Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 113 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH III Hà Nội - 2015 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số Định nghĩa Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề: n 2 Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải? + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an Định nghĩa: Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 chuỗi số, ký hiệu an , n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn S ta bảo chuỗi n an S hội tụ, có tổng S viết: n 1 Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi an phân kỳ n 1 Ví dụ Xét hội tụ tính Sn q q q n qn n 0 n 1 1 q , q 1 1 q , q 1 n 1 q Phân kỳ q lim Sn qn 1 q , q n 0 Ví dụ Xét hội tụ tính n n 1 n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 n n 1 n 1 n n 1 lim Sn lim 1 n n n Sn n n 1 n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ 1 1 n (Chuỗi điều hoà) Sn n n 1 Lấy n 2m 1 có 1 1 1 1 Sn m 1 m m 1 2 3 4 5 8 2 1 1 1 2m m 1 m 1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn n Chuỗi cho phân kỳ Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: n2 n 1 Sn 1 1 1 1 1 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 n 1 n 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n 1 n Sn tăng dương lim Sn S n n2 S n 1 Nhận xét: an (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) an hội tụ nlim n 1 Chứng minh: Có an Sn Sn 1 ; lim an lim Sn Sn 1 n Nếu lim an khơng tồn chuỗi n n an phân kỳ n 1 Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n 1 n 1 Ví dụ n 1 n n n phân kỳ n n 1 lim Ví dụ 1 n 1 1 n 1 1 n Có lim 1 n 1 n =2k,k n =2k+1 Không tồn lim 1 n n 1 n phân kỳ n 1 Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 2n 36 n n 1 (ĐS: 1) n 1 Ví dụ n n 1 n (PK) Tính chất Giả sử an S1, bn S2, n 1 n 1 ( an bn ) an bn S1 S2 n 1 n 1 n 1 §2 Chuỗi số dương Định nghĩa Các định lí so sánh Định nghĩa: an , an n 1 Nhận xét an hội tụ S n bị chặn n 1 Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý từ lúc trở bn hội tụ an n 1 hội tụ n 1 an phân kỳ bn n 1 phân kỳ n 1 Chứng minh a1 a2 an b1 b2 bn Sn Tn Rút khẳng định Ví dụ Ví dụ 3n n 2 n 1 Chuỗi dương ln n n Chuỗi dương 3n n 3n 3n ln n 1 n ln n phân kỳ n n 2 0 3n hội tụ n 1 1 Chuỗi cho hội tụ ln n phân kỳ n 2 a Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim n k n bn an bn hội tụ n 1 phân kì Nhận xét Đối với chuỗi số dương an n bn 1/ Nếu lim a 2/ Nếu lim n n bn Ví dụ an bn : n 1 n 1 bn hội tụ an hội tụ n 1 n 1 bn phân kì an phân kì n 1 n 1 n2 2n3 n 1 Chuỗi dương n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 n2 n n n 3 2n 2n 2n 2n 2n n2 lim : 1 n 2n 2n 1 2n hội tụ n 1 n2 2n3 hội tụ n 1 Ví dụ np , p0 n 1 1 Khi p có n n p , n n p phân kỳ nên n n 1 np phân kỳ n 1 Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m cho n 2m , có Sn S m 1 2 p 1 1 p p p p 1 m 1 4 2 4 p 2m 1 2m 1 p 1 p 1 2p 1 am 1 , a p 1 1 a 1 a Dãy Sn bị chặn np hội tụ n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p Ví dụ n 1 n3 Chuỗi dương 1 an ; bn 3/2 n n n 3/2 3 n a lim n n bn p 2p 1 m 1 2 m p 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn bn hội tụ n 1 hội tụ n 1 n Ví dụ a1) ln 1 n 1 n2 (PK) a2) n 2 b1) n sin n 1 c1) d1) (PK); n (HT) c2) n 1 (PK) (HT) (PK) n 1 d2) n e (PK) 1 n sin n n n 1 n b2) n