www.facebook.com/hocthemtoan
Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề D KIN . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2010 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Biờn son: GV Nguyn Vn Huy ---------------------------------------------- Phần I: Trắc nghiệm (3,0 điểm) Trong các câu sau đây, hãy chọn phơng án đúng và viết chữ cái đứng trớc phơng án đó vào bài làm. Câu 1. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình 6x 2 - 5x + 1 = 0, phơng trình bậc hai có các nghiệm x 1 + x 2 và x 1 x 2 là: A. 36t 2 36t + 5 =0 B. t 2 t + 6 =0 C. 5t 2 36t + 36 = 0 D. 36t 2 + 36t + 5 =0 Câu 2. Cho biểu thức P = 2x 2 - 2x + 2 1 . Với x thoả mãn 11 x thì tập hợp tất cả các giá trị của biểu thức là: A. R B. 2 9 P0 C. 0P D. 2 9 P 2 1 Câu 3. Với mọi m, phơng trình x 2 -(m-1)x-m 2 +m-2 = 0 A. có hai nghiệm trái dấu B. có hai nghiệm âm C. có hai nghiệm dơng D. vô nghiệm Câu 4. Phơng trình 01)23(23 2 = xx có nghiệm là A. 3 và 2 B. 2 1 và 3 1 C. 1 và 3 1 D. -1 và 23 1 Câu 5. Phơng trình 0 4 1 5 3 2 1 2 =+ xx A. vô nghiệm B. có hai nghiệm phân biệt âm C. có nghiệm kép D. có hai nghiệm phân biệt dơng Câu 6. Giá trị của biểu thức 22 )31()13( + là: A. 32 B. 2 C. 32 - 2 D. -2 Câu 7. Có 729216 22 =+++ xxxx Giá trị của H = 22 29216 xxxx ++ là A. H = 4 B. H = 7 1 1 C. H = 7 D. H = 1 Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx+m 2 -5. Đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ khi: A. m = 5 B. m = 0 C. m = 2 D. m = 5 ; m = - 5 Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Khi đó: A. AH 2 = BH . BC B. AHB đồng dạng với CAB C. AB 2 =BH . HC D. 222 CH 1 BH 1 AH 1 += Câu 10. Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC<BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; R , R 1 , R 2 , R 3 lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH, BCH. Khi đó: A. R > R 1 > R 2 > R 3 B. R 1 < R 2 < R 3 < R C. R = R 1 = R 2 = R 3 D. R = R 1 + R 2 + R 3 Câu 11. Cho góc xOy, điểm A trên Ox, điểm B, C trên Oy (A, B, C phân biệt và khác O) thoả mãn OA 2 = OB.OC thì: A. Ox là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua A, B, C B. Oy là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua A, B, C C. OAB đồng dạng với ABC D. 2.OA = OB + OC Câu 12. Cho tam giác ABC có đờng cao AH, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC và AB. Khi đó: A. diện tích HEF bằng 4 1 diện tích ABC B. HEF đồng dạng với ABC C. HEF vuông D. Tứ giác ABHE nội tiếp một đờng tròn Phần II: Tự luận (7,0 điểm) Bài 1: (2,0 điểm) Cho phơng trình x 2 - 2mx + m - 1 = 0 (1) a. Chứng minh rằng với m > 1 thì phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt. b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm kia 3 đơn vị. Bài 2: (2,0 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + 2xy + y 2 - 3x - 3y + 2007 b. Tìm số nguyên tố p để 4p 2 + 1 và 6p 2 + 1 là các số nguyên tố. Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không phải là tam giác cân (có A = 60 0 ) nội tiếp đờng tròn tâm O, ngoại tiếp đờng tròn tâm I. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đờng thẳng OH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. a. Chứng minh năm điểm B, H, I, O, C cùng nằm trên một đờng tròn. 2 b. Chứng minh BM + CN = MN. c. Gọi D và E lần lợt là các tiếp điểm của đờng tròn I với cạnh AB, BC. AI cắt DE tại G. Chứng minh góc AGC bằng 90 0 . ---------------Hết--------------- Hớng dẫn chấm thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2007 - 2008 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) ---------------------------------------------- I. Các chú ý khi chấm thi 1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ. 