BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9

BỘ ĐỀ ƠN THI HSG TỐN LẦN – NĂM HỌC 2016-2017 PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ Câu (6 điểm) Thực phép tính: 2+ 2- + a) A = 2+ 4+2 2- 4-2 b) B = 2+ + 2+ + 2− − 2− c) P =sinα + cosα biết rằng: tanα + cotα = 00 < α < 900 Câu (4 điểm) a) Cho x, y số thực cho x + 1 y + số nguyên y x số nguyên x y2 b) Chứng minh rằng: n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với n số nguyên chẵn Câu (4 điểm) Giải phương trình sau: 2 Chứng minh x y + x + − x −1 + x + + x −1 = a) b) x + + x − = 5x Câu (5 điểm) Cho ∆ABC có đường phân giác cắt I Qua I kẻ đường thẳng vng góc với AI, đường thẳng cắt AB, AC M,N Chứng minh rằng: a) ∆BMI ∽ ∆BIC b) BI CN = CI BM BM CN AI c) + = 1AB AC AB.AC Câu (1 điểm) Chứng minh a + b + c = 1 1 + + = a b c abc b + c ≥ abc HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý a) A= 2+ 2+ 4+2 + 2- 2- 4-2 Nội dung 2+ = 2+ ( Điểm ) +1 2- + 2- ( ) −1 0,5 đ 4+2 4-2 2+ 2- + = = 3+ + 3- 3+ 3- = ( ) +1 ( ( ) +1 ( + ) −1 ( Tương tự − = − = Do : 2+ + 2+ b) = = ( ) +1 + ) +1 ( ) +1 + ( ( ( − 2− ( ) −1 2 2− 6+ ) −1 ) 2− 2 2+ 6+ ( + ( ( -1 Biến đổi: + = + = B= ) 1,0 đ ) 0,25 đ ) 0,25 đ +1 −1 ) +1 ( 2 = 2+ ( = ) 3 +1 −1 + = =1 3 = ( 0,5 đ +1 ) +1 2+ ) −1 0,5 đ + −1 2− ( + ) −1 2− 0,5 đ ) −1 = + + −1 = = 6 0,5 đ cos α sin α + =3 cos α sin α sin α + cos α ⇔ =3 cos α sin α ⇔ =3 cos α sin α ⇔ cos α sin α = 0,5 đ Ta có: tanα + cotα = ⇔ c) 2 P2 = (cos α + sin α ) = cos α + cos α sin α + sin α = + cos α sin α = + ⇒ P = cos α + sin α = a) ( Vì cos α + sin α > )   1 , y + ∈ Z nên  x + ÷ y + ÷ ∈ Z y y  x x  1 ⇒ xy + + ∈ Z ⇒ xy + ∈Z xy xy Do x + 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ = 3 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5 đ 2 1   2 2 ⇒  xy + ∈ Z ⇒ x y + 2 +2 ∈ Z ⇒ x y + 2 ∈ Z ÷ x y x y xy   b) Ta có: n3 + 6n2 + 8n = n( n2 + 6n + 8) = n(n2 + 4n + 2n + 8) = = n[n(n+4) + 2(n+4)] = n(n+2)(n+4) Thay n=2k Ta có: n(n+2)(n+4) = 8k(k+1)(k+2) Vì M8 k(k+1)(k+2) M6 Vậy: 8k(k+1)(k+2) M48 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x + − x −1 + x + + x −1 = ⇔ a) ( x −1 − ) + ( x −1 + ⇔ x −1 − + ⇔ x −1 − = − ⇔ x −1 − = − x −1 ) =5 0,5 đ x −1 + = ( x −1 + 0,25 đ ) 0,25 đ 0,25 đ ⇔ x −1 − ≤ 0,25 đ ⇔ x −1 ≤ ⇔ x≤5 0,25 đ 0,25 đ x + + x − = 5x 3 0,5đ 0,25 đ ⇔ x + + x − + 3 ( x + 2)( x − 2)( x + + x − 2) = x ⇔ x + 3 x − x = x b) 0,25 đ ⇔ x( x − 4) = x 0,25 đ ⇔ x( x − 4) = x3 0,25 đ ⇔ x − 20 x = 0,25 đ ⇔ x( x − 5) = 0,25 đ ⇔ x = 0; x = ± A 12 N M I 12 B C · BAC · BIC = 900 + ã BAC ã BMI = 900 + ả · · ⇒ BIC mà B1 = B = BMC Tính được: a) b) c) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ⇒ ∆BMI ∽∆BIC (g.g) (1) Tương tự câu a) ta chứng minh ∆INC ∽∆BIC (g.g) (2) BM IM BI = = Từ (1), (2) ⇒ ∆BMI ∽∆INC ⇒ (3) IN NC IC BI BM ⇒  ÷ = ⇒ BI NC = IC BM NC  IC  Từ (3) ⇒ BM NC = IM IN = IM2 = AM2 – AI2 = AM AN – AI2 (vì ∆AMNcân) = (AB – BM)(AC – CN) – AI2 = AB AC – AB CN – BM AC + BM CN –AI2 ⇒AB CN + BM AC = AB AC – AI2 BM CN AI ⇒ + = 1AB AC AB.AC Từ giả thiết suy a + b + c = Với x, y ta có (x – y)2 ≥ ⇒ (x + y)2 ≥ 4xy Cho x = a , y = b + c ta (a + b + c)2 ≥ 4a(b +c) ⇒ 22 ≥ 4a(b +c) ⇒ b + c ≥ a(b +c)2 (vì b + c > 0) mà a(b +c)2 ≥ a 4bc = 4abc nên b + c ≥ 4abc UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ĐỀ x −1 x + x +1 + x −1 + x x x −1 a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b Tìm số ngun x để P có giá trị ngun Câu 2: (5 điểm) a Chứng minh với số nguyên n thì: n3 + 5n chia hết cho b Giải phương trình: x + = 2 x − c Tìm số nguyên x, y thõa mãn: xy2 + 3x = 21 + 3y2 Câu 3: (4 điểm) 4a a Cho a >1 Tìm giá trị nhỏ của: M = a −1 b Cho ba số x,y,z khác thõa mãn: x + y + z = xy + yz + zx Tính giá trị biểu thức: A = (2015 − 2014 x 2013 y 2012 z )(2014 − )(2013 − ) y z x c Cho số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = x + > 0; y + > 0; z + > x y z Chứng minh rằng: x + + y + + z + ≤ Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có trung tuyến AM, đường cao AH Trên mặt phẳng bờ BC kẻ hai tia Bx Cy vng góc với BC Kẻ từ A đường thẳng vng góc với AM cắt Bx Cy P Q Chứng minh : a AP = BP AQ = CQ b PC qua trung điểm AH c HA tia phân giác góc PHQ Câu 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC, M thuộc miền tam giác, dựng vuông góc từ điểm M xuống cạnh BC,CA,AB A’,B’,C’ Tính : MA'+ MB '+ MC ' BA'+CB '+ AC ' HD CHẤM Câu Ý A 2,0 Nội dung cần đạt P= x −1 x + x +1 + x −1 + = = = = x −1 x + x +1 + x −1 ( x − 1) ( x + x + 1)( x − 1) + + ( x + x + 1)( x − 1) x −1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 x x −1 ( x − 1) + x + x + + x 2( x + x + 1) B x ( x + x + 1)( x − 1) ( x + x + 1)( x − 1) A x x −1 x + x +1 Bảng x ĐK: x ≥ 0, x ≠ Rút gọn: P= Bảng + x ( x + x + 1)( x − 1) Với x nguyên x ≥ 0, x ≠ 1Ta có: P nguyên nguyên x −1 hay x − ∈ Ư(2) = { ± 1;±2} B 2,0 0, 25 0, 25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy P nguyên giá trị nguyên x thõa mãn x ∈ { 0;4;9} 0,25 0,25 Ta có: n3 + 5n = n3 –n + 6n = (n-1)n(n+1) + 6n 0,5 0,5 Có: (n-1)n(n+1) tích số nguyên liên tiếp nên: (n-1)n(n+1) 6 0,5 0,5 x − = -1 ⇒ x = x −1= ⇒ x = x − = -2 (loại) x −1= ⇒ x = A 2,0 Mặt khác: 6n 6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5  x − x − = ⇔ ⇒ x = 1(tm)  x + x − + = 0(vônghiêm) 0,5 0,5 0,25 0,25 Phương trình có nghiệm: x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy n + 5n 6 Phương trình: x + = 2 x − ĐK: x ≥ x + = 2x − ⇔ x + x + − (2 x − 1) − 2 x − − = ⇔ ( x + 1) − ( x − + 1) = ⇔ ( x + − x − − 1)( x + + x − + 1) = B 2,0 C 2,0 ⇔ ( x − x − 1)( x + x − + 2) = 2 xy + 3x = 21 + 3y ⇔ xy2 + 3x - 3y2 - = 12 ⇔ (x – 3)(y2 + 3) = 12 Do x,y nguyên nên y2 + ước 12 Mặt khác : y2 + ≥ nên y2 + ∈ { 3;6;12} 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a ( a − 4) + 4 = = 4(a + 1) + a −1 a −1 a −1 = 4(a − 1) + +8 a −1 ≥ 4.2 (a − 1) + = 16 a −1 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy giá trị nhỏ của: M = 16 a =2 Do x,y,z khác 0,25 0,75 0,5 0,5 ⇔ 2( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx) = 0,25 0,5 ⇔ ( x − xy + y ) + ( y − yz + z ) + ( z − zx + x ) = 0,25 0,5 ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) = ⇔x= y=z 0,25 0,25 0,25 0,25 y2 + = ⇒ y = ⇒ x = 7(t/m) y2 + = ⇒ y = ± (loại) y + = 12 ⇒ y = ± (tm) ⇒ x = Vậy cặp số nguyên (x ;y) thõa mãn : (7 ;0) ;(3 ;4) ;(-3 ;4) với a,b,c >1 Ta có: A 1,5 x + y + z = xy + yz + zx ⇔ 2( x + y + z ) = 2( xy + yz + zx) B 1,5 2 2 Vậy: A = x C 1,0 y z 2 Ta có: x + + y + + z + = − ( x + + y + + z + ) 0,25 Có x + y + z = x + > ; y + > ; z + > Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 0,25 [ ]  2 2 2 ( x + 2) + ( y + 2) + ( z + 8)  ( ) + ( ) + ( ) ≥ y+2 z +8   x+2 ( + + ) = 32 2 ⇒ 12( + + ) ≥ 32 x+2 y +2 z +8 2 8 ⇒ + + ≥ x+2 y +2 z +8 0,25 x y z Vậy: x + + y + + z + ≤ − = 0,25 Dấu “=” xảy khi: x = y=1, z = -2 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,75 0,75 0,75 0,75 Do Tam giác ABC vuông A nên: MA = MB = MC Từ cặp tam giác vuông sau nhau: ∆ PBM = ∆ PAM ∆ QAM = ∆ QCM ( canh huyền-cạnh góc A 2,5 vng) ⇒ PA = PB, QA = QC B 2,0 Ta có: ∆ BPH ~ ∆ CQH( ∠ B= ∠ C=900 ∠ BPH = ∠ CHQ) Từ đó: BP.CH = BH.QC (*) Gọi giao điểm PC AH I Có: AH // BP//CQ(cùng vng BC) ⇒ HI CH AI PI BH = = = PB CB CQ PC BC ⇒ HI = PB.CH CQ.BH AI = (**) CB BC Từ (*) (**) : HI = AI hay PC qua trung điểm AH Gọi giao điểm PH CQ K Do AH// QK AI PI 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 HI * ta có: QC = PC = KC C 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 Mặt khác: theo câu a có: AI = HI nên CQ = CK tam giác HQK cân H Từ đó: ∠ HQK = ∠ KQH (1) * ∠ AHQ = ∠ HQK ∠ PHA = ∠ HKQ (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có: ∠ PHA = ∠ AHQ hay HA tia phân giác 0,25 góc PHQ Từ M kẻ đường // AB,BC,CA cắt cạnh điểm hình vẽ Ta có: AC’ = AC1 + C1C’ = A2A1 + 1/2AA2 CB’ = CA1 + 1/2A2A1 BA’ = BB1 + B1A’ = AA2+ 1/2CA1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AC’+ CB’+ BA’ = AC Mắt khác : (MA’ + MB’ + MC’ )AC = 2SABC = AC h( với h độ đường cao ) Vậy: 0,25 0,25 MA'+ MB '+ MC ' 2h = = ( tam giác ABC đều) BA'+CB '+ AC ' AC PHÒNG GD – ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ Câu 1:(5,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 16 − 31 − 16 + 31 + b) Chứng minh với số nguyên n thì: n3 + 3n2 – 2014n chia hết cho Câu 2: ( điểm) a) Giải phương trình: x − x ( x − 1) = x b) Cho a, b, c số thực đôi khác khác thỏa mãn: a2 – b = b2 – c = c2 – a Tính giá trị biểu thức: P = (a +b)(b + c)( c + a) c) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: 3x + = y2 Câu 3:(4,0 điểm) a) Cho x, y, z số thực Chứng minh rằng: 2xy – yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a b c + + 2 9b + 9c + 9a + Câu 4(5,0 điểm) Cho hình vng ABCD M trung điểm cạnh AB Đường thẳng qua A vng góc với DM cắt BD E, cắt BC F AC cắt BD O a) Chứng minh: 9DE.EB = 4AB2 b) Gọi I trung điểm OD Chứng minh rằng: AI ⊥ IF Câu 5(1,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 4cm Trên mặt phẳng có bờ chứa đường thẳng AB lấy điểm M cho ·AMB = 900 Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) Tìm vị trí điểm H đoạn AB cho diện tích tam giác AMH lớn ………………… Hết ……………………… 10 Vậy giá trị lớn A (6đ) a = b = 0,5 Vẽ hình: a 2đ a) Xét tứ giác AEDF có µA = µ E = ¶F = 900 DE = DF nên AEDF hình vng 0,5 Vì AD = d ⇒ AE = ED = DF = FA = d ⇒ chu vi hình tứ giác AEDF = 2d ; ⇒ Diện tích tứ giác AEDF = d2 2 b) SΔABD = DE AB = cd ; 0,5 0,25 ⇒ 0,5 0,25 0,5 2bd + 2dc = 2bc ⇒ 1+1= b c d c 2đ 0,25 DF AC = bd ; 1 SΔABC = AB AC = bc 2 SΔABC = SΔABD + SΔACD SΔACD = b 2đ 0,5 