[r]
(1)1 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ LƯỢNG GIÁC A- Kiến thức chuẩn bị:
1 Giá trị hàm lượng giác số góc đặc biệt:
0 π/ π/ π/ π/ π / 2π 2π
Góc
Hàm 0o
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
sin 0 1/2 2 / 2 3 / 2 1 0 -1 0
cos 1 3 / 2 2 / 2 1/2 0 -1 0 1
tan 0 3 / 3 1 3 0 0
cot 3 1 3 / 3 0 0
*Dấu hàm số lượng giác: Cung phần tư thứ Hàm
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
cot + - + -
2 Các hệ thức bản:
2
sin α +cos α =1; tan cotα α =1(α ≠kπ/ 2,k∈) sin
tan ( / , )
cos k k
α
α α π π
α
= ≠ + ∈ ; cot cos ( , )
sin k k
α
α α π
α
= ≠ ∈ ;
2
2
1 tan ( / , )
cos k k
α α π π
α
+ = ≠ + ∈ ; cot2 12 ( , )
sin k k
α α π
α
+ = ≠ ∈
3 Hàm số lượng giác góc có liên quan đặc biệt:
Góc
(*)
Đối
(−α)
Bù
(π α− )
Phụ
( / 2π −α)
Hơn kémπ
(π α+ ) Hơn kémπ/ ( / 2π +α)
Sin(*) -sinα sinα cosα -sinα cosα
Cos(*) cosα -cosα sinα -cosα -sinα
Tan(*) -tanα -tanα cotα tanα -cotα
Cot(*) -cotα -cotα tanα cotα -tanα
4 Các công thức lượng giác: 4.1 Công thức cộng cung:
(2)2
tan tan
tan( )
1 tan tan
α β
α β
α β
±
± =
4.2 Công thức nhân đôi cung: sin 2α =2sin cosα α
2 2
cos 2α =cos α −sin α =2cos α − = −1 2sin α
2 tan
tan (2 , / , )
1 tan k k
α
α α α π π
α
= ≠ + ∈
−
4.3 Công thức tính theo tan ( , )
2
t= α α π≠ +k π k∈ :
2 sin
1
t t α =
+ ;
2 cos
1
t t α = −
+ ;
2 tan
1
t t α =
−
4.4 Cơng thức tính theo cos 2α :
2 cos
sin
2
α
α = − ; cos2 cos
2
α
α = +
2 cos
tan ( / , )
1 cos k k
α
α α π π
α
−
= ≠ + ∈
+
4.5 Công thức nhân ba cung:
sin 3α =3sinα −4sin α ; cos3α =4cos3α −3cosα
2
3tan tan
tan tan( ).tan tan( )
1 3tan 3
α α π π
α α α α
α
−
= = − +
−
4.6 Công thức biến tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
2
α β α β
α + β = + −
cos cos 2sin sin
2
α β α β
α − β = − + −
sin sin 2sin cos
2
α β α β
α + β = + −
sin sin 2cos sin
2
α β α β
α − β = + −
sin( )
tan tan
cos cos
α β
α β
α β
±
± = ; cot cot sin( )
sin sin
β α
α β
α β
±
± =
4.7 Cơng thức biến tích thành tổng:
2cos cosα β =cos(α β− )+cos(α β+ ) 2sin sinα β =cos(α β− )−cos(α β+ ) 2sin cosα β =sin(α β− )+sin(α β+ )
(3)3
B- Các dạng phương trình lượng giác:
1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1 Lý thuyết:
* sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u x v x k x
u x v x k
u x v x k x
π
π π
= + =
= ⇔ ⇔ ∈
= − + =
* cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u x v x k x
u x v x k
u x v x k x
