ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP

ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (dành cho sinh viên SIU) CHƯƠNG 0 ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 Quy tắc cộng Giả sử một công việc V có thể thực hiện theo hai phương án V1 hoặc V2, tron[.]

BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (dành cho sinh viên SIU) CHƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP Quy tắc cộng Giả sử công việc V thực theo hai phương án V1 V2, V1 có m1 cách thực hiện, V2 có m2 cách thực cách thực V1 khơng trùng với cách thực V2 Khi số cách thực cơng việc V n = m1 + m2 Quy tắc nhân Giả sử công việc V bao gồm hai cơng đoạn V1 V2, V1 có m1 cách thực hiện, V2 có m2 cách thực cách thực V1 có m2 cách thực V2 Khi số cách thực cơng việc V n = m1 m2 Tổ hợp Mỗi tập gồm k phần tử khác lấy từ tập hợp có n phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử Cnk  n! k !( n  k)! Lưu ý: a) Số cách lấy k phần tử từ n phần tử số tổ hợp: C nk b) Muốn tính C nk máy tính Casio fx-570ES, cần nhấn phím sau: 1) Số n; 2) SHIFT; 3) Phép chia (máy hiểu lệnh gián tiếp tính C nk ); 4) Số k; 5) Dấu Sau đọc kết góc dưới, bên phải hình Ví dụ Trong hộp có 10 viên phấn trắng viên phấn màu Lấy viên phấn Hỏi có cách lấy được: a) Các viên phấn b) viên phấn màu c) Ít viên phấn màu d) Ít viên phấn màu e) Không viên phấn màu f) Ít viên phấn màu Ví dụ Một lớp học có 30 sinh viên, có 18 nữ Chọn ngẫu nhiên sinh viên tham gia đội văn nghệ Trường Hỏi có cách chọn được: a) Các sinh viên b) Số sinh viên nữ số sinh viên nam c) Ít sinh viên nữ d) Ít sinh viên nữ e) Không sinh viên nam f) Ít sinh viên nam BÀI TẬP CHƯƠNG 0.1 Một lơ hàng có 25 sản phẩm, có phế phẩm Chọn sản phẩm để kiểm tra Hỏi có cách chọn a) Các sản phẩm b) phế phẩm c) Số phế phẩm số sản phẩm tốt d) Khơng q phế phẩm e) Ít phế phẩm f) Ít phế phẩm 0.2 Người ta lấy viên bi từ hộp đựng viên vi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng Hỏi có cách lấy a) viên bi tùy ý b) viên bi đỏ, viên bi xanh c) viên bi có mầu khác d) viên màu vàng e) Không viên màu đỏ f) viên màu xanh CHƯƠNG I XÁC SUẤT I.1 PHÉP THỬ - BIẾN CỐ Khái niệm Hành động mà ta thực phép thử Kết phép thử gọi biến cố Ví dụ Hãy phép thử biến cố ví dụ sau đây: a) Tung viên phấn lên cao, viên phấn rơi xuống b) Một sinh viên thi mơn Tốn đậu môn này, thi ngoại ngữ lại bị rớt c) Bóc tờ lịch lốc lịch năm 2016, tờ có ghi ngày 31/11/2016 Phân loại biến cố - Biến cố luôn xảy phép thử gọi biến cố chắn, kí hiệu - Biến cố khơng xảy gọi biến cố khơng thể, kí hiệu   - Biến cố xảy , không xảy phép thử gọi biến cố ngẫu nhiên, kí hiệu A, B, , C1, C2, Ví dụ Các biến cố ví dụ biến cố gì? Các phép toán biến cố a) Tổng biến cố Cho hai biến cố A B Tổng chúng biến cố C cho C xảy A B xảy ra, kí hiệu C = A + B b) Tích biến cố Cho hai biến cố A B Tích chúng biến cố C cho C xảy A B xảy ra, kí hiệu C = A.B c) Biến cố đối lập Hai biến cố A B gọi đối lập biến cố A xảy biến cố B khơng xảy A khơng xảy B phải xảy ra, kí hiệu B  A Lưu ý Hai biến cố sau đối lập nhau: A: Có phần tử tập hợp có tính chất (  ) B  A: Khơng có phần tử tập hợp có tính chất (  ) Ví dụ Một sinh viên thi Xác suất Thống kê Nếu A biến cố "sinh viên đậu" B  A biến cố "sinh viên rớt mơn này" Ví dụ Lấy viên bi hộp đựng bi đỏ bi xanh Gọi A biến cố: "Lấy bi đỏ"; B biến cố: "Lấy bi xanh" Khi A B hai biến cố đối lập Ví dụ Một sinh viên thi hai mơn Tốn, Lý Gọi A biến cố sinh viên đậu Tốn, B biến cố sinh viên đậu Lý Hãy viết biến cố sau thành phép toán A B: a) Sinh viên đậu mơn b) Sinh viên đậu hai mơn c) Sinh viên đậu mơn Lý d) Sinh viên bị rớt hai mơn e) Sinh viên đậu mơn f) Sinh viên đậu khơng q mơn Ví dụ Có hai người săn thú, người bắn viên đạn Gọi N1 , N2 biến cố người thứ nhất, người thứ hai bắn trúng thú Hãy biểu diễn biến cố sau thành phép toán N1 , N2 : a) Cả hai người bắn trúng b) Con thú bị trúng đạn c) Chỉ có người bắn trúng d) Khơng bắn trúng e) Có khơng q người bắn trúng f) Có người bắn trúng Tính chất phép tốn biến cố A A  A (1) A  A  A (2) (3) A    A (4) A.   (5) A     (6) A.  A (7) A  A   (9) A( B  C )  AB  AC (8) A A   Các biến cố xung khắc Hai biến cố gọi xung khắc chúng không xảy Các biến cố độc lập Hai biến cố gọi độc lập biến cố xảy không ảnh hưởng đến biến cố ngược lại Hệ biến cố đầy đủ Hệ n biến cố A1, A2, , An gọi hệ đầy đủ ln có biến cố hệ xảy phép thử Ví dụ Hai biến cố A , A tạo thành hệ đầy đủ Ví dụ Một sinh viên phải thi mơn Gọi §k ( k  0,1,2,3,4) biến cố sinh viên đậu k mơn mơn thi Ta có hai biến cố biến cố xung khắc với hệ biến cố hệ đầy đủ Ví dụ Tung xúc xắc ( hình lập phương gồm mặt có đánh số từ đến 6) Gọi Ak biến cố xuất mặt k a) Hãy nêu biến cố xung khắc b) Các biến cố tạo thành hệ đầy đủ? Ví dụ 10 Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào mục tiêu Hãy nêu biến cố a) Xung khắc b) Đối lập c) Tạo thành hệ đầy đủ I.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Định nghĩa Cho T phép thử A biến cố xảy phép thử Giả sử T có n trường hợp xảy ra, số có m trường hợp làm biến cố A xuất m Khi tỉ số n gọi xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Vậy P( A)  m n Ý nghĩa xác suất: Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả xuất biến cố phép thử, xác suất lớn, khả xuất biến cố nhiều Phương pháp tính xác suất định nghĩa: Để tính xác suất biến cố, ta cần thực bước sau đây: - Gọi phép thử, tính số trường hợp xảy (tính số cách thực phép thử) - Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, tính số cách làm biến cố xuất - Áp dụng cơng thức định nghĩa, tìm xác suất biến cố cho Ví dụ Một chi đồn có 30 sinh viên nam 15 sinh viên nữ Cần chọn 10 sinh viên tham gia chiến dịch mùa hè xanh Tìm xác suất để nhóm chọn có sinh viên nữ Ví dụ Đề cương thi mơn Triết có 70 câu hỏi Một sinh viên ôn 40 câu Cho biết đề thi tự luận gồm câu thuộc đề cương sinh viên trả lời hai câu đậu Tìm xác suất sinh viên đậu mơn Triết Ví dụ Tung đồng tiền, đồng có mặt sấp mặt ngửa Tìm xác suất a) mặt sấp b) mặt ngửa c) mặt sấp mặt ngửa Trong ba biến cố trên, biến cố thường xảy nhiều hơn? Tại sao? Các tính chất xác suất 1) Với biến cố A ta có  P ( A)  2) P ( )  3) P ()  4) P( A)   P( A) Ví dụ Một lơ hàng có 20 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng Tìm xác suất lấy a) sản phẩm tốt; b) sản phẩm tốt c) Không phế phẩm; d) Ít phế phẩm I.3 CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Cơng thức cộng Cho hai biến cố A, B C = A + B Cần tính xác suất C theo xác suất A B a) Trường hợp hai biến cố A B xung khắc: P(A+B) = P(A) + P(B) (1) b) Trường hợp A B không xung khắc: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2) Ví dụ Có 10 bút, có bút đỏ, số cịn lại bút xanh Lấy ngẫu nhiên bút Tìm xác suất lấy a) bút đỏ b) bút đỏ c) bút xanh d) Không bút đỏ e) Ít bút đỏ Ví dụ Trong hộp phấn có 10 viên phấn màu 40 viên phấn trắng Lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất lấy a) viên phấn màu b) Toàn phấn trắng c) Nhiều viên phấn màu d) Ít viên phấn màu Ví dụ Một lớp học có 50 sinh viên, có 35 người đậu mơn Tốn, 28 người đậu mơn Lý Số sinh viên lớp đậu hai môn 20 Gọi ngẫu nhiên sinh viên lớp Tìm xác suất sinh viên a) Đậu mơn b) Khơng đậu mơn Ví dụ Lớp 12A có 40 học sinh, có 20 em thích chơi bóng đá, 15 em thích bơi, số có em thích đá bóng bơi Gọi ngẫu nhiên em học sinh lớp Tìm xác suất gọi em khơng thích chơi mơn thể thao Công thức nhân Cho hai biến cố A, B C = AB Cần tính xác suất C theo xác suất A B a) Trường hợp hai biến cố A B độc lập: P(AB) = P(A) P(B) (3) b) Trường hợp hai biến cố A B không độc lập: P(AB) = P(A) P(B/A) P(AB) = P(B) P(A/B) (4) Ví dụ Một sinh viên phải thi Toán Lý Cho biết xác suất đậu hai mơn 0,9; 0,8 Hãy tính xác suất sau đây: a) Sinh viên rớt Tốn; rớt Lí; b) Sinh viên đậu Tốn; c) Sinh viên đậu hai mơn; d) Sinh viên đậu mơn; e) Sinh viên đậu khơng q mơn; f) Sinh viên đậu mơn Ví dụ Một xạ thủ bắn hai viên đạn, xác suất bắn trúng viên 0,6 ; 0,8 Tìm xác suất bắn trúng a) Cả hai viên; b) Chỉ viên; c) Ít viên; d) Khơng q viên Ví dụ (Đề thi Khóa 9) Có hai lơ hàng, lơ có 12 sản phẩm, lơ thứ có phế phẩm; lơ thứ hai có phế phẩm Từ lơ lấy sản phẩm Tìm xác suất lấy a) sản phẩm tốt; b) phế phẩm Ví dụ Một cậu bé có 10 bút chì, có bút chì màu Cậu bé cho anh bút, sau cho chị bút Tìm xác suất cậu bé cịn lại a) Tồn bút chì đen; b) bút chì màu; c) Ít bút chì màu Ví dụ Hai bạn An Bình rủ mua vé số quầy có 50 vé, có vé trúng thưởng An mua trước vé, sau Bình chọn mua vé Tìm xác suất hai bạn mua được: a) vé trúng b) vé trúng c) Ít vé trúng Công thức xác suất đầy đủ Cho hệ đầy đủ biến cố A1, A2, , An B biến cố xảy biến cố hệ xảy Khi xác suất B tính cơng thức P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + + P(An)P(B/An) (5) Ví dụ 10 Cho hộp đựng bút hình dáng giống Hộp thứ có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ hai có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ ba có bút đỏ, bút xanh Lấy ngẫu nhiên hộp, từ lấy ngẫu nhiên bút Tìm xác suất lấy a) bút đỏ; b) bút đỏ Ví dụ 11 Có lơ hàng, lơ có 20 sản phẩm Cho biết lơ thứ có phế phẩm, lơ thứ hai có phế phẩm, lơ thứ ba có phế phẩm lơ thứ tư có phế phẩm Chọn ngẫu nhiên lơ hàng, từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất lấy a) phế phẩm; b) phế phẩm Ví dụ 12 Có hai lơ hàng đựng thiết bị điện tử Lô thứ có phế phẩm 46 sản phẩm tốt Lơ thứ hai có phế phẩm 45 sản phẩm tốt Từ lô thứ lấy sản phẩm bỏ sang lơ thứ hai Sau từ lơ thứ hai lấy sản phẩm Tìm xác suất lấy a) sản phẩm tốt; b) phế phẩm Ví dụ 13 Có chuồng gà: chuồng thứ có gà trống 10 gà mái; chuồng thứ hai có gà trống gà mái Một từ chuồng thứ nhảy sang chuồng thứ hai, sau từ chuồng thứ hai người ta bắt gà Tìm xác suất bắt gà mái Công thức xác suất giả thiết Cho hệ đầy đủ biến cố A1, A2, , An B biến cố xảy biến cố hệ xảy Ta cịn nói biến cố thuộc hệ đầy đủ giả thiết để B xảy Bây ta giả sử biến cố B xảy tìm xác suất để B xảy giả thiết Ak , kí hiệu P( Ak / B) Ta có cơng thức: P( Ak / B)  P( Ak ) P( B / Ak ) ( k = 1, 2, , n) P( B) (6) Cơng thức cịn gọi cơng thức Bayes Ví dụ 14 Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng thứ sản xuất 25%, phân xưởng thứ hai sản xuất 35%, phân xưởng thứ ba sản xuất 40% tổng số sản phẩm nhà máy Tỉ lệ phế phẩm phân xưởng 12%; 16%; 20% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm kho hàng nhà máy a) Tìm xác suất lấy phế phẩm b) Giả sử lấy phế phẩm, tìm xác suất phế phẩm phân xưởng thứ sản xuất c) Nếu lấy sản phẩm tốt, theo ý bạn, khả sản phẩm phân xưởng sản xuất nhiều nhất? Ví dụ 15 Cho hộp đựng bút hình dáng giống Hộp thứ có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ hai có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ ba có bút đỏ, bút xanh Lấy ngẫu nhiên hộp, từ lấy ngẫu nhiên bút a) Tìm xác suất lấy hai bút khác màu b) Giả sử lấy hai bút khác màu Tìm xác suất bút hộp thứ ba PHƯƠNG PHÁP TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CƠNG THỨC Để tính xác suất biến cố công thức, ta cần thực bước sau đây: - Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, phân tích thành phép tốn biến cố khác - Phân tích mối quan hệ biến cố tham gia vào phép toán: xung khắc hay khơng, độc lập hay khơng, có tạo thành hệ đầy đủ hay không - Chọn công thức tính xác suất biến cố ban đầu theo xác suất biến cố - Tính xác suất biến cố tham gia vào phép tốn, cần - Tính xác suất biến cố ban đầu Công thức Bernoulli Giả sử: - Phép thử T lặp lại n lần - Biến cố A xuất lần thử với xác suất khơng đổi P(A) = p Khi xác suất để biến cố A xuất k lần n lần thử Pn ( k, A )  Cnk pk (1  p)n  k (k = 0, 1, , n) (7) Ví dụ 16 Một sinh viên thi môn với xác suất đậu môn 0,7 Tìm xác suất a) Đậu mơn; b) Khơng đậu mơn nào; c) Đậu môn; d) Đậu không môn; e) Đậu từ đến mơn Ví dụ 17 Một xạ thủ bắn viên đạn Cho biết xác suất bắn trúng mục tiêu lần bắn 0,8 Tìm xác