Lý thuyết đồ thị
Lý thuyết đồ thị Trần Nam Hưng✯ Ngày tháng 12 năm 2020 Một số khái niệm Một số dạng đồ thị Bộ G = (V , E) đồ thị Trong đó, Định nghĩa (Đơn đồ thị) Đồ thị khơng có cạnh bội khơng có khuyên V đỉnh đồ thị Định nghĩa (Đa đồ thị) Đồ thị tồn E cạnh đồ thị cạnh bội khuyên Khuyên u = (x , x) (x đỉnh có khuyên) Định nghĩa (Giả đồ thị) Đa đồ thị có khuyên Cạnh bội hai cạnh phân biệt nối với Định nghĩa (Đồ thị đầy đủ) Đồ thị có cặp đỉnh cặp đỉnh kề Ký hiệu Kn Hai đỉnh kề có cạnh nối với chúng Định nghĩa (Đồ thị k đầy đủ) Đồ thị có Hai cạnh kề có chung đỉnh cặp đỉnh khác có k cạnh Bậc đỉnh deg(x) số cạnh tương ứng với Định nghĩa (Đồ thị lưỡng phân) Đồ thị G = (V1 ∪ V2 , E), với V1 , V2 hai tập khác đỉnh x rỗng rời nhau, có cạnh đỉnh V1 Bậc đồ thị tổng bậc đỉnh tương ứng với đỉnh V2 Định lí (Quan hệ bậc cạnh) Định nghĩa (Đồ thị lưỡng phân đầy đủ) Cho đồ thị G = (V , E) Khi đó, bậc đồ thị Đồ thị G = (V1 ∪ V2 , E), với V1 , V2 hai tập khác rỗng rời nhau, có đỉnh V1 liền G gấp lần số cạnh đồ thị kề với đỉnh V2 Hệ (Tính chẵn số đỉnh bậc chẵn) Định nghĩa (Đồ thị bù nhau) Hai Với đồ thị, số đỉnh bậc lẻ số chẵn đơn đồ thị kết hợp thành đồ thị đầy đủ Định nghĩa (Đồ thị con) Bỏ số đỉnh với cạnh nối với đỉnh ✯ hungb1906052@student.ctu.edu.vn Chu trình EULER HAMILTON Sự đẳng cấu đồ thị Định nghĩa 10 (Đẳng cấu hai đồ thị) Định nghĩa 13 (Chu trình EULER) Chu Hai đồ thị G1 = (V1 , E) G2 = (V2 , E) đẳng trình đơn qua tất cạnh đồ thị cấu tồn song ánh f : V1 → V2 cho Định nghĩa 14 (Đường EULER) x , y liền kề V1 f (x) , f (y) liền kề Đường qua tất cạnh đồ thị V2 , ∀x , y ∈ V1 cạnh qua lần Định lí (Bậc ảnh) Nếu f đẳng cấu Định nghĩa 15 (Chu trình HAMILTON) từ G1 vào G2 deg(x) = deg(f (x)) , ∀x ∈ V1 Chu trình sơ cấp qua tất đỉnh đồ Chú ý Nếu G1 G2 đẳng cấu thị ❼ Số đỉnh Định nghĩa 16 (Đường HAMILTON) ❼ Số cạnh Đường sơ cấp qua tất đỉnh đồ thị ❼ Số bậc hai đỉnh tương ứng Nguyên lý DIRICHLET Đồ thị phẳng Định lí (Nguyên lý lồng chim bồ câu) Định nghĩa 11 (Đồ thị phẳng) Ta Nếu có nhiều n đối tượng cần xếp vào n vẽ lại mặt phẳng cạnh cắt hộp có hộp chứa nhiều đối tượng Định lí (Công thức Euler) Cho G đồ thị phẳng liên thơng với v đỉnh, e cạnh, r miền Khi v−e+f =2 Hệ Đồ thị lưỡng phân đầy đủ K3,3 đồ thị phẳng Đồ thị đầy đủ K5 đồ thị phẳng Tô màu đồ thị Định nghĩa 12 (Sắc số) Màu tối thiểu để tô màu đỉnh cho hai đỉnh kề phải có màu khác Định lí Một chu trình độ dài lẻ s(G) = Một chu trình độ dài chẵn s(G) = G đồ thị đầy đủ s(G) số đỉnh G G đồ thị phẳng s(G) ≤ ... đỉnh, e cạnh, r miền Khi v−e+f =2 Hệ Đồ th? ?? lưỡng phân đầy đủ K3,3 đồ th? ?? phẳng Đồ th? ?? đầy đủ K5 đồ th? ?? phẳng Tô màu đồ th? ?? Định nghĩa 12 (Sắc số) Màu tối thiểu để tô màu đỉnh cho hai đỉnh kề phải... đồ Chú ý Nếu G1 G2 đẳng cấu th? ?? ❼ Số đỉnh Định nghĩa 16 (Đường HAMILTON) ❼ Số cạnh Đường sơ cấp qua tất đỉnh đồ th? ?? ❼ Số bậc hai đỉnh tương ứng Nguyên lý DIRICHLET Đồ th? ?? phẳng Định lí (Nguyên... nghĩa 11 (Đồ th? ?? phẳng) Ta Nếu có nhiều n đối tượng cần xếp vào n vẽ lại mặt phẳng khơng có cạnh cắt hộp có hộp chứa nhiều đối tượng Định lí (Cơng th? ??c Euler) Cho G đồ th? ?? phẳng liên th? ?ng với v