() 1 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, H Ệ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI H ỌC SINH GIỎI CÁC T ỈNH, THÀNH PH Ố NĂM HỌC 2010 2011 (Lê Phúc Lữ tổng hợp và giới thiệu) Bài 1 1/ Giải phươ[.]
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010 - 2011 (Lê Phúc Lữ - tổng hợp giới thiệu) Bài 1/ Giải phương trình x x x x 1 2/ Giải phương trình với ẩn số thực x x 5 x Bài Giải phương trình x x x 11x 25 x 14 (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) (Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) x y Bài Giải hệ phương trình x y (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) x x y 3 y Bài Giải hệ phương trình sau 2 x y y 4 x y xy Bài Giải hệ phương trình 2 4 x y xy (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) x y Bài Giải hệ phương trình tập số thực 2 x y x (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) 2y x2 y x Bài Giải hệ phương trình x2 y2 2x y (Đề thi HSG Hà Tĩnh) Bài Giải phương trình x x2 x x x y Bài Giải hệ phương trình 2 y x y x y x (Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng) (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) Bài 10 1/ Giải bất phương trình ( x x) x x xy y x y 2/ Giải hệ phương trình sau x y x 12 (Đề thi HSG Điện Biên) x y z10 Bài 11 Giải hệ bất phương trình 2007 2009 2011 x y z (Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) Bài 12 1/ Giải phương trình x 1 x x 1 x x x y 2/ Giải hệ phương trình y y x (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) Bài 13 1/ Giải phương trình x x x 2/ Giải phương trình x x 3x x [2, 2] (Đề thi HSG tỉnh Long An) y x 2 y Bài 14 Giải hệ phương trình sau x x 2 y ( x 1) x (Đề chọn đội tuyển trường Chun Lê Q Đơn, Bình Định) 2 x y xy x y Bài 15 Giải hệ phương trình sau 7 y x x (Đề thi chọn đội tuyển Nha Trang, Khánh Hịa) Bài 16 1/ Giải phương trình x x x x x 2 x y x y 2/ Giải hệ phương trình x y (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc) Bài 17 Giải phương trình sau x x x x ( x x) x2 x (Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh) Bài 18 Giải phương trình sin x sin x cos x (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Bài 19 1/ Giải phương trình x x x x 2 2 y ( x y ) 3x 2/ Giải hệ phương trình 2 x( x y ) 10 y (Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) Bài 20 Giải phương trình x x2 x (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) 5( x y ) 6( x z ) x y xy x z xz 6( z y ) 4( x y ) Bài 21 Giải hệ phương trình 5 z y zy x y xy 4( x z ) 5( y z ) 6 x z xz y z yz (Đề chọn đội tuyển trường PTNK, TPHCM) Bài 22 1/ Giải phương trình x y 1 z ( x y z 11) x 121 27 x 2x 2/ Giải hệ phương trình x y xy 3x y (Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam) Bài 23 1/ Tìm tất giá trị a, b để phương trình x 2ax b m có hai nghiệm phân biệt với bx 2ax tham số m y xy 6 x 2/ Giải hệ phương trình 3 1 x y 19 x (Đề thi HSG vịng tỉnh Bình Phước) Bài 24 2 2 x y z 2010 1/ Giải hệ phương trình 3 3 x y z 2010 2/ Giải phương trình 32 x x2 3x 2x x3 3x (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Bài 25 2 x y x 2( x 1) 2(2 x y ) 1/ Giải bất phương trình sau y x x 17 2/ Với n số nguyên dương, giải phương trình 1 1 sin x sin x sin x sin n x (Đề thi HSG tỉnh Khánh Hịa) Bài 26 1/ Giải phương trình sau 2/ Giải phương trình log 3 sin x cos x 5sin x (2 3) cos x cos x 2x 1 3x2 8x ( x 1) (Đề thi HSG tỉnh Thái Bình) Bài 27 x y xy y 1/ Giải hệ phương trình y x y x2 2/ Giải phương trình lượng giác 2 sin x tan x cot x (Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ) Bài 28 Giải phương trình 24 x 60 x 36 1 0 5x x 1 (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh) Bài 29 Giải phương trình x x 3 x x x x x (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 2 (2 x x 4)(2 y y 4) 18 Bài 30 Giải hệ phương trình 2 x y xy x y 14 (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 