π π
= + =
= ⇔ ⇔ ∈
= − + =
* tan ( )u x =tan ( )v x ⇔u x( )=v x( )+kπ ⇔ =x (k∈) (ĐK: ( ), ( )u x v x ≠π/ 2+kπ)
* cot ( )u x =co v xt ( )⇔u x( )=v x( )+kπ ⇔ =x (k∈) (ĐK: ( ), ( )u x v x ≠kπ)
FChú ý: - Điều kiện để phương trình dạng: sinx = m (hoặc cosx = m ) có nghiệm
m ≤
- Các bước tiến hành giải phương trình lượng giác:
+ Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa (gồm bậc chẵn, phân số, logarit, tanx cotx, …)
+ Bằng phương pháp thích hợp đưa phương trình cho dạng
+ Nghiệm tìm phải đối chiếu với điều kiện đặt ra, nghiệm khơng thỏa mãn bị loại
- Các trường hợp đặc biệt:
sinx= ⇔ =0 x kπ ; sinx= ± ⇔ = ±1 x π/ 2+k2π
cosx= ⇔ =0 x π/ 2+kπ ; cosx= ⇔ =1 x k2π ; cosx= ⇔ =1 x (2k+1)π t an = 0x ⇔sinx=0 ; cot = 0x ⇔cosx=0
1.2 Bài tập:
Giải phương trình sau:
a) sin(2x+50 )o =cos(x+120 )o ; b) cos3x−sin 4x=0 c) sin 5x+cos5x= cos3x ; d) tan(x−π/ 5)+cotx=0
e) tan5x = cotx ; f) cos(110o −4 )x +sin(x−80 )o =0 g) cos(2x+3 / 4)π =sin( / 2π +x) ; h) 3.cos sin
3 x+ x= −
i) (cos 2x+cos ).(sinx x+sin 3x)=0 ; j) cos(4x−30 )o =cos30o k) sin(x+24 )o +sin(x+144 )o =cos 20o ;
l) cos (2 x−30 )o =sin (2 x−30 )o +sin(x+60 )o ;
m) tan 2 cot( / 4)
1 tan
x x
x
π
+ =
− ; n) cot 2x=cot(x−π/ 4) ;
o) cos sinx x+sin sinx x=cos sin 2x x+cos3 cosx x ;
p) tan tan 32 x x=1 ;
(4)4
r) tan 2 2 sin sin(5 )
1 tan 2
x
x x
x
π
− + =
− ;
Giải biện luận phương trình sau:
a) msinx + 2(m – 1) = (2m – 3)sinx – ; b) cos3x + m – = mcos3x ; Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
3 cos
2
a x
a
− =
− ?
2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO
MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2.1 Lý thuyết:
*Dạng: cosa u+ =b ; asinu+ =b (a≠0 ; u=u x( ))
FPhương pháp:
+ Biến đổi phương trình dạng: cosu b ; sinu b
a a
= − = −
+ Nếu b
a
− ≤ phương trình viết lại cosu=cosϕ ; sinu=sinα
cos ; sin b
a
ϕ α
= −
Nếu b
a
− > phương trình vơ nghiệm
+ Giải phương trình lượng giác cosu=cosϕ ; sinu=sinα (nếu có) *Dạng: tana u+ =b ; acotu+ =b
FPhương pháp:
+ Đặt điều kiện cho u để phương trình tồn
+ Biến đổi phương trình dạng: tanu b tan ; cotu b cot
a ϕ a α
= − = = − =
+ Giải phương trình lượng giác 2.2 Bài tập:
Giải phương trình sau:
a) 2sin
3
x π
− − =
; b) cot x
π
+ =
c) cos
3
x π
+ =
; d) 3−2sin 3x=0
e) cos (2 30 )
o
x− = ; f) tan tanx x=1
g) cot cot
4
x x+π = −
; h) 2sin (0 )
x
x
π π
+ = ≤ <
(5)5
l) (2sin 1)2 (2sin 1)(sin 3)
2