0,5 (chia vế cho 2bcd ) c) Kẻ BH CK vng góc với AD A BH CK BH + CK BC Sin = ≤ = = AB AC AB + AC AB + AC ⇒ A ≥ Sin AB + AC BC 0,25 0,25 0,25 0,25 34 AB + BC B ≥ Tương tự có: ; Sin AC AC + CB C ≥ Sin AB Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có : 1 AB + AC AB + BC AC + CB + + A B C ≥ + + Sin Sin Sin BC AC AB 2 1 AB BC AC BC AC AB + + ⇒ + )+( + )+( + ) A B C ≥( Sin Sin Sin BC AB BC AC AB AC 2 1 + + ⇒ A B C ≥ 2+2+2=6 Sin Sin Sin 2 Chú ý khơng xẩy dấu " = " ΔABC không UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh : n3 – 7n M6 với số nguyên n b) Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khơng số phương với số tự nhiên n khác Câu 2: (6 điểm) a) Cho A = 20132 + 20132.20142 + 20142 Chứng minh A số tự nhiên b) Giải phương trình: x + 24 + = x + x + c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x − y = y + 44 Câu 3: (5 điểm) a) Cho x, y hai số dương Chứng minh: x4 y y4 x2 ( x + y) + ≤ x + y + x3 y + x + y 16 1 b) Cho hai số a, b dương thỏa mãn: + = Tìm giá trị lớn biểu thức: a b A= 1 + 2 a + b + 2ab b + a + 2ba 35 Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB = c, AC = b, đường phân giác AD = d Gọi E, F thứ tự hình chiếu D AB AC a) Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF ? 1 b) Chứng minh: = + d b c ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG B Câu Ý Nội dung a 2đ n3 – 7n = n3 – n – 6n = n( n2 – ) – 6n = ( n – )n( n + 1) – 6n Vì ( n – )n( n + 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6n chia hết ( n – )n( n + 1) – 6n chia hết cho (4đ) Vậy n3 – 7n M6 với số nguyên n b 2đ (6đ) 0,5 2 0,5 ⇒ A > (n + 3n) với n ≥ (1) 2 2 A + = (n + 3n) + 2(n + 3n) +1 = (n + 3n +1) ( 2) Từ (1) (2) suy ra: (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A khơng số phương 0,5 0,5 Đặt 2013 = a 0,25 2 0,5 20132 + 20132.20142 + 20142 = a + a (a + 1) + (a + 1) b 2đ 0,5 Ta có : A = (n + 3n)(n + 3n + 2) = (n + 3n) + 2(n + 3n) Ta có a 2đ Biểu điểm 0,5 0,5 0,25 = a (a + 1) + a + a + 2a + 0,25 = [ a(a + 1)] + 2a(a + 1) + 0,5 = (a + a + 1)2 = a + a + 0,5 Vậy A = 20132 + 2013 + số tự nhiên Pt ⇔ x + 24 − x + = x − (1) Vì x + 24 > x + ⇒ x − > ⇔ x > 0,25 (1) ⇔ ( x + 24 − 5) − ( x + − 3) = 3( x − 1) ⇔ x2 −1 x + 24 + − x2 −1 x2 + + = 3( x − 1) 0,25 0,25 0,25 36 ⇔ ( x − 1)( (5đ) a 3đ x +1 − 3) = x + 24 + x +8 +3 (TM)  x −1 = ⇔ x =  ⇔ x +1 x +1  − −3 = x2 + +  x + 24 + Vì x > ⇒ x + > , kết hợp : x +1 x +1 x + 24 + > x + + ⇒ < x + 24 + x2 + + x +1 x +1 ⇒ − −3< 2 x + 24 + x +8 +3 Vậy pt có nghiệm x = 0,25 x − y = y + 44 ⇔ x − ( y + y + 9) = 35 ⇔ ( x + y + 3)( x − y − 3) = 35 Vì x + y + > x − y − nên từ (*) ta có trường hợp sau: 0,25 c 2đ x +1 − 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25  x + y + = 35 x + y + = (1) (2)   x - y - = x - y - = Thiếu trường hợp trừ 0,5 điểm Giải hai trường hợp phương trình có nghiệm ngun dương : ( x; y ) = { (18;14)} Với x,y ta có: ( x − y ) = x + y − x y ≥ 0,25 1,0 0,5 0,5 ⇒ x4 + y ≥ x2 y ⇒ x + y + x3 ≥ x y + x3 = x ( x + y ) ⇒ với x,y dương thì: ⇒ 0,5 1 ≤ 2 x + y + 2x 2x ( x + y) (1) x4 y x4 y2 x2 y ≤ = x + y + x x ( x + y ) 2( x + y ) Chứng minh tương tự ta có: Từ (1) (2) suy ra: Ta lại có: xy ≤ Suy ra: 