2) Nếu thí sinh giải đúng với cách giải khác với cách giải trong đáp án thì giám khảo chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho bài hay phần đó. 3) Cặp chấm thảo luận chi tiết thống nhất việc vận dụng HDCT này. 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn Phần I . Trắc nghiệm (3 điểm) Mỗi câu cho 0,25 điểm Đáp án Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đ/án A B A B A B D D B C A A Phần 2. Tự luận (7 điểm). Bài 1 (2 điểm) 3 Bài 2 (2 điểm) a) Ta có A= x 2 + 2xy + y 2 -3x -3y + 2007 = (x+y) 2 3(x+y) + 2007 = (x+ y - 2 3 ) 2 + 4 8019 4 8019 với mọi x, y Mặt khác ta có: A = 4 8019 x + y - 2 3 = 0 0,5 đ a) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có a = 1; b = -m; c = m - 1 4 3 ) 2 1 m(1mmacb 222'' +=+== > 0 m Nên PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của (1), áp dụng định lý Vi-ét ta đợc x 1 x 2 = a c = m-1 > 0 với m>1 x 1 x 2 = a b = 2m > 0 với m>1 Do đó (1) luôn có hai nghiệm dơng phân biệt với mọi m>1 0,5 đ 0,5 đ b) Không mất tính tông quát, giả sử x 1 < x 2 Ta có =+ = = )3(m2xx )2(1mxx )1(3xx 12 21 12 Từ (1) và (3) ta có 2 3m2 x 1 = , 2 3m2 x 2 + = Thay vào (2) ta đợc 2 3m2 . 2 3m2 + =m-1 4m 2 -4m+1=6 (2m-1) 2 =6 = = 61m2 61m2 = + = 2 61 m 2 61 m Vậy với 2 61 m = thì (1) có 2 nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm kia 3 đơn vị. 0,5 đ 0,5 đ 4 x + y = 2 3 Vậy min A = 4 8019 x + y = 2 3 0,5 đ b) Nhận xét: p là số nguyên tố => 4p 2 + 1 > 5 , 6p 2 + 1> 5 Đặt x = 4p 2 + 1 = 5p 2 - (p -1)(p + 1) y = 6p 2 + 1 => 4y = 25p 2 - (p -2)(p +2) Khi đó: - Nếu p chia 5 d 4 hoặc d 1 thì (p 1)(p+1) 5 => x 5 mà x > 5 suy ra x không là số nguyên tố. - Nếu p chia 5 d 3 hoặc d 2 thì (p - 2)(p + 2) 5 => 4y 5 mà (4,5) = 1 => y 5 mà y > 5 => y không là số nguyên tố. Do vậy p 5, mà p là số nguyên tố => p =5. Thử với p = 5 thì x = 101, y = 151 là các số nguyên tố. Đáp số p = 5. * Cách khác : Nhận xét: 4a 2 + 1> 5 và 6a 2 + 1> 5 vì p là một số nguyên tố. Gọi r là số d của phép chia p cho 5 => r {0,1,2,3,4} Ta có p = 5k + r với k là số tự nhiên. - Lần lợt thay p = 5k + 1, p = 5k + 4 vào 4p 2 + 1 thì suy ra 4p 2 + 1 chia hết cho 5 => 4p 2 + 1 không là số nguyên tố - Lần lợt thay p = 5k + 2, p = 5k + 3 vào 4p 2 + 1 thì suy ra 6p 2 + 1 chia hết cho 5 => 6p 2 + 1 không là số nguyên tố. - Do vậy p chia hết cho 5 , mà p nguyên tố nên p =5. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 3: (1,5 điểm) O I H M C' B' N C B A Gọi BB và CC là các đờng cao của tam giác ABC. 5 Tam giác ABC nhọn nên H và O nằm trong tam giác ABC => H, O, I cùng một nửa mặt phẳng bờ BC (1) 0,25 đ - Tứ giác ABHC nội tiếp => CHB = 180 0 CAB = 120 0 => BHC = 120 0 (2) 0,25 đ BOC = 2 BAC = 120 0 (3) BIC = 180 0 - IBC - ICB = 180 0 - 2 1 ( ABC + ACB) = 120 0 (4) 0,25 đ Từ (2), (3) , (4) => BHC = BIC = BOC = 120 0 (6) Từ (1) và (6) => năm điểm B,C,O,H,I cùng thuộc một đờng tròn. 0,25 đ b) Từ BHOC nội tiếp => OHC = OBC = 0 0 30 2 BOC180 = Tam giác ACC có C = 90 0 => OHC = 90 0 - CAC = 30 0 . Do vậy NHC = NCH => tam giác NHC cân tại N => NC = NH Tơng tự MB = MH . Từ đó có BM + CN = MN 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ c) I G E D C B A Hình 2 Hình 1 G I E D C B A Trờng hợp 1: G nằm ngoài DE ( hình 1) Ta có GEC = BED (đ.