x− − x− x− =
m) sin (2cos 2).tan
4
x π x x
− + =
n) 3tan 2x−4 tan 3x=tan tan 22 x x ; o) sin cos
x x =
+
p)
3 sin
cos
3 cos
sin
4
x x
x x
π
π
+
=
+
; q) 4sin cos cos8x x x=1
r) t anx cot (3tan 3) (0 )
t anx x x x π
−
+ − = < <
+
s) tan sinx x+ 3(sinx− tan )x −3 3=0
t) tan3 12 3cot ( )
cos 2
x x x
x
π π π
− + − − = < <
x) sin sin sin sin ; ( , )
2
x x x π x π x π π
+ + + = ∈ −
y) cos sin sin 2 sin
3 3
x+ x+π + x−π = x−π
Giải biện luận phương trình :
a) 2( 1)sin sin
2
m+ x π − x= −m
b) mcos 2x−2m+ =3 (2m+3) osxc
c) (4m−1)sinx=msinx-8
d) msin cos cos cos 4x x x x−m+2=0
Định mđể phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện cho trước :
a) cos cos
3
m x−m = x− − < <π x π
b) 2t anx=tanx + m + (0 < x < )
m π
c) 2(1 t anx)=4 + 3m - 4tanx (0 < x < )
m − π
d) m2(cosx−cos )x +2(m2 +4) cos2x=m3+m2+4(cos 2x−cosx+1) (0< <x )π
3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO
MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3.1 Lý thuyết:
*Dạng: acos2u+bcosu+ =c 0; sina 2u+bsinu+ =c (a≠0 , u=u x( ))
(6)6
+ Đặt t = cosx ( t=sinx ); điều kiện t ≤1 + Phương trình trở thành: at2 + + =bt c
+ Giải phương trình bậc hai nhận nghiệm to thỏa điều kiện ta phương
trình: cosu = to (hoặc sin u = to )
*Dạng:
2
2
tan tan ( );
2
cot cot ( )
a u b u c u k
a u b u c u k
π π
π
+ + = ≠ +
+ + = ≠
(a≠0 , u=u x( ))
FPhương pháp:
+ Đặt t = tanx ( t=cotx )
+ Phương trình trở thành: at2 + + =bt c
+ Giải phương trình bậc hai nhận nghiệm to ta phương trình: tanu = to (hoặc
cot u = to )
3.2 Bài tập:
Giải phương trình sau:
a) 2sin2x−5sinx− =3 ; b) 4cos2x−2( 1) cos+ x+ 3=0 c) tan2x+ −(1 3) tanx− 3=0 ; d) cot2x−4cotx+ =3
e) 4sin2x−4sinx− =3 ; f) sin3x+3sin2x+2sinx=0
g) cos 2x+9cosx+ =5 ; h) sin 22 2cos2
4
x− x+ =
i) tan4x−4 tan2x+ =3 ; j) sin tan
2
x+ x=
k) 2cos tan
5
x+ x= ; l) 12 3cot2
cos x + x=
m) tan2
cosx + x= ; n)
1
( 1) tan (0 )
cos x x x
π
= − − + < <
Giải phương trình sau:
a) cos 4cos
3
x π π x
+ + − =
;
b) 2cos cos2 10cos 1cos
2 2
x
x+ − π −x+ = x
;
c) cos5 cosx x=cos cos 2x x+3cos2x+1 ; d)
2 t an x
cos
1+tan x
x− − + = ; e) cos 4x+sin cosx x=sin cos3x x ; f) cos 26 sin 26 15cos
8
x+ x= x− ; g) 4sin 2− x = 4cos 4− x ;
h) cos 2sin tan
2
x+ x− x+ = ; i) cos4 sin4 sin 3sin 22
4
x+ x− x+ x= ;
(7)7
4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINU VÀ COSU
4.1 Lý thuyết:
*Dạng: a.sinu + b.cosu = c ( , ,a b c≠0) (1)