2(2 x 1) x (2 y 3) y Bài 31 Giải hệ phương trình x y (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) x x y y y x x y x Bài 32 Giải hệ phương trình 3 x( y x ) 2 y x x x y Bài 33 Giải hệ phương trình y x xy x (Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên) (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) x y 35 Bài 34 Giải hệ phương trình 2 2 x y x y (Đề thi HSG tỉnh Yên Bái) Bài 35 Giải phương trình x 27 x 27 x 13x 1 2 x y 2( x y ) Bài 36 Giải hệ phương trình y2 x2 x y (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ninh) x x 12 y 50 Bài 37 Giải hệ phương trình y 12 y z z 27 x 27 z (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Bài 38 Giải phương trình x9 x 2x 1 (Đề thi chọn đội tuyển Phú Yên) Bài 39 1/ Giải phương trình sau x x x x y y x 3x x 2/ Giải hệ phương trình sau x y y (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An) Bài 40 3 x y xy 1/ Giải hệ phương trình 4 2 x y x y 2/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm ( x 1) 2011 2( x 1) x x x (Đề dự bị thi HSG tỉnh Nghệ An) x y x 12 Bài 41 Giải hệ phương trình sau y z y 9 z x z 32 (Đề thi chọn đội tuyển KHTN, vòng 1) y x2 x e Bài 42 Giải hệ phương trình y 1 3 log ( x y 6) log ( x y 2) 2 (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Bài 43 Giải phương trình sau x2 x x2 x 1 x x 1 x x 2 x2 1 (Đề thi HSG tỉnh Bình Phước) Bài 44 1/ Giải phương trình 3x x3 3x x 2/ Tìm số nghiệm phương trình (4022 x 2011 4018 x 2009 x) 2(4022 x 2011 4018 x 2009 x) cos 2 x (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du) (2 x)(1 x )(2 y )(1 y ) 10 z Bài 45 Giải hệ phương trình sau 2 2 x y z xz yz x y (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Bài 46 1/ Giải phương trình sau 2010 x ( x x) y x xy x 2/ Giải hệ phương trình x y 3 2 x y (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam) x11 xy10 y 22 y12 Bài 47 Giải hệ phương trình 4 2 7 y 13x y x(3x y 1) (Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM) 2009 x 2010 y ( x y ) Bài 48 Giải hệ phương trình 2010 y 2011z ( y z ) 2011z 2009 x ( z x ) (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước) 2 x y Bài 49 Giải hệ phương trình sau 4 x x 57 y (3 x 1) 25 (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An) Bài 50 Cho tham số dương a, b, c Tìm nghiệm dương hệ phương trình sau : x y z a b c 2 4 xyz a x b y c z abc (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) 3x y x x2 y Bài 51 Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực y x 3y x2 y (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) 4 x x y y Bài 52 Giải hệ phương trình 2 ( x y ) (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Bài 53 Giải phương trình x sin x x.cos x x x x x (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) ( x 2)2 ( y 3) ( y 3)( x z 2) Bài 54 Giải hệ phương trình x x z y 15 3 yz 2 8 x 18 y 18 xy 18 yz 84 x 72 y 24 z 176 (Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) Bài 55 2 z ( x y ) x y Tìm x, y, z thỏa mãn hệ y z xy zx yz 2 y (3x 1) 2 x ( x 1) (Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT Bài 1/ Giải phương trình x x x x 1 2/ Giải phương trình với ẩn số thực x x 5 x (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Lời giải 1/Điều kiện x Phương trình cho tương đương với ( x 1)2 ( x 2) -Nếu x 1 1 x (*) x (*) ( x 1) ( x 2) x x , loại -Nếu x x (*) ( x 1) ( x 2) , -Nếu x (*) ( x 1) ( x 2) x x , loại Vậy phương trình cho có nghiệm x thuộc 2;5 2/ Điều kiện x 5 Phương trình cho tương đương với x 5 x x (1 x ) (5 x ) (1 x)(5 x ) x (1 x )(5 x ) x (1 x)(5 x) x 10 x 25 x x 30 x 3 x 10 Thử lại, ta thấy có x 3 thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x 3 Nhận xét Các dạng tốn phương trình vơ tỉ quen thuộc, chúng hồn tồn giải cách bình phương để khử mà khơng cần lo ngại tính giải phương trình hay không Để đơn giản việc xét điều kiện, ta giải xong thử lại 10