Mục lục A GIẢI TÍCH 3 Chương 1 KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 5 Vấn đề 1 SỰ ĐỒNG BIẾN ր NGỊCH BIẾN ց 6 Dạng 1 Xét tính đơn điệu (ր ց) của hàm số 7 Dạng 2 Tìm tham số để hàm y = ax+b cx+d đơn điệu trên từ[.]
Mục lục A GIẢI TÍCH Chương KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề SỰ ĐỒNG BIẾN ր-NGỊCH BIẾN ց Dạng Xét tính đơn điệu (ր ց) hàm số ax +b Dạng Tìm tham số để hàm y = cx +d đơn điệu khoảng xác định Dạng Tìm tham số để hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R Dạng Tìm tham số m để hàm số đơn điệu K Dạng Dùng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức R Vấn đề CỰC TRỊ Dạng Tìm cực trị hàm số: cực đại ∧-cực tiểu ∨ Dạng Tìm tham số m để hàm bậc ba có cực trị Dạng Tìm tham số m để hàm trùng phương có ba cực trị Dạng Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị điểm Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn [ a; b] Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng ( a; b) Dạng Các toán vận dụng cao, toán thực tế min, max Vấn đề TIỆM CẬN Vấn đề KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng Các dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Dạng Các dạng đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c ax +b Dạng Hàm phân thức cx +d 10 11 15 24 25 27 30 32 38 39 40 41 45 46 47 48 49 Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYÊN Dạng Cho điếp điểm y − y0 = f ′ ( x0 ) · ( x − x0 ) Dạng Cho hệ số góc tiếp tuyến k = f ′ ( x0 ) Dạng Cho điểm tiếp tuyến qua Vấn đề TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Dạng Tìm giao điểm đồ thị y = f ( x ), y = g( x ) