Bài 2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp I Nhận biết Câu 1 Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1 ≤ k ≤ n) Phát biểu nào sau đây sai? A Một chỉnh hợp chập k của n phần tử trên là mỗi cách lấy[.]
Bài Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp I Nhận biết Câu Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k (1 ≤ k ≤ n) Phát biểu sau sai? A Một chỉnh hợp chập k n phần tử cách lấy k phần tử tập A xếp chúng theo thứ tự; B Một hoán vị tập A cách xếp n phần tử tập A theo thứ tự; C Một tổ hợp chập k n phần tử cách lấy k phần tử A; D Mỗi hốn vị n phần tử tổ hợp chập n n phần tử Hướng dẫn giải Đáp án là: D ⦁ Mỗi cách xếp n phần tử tập A theo thứ tự gọi hoán vị phần tử Do phương án B phát biểu ⦁ Mỗi cách lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Do phương án A phát biểu ⦁ Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Do phương án C phát biểu ⦁ Mỗi hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Do phương án D phát biểu sai Vậy ta chọn phương án D Câu Cho n ≥ 1, n ∈ ℤ ≤ k ≤ n Phát biểu sau sai? A P0 = 1; B Pn Cnn ; C Ckn Cnn k ; D Akn k!.Ckn Hướng dẫn giải Đáp án là: B ⦁ Ta quy ước: P0 = 0! = Do phương án A ⦁ Ta có Ckn Cnn k , với ≤ k ≤ n ⦁ Ta có Pn A nn Do phương án B sai Do phương án C ⦁ Ta có k!.Ckn k! n! n! A kn k!. n k ! n k ! Do phương án D Vậy ta chọn phương án B Câu Giá trị A12 bằng: A 12.11.10.9.8.7.6.5.4; B 4.3.2.1; C 12.11.10.9; D 8! Hướng dẫn giải Đáp án là: C Ta có A12 12.12 1.12 .12 3 12.11.10.9 Do ta chọn phương án C Câu Cho tập hợp M = {a; b; c} Số hoán vị ba phần tử M là: A 4; B 5; C 6; D Hướng dẫn giải Đáp án là: C Số hoán vị ba phần tử tập M là: P3 = 3! = 3.2.1 = Vậy ta chọn phương án C Câu Giá trị C0n C1n Cnn 1 Cnn bằng: A B 1; C n; D 2n Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có C0n C1n Cnn 1 Cnn C0n C1n C1n C0n Vậy ta chọn phương án A Câu Giá trị C10 bằng: A 120; B 604 800; C 35; D 720 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có C10 10! 10.9.8.7! 10.9.8 720 120 7!.10 ! 7!.3! 3.2.1 Vậy ta chọn phương án A Câu Cho tập hợp X gồm n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k (1 ≤ k ≤ n) Một chỉnh hợp chập k n phần tử là: A Một kết xếp k phần tử tập hợp X; B Một kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập X xếp chúng theo thứ tự đó; C Một số tính cơng thức: n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1); D Một kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập X Hướng dẫn giải Đáp án là: B Mỗi cách lấy k phần tử tập X xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Vậy ta chọn phương án B II Thơng hiểu Câu Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc số cách xếp khác là: A 25; B 10!; C 10; D 40 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Tổ học sinh có tổng cộng + = 10 học sinh Mỗi cách xếp khác hốn vị 10 phần tử Do số cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc là: 10! cách xếp Vậy ta chọn phương án B Câu Một lớp có 30 học sinh Hỏi có cách chọn học sinh để làm vệ sinh lớp học ngày? A 060; B 900; C 24 360; D 90 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Mỗi cách chọn học sinh để làm vệ sinh lớp học ngày tổ hợp chập 30 phần tử Do số cách phân cơng học sinh là: C330 4060 Vậy ta chọn phương án A Câu Từ danh sách gồm học sinh lớp 10A, bầu ủy ban gồm chủ tịch, phó chủ tịch, thư kí ủy viên Hỏi có khả cho kết bầu ủy ban này? A 84; B 126; C 024; D 561 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Mỗi cách chọn học sinh