FPhương pháp:
*Cách 1: (Phương pháp lượng giác )
Chia hai vế phương trình (1) cho a2+b2 ta được: (1)
2 2.sin 2.cos 2
a b c
u u
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
Vì
2
2 2
a b
a b a b
+ =
+ +
nên tồn số α để cos 2
a a b α = + ; 2 sin b a b α =
+ Khi (1) cos sin sin cos 2
c u u a b α α ⇔ + = + 2
sin(x ) c
a b
α
⇔ + =
+ Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:
2 2
2
c
a b c
a +b ≤ ⇔ + ≥
(J) Với điều kiện trên, đặt
2
sin c
a b
ϕ=
+ ta đưa (1) dạng
sin(x+α)=sinϕ
*Cách 2: (Phương pháp đại số )
+ Thử trực tiếp u= +π k2π xem có nghiệm phương trình (1) không? + Trường hợp u≠ +π k2π cos
2
u
⇔ ≠ , cách đặt tan
2
u
t= theo công thức A.4.3 ta có:
2
2
2
sin ; cos
1 t t u u t t − = =
+ + Khi :
(1)
2
2
2
2
( ) (*)
1
t t
a b c b c t at c b
t t
−
⇔ + = ⇔ + − + − =
+ +
Vì u≠ +π k2π ⇒ + ≠b c nên điều kiện pt có nghiệm khi:
2 2 2
( )
a c b a b c
′
∆ = − − ≥ ⇔ + ≥
Giải phương trình (*) tìm nghiệm to từđó giải pt: tan
2 o
u t
= FChú ý:
+ Ở cách đặt
2
sin a
a b
α =
+ ; cos 2
b
a b
α =
+
(1)
2
cos(x ) c
a b
α
⇔ − =
+
(8)8
+ Nếu a2+ =b2 c2 (1) ⇔sin(x+α) 1= 4.2 Bài tập:
Giải phương trình sau:
a) sinx+ cosx= ; b) 2sinx−5cosx=5
c) sinx−cosx= ; d) sin sin( )
2 x x
π π
+ + − =
e) 2sin sin
4
x π x π
+ + − =
; f)
2
2sin x+ sin 2x=3
g) 1sin 1sin 1sin 1sin
2 x+ x+ x+8 x=
h) sin 5x+cos5x= cos13x ; i) sin
1 cos
x x
+ =
+
j) 8sin2 3sin
2
x
x
− − = ;
k) sin cos 2cos2
8 8
x π x π x π
− − + − = +
;
l) 3cos 4sin
3cos 4sin
x x
x x
− + =
− − ;
m) cos sin
2sin cos
x x
x x
− =
+ ; n)
2
cos sin cos
2
x+ x x= ;
o) cos sin 2sin 2
6
x+ x+ x−π =
;
p) 8sin sin 6sin cos cos
4
x x+ x+π π − x= + x
;
q) 2cos3x+cos 2x+sinx=0 ; r) sin5 cos5 1
cos sin
x x
x x
− = − ;
s) 4(cos 4x−sin )x + =7 4(cos4x+sin4x) Định mđể phương trình sau có nghiệm :
a) (m2+2)sin2x+4 sin cosm x x=m2+3
b) 2sin2x−msin 2x+2(2−m) cos2x=4 có nghiệm ,
x∈π π
Chứng minh phương trình : sinx+mcosx=1 có nghiệm với m ? PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẦN NHẤT BẬC HAI
ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
5.1 Lý thuyết:
*Dạng: a.sin2x+b.sin cosx x+c.cos2x=0 (**) (với a b c, , ∈,a2+ + ≠b2 c2 0)
FPhương pháp:
(9)9
+ Xét xem cos
2
x= ⇔ = +x π kπ có nghiệm (**) khơng cách thử trực tiếp
+ Trường hợp cos
2
x≠ ⇔ ≠ +x π kπ Chia hai vế phương trình (**) cho
cos x≠0 ta phương trình bậc hai :
.tan tan
a x+b x+ =c
