www.facebook.com/toihoctoan
1 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010 - 2011 Bài 1. 1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1x x x x . 2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2x x x (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 2 11 25 14 0x x x x x (Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) Bài 3. Giải hệ phương trình 2 2 4 2 5 2 5 6 x y x y (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) Bài 4. Giải hệ phương trình sau 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) Bài 5. Giải hệ phương trình 2 4 3 2 2 4 4 1 4 2 4 2 x y xy x y xy (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực 4 2 2 5 6 5 6 x y x y x (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) 2 Bài 7 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 3 2 1 1 2 4 y x y x x x y y (Đề thi HSG Hà Tĩ nh ) Bài 8 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 6 7 1x x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển Lâm Đồn g) Bài 9 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 1 1 2 0 x x y y x y x y x (Đề thi HSG tỉ nh Quản g Bì nh ) Bài 10 . 1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh 2 2 ( 4 ) 2 3 2 0x x x x . 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 7 12 xy y x y x x y (Đề thi HSG Đi ện Bi ên ) Bài 11 . Gi ải h ệ b ất ph ươn g trì nh 6 8 10 2007 2009 2011 1 1 x y z x y z . (Đề thi ch ọn đội tuy ển Bì nh Đị nh) Bài 12 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 1 1 2 1 3 x x x x 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 x x y y y x (Đề thi HSG tỉ nh Bến Tre) 3 Bài 13 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 4 3 5x x x . 2/ Gi ải ph ươn g trì nh 3 2 3 1 2 2x x x x trên [ 2 ,2] (Đề thi HSG tỉ nh Lon g An ) Bài 14 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 1 2 2 1 1 3 3( ) y x x y x y x x (Đề ch ọn đội tuy ển trườn g Ch uy ên Lê Quý Đôn , Bì nh Đị nh). Bài 15 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển Nha Tran g, Kh ánh Hòa) Bài 16 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x 2/ Gi ải hệ ph ươn g trì nh 3 2 2 3 2 6 1 4 x y x y x y (Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Ph úc) Bài 17 . Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 4 3 2 3 1 2 2 2 1 ( ) x x x x x x x x (Đề thi HSG tỉ nh Hà Tĩ nh ) Bài 18 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 2 3 2 2 5 0sin sin cosx x x . (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lê Khi ết, Quản g Ngãi ) Bài 19 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 2 4 2 4x x x x . 4 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y (Đề thi ch ọn đội tuy ển THPT Ch uy ên Lam Sơn , Th anh Hóa) Bài 20 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 6 7 1x x x . (Đề thi HSG tỉ nh Lâm Đồn g) Bài 21 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 5 ( ) 6( ) 4 6 5 6( ) 4( ) 5 4 6 4( ) 5 ( ) 6 5 4 x y x z x y x y x z xz z y x y z y zy x y xy x z y z x z xz y z yz (Đề ch ọn đội tuy ển trườn g PTNK , TPHCM) Bài 22 . 1/ Gi ải phươn g trì nh 1 2 1 3 2 ( 11 ) 2 x y z x y z 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 121 2 27 9 3 4 4 0 x x x x y xy x y (Đề thi HSG tỉ nh Quản g Nam ) Bài 23 . 1/ Tì m tất cả các gi á trị của ,a b để ph ươn g trì nh 2 2 2 2 1 x ax b m bx ax có h ai n ghi ệm ph ân bi ệt v ới m ọi th am số m. 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x (Đề thi HSG v òn g tỉ nh Bì nh Phước) Bài 24 . 5 1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 3 3 3 3 2010 2010 x y z x y z 2/ Gi ải ph ươn g trì nh 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 0 x x x x x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ni nh Bì nh) Bài 25 . 1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh sau 2 2 2 1 2( 1 ) 2(2 ) 4 1 17 0 x y x x x y y x x 2/ Với n l à số n guy ên dươn g, gi ải ph ươn g trì nh 1 1 1 1 . 0 sin 2 sin 4 sin8 sin 2 n x x x x . (Đề thi HSG tỉ nh Kh ánh Hòa) Bài 26 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau 3 sin 2 cos2 5sin (2 3)cos 3 3 1 2cos 3 x x x x x . 2/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 2 2 1 l og 3 8 5 ( 1 ) x x x x (Đề thi HSG tỉ nh Th ái Bì nh ) Bài 27 . 1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 1 2 1 x y x y y y x y x 2/ Gi ải ph ươn g trì nh l ượn g gi ác 2 2 2 2sin 2 tan cot 2 x x x (Đề thi HSG tỉ nh Ph ú Th ọ) Bài 28 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 1 1 24 60 36 0 5 7 1 x x x x (Đề thi HSG tỉ nh Quản g Ni nh ) 6 Bài 29 . Gi ải ph ươn g trì nh 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2x x x x x x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội ) Bài 30 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 18 7 6 14 0 ( )( )x x y y x y xy x y (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội ) Bài 31 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 ( ) ( )x x y y x y (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lương Th ế Vi nh , Đồn g Nai ) Bài 32 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 4 3 3 2 2 3 3 9 9 7( ) x x y y y x x y x x y x (Đề thi ch ọn HSG tỉ nh Hưn g Yên ) Bài 33 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 y x x x y y x xy x (Đề thi ch ọn đội tuy ển ch uy ên Nguy ễn Du, Đăk Lăk) Bài 34 . Gi ải h ệ phươn g trì nh 3 3 2 2 35 2 3 4 9 x y x y x y (Đề thi HSG tỉ nh Yên Bái ) Bài 35 . Gi ải ph ươn g trì nh 3 2 3 2 2 1 27 27 13 2x x x x (Đề thi HSG Hải Ph òn g, b ản g A 1) Bài 36 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 1 1 2( ) 2 1 1 2 x y x y y x x y (Đề thi ch ọn đội tuy ển Quản g Ni nh ) 7 Bài 37 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 3 3 3 12 50 12 3 2 27 27 x x y y y z z x z (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ph an Ch u Tri nh , Đà Nẵn g) Bài 38 . Gi ải ph ươn g trì nh 9 2 3 9 1 2 1 3 x x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ph ú Yên ) Bài 39 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 1 1 2 2x x x x 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y (Đề thi HSG tỉ nh Ngh ệ An ) Bài 40 . 