suất bắn trúng a) viên; b) Khơng q viên; c) Ít viên đạn Ví dụ 18 Cho biết tỷ lệ học sinh bị cận thị trường THPT 20% Chọn ngẫu nhiên 12 học sinh trường Tìm xác suất có a) học sinh bị cận; b) Khơng học sinh bị cận; c) Từ đến học sinh bị cận; d) Ít học sinh bị cận BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1 Hai người bắn, người bắn viên đạn vào bia Gọi Ni biến cố người thứ i bắn trúng bia, i = 1,2 Hãy biểu diễn biến cố sau qua N1, N2 : a) Chỉ có người thứ bắn trúng bia b) Có người bắn trúng c) Cả hai người bắn trúng d) Khơng có bắn trúng e) Có người bắn trúng f) Có khơng q người bắn trúng 1.2 Người ta chọn ngẫu nhiên linh kiện từ lô hàng Gọi Lk biến cố linh kiện thứ k đạt tiêu chuẩn loại A, k = 1, 2, Hãy biểu diễn biến cố sau qua L1, L2, L3 : a) Cả ba linh kiện đạt loại A b) Chỉ có linh kiện đạt loại A c) Có hai linh kiện đạt loại A d) Khơng có kinh kiện đạt loại A 1.3 Lớp học mơn xác suất có 64 sinh viên, có 15 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên nhóm gồm 10 sinh viên Tìm xác suất nhóm chọn có a) sinh viên nữ; b) khơng q sinh viên nữ; c) sinh viên nữ d) sinh viên nữ 1.4 Từ hộp có 20 viên phấn, có viên phấn màu, người ta lấy viên phấn Tìm xác suất lấy a) viên phấn màu; b) không viên phấn màu; c) viên phấn màu d) viên phấn màu 1.5 Từ lô hàng có bóng đỏ, bóng xanh bóng vàng người ta lấy bóng Tìm xác suất lấy a) bóng đỏ; b) bóng vàng, bóng xanh; c) Ít bóng đỏ; d) Khơng bóng đỏ 1.6 Có ba người, người bắn viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng 0,6; 0,7 ; 0,8 Tìm xác suất sau đây: a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng; b) Có người bắn trúng; c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt; d) Có hai người bắn trúng; e) Cả ba người bắn trúng; f) Khơng có bắn trúng 1.7 (Đề thi Khóa 4) Có hai hộp, hộp thứ có bút đỏ, bút xanh; hộp thứ hai có bút đỏ, bút xanh Từ hộp thứ lấy bút, từ hộp thứ hai lấy bút Tìm xác suất bút lấy từ hai hộp có a) bút đỏ; b) nhiều bút đỏ 1.8 (Đề thi Khóa 9) Có hai lơ hàng, lơ có 12 sản phẩm, lơ thứ có phế phẩm; lơ thứ hai có phế phẩm Từ lô lấy sản phẩm Tìm xác suất lấy a) sản phẩm tốt; b) phế phẩm 1.9 (Đề thi Khóa 6) Một cơng ty sử dụng hai hình thức quảng cáo quảng cáo đài phát quảng cáo tivi Theo thăm dị, có 45% khách hàng biết thông tin quảng 10 ... PHƯƠNG PHÁP CHỌN MẪU Tổng thể mẫu - Tập hợp tất phần tử mà ta quan tâm nghiên cứu vấn đề gọi tổng thể Số phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể - Tập lấy từ tổng thể gọi mẫu Số phần tử mẫu gọi... bán cửa hàng Gọi X số mũ qua kiểm định số Hãy lập bảng phân phối xác suất tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X 2.5 Một sinh viên thi môn, xác suất đậu môn 0,7 Gọi X số môn đậu Hãy lập bảng... suất số có thợ giỏi 12 CHƯƠNG II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT II.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Khái niệm Đại lượng cho tương ứng kết phép thử với số gọi đại lượng