Giải phương trình tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện :
x≠ +π kπ *Cách 2: (Hạ bậc đưa dạng bậc sin cos) + Dùng công thức hạ bậc :
2 cos
sin
2
α
α = − ; cos2 cos
2
α
α = + ; sin cos 1sin 2
α α = α
+ Ta có: (**) cos sin cos
2 2
x x x
a − b c +
⇔ + + =
sin ( ) cos 2
b x c a x d a c
⇔ + − = − −
+ Giải phương trình dạng bậc theo sin2x cos2xđã biết
FChú ý:
+ Ở cách ta chia hai vế cho sin2x (với điều kiện sin2x≠0) để đưa phương trình dạng bậc hai theo cotx
+ Ở phương trình (**) a = c = 0, để đơn giản ta nên đưa phương trình tích
+ Đối với phương trình dạng :
a.sin2x+b.sin cosx x+c.cos2x=d ( , , ,a b c d∈,a2+ + ≠b2 c2 0) ta có thểđưa dạng bậc hai cách viết d =d(sin2x+cos2x)
5.2 Bài tập:
Giải phương trình sau:
a) ( 1)sin+ 2x−2 sin cosx x+( 1) cos− 2x=0 ; b) 4sin2x+3 sin 2x−2cos2x=4 ;
c) sin2 sin cos 2cos2
2
x+ x x+ x= + ;
d) sin3x+2sin2x.cosx−3cos3x=0 ;
e) ( 1)sin+ 2x− sin 2x+( 1) cos− 2x=0 ; f) sin2x+ −(1 3)sin cosx x−cos2x+ −1 =0 ;
g) sin cos sin2
2
x x− x= − ; h) 3cos2x+4sin cosx x−sin2x= +2 3; Định mđể phương trình sau có nghiệm :
a) msin2x+sin 2x+3 cosm 2x=1 ;
(10)10
6 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
6.1 Lý thuyết:
*Dạng: (sina x+cos )x +bsin cosx x+ =c
FPhương pháp:
+ Đặt sin cos sin
4
t = x+ x= x+π
, điều kiện t ≤
Khi đó:
2 sin cos
2
t
x x= −
+ Phương trình viết lại:
2
2
t
at+b − + =c ⇔bt2+2at+2c− =b
+ Giải phương trình bậc hai theo t nhận nghiệm to thích hợp, ta phương
trình sin
4 o
x π t
+ =
FChú ý: Đối với phương trình dạng : (sina x−cos )x +bsin cosx x+ =c 0, cách
đặt sin cos sin
4
t= x− x= x−π
, điều kiện t ≤
6.2 Bài tập:
Giải phương trình sau:
a) 2(sinx+cos )x +6sin cosx x− =2 ; b) 2sin 2x−3 3(sinx+cos )x + =8 ; c) (1− 2)(1 sin+ x−cos )x =sin 2x ; d) cosx−sinx+3sin 2x− =1 ;
e) (sinx−cos )x 2−( +1)(sinx−cos )x + =0 ; f) 2sin 2x−3 sinx+cosx + =8 ;
g) sin 2 sin
4
x+ x−π =
;
h) sin3x+cos3x= +1 ( 2−2)sin cosx x ; i) cos3x−sin 3x=cos 2x ;
j) sin cos cos
1 sin
x
x x
x
+ =
− ;
k) 5(sinx+cos )x +sin 3x−cos3x=2 2(2+sin )x ; l) 2(tanx−sin )x +3(cotx−cos )x + =5 ;
m)
2
3 cos tan
1 sin
x x
x
− =
− ; n) sin 2x 3 cos x 4
π
− − + =
Định m để phương trình sau có nghiệm : a) sin cosx x−sinx−cosx+ =m ;
(11)11
c) 4sin sin 4cos cos cos2
4 4
x x+ x−π x+π − x+π + =m
Tìm mđể phương trình: sinx+cosx= +m sin 2x vô nghiệm
Xác định m để phương trình: cos3x+sin3x= +1 msin cosx x có nghiệm thuộc
;
π π
?