học sinh để bầu ban gồm chủ tịch, phó chủ tịch, thư kí ủy viên chỉnh hợp chập phần tử Do số khả kết bầu uỷ ban là: A94 024 Vậy ta chọn phương án C Câu Có ba mơn thi Tốn, Vật lí, Hóa học cần xếp vào buổi thi, buổi môn cho mơn Tốn khơng thi buổi đầu số cách xếp là: A 6; B 2; C 4; D Hướng dẫn giải Đáp án là: C Việc xếp buổi mơn cho mơn Tốn khơng thi buổi đầu có hai phương án thực hiện: Phương án 1: Mơn Vật lí thi buổi đầu, số cách xếp hai mơn cịn lại vào buổi cịn lại 2! cách xếp Phương án 2: Mơn Hóa học thi buổi đầu, số cách xếp hai mơn cịn lại vào buổi lại 2! cách xếp Theo quy tắc cộng, ta có tất 2! + 2! = + = cách xếp Vậy ta chọn phương án C Câu Có cách chọn xếp thứ tự cầu thủ để đá luân lưu, biết 11 cầu thủ có khả nhau? A 55 440; B 20 680; C 32 456; D 41 380 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Mỗi cách chọn xếp thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ chỉnh hợp chập 11 phần tử Do số cách chọn xếp thứ tự cầu thủ là: A11 55 440 cách chọn Vậy ta chọn phương án A Câu Trong bình đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Có cách lấy viên bi màu? A 18; B 9; C 22; D Hướng dẫn giải Đáp án là: B Việc lấy viên bi màu có phương án thực hiện: Phương án 1: Lấy viên bi màu đỏ, có C 24 cách chọn Phương án 2: Lấy viên bi màu xanh, có C32 cách chọn Do theo quy tắc cộng, ta có tất C24 C32 cách chọn Vậy ta chọn phương án B Câu Có số lẻ có chữ số khác lập thành từ chữ số 1; 2; 5; 6; 9? A 15; B 120; C 72; D 12 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Việc lập số theo yêu cầu có cơng đoạn thực hiện: Cơng đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị chữ số lẻ, có cách chọn (từ chữ số 1; 5; 9) Cơng đoạn 2: Chọn chữ số cịn lại, có A 34 cách chọn Do theo quy tắc nhân, ta có tất 3.A34 72 số Vậy ta chọn phương án C Câu Trong trường có học sinh giỏi lớp 12, học sinh giỏi lớp 11 học sinh giỏi lớp 10 Cần chọn học sinh giỏi để tham gia thi với trường khác cho khối 12 có em khối 10, 11 có em Vậy số tất cách chọn là: A 60; B 180; C 330; D 90 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Công việc chọn học sinh tham gia thi có cơng đoạn: Cơng đoạn 1: Chọn học sinh giỏi lớp 12 Mỗi cách chọn học sinh giỏi số học sinh giỏi lớp 12 tổ hợp chập phần tử Do số cách chọn học sinh lớp 12 là: C34 (cách) Công đoạn 2: Chọn học sinh giỏi lớp 11 Mỗi cách chọn học sinh giỏi số học sinh giỏi lớp 11 tổ hợp chập phần tử Do số cách chọn học sinh lớp 11 là: C13 (cách) Công đoạn 3: Chọn học sinh giỏi lớp 10 Mỗi cách chọn học sinh giỏi số học sinh giỏi lớp 10 tổ hợp chập phần tử Do số cách chọn học sinh lớp 10 là: C15 (cách) Vậy theo quy tắc nhân, ta có tất C34 C13.C15 60 cách chọn học sinh giỏi trường Ta chọn phương án A III Vận dụng Câu Một hội đồng gồm nam nữ bầu vào ban quản trị gồm người Biết ban quản trị có nam nữ Số cách bầu chọn là: A 240; B 260; C 126; D 120 Hướng dẫn giải Đáp án là: D Việc bầu chọn ban quản trị gồm người có phương án thực hiện: Phương án 1: Chọn nam nữ Chọn nam số nam, có C15 cách chọn Chọn nữ số nữ, có C34 cách chọn Do theo quy tắc nhân, số cách chọn nam nữ C15 C34 cách chọn Phương án 2: Chọn nam nữ Chọn nam số nam, có C52 cách chọn Chọn nữ số nữ, có C 24 cách chọn Do theo quy tắc nhân, số cách chọn nam nữ C52 C42 cách chọn Phương án 3: Chọn nam nữ Chọn nam số nam, có C35 cách chọn Chọn nữ số nữ, có C14 cách chọn Do theo quy tắc nhân, số cách chọn nam nữ C35 C14 cách chọn Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất C15.C34 C52 C24 C35.C14 120 cách chọn Ta chọn phương án D Câu Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5, lập số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 9? A 16; B 18; C 20; D 14 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Gọi abc số cần tìm, với a, b, c ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} Vì abc nên tổng chữ số a + b + c ⋮ Khi a; b; c số (0; 4; 5), (2; 3; 4) (1; 3; 5) Trường hợp 1: a; b; c số (0; 4; 5) Vị trí a có cách chọn (số số 5) Vị trí b, c có 2! = cách chọn từ chữ số cịn lại Do theo quy tắc nhân, ta có tất 2.2 = số Trường hợp 2: a; b; c số (2; 3; 4) có 3! = số Trường hợp 3: a; b; c số (1; 3; 5) có 3! = số Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất + + = 16 số Ta chọn phương án A Câu Có số tự nhiên n thỏa mãn 14.P3.Cnn 13 An4 1 ? A 1; B 2; C 3; D Vô số Hướng dẫn giải Đáp án là: D Điều kiện: n ≥ n ∈ ℕ* Ta có 14.P3.Cnn 13 An4 1 14.3! n 1! n 1! n 3! n n 3! n ! 14.3.2.1 84 n 1! n 1! n 3!.2! n 3! n 1. n . n 3! n 1.n. n 1. n n ! n 3!.2 n 3! ⇔ 42.(n – 1)(n – 2) < (n + 1).n.(n – 1)(n – 2) ⇔ 42 < (n + 1).n (do (n – 1)(n – 2) ≠ 0, với n ≥ n ∈ ℕ*) ⇔ n2 + n – 42 > ⇔ n < –7 n > So với điều kiện n ≥ n ∈ ℕ*, ta nhận n > Vậy có vơ số số tự nhiên n thỏa mãn u cầu tốn Do ta chọn phương án D Câu Đẳng thức sau sai? 23 22 A C23 2023 C2022 C2022 ; 2000 22 B C23 2023 C2022 C2022 ; 2000 1999 C C23 2023 C2022 C2022 ; 23 2000 D C23 2023 C2022 C2022 Hướng dẫn giải Đáp án là: B 22 ⦁ Ta có: C23 2022 C2022 2022! 2022! 23!. 2022 23! 22!. 2022 22 ! 2022! 2022! 23!.1999! 22!.2000! 1 2022!. 23!.1999! 22!.2000! 2000 23 2022!. 23!.2000.1999! 23.22!.2000! 23 2000 2022!. 23!.2000! 23!.2000! 2022! 2023 23!.2000! 2023! 2023! C23 2023 23!.2000! 23!. 2023 23! Do phương án A 1999 ⦁ Áp dụng công thức Ckn Cnn k , ta được: C23 2022 C 2022 23 22 1999 22 2000 22 Suy C23 2023 C2022 C2022 C2022 C2022 C2022 C2022 Do phương án B sai 2000 ⦁ Tương tự ta có: C22 2022 C2022 1999 22 1999 2000 Nên C23 2023 C2022 C2022 C2022 C2022 23 22 23 2000 Và C23 2023 C2022 C2022 C2022 C2022 Do phương án C, D Vậy ta chọn phương án B Câu Trong 10 câu hỏi, có câu lý thuyết câu tập, người ta cần soạn đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi có hai dạng câu hỏi Hỏi soạn đề có yêu cầu trên? A 69; B 88; C 96; D 100 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Việc soạn đề thi thỏa mãn yêu cầu tốn có phương án thực hiện: Phương án 1: Chọn câu hỏi lý thuyết câu hỏi tập Chọn câu hỏi lý thuyết số câu lý thuyết có C14 cách chọn Chọn câu hỏi tập số câu hỏi tập có C62 cách chọn Do theo quy tắc nhân, ta có tất C14 C62 đề soạn Phương án 2: Chọn câu hỏi lý thuyết câu hỏi tập Chọn câu hỏi lý thuyết số câu lý thuyết có C 24 cách chọn Chọn câu hỏi tập số câu hỏi tập có C16 cách chọn Do theo quy tắc nhân, ta có tất C24 C16 đề soạn Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất C14 C62 C24 C16 96 đề soạn thỏa mãn yêu cầu toán ... Đáp án là: B Ta có C0n C1n Cnn 1 Cnn C0n C1n C1n C0n Vậy ta chọn phương án A Câu Giá trị C10 bằng: A 120; B 604 800; C 35; D 720 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có C10 10! 10. 9.8.7!... xếp khác hoán vị 10 phần tử Do số cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc là: 10! cách xếp Vậy ta chọn phương án B Câu Một lớp có 30 học sinh Hỏi có cách chọn học sinh để làm vệ sinh lớp học ngày?... 3! ⇔ 42.(n – 1)(n – 2) < (n + 1).n.(n – 1)(n – 2) ⇔ 42 < (n + 1).n (do (n – 1)(n – 2) ≠ 0, với n ≥ n ∈ ℕ*) ⇔ n2 + n – 42 > ⇔ n < –7 n > So với điều kiện n ≥ n ∈ ℕ*, ta nhận n > Vậy có vơ số số