n 1 n 1 n 1 (PK) n 2 n 2 d3) n n 1 n 2 n cos n n 1 sin n 1 sin n7 2n3 (HT) n 1 e) Xét hội tụ 1) ln n n5 (HT) 2) n 1 3) n ln 1 arctan2 n 1 n3 1 n 1 arcsin ln n n (PK) (HT) f) Xét hội tụ 1) n ln n n 1 (PK) 2) n 1 3) sin n n n 1 (HT) f) Xét hội tụ : 1) n 1 ln n 1 (HT) ( n 1) 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert ln n 1 n (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an 1 l n an lim Khi l an hội tụ n 1 Khi l an phân kỳ n 1 Chứng minh an 1 a l , chọn > đủ bé để l + < n 1 < l + , n n0 n an an an 1 a a n n Mặt khác có an n n 1 an0 l an0 0, n an 1 an an0 l < 1: Từ lim Do lim an l n an 1 a l , chọn đủ bé để l > n 1 l an + > an n an an l > 1: Từ lim phân kì Nhận xét Khi l = khơng có kết luận Ví dụ 1 n! n 1 0 n! a 1 n! lim n 1 lim : lim lim 0 1 n an n n 1 ! n ! n n 1 ! n n an n ! hội tụ n 1 Ví dụ 3n n! n 1 3n an 0 n! an 1 3n 1 3n : an n 1! n ! n a lim n 1 n an Chuỗi cho hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi an 1.3.5 2n 1 1.3 1.3.5 2.5 2.5.8 2.5.8 3n 1 1.3.5 2n 1 0 2.5.8 3n 1 an 1 1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 2n : an 2.5.8 3n 1 3n 2.5.8 3n 1 3n an 1 1 n an Chuỗi cho hội tụ Ví dụ lim a1) a3) (PK) nn n 1 n n !3n n ! c1) d1) n 1 (HT) nn b4) 2n !! n 1 nn (HT) (HT) 3n 2n 2n 3n n 1 22n 1 b2) n n 1 ln n (PK) 2n 1!! n 1 (HT) (HT) n 2n b3) nn 32n 1 b1) n n 1 ln n n 1 n 1 a2) n !2n (HT) n !3n (PK) nn d2) n 1 b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an l n Nếu l an hội tụ n 1 Nếu l an phân kỳ n 1 Nhận xét Nếu l = 1, khơng có kết luận 2n Ví dụ 3n n 1 n n ! n nn (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2n an 0 3n 2n na n 3n 2 lim n an n Chuỗi cho hội tụ n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kì n n 1 n2 (PK) Ví dụ 3n n a1) n cos n n 1 2n ln n n n 5n n 1 n n 1 n 2 b1) n n 1 nn 4 n 1 n3 b2) n n 1 nn 4 (HT) (PK) (HT) (HT) n2 c) (HT) n ln n a3) 2n n a2) n sin n n 1 n n 5n n n n 1 (HT) c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay khơng giữa: b f ( x ) dx f ( x ) dx blim a a k an klim an n 1 n 1 n n Hình 14.4 f ( x ) dx a1 a2 an a1 f ( x ) dx , 1 Nếu f(x) hàm liên tục, dương giảm với x lim f ( x ) , f(n) = an, x an f ( x ) dx hội tụ phân kỳ n 1 Ví dụ n ln n n 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Sự cộng hưởng nhân tử tích lặp bậc hai Hay dùng hai phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức đơn giản trường hợp phân tích lặp bậc hai (nhận sử dụng kỹ thuật Ví dụ 5, Bài 13) s 1 1 1 L t sin kt ; L (sin kt kt cos kt ) 2 s k 2k s k 2k Ví dụ Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán với giá trị ban đầu x 02 x F0 sin t ; x(0) x(0) Tác động phép biến đổi Laplace vào có s X (s ) 02 X (s ) X (s) F0 s s2 02 Nếu 0 ta có X (s ) s2 2 1 , 0 tìm x t 02 s 02 s F0 F00 s F0 02 , x(t ) F0 202 sin 0t 0t cos 0t Hình 4.3.4 Nghiệm cộng hưởng (18) với 0 F0 1, với đường bao x C (t ) Ví dụ Giải tốn với giá trị ban đầu y 2y " y 4tet ; y (0) y '(0) y "(0) y (3) (0) Có L y (t ) s 2Y (s ) , L y (t ) s 4Y (s ) , L tet Tác động phép biến đổi Laplace vào có Y (s ) (s 1)2 (s 1)2 A (s 1)2 s s 12 2s Y (s ) B Cs D E s F s s2 s 1 Dùng hệ số bất định có 2s 2s Y s 2 s s 1 s 1 s 1 Do y (t ) (t 2)et t 1 sin t 2cos t 95 s 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 96 PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 15 §4 