Bai giang thay thao

PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH II (Hệ Kĩ sư tài năng) Hà Nội - 2014 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI CHƯƠNG I ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC § Hàm vectơ  1.1 Định nghĩa Cho I khoảng  Ánh xạ t  I  r  t    n gọi hàm vectơ biến số t xác định I   Đặt OM  r  t  Quỹ tích điểm M  x  t  ; y  t  ; z  t   t biến thiên I đường  L  , gọi tốc đồ hàm vectơ r  t  Ta nói đường L có phương trình tham số x  x  t  , y  y  t  , z  z  t    1.2 Giới hạn Ta nói hàm vectơ r  t  có giới hạn a t dần tới t0   r  t   a  t  t0 , tức với    0,      cho t  t0        r  t   a   Khi ta kí hiệu lim r  t   a t t    Hàm vectơ r  t  xác định I gọi liên tục t0  I lim r  t   r  t0  t t0  Nhận xét Tính liên tục hàm vectơ r  t  tương đương với tính liên tục hàm toạ độ  1.3 Đạo hàm Cho hàm vectơ r  t  xác định I t0  I Giới hạn (nếu có) tỉ số    r r  t  h   r  t   h h    dr h  gọi đạo hàm r  t  t0 kí hiệu r   t0  hay  t  Khi dt ta nói hàm vectơ khả vi t0  r x  t  h   x  t0   y  t  h   y  t   z  t  h   z  t   Ta có  i  j k h h h h  Khi hàm số x  t  , y  t  , z  t  khả vi t0 hàm vectơ r  t  khả     vi t0 có r   t0   x   t0  i  y   t0  j  z  t0  k Đạo hàm cấp cao (tương tự)    Khi h nhỏ ta xấp xỉ vectơ r  M0M vectơ tiếp tuyến h.r   t0  Tính chất      1/ Tuyến tính  f  t    g  t     f   t    g   t  ,  ,           2/ f  t  , g  t   f  t  , g   t   f   t  , g  t  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn        3/  f  t  g  t    f  t  g   t   f   t  g  t  1.4 Tích phân Riemann hàm vectơ   Cho f  t    f1  t  , , fn  t   Ta có f  t  khả tích [a ; b]  fk  t  , k  1, n khả tích b b b b   [a ; b] có f  t  dt   f1  t  dt , f2  t  dt , , fn  t  dt    a a a a      Hàm F  t  gọi nguyên hàm f  t  F   t   f  t  , ta viết   f  t  dt  F  t   C  ta có f  t  dt  f1  t  dt, f2  t  dt, , fn  t  dt         b Ta có cơng thức Leibnitz       f  t  dt  F  b   F  a  a Ứng dụng Tìm khoảng cách xa viên đạn bắn từ bệ phóng tạo góc  so với mặt nằm ngang với vận tốc ban đầu v0 § Đường khơng gian ba chiều 2.1 Đường cong liên tục, trơn, trơn khúc Tiếp tuyến pháp diện đường điểm Cho đường cong L khơng gian có phương trình tham số x  x  t  ,                 y  y t , z  z t Phương trình vectơ r t  x t i  y t j  z t k 2.2 Vectơ pháp tuyến đường     Cho M0  x  t0  ; y  t0  ; z  t0   thuộc L , vectơ r   t0   x  t0  i  y   t0  j  z  t0  k nằm tiếp tuyến L M0 Giả sử x   t0  , y   t0  , z  t0  không đồng thời   triệt tiêu, ta có r   t0   Do điểm P  X ; Y ; Z  nằm tiếp tuyến L   M0 vectơ M0P đồng phương với vectơ r   t0  , tức X  x  t  Y  y  t0  Z  z  t    x   t0  y   t0  z  t  Đây phương trình tiếp tuyến L M0 Đường thẳng qua M0 vng góc với tiếp tuyến L gọi pháp tuyến L M0 Phương trình pháp diện đường cong L điểm M0  L  X  x t0   x  t0   Y  y t0   y  t0    Z  z  t0  z  t0   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong  x  R cos2 t , y  R sin t cos t , z  R sin t t  Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong z  x  y , x  y điểm 1; 1;   Đường quy: đường chứa gồm tồn điểm quy  Giả sử đường cong L có tiếp tuyến dương MT M , tiếp tuyến dương M T     Giới hạn (nếu có) tỉ số  M  dần M  Đặt    MT , M T   , s  MM s đến M đường L gọi độ cong đường cong L M , kí hiệu C M  Người ta chứng minh công thức tính độ cong đường L 2 x y  y  z z