0,5 y4 x2 x2 y2 ≤ y + x + y 2( x + y ) (2) x4 y y4 x2 x2 y2 + ≤ x + y + x3 y + x + y x + y ( x + y)2 ( x + y)4 ⇒ x2 y ≤ 16 x4 y2 y x2 ( x + y) + ≤ 4 x + y + 2x y + x + 2y 16 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 37  x2 = y  Dấu xẩy khi:  x = y ⇔ x = y =  x; y >  Đặt 1 = x > 0; = y > ⇒ x + y = a b ⇒ A= b 2đ x4 y2 y x2 + x + y + x3 y + x + y Theo câu a ( x + y) A≤ (5đ) 0,5 23 = 16 0,5 a = b = 0,5 = 16 Dấu “ = “ xẩy x = y = Vậy giá trị lớn A 0,5 Vẽ hình: 0,5 a (2đ) b (2,5đ) a) Xét tứ giỏc AEDF cú àA = E = ảF = 900 DE = DF nên AEDF hình vng 0,5 Vì AD = d ⇒ AE = ED = DF = FA = d ⇒ chu vi hình tứ giác AEDF = 2d ; ⇒ Diện tích tứ giác AEDF = d2 2 b) SΔABD = DE AB = cd ; 0,5 DF AC = bd ; 1 SΔABC = AB AC = bc 2 SΔABC = SΔABD + SΔACD 0,5 SΔACD = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 38 ⇒ 0,25 2bd + 2dc = 2bc ⇒ 1+1= b c d PHÒNG GD &ĐT NGHĨA ĐÀN (chia vế cho 0,25 2bcd ) ĐỀ 10 Bài (4 điểm) Cho biểu thức: x −9 x + x +1 − − A= x−5 x +6 x − 3− x a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Bài (4 điểm) ≥ a) Chứng minh với ∀ x, y > + y x+ y x b) Cho a, b, c > ab + bc + ca = 36abc Tìm GTLN biểu thức: 1 + + M= 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Bài (6 điểm) ( Thí sinh bảng B khơng phải làm 3c) x2 a) Giải phương trình: + x2 − = − x2 b) Biết sin α = 0o < α < 90o Tìm giá trị biểu thức: B = sin2 α + 2cos2 α c) Tìm số tự nhiên để n + 18 n − 41 hai số phương Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Gọi D, F H trung điểm AB, AC BC, O giao điểm đường trung trực ∆ ABC; G E tương ứng trọng tâm ∆ ABC ∆ ACD Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC I Chứng minh: GH HI = a, AD DO b, ∆ ADG ~ ∆ DOE Từ suy OE ⊥ CD Bµi (1 điểm) Chứng minh tam giác mà độ dài đường trung tuyến bé diện tích tam giác bé 0,67 39 a, Điều kiện : x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x −9 x + x +1 A= − − x −5 x +6 x − 3− x = = = = ( x −9 x −3 )( x −9− 0,5 0,5 x + x +1 − + x −2 x −3 x −2 ( ) x +3 ( )( ) ( 0,5 )( x − + x +1 x −3 )( x −2 ) x −2 x − − x + + 2x + x − x − ( x −3 )( x −2 ( ( x − 3) ( x − ) ( x− x −2 b, A = + * * * * * * = ) )( x − 3) ( x +1 nguyên ⇔ )= x − 2) x −2 x −3 x −3 x − = ⇒ x = 16 x − = -1 ⇒ x = (loại) x − = ⇒ x = 25 x − = -2 ⇒ x = x − =4 ⇒ x = 49 0,5 0,5 0,5 x +1 x −3 nguyên ⇒ x − ∈ Ư(4) 0,25 0,25 0,25 0,25 x − =- : Khơng có x Vậy x ∈ {1;16;25;49} ∀x, y > 0, ( x + y ) ≥ ) ⇔ ( x + y ) ≥ xy x+ y a) ⇔ ≥ xy x+ y 1 ⇔ + ≥ x y x+ y b) Áp dụng BĐT câu a), ta có: 1 1 1 ≤ ( + )≤ + + 2a + b + c 2a b + A c 8a 16b 16c 1 1 ≤ + + 2b + a + c 8b 16a 16c 1 1 ≤ + + 2c + b + a 8c 16b 16a 1 1 ab + bc + ca ⇒M ≤ ( + + )= a b c E4abc F D 36abc ⇔M ≤ =9 4abc 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 O Dấu “=” xảy a =Gb = c =1/12 Vậy GTLN M a) B x 2H I + x − = 8C− x (1) 40 BỘ ĐỀ ÔN THI HSG TOÁN – LẦN 1- NĂM HỌC 2016-2017 PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ Câu (6 điểm) Thực phép tính: a) A = 2+ + 2+ 4+2 2+ b) B = 2- 2- 4-2 2− + + 2+ − 2− c) P =sinα + cosα biết rằng: tanα + cotα = 00 < α < 900 Câu (4 điểm) a) Cho x, y số thực cho x + 2 Chứng minh x y + 1 y + số nguyên y x số nguyên x y2 b) Chứng minh rằng: n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với n số nguyên chẵn Câu (4 điểm) Giải phương trình sau: x + − x −1 + x + + x −1 = a) b) x + + x − = 5x Câu (5 điểm) Cho ∆ABC có đường phân giác cắt I Qua I kẻ đường thẳng vng góc với AI, đường thẳng cắt AB, AC M,N Chứng minh rằng: a) ∆BMI ∽ ∆BIC b) BI CN = CI BM c) BM CN AI + = 1AB AC AB.AC Câu (1 điểm) Chứng minh a + b + c = 1 1 + + = a b c abc b + c ≥ abc UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD & ĐT Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P = ĐỀ x −1 + + x x + x +1 x −1 x x −1 d Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P e Tìm số ngun x để P có giá trị nguyên 41 Câu 2: (5 điểm) a Chứng minh với số nguyên n thì: n3 + 5n chia hết cho b Giải phương trình: x + = 2 x − c Tìm số nguyên x, y thõa mãn: xy2 + 3x = 21 + 3y2 Câu 3: (4 điểm) a Cho a >1 Tìm giá trị nhỏ của: M = 4a a −1 b Cho ba số x,y,z khác thõa mãn: x + y + z = xy + yz + zx Tính giá trị biểu thức: A = (2015 − 2014 x 2013 y 2012 z )(2014 − )(2013 − ) y z x f Cho số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = x + > 0; y + > 0; z + > Chứng minh rằng: x y z + + ≤ x+2 y +2 z +8 Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có trung tuyến AM, đường cao AH Trên mặt phẳng bờ BC kẻ hai tia Bx Cy vng góc với BC Kẻ từ A đường thẳng vng góc với AM cắt Bx Cy P Q Chứng minh : d AP = BP AQ = CQ e PC qua trung điểm AH f HA tia phân giác góc PHQ Câu 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC, M thuộc miền tam giác, dựng vng góc từ điểm M xuống cạnh BC,CA,AB A’,B’,C’ Tính : MA'+ MB '+ MC ' BA'+CB '+ AC ' PHÒNG GD – ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ Câu 1:(5,0 điểm) c) Rút gọn biểu thức: A = 16 − 31 − 16 + 31 + d) Chứng minh với số nguyên n thì: n3 + 3n2 – 2014n chia hết cho Câu 2: ( điểm) d) Giải phương trình: x − x ( x − 1) = x e) Cho a, b, c số thực đôi khác khác thỏa mãn: a2 – b = b2 – c = c2 – a Tính giá trị biểu thức: P = (a +b)(b + c)( c + a) f) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: 3x + = y2 42 Câu 3:(4,0 điểm) c) Cho x, y, z số thực Chứng minh rằng: 2xy – yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 d) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a b c + + 2 9b + 9c + 9a + Câu 4(5,0 điểm) Cho hình vng ABCD M trung điểm cạnh AB Đường thẳng qua A vng góc với DM cắt BD E, cắt BC F AC cắt BD O c) Chứng minh: 9DE.EB = 4AB2 d) Gọi I trung điểm OD Chứng minh rằng: AI ⊥ IF Câu 5(1,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 4cm Trên mặt phẳng có bờ chứa đường thẳng AB lấy điểm M cho ·AMB = 900 Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) Tìm vị trí điểm H đoạn AB cho diện tích tam giác AMH lớn PHỊNG GD – ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ Câu 1:(5,0 điểm) c) Rút gọn biểu thức: A = 16 − 31 − 16 + 31 + d) Chứng minh với số nguyên n thì: n3 + 3n2 – 2014n chia hết cho Câu 2: ( điểm) c) Giải phương trình: x − x ( x − 1) = x d) Cho a, b, c số thực đôi khác khác thỏa mãn: a2 – b = b2 – c = c2 – a Tính giá trị biểu thức: P = (a +b)(b + c)( c + a) Câu 3:(4,0 điểm) c) Cho x, y, z số thực Chứng minh rằng: 2xy – yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 d) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a b c + + 2 9b + 9c + 9a + Câu 4(5,0 điểm) Cho hình vng ABCD M trung điểm cạnh AB Đường thẳng qua A vuông góc với DM cắt BD E, cắt BC F AC cắt BD O c) Chứng minh: 9DE.EB = 4AB2 d) Gọi I trung điểm OD Chứng minh rằng: AI ⊥ IF Câu 5(1,0 điểm) 43 Cho đoạn thẳng AB = 4cm Trên mặt phẳng có bờ chứa đường thẳng AB lấy điểm M cho ·AMB = 900 Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) Tìm vị trí điểm H đoạn AB cho diện tích tam giác AMH lớn UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD & ĐT ĐỀ Bài 1: (4.0 điểm) b) Rút gọn biểu thức: A = 16 − 31 − 16 + 31 + b) Tính giá trị biểu thức: B = sin220+sin230+…+sin2880 Bài 2: (6.0 điểm) 1)Chứng minh với số nguyên a b ta có: a3 + 5a M6 2) Giải phương trình: a) x −1 + x + = b) x + = 2 x − Bài 3: (4.0 điểm) a) Cho x > 0; y > x + y ≥ Tìm GTNN biểu thức: 12 16 P = 5x + y + + x y b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x − y = y + 44 c) Cho ba số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c = 2013 a b c + + ≤ Chứng minh: a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 4: (6.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC kẻ hai tia Bx Cy vng góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt Bx Cy P Q Chứng minh : a) AP = BP AQ = CQ b) PC qua trung điểm I AH · c) Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động cho BAC = 900 Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng BC để diện tích tam giác ABH đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn PHÒNG GD-ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ Bài ( điểm ) 44 c Chứng minh rằng: n3 - 7n chia hết cho d Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: x + y +18 = xy Bài ( điểm ) d Tính: A = + 10 + + − 10 + e Cho x = + − − Tính giá trị biểu thức: f ( x ) = x + 3x f Giải phương trình: x − = x − x + Bài ( điểm )  a , b, c > + ≥ 13 Cho  Chứng minh: M = a + b + c + + a 2b c  a + 2b + 3c ≥ 20 Bài ( điểm ) Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Đường thẳng qua I vng góc với CI theo thứ tự cắt cạnh CA CB M N Gọi D chân đường phân giác góc ∠BCA a Chứng minh tam giác AMI, AIB INB đôi đồng dạng b Chứng minh BC AI + CA.BI + AB.CI = AB.BC CA 1 + = Tìm giá trị lớn biểu thức a b 1 Q= + 2 a + b + 2ab b + a + 2ba Bài : ( điểm ) Cho số dương a, b tha Phòng GD-ĐT Nghĩa đàn Đề Bài 1: x x + x − 12 2( x − 3) x +3 − + x− x −6 x +2 x c) Tìm ĐKXĐ rút gọn P d) Tìm giá trị nhỏ P Cho P = (x Chøng − x − 17 ) 2011 tá r»ng x0 = + + − lµ nghiƯm phơng trình: = Bài : ( ý thí sinh bảng B làm ) Giải phơng trình sau: c) Giải phơng trình : x + − x = x − 12 x + 14 d) Giải phơng trình : x2 + 2x + 15 = x + 2 Cho a > 0, b > a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức A = a + b + 1 + 2 a b 45 Tìm số tự nhiên n ®Ĩ n + 21 vµ n – 18 lµ hai số phơng Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh: x + xy + y = x y Bµi 3: Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - ( m tham số) c) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định với giá trị m d) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị Bµi : Cho đờng tròn ( O,R) đờng kính AB