Đạo hàm, Tích phân, tích phép biến đổi Tích chập hai hàm Vi phân phép biến đổi Tích phân phép biến đổi Mở đầu Phép biến đổi Laplace nghiệm phương trình vi phân đơi tích biến đổi hai hàm biết Chẳng hạn, xét toán với giá trị ban đầu x " x cos t ; x(0) x '(0) , Tác động phép biến đổi Laplace ta có: s s s X s sx x X s X (s ) L cos t L sin t s 1 s 1 s 1 s 1 Mặt khác ta có L cos t sin t L sin2t 2 2 2 s 2 s s 1 Do L cos t sin t L cos t L sin t Rõ ràng rằng, để giải toán trên, ta cần tìm hàm h t cho L h t L cos t L sin t Tích chập hai hàm Định nghĩa Tích chập phép biến đổi Laplace hai hàm f , g liên tục t khúc định nghĩa với sau: (f g )(t ) f ( )g (t )d , t 0 Tích chập giao hốn Ví dụ a) Tính cos t sin t t t Ta có cos t sin t cos sin(t )d sin t sin(2 t ) d t b) t e at Định lí 1 1 1 sin t cos(2 t ) t sin t cos t cos t t sin t 2 2 0 ( eat at c) t cos t ) a Giả sử f t , g t liên tục khúc với t ( t sin t ) f t , g t bị chặn Mect t , số M , c không âm Khi ta có L f (t ) g (t ) L f (t ).L g (t ) L Chứng minh Có G(s ) e su u t g (u )du e 96 1 F (s ).G(s ) f (t ) g (t ) s ( t ) g (t )dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Do G(s ) e s e st g (t )dt Với g u u , có F (s )G(s ) G(s ) e s f ( )d e s f ( )G(s )d s st st e f ( ) e e g (t )dt d e f ( )g (t )dt d 0 00 Từ giả thiết cho đổi thứ tự lấy tích phân có t st st F (s )G(s ) e f ( )g (t )d dt e f ( )g (t )d dt 0 0 0 s e st f (t ) g (t ) dt , Do F (s )G(s ) L f (t ) g (t ) t Ví dụ a) Cho f t sin2t , g t e Tính L Ta có L sin2t , L et s 1 s 1 s 1 s2 t 1 t L sin2t e et sin2 d s 1 s t t e t e e sin2 d e sin 2 2cos 2 t e t e sin2t 2cos 2t 2 2 et sin2t cos 2t 5 1 b) L 1 ( 1 cos2t ) s s 4 t kt sin kt ( ) 2 2 k s s k 1 d) L 1 ( 1 e 2t 2sin t cos t ) s s 4s Vi phân phép biến đổi c) L 1 97 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Giả sử f (t ) liên tục khúc với t , | f (t ) | Mect t , số (3.1) M , c không âm có L tf (t ) F '(s ), s c f (t ) L 1 F (s ) L t 1 F '(s ) (3.2) L t nf (t ) ( 1)n F ( n ) (s ), n 1,2,3, Tổng quát ta có (3.3) Chứng minh +) Từ giả thiết e st f t dt hội tụ tuyệt đối, d +) Do F s e st f t dt ds 0 st e f t liên tục, s c s d st e f t dt ds +) e st tf t dt L tf t +) Ta chứng minh (3.3) phương pháp quy nạp toán học Thật vậy, n 1: ta có L tf t F s k Giả sử n k , tức có L t k f t 1 F k s Ta chứng minh với n k 1, d d k k 1 L t k 1f t L t t k f t L t k f t 1 F k s 1 F k 1 s ds ds Ví dụ a) Tìm L t sin kt Từ (3.3) ta có L t sin kt ( 1)2 d 2ks ds s k b) L t cos 2t d2 k k d ds s k ds s k 2 6ks 2k 2 s2 k ( 2s 24s , s 0) s 3s 6s ( , s 0) s 12 s 2s c) d) tx t 2 x x 0, x 0, +) Tác động phép biến đổi Laplace sử dụng định lí ta có d d +) L tx L x sX s x , ds ds d d L tx L x s X s s x x ds ds 98 L te t sin2 t PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) Thay vào thao.nguyenxuan@hust.edu.vn phương trình ta có d d sX s 2sX s X s s X s x ds ds +) s s 1 X s 4sX s , phương trình vi phân phân li biến số, có nghiệm A ,A0 X s s 14 +) x t Ct 3e t , C e) tx 3t 1 x x ( x t Ct 2e 3t , C ) f) tx t 1 x x ( x t C 1 t e 2t te 2t , C ) g) 1/ tx t 1 x x x ( x t ct 2e t , c ) 2/ tx t x x x ( x t ct 3e t , c ) ( x t ct 2e 3t , c ) h) tx (3t 1) x x , x(0) 1 tan s 1 Do đạo hàm tan1 hàm hữu tỉ, từ (3.2) ta có s 1 d L 1 tan1 L 1 tan1 t s s ds 1/ s 1 1 1 L 1 L ( sin t ) 2 t t t (1/ s ) s