1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 3 2 4 4 8 4 1 2 8 2 0 x y xy x y x y 2/ Ch ứn g mi nh ph ươn g trì nh sau có đún g m ột n ghiệm 2011 3 3 2 ( 1) 2( 1) 3 3 2x x x x x . (Đề dự bị thi HSG tỉ nh Ngh ệ An ) Bài 41 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 3 3 3 3 12 4 6 9 2 32 x y x y z y z x z (Đề thi ch ọn đội tuy ển KHTN, v òn g 1) Bài 42 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 6 2 2 1log ( ) log ( ) y x x e y x y x y 8 (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Cao Lãnh , Đồn g Th áp) Bài 43 . Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 4 x x x x x x x x x (Đề thi HSG tỉ nh Bì nh Ph ước) Bài 44 . 1/ Gi ải phươn g trì nh 3 2 3 3 4 3 2x x x x 2/ Tì m số n ghi ệm của phươn g trì nh 2011 2009 4 2011 2009 2 2 (4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0x x x x x x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ch uy ên Nguy ễn Du) Bài 45 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 2 2 2 (2 )( 1 2 )(2 )( 1 2 ) 4 10 1 2 2 1 0 x x y y z x y z xz yz x y (Đề thi ch ọn đội tuy ển Hà Tĩ nh ) Bài 46 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 2010 ( 1 ) 1 x x x . 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 4 2 4 3 3 4 2 5 2 2 xy x x y y x x y (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Sà o Nam , tỉ nh Quản g Nam ) Bài 47 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 11 10 22 12 4 4 2 2 3 7 13 8 2 (3 3 1 ) x xy y y y x y x x y (Đề thi ch ọn đội tuy ển TP.HCM) Bài 48 . Gi ải h ệ phươn g trì nh 2 2 2 2009 2010 ( ) 2010 2011 ( ) 2011 2009 ( ) x y x y y z y z z x z x (Đề thi ch ọn đội tuy ển ch uy ên Quan g Trun g, Bì nh Phước) 9 Bài 49 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 2 1 5 57 4 3 (3 1 ) 25 x y x x y x (Đề thi ch ọn đội tuy ển Nghệ An ) Bài 50 . Ch o các th am số dươn g , ,a b c . Tì m n ghi ệm dươn g của hệ ph ươn g trì nh sau : 2 2 2 4 x y z a b c xyz a x b y c z abc (Đề ki ểm tra đ ội tuy ển Ni nh Bì nh ) Bài 51 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau trên tập h ợp số th ực 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y y x y (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ch uy ên Vĩ nh Ph úc, tỉ nh Vĩ nh Ph úc) Bài 52 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 4 4 2 2 3 2 3( ) x x y y x y (Đề ki ểm tra đ ội dự tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội ) Bài 53 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 5 3 2 .sin .c os 2 1 1x x x x x x x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển Hà Nội ) Bài 54 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3 ) ( 3 )( 2) 5 9 7 15 3 8 18 18 18 84 72 24 176 x y y x z x x z y yz x y xy y z x y z (Đề thi ch ọn đội tuy ển ĐHSP Hà Nội , n gày 2) Bài 55 . Tì m , ,x y z th ỏa m ãn hệ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 2 2 2 (3 1 ) 2 ( 1 ) z x y x y y z xy zx yz y x x x (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g ĐH K HTN Hà Nội , v òn g 3) 10 LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT Bài 1 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 1 3 4 1 1x x x x . 2/ Gi ải ph ươn g trì nh v ới ẩn số th ực 1 6 5 2x x x (Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Lon g) Lời giải. 1/Đi ều ki ện 1x . Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g với 2 2 ( 1 1 ) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1x x x x (*) -Nếu 1 1x thì (* ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1x x x x , l oại . -Nếu 1 1 2 2 5x x thì (* ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 1 1x x , l uôn đún g. -Nếu 1 2x thì (* ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2x x x x , l oại . Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm l à m ọi x th uộc 2 ;5 . 2/ Đi ều ki ện 5 2 x . Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g với 2 2 1 5 2 6 ( 1 ) ( 5 2 ) 2 ( 1 )( 5 2 ) 6 ( 1 )( 5 2 ) 5 ( 1 )( 5 2 ) 10 25 7 30 0 3 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Th ử l ại , ta th ấy chỉ có 3x l à th ỏa m ãn . Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm duy nh ất l à 3x . Nhận x ét. Các dạn g toán ph ươn g trì nh v ô tỉ n ày kh á cơ b ản và quen th uộc, ch ún g h oàn toàn có th ể gi ải b ằn g cách bì nh ph ươn g để kh ử căn m à kh ôn g cần l o n gại v ề tí nh gi ải được của ph ươn g trì nh h ay kh ôn g. Để đơn gi ản tron g vi ệc x ét đi ều ki ện , ta c ó th ể gi ải x on g rồi th ử l ại cũn g được. . 1 6 5 2x x x (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 2 11 25 14 0x x x x x (Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) Bài 3. Giải. (Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Ph úc) Bài 17 . Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 4 3 2 3 1 2 2 2 1 ( ) x x x x x x x x (Đề thi HSG tỉ nh Hà Tĩ