Qua điểm C thuộc đờng tròn kẻ tiếp tuyến d đờng tròn Gọi I, K lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ A B đến đờng thẳng d Gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ C ®Õn AB Chøng minh: d) CI = CK e) CH2 = AI BK f) AB lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn đờng kính IK Bài 5: (Bài thí sinh bảng B làm ) Cho (O,R) hai điểm A,B cố định nằm ngồi đường tròn cho OA = R Tìm điểm M đường tròn cho tổng MA+ MB đạt GTNN? HÕt UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD & ĐT ĐỀ Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh : n3 – 7n M6 với số nguyên n b) Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khơng số phương với số tự nhiên n khác Câu 2: (6 điểm) a) Cho A = 20132 + 20132.20142 + 20142 Chứng minh A số tự nhiên b) Giải phương trình: x + 24 + = x + x + c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x − y = y + 44 Câu 3: (4 điểm) a) Cho x, y hai số dương Chứng minh: x4 y y4 x2 ( x + y) + ≤ x + y + x3 y + x + y 16 1 b) Cho hai số a, b dương thỏa mãn: + = Tìm giá trị lớn biểu thức: a b A= 1 + 2 a + b + 2ab b + a + 2ba 46 Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB = c, AC = b, đường phân giác AD = d Gọi E, F thứ tự hình chiếu D AB AC a) Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF ? 1 b) Chứng minh: = + d b c 1 + + ≥6 A B C c) Chứng minh: Sin Sin Sin 2 UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD & ĐT ĐỀ Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh : n3 – 7n M6 với số nguyên n b) Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khơng số phương với số tự nhiên n khác Câu 2: (6 điểm) a) Cho A = 20132 + 20132.20142 + 20142 Chứng minh A số tự nhiên b) Giải phương trình: x + 24 + = x + x + c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x − y = y + 44 Câu 3: (5 điểm) a) Cho x, y hai số dương Chứng minh: x4 y y4 x2 ( x + y) + ≤ x + y + x3 y + x + y 16 1 b) Cho hai số a, b dương thỏa mãn: + = Tìm giá trị lớn biểu thức: a b A= 1 + 2 a + b + 2ab b + a + 2ba Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB = c, AC = b, đường phân giác AD = d Gọi E, F thứ tự hình chiếu D AB AC a) Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF ? 1 b) Chứng minh: = + d b c 47 PHÒNG GD &ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ 10 Bài (4 điểm) Cho biểu thức: x −9 x + x +1 − − A= x−5 x +6 x − 3− x a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Bài (4 điểm) ≥ a) Chứng minh với ∀ x, y > + y x+ y x b) Cho a, b, c > ab + bc + ca = 36abc Tìm GTLN biểu thức: 1 + + M= 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Bài (6 điểm) ( Thí sinh bảng B làm 3c) x2 a) Giải phương trình: + x2 − = − x2 b) Biết sin α = 0o < α < 90o Tìm giá trị biểu thức: B = sin2 α + 2cos2 α c) Tìm số tự nhiên để n + 18 n − 41 hai số phương Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Gọi D, F H trung điểm AB, AC BC, O giao điểm đường trung trực ∆ ABC; G E tương ứng trọng tâm ∆ ABC ∆ ACD Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC I Chứng minh: GH HI = a, AD DO b, ∆ ADG ~ ∆ DOE Từ suy OE ⊥ CD Bµi (1 điểm) Chứng minh tam giác mà độ dài đường trung tuyến bé diện tích tam giác bé 0,67 48