sin t L 1 tan1 t s Ví dụ a) Tìm L 1 cos 2t cos t s2 b) L ln ( ) t s 4 e 2t sin3t ( ) t Tích phân phép biến đổi 1 c) L 1 tan1 s2 f t , | f (t ) | Mect t 0 t Định lí Cho f (t ) liên tục khúc t , lim f (t ) t , số M , c khơng âm có L F ( )d , s c t s f (t ) L 1 F (s ) t L Chứng minh 99 F ( ) d (4.2) s 1 (4.1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Từ giả thiết e st f t dt hội tụ tuyệt đối đều, s c +) Ta có F d e t f t dt d s s0 +) Từ đổi thứ tự tích phân ta có F d e 0s s +) e st t f t f t dt L t t sinht Ví dụ a) Tìm L t sinh t cosh t Ta có lim lim 1 t t 0 t 0 d sinh t L L sinh t d 1 t s s 1 1 s 1 ln d ln 1 1 s s s sinh t s 1 ln t s 1 1 cos2t b) L ( ln s ln s, s ) t L et e t c) L t ( ln s 1 ln s 1 , s 1) Ví dụ a) Tìm L Từ (4.2) có L 2s 1 2 s 2s 1 tL s 2 d 2 s 1 1 1 tL t L t sinh t s s f t t sinh t thoả mãn định lí 1 100 t e f t d dt t f t dt s PGS TS Nguyễn Xuân Thảo L thao.nguyenxuan@hust.edu.vn t sinh t 2 s 1 2s 1 b) L 1 s 3 s 1 ( 1 t sin t t cos t ) Phép biến đổi hàm liên tục khúc a) Đặt vấn đề Các mơ hình tốn học hệ học hay hệ điện thường liên quan đến hàm không liên tục tương ứng với lực bên bất ngờ đảo chiều bật hay tắt Hàm đơn giản bật, tắt hàm bậc thang đơn vị t a (hàm Heaviside) 0 ua t u(t a ) 1 t a t a có đồ thị sau Hình 4.5.1 Đồ thị hàm đơn vị bậc thang b) Phép tịnh tiến trục t Định lí Nếu L {f (t )} tồn với s c , có L u(t a)f (t a) e asF (s ) e asL f (2.1) L 1 e as F (s ) u(t a )f (t a ) u(t a )L 1 F (t a ), s c a (2.2) Hình 4.5.2 Tịnh tiến f t phía phải a đơn vị 101 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Chứng minh +) Ta có e as F s e s a f d +) Đổi biến t a , ta có e as F s e st f t a dt a t a 0, +) Do u t a f t a , nên có f t a , t a e as F s e st u t a f t a dt L u t a f t a Ví dụ Cho f (t ) t Tính L Từ (2.2) có L 0 1 (t a ) e 1 e 1 as s as u t aL s t a 1 t a u t a t a s 1 t a Hình 4.5.3 Đồ thị biến đổi ngược Ví dụ 0 t Ví dụ Cho g (t ) Tìm L g t t t Do g t t nên có f (t ) (t 3)2 F (s ) L t 6t s s s 9 Từ định lí có L g (t ) L u(t 3)f (t 3) e 3s F (s ) e 3s s s s cos 2t Ví dụ a) Tìm L f (t ) f (t ) 0 102 t 2 t 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f (t ) 1 u t 2 cos 2t cos 2t u(t 2 )cos t 2 Từ định lí có L f (t ) L cos2t e 2 s L cos 2t s(1 e 2 s ) s2 s 4s 1, t e e b) f t ( F s ) 0, t t s s 1 e 2s (F s ) s2 cos t , t c) f t t 2 0, t , t d) f t 1, t 1 e ( F s s2 s ) Ví dụ Một vật nặng 32 lb (1 lb = 450 g) gắn tự vào lò xo bị căng ft lực lb Khối lượng ban đầu vị trí cân Bắt đầu thời điểm t (lần thứ hai), lực bên f (t ) cos2t tác động vào vật Tuy nhiên thời điểm t 2 lực bị (đột ngột không liên tục) Sau vật lại tiếp tục chuyển động cách tự Tìm hàm vị trí x(t ) vật cho Chuyển toán giá trị ban đầu x " x f (t ) ; x(0) x '(0) cos 2t , t 2 f t t 2 0, Tác động phép biến s(1 e 2 s ) (s 4) X (s ) F (s ) X (s ) s s 4 e s2 s 2 s s 4 đổi Laplace vào s L 1 s2 có t sin2t ; 2 s 2 s ta t 2 u (t 2 ) L sin 2(t 2 ) s 4 s 2 s s e Từ ta có x t L L 2 s2 x 1 e vế , Do hai 2 t 2 t sin 2t u(t 2 ) sin2(t 2 ) t u(t 2 ).