x    x y  y  z z x  C 3/2  x2  y 2  z2  Ví dụ Tính độ cong đường đinh ốc trụ tròn xoay x  a cos wt , y  a sin wt , z  akt Ví dụ Tính độ cong đường x  lncos t , y  lnsin t , z  t  x ; y ; z  2.3 Độ dài đường Cho đường cong  liên tục: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t  [a ; b]; phân hoạch  [a ; b]: a = t0 < t1 < < tn = b n Độ dài đường gấp khúc l   M  ti 1 M ti  i 1 Định nghĩa Cho tập hợp l :   P , P phân hoạch [a ; b], ta bảo  khả trường (có độ dài) l     sup l  P  Định lí Nếu ánh xạ t  M  t  , t  a ; b  có đạo hàm M   t    x   t  , y   t  , z  t    M   t  bị chặn [a ; b]  khả trường  Định lí Nếu ánh xạ t  M  t  , t  a ; b  có đạo hàm M   t    x   t  , y   t  , z  t   liên tục (trơn) [a ; b] cung  khả trường có độ dài b l     x2  t   y 2  t   z2  t dt a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn  Nhận xét Khi đường cong  trơn khúc ( M   t  liên tục khúc)  khả trường có cơng thức tính 2.4 Tham số tự nhiên đường Phương trình tự hàm X  X  s  , Y  Y  s  , s độ dài cung Ví dụ x  R cos , y  R sin,   0 ; 2   s  s  X  R cos  R phương trình tự hàm x 2  y 2 dt  R   Y  R sin s  R § Đường cong phẳng 3.1 Tiếp tuyến pháp tuyến đường  Điểm quy Trong hệ toạ độ Descarter, cho đường cong L có phương trình f  x, y   Điểm M0  x0 ; y   L gọi điểm quy fx  x0 ; y  fy  x0 ; y  không đồng thời không, điểm kì dị trường hợp cịn lại   Vectơ pháp tuyến Xét điểm quy M0  x0 ; y   L , n  fx ( x0 ; y ), fy ( x0 ; y ) ,  dM   dx, dy  nằm tiếp tuyến đường cong L điểm M0 , n  vectơ pháp tuyến L M0 (do có n.dM  )  Phương trình tiếp tuyến Điểm P  x, y  nằm tiếp tuyến đường cong L M0 Phương trình tiếp tuyến đường cong L M0 ( x  x0 )fx ( x0 , y )  ( y  y )fy ( x0 , y )  Ví dụ Tìm pháp tuyến phương trình tiếp tuyến đường tròn x  y  điểm 1;  3.2 Độ cong Cho đường cong L đơn, có tiếp tuyến điểm Trên đường cong L chọn chiều làm chiều dương Trên tiếp tuyến L M , ta chọn hướng ứng với chiều dương L , gọi “tiếp tuyến dương” Định nghĩa Cho M , M  hai điểm L , MT , M T  hai tiếp tuyến dương  tỉ số góc hai tiếp tuyến dương Ta gọi độ cong trung bình cung MM   , tức C  MM     , M T  , kí hiệu Ctb  MM tb  MM    MT , M T   MT PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn Định nghĩa Ta gọi độ cong đường L M giới hạn (nếu có) độ cong   M  dần tới M L , kí hiệu C  M  , tức trung bình Ctb  MM   C  M   lim Ctb  MM M  M Ví dụ Đường thẳng có độ cong khơng điểm Ví dụ Tính độ cong đường trịn bán kính R Dưới ta xây dựng cơng thức tính độ cong cho đường cong L hệ toạ độ Descarter vng góc có phương trình y  f  x  C M   y  3/2 1  y   Khi L cho phương trình tham số x  x  t  , y  y  t  , sử dụng công thức C M   dy y   t  ,  dx x  t  xy   y x   x 2 3/2  y  d 2y dx  x   t  y   t   y   t  x   t  , x 3  t  ta nhận Khi L cho phương trình toạ độ cực r  f   , ta có x  f   cos  , y  f   sin  Ta có C  M   r  2r 2  rr   r  r 2 3/2 Ví dụ Tính độ cong parabol y  x Ví dụ Tính độ cong đường Ellip x  a cos t, y  b sin t ,  t  2 Ví dụ Tính độ cong đường r  ae b , a  0, b  3.3 Đường trịn khúc, khúc tâm Tại điểm M đường L , vẽ pháp tuyến hường phía lõm L , lấy 1 điểm I cho MI  Đường trịn tâm I bán kính R  gọi C M  C M  đường trịn khúc L M Nó tiếp xúc với L M có chung với L đường tiếp tuyến có độ cong C  M   với L M Tâm đường trịn R khúc gọi khúc tâm, bán kính R  gọi khúc bán kính C M   Cách tính toạ độ khúc tâm I  X , Y  :  1  y 2  2 y  y Nếu L : y  f  x  có: X  x  ,Y y y  y  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn Nếu L cho phương trình tham số x  x  t  , y  y  t  có y   x2  y 2  x   x 2  y 2  ,Y y X x xy   y x  x y   y x Ví dụ Đường trịn khúc đường trịn bán kính R Ví dụ Đường thẳng khơng có đường trịn khúc Điều hiển nhiên đường thẳng có độ cong Ví dụ Viết phương trình đường trịn khúc với đường y  điểm 1; 1 x 3.4 Đường túc bế, đường thân khai Định nghĩa Ta gọi quỹ tích khúc tâm đường L (nếu có) đường túc bế đường L Ví dụ Lập phương trình túc bế đường y  x 3/2 Ví dụ Tìm đường túc bế parabol y  px, p  Ví dụ Viết phương trình đường túc bế ellip x  a cos t, y  b sin t Định nghĩa Cho  đường túc bế đường L , L gọi đường thân khai  Từ ví dụ ta có  đường y  x 3/2 đường thân khai đường X   x  x, Y  x  x  1  Parabol y  2px đường thân khai đường y   x  p 3 27 p  Ellip x  a cos t , y  b sin t đường thân khai đường c2 c2 x cos t , y  sin3 t a b Tính chất Pháp tuyến điểm M  x ; y đường L tiếp tuyến đường túc bế  L khúc tâm I ứng với M Tính chất Độ dài cung đường  trị số tuyệt đối hiệu khúc bán kính đường thân khai L hai mút cung ấy, dọc theo cung khúc bán kính biến thiên đơn điệu Từ tính chất ta nhận thấy đường thân khai đường L quỹ tích điểm A nửa đường thẳng MA tiếp xúc với L M nửa đường thẳng lăn không trượt  3.5 Hình bao họ đường cong phụ thuộc tham số Cho họ đường cong L phụ thuộc hay nhiều tham số Nếu đường cong họ L tiếp xúc với đường E ngược lại điểm đường E có PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn đường họ L tiếp xúc với E điểm E gọi hình bao họ đường cong L Ví dụ Họ đường trịn tham số c: (x  c)2 + y2 = R2, với bán kính R Ví dụ Họ đường thẳng tham số x cos   y sin    Ví dụ Họ đường thẳng tham số: y  cx = 0, c tham số Ví dụ Đường túc bế đường L hình bao họ đường pháp tuyến L (Xem tính chất đường túc bế) Do đường túc bế L cịn gọi đường pháp bao L Định lí Cho họ đường F  x, y , c   phụ thuộc tham số c Nếu đường họ khơng có điểm kì dị, hình bao E họ xác định cách khử c F  x, y , c   từ hai phương trình  Fc  x, y , c   Chú ý Nếu họ đường cong F(x, y, c) = có điểm kì dị hệ gồm phương trình hình bao E quỹ tích điểm kì dị Hình bao khơng lấy điểm kì dị Ví dụ Tìm hình bao họ đường thẳng x cos   y sin    Ví dụ Tìm hình bao họ parabol bán lập phương  y  c    x  c  Ví dụ Xét họ quỹ đạo viên đạn bắn từ pháo với vận tốc v0, phụ thuộc vào góc bắn  Trong hệ trục toạ độ Descarter, phương trình chuyển động  x  v 0t cos   viên đạn  , y   gt  v t sin   g gia tốc trọng trường HAVE A GOOD UNDERSTANDING! PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI § Mặt  Điểm M0 mặt S gọi điểm quy có đạo hàm riêng Fx  M0  , Fy  M0  , Fz  M0  chúng khơng đồng thời khơng Một điểm khơng quy gọi điểm kì dị Định lí Tập hợp tất tiếp tuyến mặt S điểm quy M0 mặt phẳng qua M0  Phương trình pháp tuyến mặt S điểm quy M0 X  x0 Y  y0 Z  z0   Fx  M0  Fy  M0  Fz  M0   Phương trình tiếp diện mặt S: F(x, y, z) = 0, M0 Fx  M0  X  x0   Fy  M0 Y  y   Fz  M0  Z  z0   Nói riêng mặt S có phương trình z = f(x, y) phương trình tiếp diện pháp tuyến với S điểm quy M0(x0 ; y0 ; z0)  X  x0  fx  M0   Y  y  fy M0    Z  z0   ; X  x0 Y  y Z  z0   fx  M0  fy  M0  1 Nếu mặt S có phương trình tham số x  x  u, v  , y  y  u, v  , z  z  u, v  , (u, v)  D Khi phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt S điểm quy M0(x0 ; y0 ; z0)  X  x0  A  Y  y  B   Z  z0 C  ; X  x0 Y  y Z  z0   A B C y u  M0  zu  M0  z  M  xu  M0  x  M  yu  M0  ,B u ,C u yv  M0  zv  M0  zv  M0  xv  M0  xv  M0  yv  M0    Vectơ pháp tuyến mặt S M0 N  A ; B ; C  A  Ví dụ Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt cong z = x2 + y2 điểm M(1 ; 2 ; 5) Ví dụ Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt x2 + y2  z2 = điểm M0(3 ; ; 5) Ví dụ Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt cong x  r cos , y  r sin , z  r cot   r ,   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn CHƯƠNG II TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ § Tích phân phụ thuộc tham số đoạn 1.1 Khái niệm Định nghĩa Cho K(x, t) bị chặn: x  [c ; d], t  [a ; b] khả tích theo t [a ; b], b ta gọi I  x   K  x, t  dt tích phân phụ thuộc tham số x  a Ví dụ I  x   te xt dt , x  [1 ; 2]  b Ví dụ I  x   t sin xt dt , x  [c ; d], cd >  a Ví dụ I  x   dt   x 2t , x  [1 ; 2] 1.2 Tính liên tục, khả vi, khả tích Định lí (Leibnitz) Cho K(x, t) liên tục hình chữ nhật D: a  t  b, c  x  d 1/ I(x) liên tục [c ; d]  2/ I(x) khả tích [ ; ]  [c ; d] có b   I  x  dx   dt  K  x, t  dx a   b 3/ Nếu có   K  x, t  liên tục D có I   x   K  x, t  dt x x  a Ta vận dụng định lí để tính số tích phân phụ thuộc tham số sau Ví dụ Tính  Ví dụ Tính x b  xa dx, a, b  ln x arctan x x 1 x Ví dụ Tính In  a   dx, dx   x  a2 n , a  0,  n    /2 Ví dụ Tính I  a    ln a sin2 x  b cos2 x  dx, a, b  HAVE A GOOD UNDERSTANDING! PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 2  x , y   f  x, y, z  dx dy dz    x, y  dx dy    B f  x, y , z  dzdx dy D 1 x, y  D d) Cho tập hợp D đo  , hàm số 1, 2 liên tục, bị chặn D, hàm f : B   liên tục, bị chặn B định lí Fubini nói e) Cho B tập đo theo Jordan  , giới hạn z = c z = c z  [c, c], tiết diện thẳng B cắt mặt phẳng Z = z tập đo theo Jordan  , gọi Bz hình chiếu tiết diện lên mặt phẳng Oxy Định lí (Fubini) Cho hàm f : B   khả tích B Nếu z  [c, c], hàm số  x, y   f  x, y , z  khả tích Bz hàm số   z   f  x, y , z  dx dy khả tích  Bz c [c, c] có c  f  x, y, z  dx dy dz     z  dz   dz  f  x, y, z  dx dy B c c Bz Nói riêng, Định lí với hàm số f liên tục bị chặn B Ví dụ Tính  x dx dy dz , B: x + y + z  1, x  0, y  0, z  B Ví dụ Tính dx dy dz   x  y  z  13 V ( ) 24 , V : x + y + z  1, x  0, y  0, z  ( ln  ) 16 3.11 Đổi biến tích phân ba lớp a) Đổi biến Định lí Cho  tập mở   , tập compact, đo B  , ánh xạ :    xác định (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), 1/ Các hàm x, y, z :    thuộc lớp C1  2/ Thu hẹp  IntB đơn ánh D  x, y , z  3/ Định thức Jacobi J(u, v, w) =  ,  (u, v, w)  Int B D  u, v , w  Khi ta có 1/ (B) tập compact đo 2/ Nếu f : (B)   liên tục (B) f  x, y , z  dx dy dz   f  x  u, v , w  , y  u, v , w  , z  u, v , w   J u, v , w  du dv dw     B B b) Toạ độ trụ Cho ánh xạ :    ,  r ,  , z    r cos  , r sin , z  Rõ ràng có x = r cos, y = r sin, z = z thuộc lớp C  , 29 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn cos  J  r , , z   sin  r sin  r cos   r 0 Với   , thu hẹp  lên tập hợp A = (0 ; )[,  + 2]   song ánh từ A lên  bỏ trục Oz, nên có J(r, , z)  A Thu hẹp  tập mở  = (0 ; )(,  + 2)   song ánh từ  lên tập mở V =  \ P , P nửa mặt phẳng đóng có bờ trục Oz cắt mặt phẳng Oxy theo nửa đường thẳng tạo với trục Ox góc  Khi B tập compact đo cho IntB  ,  thu hẹp  IntB đơn ánh J(r, , z)  IntB Khi ta có f  x, y , z  dx dy dz   f  x  r , , z  , y  r , , z  , z  r , , z   r dr d  dz     B B Ví dụ Tính z dx dy dz   x  y , B: x2 + y2  a2,  z  h, a > 0, h > B Ví dụ Tính  B Ví dụ Tính z x2  y dx dy dz , B: 2az  x2 + y2, x2 + y2 + z2  3a2  z dx dy dz , B : z B Ví dụ Tính (  h2 ln 1  a  ) 2  dx dy dz , B : x  h2 R2 x y , z  h  ( 32 a ) 15  h2R ( ) + y2 + z2 = 2Rz, x2 + y2  z2 chứa (0 ; ; R) B Ví dụ Tính  z x  y dx dy dz , B : y  x  x , y  0, z  0, z  a  B c) Toạ độ cầu Cho ánh xạ  :    ,  r , ,     r sin cos , r sin sin, r cos  rõ ràng hàm số x, y, z  C  , có sin cos  r sin sin  r cos cos  J  r , ,    sin sin  cos    Oz, OM ,    Ox, OM   r sin cos  r cos sin  r sin , r sin Với    , thu hẹp  tập hợp A = (0 ; )[,  + 2)(0, r) song ánh từ A lên  bỏ trục Oz, có J(r, , )  A Thu hẹp  tập mở  = (0 ; )(,  + 2)  song ánh lên tập hợp mở V   \ P , P nửa mặt phẳng đóng có bờ trục Oz, cắt mặt phẳng Oxy theo nửa đường thẳng tạo với trục Ox góc  Khi B tập compact, đo cho IntB  ,  thu hẹp  30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn IntB đơn ánh J(r, , )  IntB, có f  x, y , z  dx dy dz   f  x  r , , z  , y  r , , z  , z  r , , z   r     B Ví dụ sin  dr d  dz B  dx dy dz, B Ví dụ 2   x B: x2 a2   y  dx dy dz, y2 b2  z2 c2 1 B : x  y  z2  R B Ví dụ 2  x y B Ví dụ  z dx dy dz, B : x2 a2  y2 b2  z2 c2 1 x  y  z2 dx dy dz, B : x  y  z  x B HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 31 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI CHƯƠNG IV TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT A TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1 Tích phân đường loại 1 Đặt vấn đề  Chia C thành n phần Định nghĩa f  x, y  xác định đường cong C  AB (không dẫm lên nhau) điểm A  A0, A1, , An  B  Gọi tên độ dài cung thứ i : A i 1Ai si, i  1, n  Lấy tuỳ ý Mi(xi ; yi)  A i 1Ai , lập tổng In  n  f Mi  si i 1 Nếu có lim In  I với cách chia C cách chọn điểm Mi ta gọi I tích n  phân đường loại hàm f(x, y) lấy đường cong C kí hiệu I  f  x, y  ds   C Ví dụ Tính  2ds, C: x  f  x, y  ds AB + y = 9, x  0, từ (0 ; 3) đến (0 ; 3) C Ví dụ Xét  C 1, x   D  x, y  ds , C:  x  1, y = 0, D  x, y    0, x  I Sự tồn Định lí f(x, y) liên tục đường cong trơn C tồn  f  x, y  ds C  Ý nghĩa học f(x, y) > mật độ khối lượng đường cong vật chất C có khối lượng đường cong m  f  x, y  ds  C Tính chất Có tính chất giống tích phân xác định trừ tính chất sau  f  x, y  ds   f  x, y  ds AB Cách tính Ta cần tính BA  f  x, y  ds C 32 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b  f  x, y  ds   f  x, y  x  a) C : y = y(x), a  x  b, ta có C  y 2  x dx a Ví dụ Tính I   C Ví dụ Tính x 4y  1 nối điểm A  1;  với B(2 ; 2) ds , C : y   2 x  xy ds , C : |x| + |y| = a, a > C  b) C: x = x(t), y = y(t),   t  , có  f  x, y  ds   f  x t  ; y t  C Ví dụ Tính  xy ds , C : x x2  t   y 2  t dt  + y = R , x  0, y  C Ví dụ Tính   x  y  ds , C : x + y2 =ax C c) x = x(t), y = y(t), z = z(t),   t  , có   f  x, y, z  ds   f  x  t , y t , z t  C Ví dụ Tính    x  y  ds, x  t, y  C Ví dụ Tính x 2  t   y 2  t   z2  t dt t , z  t 3,  t  ds  x  y  z2 , x = a cost, y = a sint, z = bt, t  C §2 Tích phân đường loại hai Đặt vấn đề    Định nghĩa Cho hàm vectơ F  M   P  M  i  Q  M  j xác định đường     , vectơ T  M   cos   M  i  sin   M  j vectơ cong C nối hai điểm A, B, C  AB  tiếp tuyến với C M, (M) = T , Ox  , tích phân đường loại hàm   f  x, y   F T  P  M  cos   M   Q  M  sin   M  đường C   I  F T ds  P  M  cos   M   Q  M  sin   M  ds  C  C  gọi tích phân đường loại hai hàm F  M  hay hàm P(M), Q(M) lấy C từ A đến B Ta có I  P  x, y  dx  Q  x, y  dy AB Tương tự, ta có tích phân đường loại hai hàm 33 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn      F  M   P  M  i  Q  M  j  R  M  k , M   I  P  x, y , z  dx  Q  x, y , z  dy  R  x, y , z  dz   C   P cos  Q cos   R cos   ds C  , ,  góc tiếp tuyến T với trục Ox, Oy, Oz  Ví dụ Tính xdx  e xy dy , C: y = 1, x :  C  sin x dx  dy , C : x = 2, y :  Ví dụ Xét C Sự tồn Định lí Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục đường cong trơn khúc C tồn  P  x, y  dx  Q  x, y  dy C Ý nghĩa học : Tính cơng lực di chuyển chất điểm dọc theo đường cong C Tính chất : Có tính chất giống tích phân xác định, chẳng hạn :  P dx  Q dy    Pdx  Qdy AB BA Cách tính a) Nếu C : y = y(x), x : a  b có b  Pdx  Qdy   P  x, y  x   Q  x, y  x   y   x  dx C a Ví dụ Tính  xydx   y  x  dy , C a) C : y = x2, x :  b) C : y = 0, x :  c) x = 1, y :  Ví dụ Tính  ABCDA dx  dy , ABCDA chu tuyến hình vuông với đỉnh x y A(1 ; 0), B(0 ; 1), C(1 ; 0), D(0, 1) b) C: x = x(t), y = y(t), t:   , có   Pdx  Qdy   P  x  t , y  t  x  t   Q  x t , y t  y  t dt C  34 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ Tính thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  xdx   x  y  dy , C : x = R cost, y = R sint, t :  2 C Ví dụ Tính C  x  y  dx   x  y  dy , C x2 x y  + y2 = a2 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Chú ý Tương tự có cơng thức C : x = x(t), y = y(t), z(t), t :    Cơng thức Green Định lí Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền D compact, giới hạn đường cong kín, trơn khúc C, có  Pdx  Qdx   Qx  Py  dxdy C Ví dụ Tính D  1  x  ydx  1  y  xdy , C: x + y2 = R2 C Ví dụ Tính   xy  x  y  dx   xy  x  y  dy , C : x + y2 = ax C Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Định lí (ĐL mệnh đề tương đương) Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền D đơn liên bốn mệnh đề sau tương đương 1/ P Q  ,   x, y   D y x 2/  Pdx  Qdx  ,  L kín thuộc D L 3/  Pdx  Qdy phụ thuộc vào A, B mà không phụ thuộc vào đường nối A, B AB 4/ U  x, y  : du  Pdx  Qdy Chú ý :  dU  U  AB B  U (B )  U ( A ) A  ; 3 Ví dụ  xdy  ydx  1; 2 35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1; 1 3   x y  3y   dx  3 x y  xy   dy Ví dụ Tính 0 ; 0 Ví dụ Tính x  ( x  y )2 [( x  2y )dx  2xydy ] , L L: y   x , từ A(1,0) đến B(0,1) Chú ý Tương tự mở rộng định lí cho đường cong khơng gian: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t :    HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 36 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI 10 B TÍCH PHÂN MẶT §1 Tích phân mặt loại 1 Đặt vấn đề Định nghĩa  Cho hàm số f  M  xác định mặt S    Chia mặt S thành n phần khơng dẫm lên nhau, gọi tên diện tích chúng Si, i  1, n n  Lấy điểm tuỳ ý Mi  xi ; y i ; zi   Si , lập tổng In   f Mi  Si n 1  Nếu lim In  I cho d  0,  cách chia S cách chọn Mi ta gọi I tích n  phân mặt loại hàm số f(M) mặt S kí hiệu I  f M  dS I   f  x, y, z  dS S Ví dụ Tính  2dS, S  x S Chú ý S  y z   1, z   dS diện tích mặt S S Tính chất Có tính chất giống tích phân đường loại Sự tồn Định lí Cho hàm f(x, y, z) liên tục mặt trơn hay trơn phần S   f  x, y, z  dS S Cách tính z = z(x, y) xác định D   , có  f  x, y, z  dS   f  x, y, z  x, y  S Ví dụ Tính   zx2  zy2 dxdy D x  y dS , S mặt bán cầu x2 + y2 + z2 = R2, z  S Ví dụ Tính  xy  yz  zx dS, S : z  x  y bị cắt mặt trụ x2 + y2 = ax, a > S 37 PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn §2 Tích phân mặt loại hai Đặt vấn đề Định nghĩa a) Định nghĩa Cho mặt S giới hạn đường trơn khúc C Lấy M0  S  dựng pháp tuyến N S M0, xuất phát từ M0 theo đường cong kín L S khơng cắt đường biên C trở lại vị trí M0 mà hướng pháp tuyến M0 khơng thay đổi mặt S gọi mặt hai phía Trường hợp ngược lại S gọi mặt phía Mặt S gọi định hướng phần liên tục chia thành số hữu hạn phần định hướng đường trơn khúc Cho mặt định hướng S giới hạn đường cong C Ta gọi hướng dương C ứng với phía chọn S xác định theo quy tắc bàn tay phải b) Định nghĩa tích phân mặt loại hai      Cho hàm vectơ F  P  M  i  Q  M  j  R  M  k xác định mặt hai phía S  Chọn phía S ứng với pháp tuyến           N M  i cos  M  j cos  M  k cos   M        Ta gọi tích phân mặt loại hàm F.N  i cos  j cos   k cos  mặt S:   I  F N dS   P cos   Q cos   R cos   dS   S S  tích phân mặt loại hai hàm F  M  (hay hàm P, Q, R) lấy phía chọn mặt S Ví dụ Tính   P cos  Q cos   R cos   dS, S : x  y  1, z  , hướng lên S trên, zy P  z x , Q  e y sin x 2, R   x  y  z Chú ý Gọi hình chiếu Si lên mặt phẳng Oyz, Ozx, Oxy       Si , Si , Si , có       cos   M i  Si  Si , cos   M i  Si  Si , cos   Mi  Si  Si Do ta kí hiệu tích phân mặt loại hai I   Pdydz  Q dzdx  R dxdy S Tính chất Có tính chất tương tự tích phân đường loại hai Định lí tồn Cho hàm P, Q, R liên tục mặt định hướng phần S tích phân mặt loại hai hàm lấy theo phía S tồn Cách tính  Ta có  Pdydz  Q dzdx  R dxdy   Pdydz   Qdzdx   R dxdy S S S 38 S PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn  Ta tính tích phân vế phải, chẳng hạn I1   R dxdy S Cho S : z = f(x, y) xác định D Tích phân lấy theo phía mặt S I1   R  x, y, z  x, y  dxdy D Tích phân lấy theo phía mặt S I    R  x, y , z  x, y   dxdy D Ví dụ  z dxdy , S phía ngồi mặt cầu x + y2 + z2 = S Ví dụ  x 3dydz , S phía nửa mặt Ellipsoid S x2 a2  y2 b2  z2 c2  1, z  §3 Công thức Stokes Đặt vấn đề Công thức Stokes Định lí Các hàm P, Q, R đạo hàm riêng cấp liên tục mặt định hướng phần S, giới hạn đường trơn khúc C, ta có cơng thức  P cos    Q cos    R cos   ds C    Ry  Qz  cos   Pz  Rx  cos   Qx  Py  cos   dS S    Ry  Qz  dydz  Pz  Rx  dzdx  Qx  Py  dxdy S  :   (cos  ,cos  ,cos  ) vectour tiếp  N  (cos  ,cos  ,cos  ) vectour pháp tuyến với S tuyến với C, Chú ý 1/ Trong mặt phẳng cơng thức Stokes trở thành công thức Green biết 2/ Công thức Stokes viết dạng sau  P dx  Q dy  R dz   C S 39 dydz dzdx dxdy    ; x y z P Q R PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn   P cos   Q cos    R cos   ds   C Ví dụ Tính S  y dx  z dy  x dz , C: x cos   x P cos   y Q cos   z R + y2 + z2 = a2, x +y+ z = 0, lấy hướng C ngược chiều kim đồng hồ nhìn thừ phía dương Ox Ví dụ   y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz , C x z    a  0, h   hướng ngược chiều kim đồng hồ a h nhìn từ phía dương trục Ox C : x  y  a 2, Định lí bốn mệnh đề tương đương Từ cơng thức Stokes chứng minh định lí bốn mệnh đề tương đương cho tích phân đường khơn gian Định lí Các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền V đơn liên bốn mệnh đề sau tương đương 1) R Q P R Q P ,  ,   y z z x x y 2)  Pdx  Qdy  Rdz  0,  đường cong kín L  V L 3)  Pdx  Qdy  Rdz không phụ thuộc vào đường nối điểm A, B  V mà AB phụ thuộc vào điểm đầu A điểm cuối B 4)  U(x, y, z): du  Pdx  Qdy  Rdz Ví dụ  yz dx  zx dy  xy dz , C đường cong kín C Ý nghĩa vật lí     a) Lưu số (hoàn lưu) trường vectơ F  Pi  Qj  Rk dọc theo chu tuyến kín C  T  F  ds  Pdx  Qdy  Rdz  C  C b) Vectơ xoáy      Định nghĩa Vectơ xoáy ( rot F  M  ) M trường vectơ F  Pi  Qj  Rk 40 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn   R Q    P R    Q P   rot F  M      i   z  x  j   x  y  k  y  z       qr Ví dụ Tìm vectơ xốy điện trường E  r Vectơ xốy có tính chất sau:  Tuyến tính      rot  uc   grad u  c , c số      rot  uF   u rot F  grad u  F c) Công thức Stokes dạng vectơ   F ds  C   rot FNdS S  Do có: lưu số trường vectơ F theo đường cong kín C thơng  lượng vectơ rot F qua mặt S giới hạn đường cong C § Cơng thức Ostrogradsky  Đặt vấn đề Cơng thức Định lí (Cơng thức Ostrogradsky) Các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền compact V   giới hạn mặt cong kín trơn phần S, ta có công thức  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy  S  V  P Q R   x  y  z  dV ,   tích phân mặt lấy theo phía ngồi S Ví dụ  xdydz  ydzdx  zdxdy , S phía ngồi mặt cầu x + y2 + z2 = a2 S Ví dụ 3  x dydz  y dzdx  z dxdy , S phía ngồi mặt cầu x + y2 + z2 = a2 S Ý nghĩa Vật lí a) Dive trường vectơ  Định nghĩa Cho trường vô hướng u, vectơ gradient trường vô hướng u  u  u  u     grad u  i  j  k , i , j , k vectơ đơn vị trục x y z 41 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn  Tính chất +) Tuyến tính    +) grad  u1u2   u1grad u2  u2 grad u1   +) grad f  u   f  u  grad u Ví dụ (Bài tốn muỗi) Con muỗi đậu trường nhiệt độ T Hỏi muỗi cần bay theo hướng để mát nhanh   b) Công thức Ostrogradsky dạng vectơ FN dS  div F dV ,  S  P Q R , div F    x y z N vectour pháp tuyến phía ngồi mặt S kín  V c) Điểm nguồn, điểm rị, trường vectơ có thơng lượng bảo tồn    Cho div F liên tục M  V div F  M   Gọi V’ miền giới hạn mặt kín S’ lân cận đủ nhỏ M Từ công thức mục b)  thông lượng qua mặt S’ từ ngồi số dương, hay thơng lượng vào mặt S’ thơng lượng khỏi mặt Khi điểm M gọi điểm nguồn trường  Ngược lại div F  M   M gọi điểm rị trường   Nếu div F (M )  0, M  trường trường khơng có điểm nguồn điểm rị  Khi ta bảo F trường ống   Nếu rot F (M )  0, M  trường F gọi trường bảo toàn  F gọi trường điều hòa  F vừa trường ống, vừa trường     Ví dụ Tính thơng lượng trường F  xi  yj  zk qua mặt xung quanh mặt tồn phần hình trụ x2 + y2  a2,  x  h  qr     Ví dụ Tính thơng lượng điện trường E  , r  xi  yj  zk (Định luật r Gauss) Toán tử Haminton        a) Định nghĩa   i j k x y z b) Tính chất     u  grad u      F  div F 42 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn    i j k         F   rot F x y z P Q R 2 2 2 2     ,  tốn tử Laplace     x y z     div  gradu      u   u   rot  grad u     div  rot F   Thank you and Good bye! 43 ... (0.1) a  Diện tích tiết diện thẳng S(x) tính sau: y2  x  S x    f  x, y  dy (0.2) y1 x  Thay (0.2) vào (0.1) ta có y2 ( x ) b  y2  x  b  V   f  x, y  dy  dx  dx f ( x, y )dy... M0 theo đường cong kín L S khơng cắt đường biên C trở lại vị trí M0 mà hướng pháp tuyến M0 khơng thay đổi mặt S gọi mặt hai phía Trường hợp ngược lại S gọi mặt phía Mặt S gọi định hướng phần liên