7 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT
7.1 Lý thuyết:
FPhương pháp 1:
Một số phương trình lượng giác khơng dạng tắc, ta sử dụng cơng thức lượng giác thích hợp để biến đổi đưa dạng phương trình tích :
1( ) ( ) ( )2 n 1( ) 2( ) n( ) f x f x f x = ⇔ f x = ∨ f x = ∨ ∨ f x =
FPhương pháp 2:
Nếu việc phân tích thành tích khơng thực được, ta cố gắng biểu diễn tất các số hạng hàm số lượng giác nhất, ẩn số phương trình
Các quy tắc chọn ẩn số bản:
*Nếu phương trình khơng đổi ta thay : + x (-x) ⇒chọn ẩn cosx
+ x (π −x) ⇒chọn ẩn sinx + x (π +x) ⇒chọn ẩn tanx
*Nếu phương trình khơng đổi ta thay ba cách chọn ẩn cos 2x *Nếu phương trình thay đổi ta thay ba cách chọn ẩn tan
2
x
7.2 Bài tập:
Giải phương trình sau:
a) sinx+sin 3x+sin 5x=0 ; b) tan3x+tan2x−3tanx=3 ; c) 2sin cos 2+ x x=sinx+2cos 2x ; d) sin (sinx x−cos ) 0x − = ; e) cosx−cos 2x=sin 3x ; f) cos 7x+sin 8x=cos3x−sin 2x ; g) tan 3x−tanx=sin 2x ; h) tan sin 22
cos
x x
x
−
+ = ;
i) (sinx−sin )(sinx x+sin )x =sin 32 x ;
j) sin3x+cos3x=cos 2x ; k) sin6x+cos6x=sin4x+cos4x ;
l) sin tan
2
x
x+ = ; m) sinx+sin 3x+4cos3x=0 ;
n) sin2 sin 32 sin 52
x+ x+ x= ; o) sin 2x= +1 cosx+cos 2x ; p) (1 tan )(1 sin ) tan− x + x = + x ; r) sin4 5cos4
3
x+ x= ; s) 2cos6x+sin4x+cos 2x=0 ; t) sin cot
2
x
x+ = ;
(12)12
y) sin sin sin cos ( )
1 cos
x x
x x x
x π π
− = + < <
− ;
z) tan3 12 3cot
cos x x x π + − − = ;
w)3sin 4sin( ).sin 8cos2
2 2
x
x x x
π π π
− − + + + =
Định m để hai phương trình sau tương đương :
1 cos 2+ x+cos3x=2cos cosx x (1)
4cos x−cos3x=mcosx+ −(4 m)(1 cos )+ x (2) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT 8.1 Lý thuyết:
* Ngoài phương trình nêu, ta gặp số phương trình mà giải phải dùng số cách đặc biệt :
8.1.1 Phương pháp tổng bình phương :
1
2 2
1 0 0 n n A A
A A A
A = = + + + = ⇔ =
8.1.2 Phương pháp đối lập ( Chặn chặn hai vế ) :
A m A m B m B m A B ≥ = ≤ ⇔ = =
8.1.3 Phương pháp phản chứng : 1 1 1 A A A A B B B B
A B A B
≤ = ≤ ⇔ = + = +
*Chú ý :
sin
cos
sin cos
sin cos A B A B A B = = = ⇔ = − = −
8.2 Bài tập:
Sử dụng 8.1.1, giải phương trình sau:
a) x2+2 sin(x xy) 0+ = ; b) (sin )x 10+(cos )y 2010 =0 Sử dụng 8.1.2, giải phương trình sau:
a) (cos 4x−cos )x = +5 sin 3x ; b) 2sin2 2 3
x
x x
= − +
Sử dụng 8.1.3, giải phương trình sau:
(13)13