(t 2 ) sin 2t 4 103 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 t 2 , t sin2t, x (t ) sin2t, t 2 Ta thấy, vật dao động với tần số với biên độ tăng tuyến tính đến lực bỏ thời điểm t 2 Sau đó, vật tiếp tục chuyển động với tần số với biên độ dao động Lực F (t ) cos2t tiếp tục cộng hưởng, nhiên ta thấy bị biến thời điểm khơng cịn tác động Ví dụ Giải toán giá trị ban đầu mx cx kx f t , x x 1, t a) m 1, k 4, c 5, f t 0, t 1 ( x t g t u t 2 g t 2 , g t 4e t e 4t ) 12 t, t b) m 1, k 1, c 0, f t 0, t ( x t g t u t 1 g t 1 h t 1 , g t t sin t, h t cos t ) 1, t c) 1/ x x f t , x x , f t 0, t ( x t 1 u t 1 u t cos3t ) 1, t 2/ x 16 x f t , x x , f t 0, t 1 u t 1 cos t ) ( x t 16 t 1 , x(0) x(0) d) x x f (t ), f (t ) 0 t 1 ( x t cos t 1 cos t 1 u(t 1) ) 104 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn BẢNG 2 f t L f t s eat f t u t a f t a L f t s a e asL f t s , a n d 1 L f t s ds n L f t s L g t s n n t f t f g t f t t f n L f t d s s nL f t s s n 1f s n 2f f t t 0 L f t s s f d n 1 BẢNG F s L 1 F s t L 1 F s t t 1 t L F d t s F s F s F s a e asF s F s t u t a L 1 F s t a F s G s L 1F s L 1G s t F s s eat L 1 t L 1 F s d THE END Thank you and good bye! 105 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng Dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng Chính nhờ phần lớn công học tập em ” 1945 Hồ Chí Minh PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Trong số mơn tốn đại cương dành cho sinh viên trường Đại học kĩ thuật, Giải tích III mơn học có nội dung kiến thức phong phú có nhiều ứng dụng thú vị Để tạo điều kiện cho sinh viên học tốt q trình học theo học chế tín chỉ, giảng Giải tích viết sở đề cương Giải tích Bộ mơn Tốn cho sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài giảng chứa đựng đầy đủ kiến thức bản, dạng tốn quan trọng có minh hoạ đề thi cuối kỳ Các dạng toán thực hành có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho em sinh viên tự học, góp phần nâng cao hiệu giảng lớp Bài giảng cho nhiều ứng dụng thú vị Toán học sống Bài giảng in mặt, mặt lại dành cho sinh viên ghi chép điều cần thiết giảng lớp Đây tài liệu có ích cho em sinh viên muốn đạt kết tốt môn học Mùa xuân năm 2015 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC Bài Chuỗi số, chuỗi số dương Bài Chuỗi với số hạng có dấu 11 Bài Chuỗi hàm số 15 Bài Chuỗi luỹ thừa 20 Bài Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier 28 Bài Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp 34 Bài Phương trình vi phân cấp 44 Bài Phương trình vi phân cấp hai khuyết 55 Bài Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi 62 Bài 10 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số số 66 Bài 11 Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân 71 Bài 12 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 77 Bài 13 Phép biến đổi toán giá trị ban đầu 84 Bài 14 Phép tịnh tiến phân thức đơn giản 91 Bài 15 Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 96 Tài liệu tham khảo 106 Đề thi kỳ cuối kỳ …………………………………… 107 ... 1 n Nếu lim an không tồn chuỗi n n an phân kỳ n 1 Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu khơng làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn... l l x bn f ( x )sin n dx, n l l l Nhận xét Công thức nhận từ công thức (1.3) thay l, thay x x l Ví dụ Khai triển hàm tuần hồn với chu kì , f ( x ) x 2, x thành chuỗi... 13 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) Cho thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an S , an n 1 phân kì thay đổi thứ tự số hạng n 1 để chuỗi thu hội tụ có tổng số cho trước trở nên phân kì Định nghĩa