đ) Tam giác BDE cân tại B => BED = 2 B180 0 (7) Tam giác AIC có AIC = 180 0 - IAC - ICA = 180 0 - 2 1 ( BAC +BCA) = 180 0 - 2 B180 0 mà CIG = 180 - AIC = 2 B180 0 nên CIG = CEG => tứ giác IEGC nội tiếp đợc. => IGC = IEC = 90 0 hay AGC = 90 0 . Trờng hợp 2: G thuộc đoạn DE Chứng minh tơng tự ta có CIG = 2 B180 0 và GEB = 2 B180 0 6 => tứ giác IGEC nội tiếp đợc => IGC = IEC = 90 0 (L u ý: Nếu chứng minh đúng 1 trờng hợp hình cho 0,75đ) 1,0đ Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề D KIN . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2010 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Biờn son: GV Nguyn Vn Huy ---------------------------------------------- Bài 1: ( 2 điểm ) Cho A = 1 1 1 : 1 1 1 x x x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 52 14 3+ Bài 2( 2 điểm) GiảI các phơng trình sau: a) 2 2 5 7 4 2 5x x x x+ = + + b) x 3 3x 2 + 4x 4 = 0 c) 2 2 1 2 3 5 7 5 5x x x x = + + Bài 3 ( 2 điểm ) Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 4 giờ 20phút, một cano chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A là 38 km. Tìm vận tốc của thuyền, biết cano chạy nhanh hơn thuyền là 13 km/h. Bài 4: ( 4 điểm) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Kẻ đờng kính AD. Gọi giao điểm của AB và CD là M, Gọi giao điểm của AC và BD là N; giao điểm của AD kéo dài và MN là H. a) CM các tứ giác BCNM; HDCN nội tiếp đờng tròn. b) CM: CH = 1 2 MN c) CM: CH là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O d) Tính độ dài CH biết HD = 2cm; R = 3cm Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2010 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) 7 Đề D KIN . Biờn son: GV Nguyn Vn Huy ---------------------------------------------- Bài 1: (1,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức sau: A = 2x 9x với x = -7 b) Rút gọn: B = 4 y)(14y + c) Tìm giá trị lớn nhất của: C = 2 )yx( + với x, y > 0; x + y 1. Bài 2: (1,5 điểm) Cho hàm số y = nx + 3 2n (1) a) Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2). Tìm n? Vẽ đồ thị hàm số. b) Chứng tỏ đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi n thay đổi. Bài 3: (1,5 điểm) Cho hệ phơng trình: = =+ nymx my5x trong đó m, n là tham số. a) Giải hệ phơng trình với m = 3, n = 5. b) Tìm giá trị của tham số n sao cho với mọi giá trị của tham số m hệ phơng trình luôn có nghiệm. Bài 4: (1,5 điểm) Hai vòi A và B cùng chảy vào bể không có nớc và chảy đầy bể trong 4 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy bao lâu mới đầy bể ? Bài 5: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. E là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn không trùng với A và B. Từ E kẻ đờng thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại C. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm E vẽ hai nửa đờng tròn tâm O 1 đờng kính AC và tâm O 2 đờng kính CB; EA và EB cắt hai nửa đờng tròn lần lợt ở M và N. a) Chứng minh: EC = MN. Tính độ dàI đoạn MN theo AC = a; BC = b. b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn ( O 1 ), (O 2 ). c) Xác định vị trí của đIểm E trên nửa đờng tròn đờng kính AB để tứ giác EMCN là hình vuông. d) Cho AE = 2 cm; AB = 5 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đợc tạo thành khi quay tam giác vuông ABE trọn một vòng quanh cạnh góc vuông BE cố định? Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề D KIN . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2010 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Biờn son: GV Nguyn Vn Huy 8 ---------------------------------------------- Bài 1: (1,5 điểm) d) Tính giá trị biểu thức sau: A = 2a 9a với a = -7 e) Rút gọn: B = 4 b)(14b + f) Tìm giá trị lớn nhất của: C = 2 )ba( + với a, b > 0; a + b 1. Bài 2: (1,5 điểm) Cho hàm số y = mx + 3 2m (1) c) Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 6). Tìm m? Vẽ đồ thị hàm số. d) Chứng tỏ đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Bài 3: (1,5 điểm) Cho hệ phơng trình: = =+ byax ay5x trong đó a, b là tham số. c) Giải hệ phơng trình với a = 2, b = 5. d) Tìm giá trị của tham số b sao cho với mọi giá trị của tham số a hệ phơng trình luôn có nghiệm. Bài 4: (1,5 điểm) Hai vòi A và B cùng chảy vào bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy bao lâu mới đầy bể ? Bài 5: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. M là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn không trùng với A và B. Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại H. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M vẽ hai nửa đờng tròn tâm O 1 đờng kính AH và tâm O 2 đờng kính HB; MA và MB cắt hai nửa đờng tròn lần lợt ở P và Q. a) Chứng minh: MH = PQ. Tính độ dàI đoạn PQ theo AH = a; BH = b. b) Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn ( O 1 ); ( O 2 ). c) Xác định vị trí của đIểm M trên nửa đờng tròn đờng kính AB để tứ giác MPHQ là hình vuông. d) Cho AM = 1 cm; AB = 5 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đợc tạo thành khi quay tam giác vuông ABM trọn một vòng quanh cạnh góc vuông BM cố định. Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề D KIN . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2010 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Biờn son: GV Nguyn Vn Huy ---------------------------------------------- 9 Bài 1: (2 điểm) a) Đa một thừa số vào dấu căn: 5 2 x. . b) Rút gọn: B = 4 y)3(x yx 2 2 22 + c) Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3x 1615xx C 2 ++ = với x > 0 Bài 2: (2 điểm) Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x 2 - 10x m 2 = 0 (1) a) Giải phơng trình (1 ) khi m = 11 . b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0. c) Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình (1) là nghịch đảo các nghiệm của phơng trình m 2 x 2 +10x 1 = 0 (2) trong trờng hợp m 0. Bài 3: (2 điểm) a) Giải phơng trình : 4x 2 - 2(1+ 3 )x + 3 =0 b) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A tới tỉnh B trong một thời gian nhất định. Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B sẽ chậm mất 1/2 giờ.Nếu xe chạy với vận tốc 60 km/h thì đến B sớm hơn 3/4 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, các điểm S,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,AC và BC.Dựng đờng cao CH. a) Chứng minh rằng 5 điểm C,Q,S,H,P cùng thuộc một đờng tròn. b) Tính tỷ số diện tích của SPC và BCA. c) Cho AC = 3cm, BC = 4cm.Tính thể tích của hình đợc sinh ra khi cho CBS quay trọn một vòng quanh BS. d) Cho AC= b, CB = a, AB = c, AQ = m, BP = n và r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng 22 2 nm r + < 20 1 . --- Hết --- Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề D KIN . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2010 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Biờn son: GV Nguyn Vn Huy ---------------------------------------------- 10 . AA' = 10 cm. Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề D KIN . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2 010 Môn: Toán. AA' = 10 cm. Sở giáo dục và đào tạo NG NAI -------------------------- Đề D KIN . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2009 - 2 010 Môn: Toán