2, 2) 1 1 0 Câu 3: Cho phép biến đổi tuyến tính f : P2 [x] → P2 [x] xác định f (x2 ) = 3x2 + x + 1, f (x) = x2 + 3x + 1, f (1) = −3x2 − 3x − Tìm cho P2 [x] sở cho ma trận biểu diễn sở ma trận chéo Viết ma trận chéo ĐỀ Câu 1: Cho E = {(x2 − 4)p, p ∈ P2 [x]} ⊂ P4 [x] a Chứng minh E khơng gian P4 [x] b Tìm sở số chiều E Câu 2: Cho ánh xạ f : P3 [x] → P2 [x] xác định f (p) = p , p đạo hàm p a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b Tìm Kerf c Cho B = {x3 + x2 + x + 1, x2 + x + 1, x + 1, 1} sở P3 [x] C = {x2 + x + 1, x + 1, 1} sở P2 [x] Tìm [f ]B,C −1 −1 2 Câu 3: Cho ma trận A = −1 a Chéo hóa ma trận A b Cho v = Chứng minh v véc tơ riêng A, sau tính Ak v với k ∈ N∗ 59 ĐỀ Câu 1: Cho tập S = {x2 + x + 1, x2 + 2x + 3, x2 − x − 3, 2x2 + 3x + 3} ⊂ P2 [x] a Hỏi S có tập sinh P2 [x] hay khơng? b Tìm sở cho P2 [x] từ tập S Câu 2: Cho ánh xạ f : P2 [x] → R3 xác định sau f (ax2 + bx + c) = (a − b, b − c, c − a) a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b Tìm sở số chiều Kerf Imf c Cho B = {x2 + x + 2, x2 + 2x + 1, 2x2 + x + 1} sở P2 [x] C = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} sở R3 Tìm [f ]B,C d Cho E = {(m + 2n)x2 + (m − n)x + (m + n), m, n ∈ R} ⊂ P2 [x] Chứng minh f (E) không gian R3 Câu 3: Hãy chéo hóa ma trận A = −4 −2 −1 ĐỀ Câu 1: Cho E = a b c d : a + b − 2c + 3d = a Chứng minh E không gian M(2, 2) b Chứng minh B = −2 1 , −1 1 , −4 1 sở E Câu 2: Cho ánh xạ f : R3 → M(2, 2) xác định qui tắc sau: f ((a, b, c)) = a+b b+c c−a a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b Tìm Imf Hỏi f có tồn cấu hay khơng? Câu 3: Cho B = {1, x, x2 } sở tắc P2 [x] phép biến đổi tuyến tính T : P2 [x] −→ P2 [x], định nghĩa T (1) = − 6x − 6x2 , T (x) = − 4x − 6x2 , T (x2 ) = −1 + 3x + 5x2 Hãy tìm cho P2 [x] sở để ma trận T sở ma trận chéo 60 Chương MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO ĐỀ Câu Cho tập E = a − b − c + d a + 2b + c 2a + b + d 3b + 2c − d : a, b, c, d ∈ R a Chứng minh E không gian M(2, 2) b Tìm cho E sở Suy dim E c Mở rộng sở E thành sở M(2, 2) Câu 2: Cho ánh xạ f : M(2, 2) → P2 [x], xác định quy tắc f a b c d = (a + b)x2 + (b + d)x + (d + a) a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b Tìm Kerf Hỏi f có phải tồn cấu hay khơng? Câu 3: Cho phép biến đổi tuyến tính T : P2 [x] → P2 [x], với T (x2 ) = 2x2 − 2x + 2, T (x) = 2x2 − 3x + 4, T (1) = x2 − 2x + B = {x2 − x + 1, x2 − x, x2 } sở P2 [x] a Tìm [T ]B b Tìm cho P2 [x] sở cho ma trận biểu diễn sở ma trận chéo Viết ma trận chéo Tài liệu tham khảo [1] Bùi Xuân Hải - Trần Nam Dũng - Trịnh Thanh Đèo - Thái Minh Đường - Trần Ngọc Hội , Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia TPHCM, (2001) [2] Hồ Hữu Lộc, Bài tập Đại số tuyến tính, Đại học Cần Thơ, (2005) [3] Ngơ Thu Lương - Nguyễn Minh Hằng, Bài tập Toán cao cấp tập 2, NXB Đại học Quốc Gia TPHCM, (2000) [4] Nguyễn Viết Đông - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ, Bài tập Toán cao cấp tập 2, NXB Giáo Dục, (2000) [5] Tống Đình Quỳ - Nguyễn Cảnh Lương, Giúp ơn tập tốt TỐN CAO CẤP tập 4, NXB Đại học Quốc Gia HÀ NỘI, (2000) [6] http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2318 61 ... , f (p(x)) = p(x) − p(0) Bài tập 5.15 Tìm sở cho Imf, Kerf ánh xạ tuyến tính cho tập Bài tập 5.16 Sử dụng tính chất ánh xạ tọa độ, chứng minh tính độc lập tuyến tính tập đa thức sau: a B = {p1... nghĩa hợp hai tập hợp thơng thường) 4.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở khơng gian vectơ Tóm tắt lý thuyết Để xác định tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính tập S = {v1... trình tuyến tính Ta giải hệ + Nếu hệ có nghiệm α1 = α2 = = αp = kết luận S độc lập tuyến tính + Nếu hệ có vơ số nghiệm kết luận S phụ thuộc tuyến tính + Chú ý: Nếu muốn xét tính độc lập tuyến tính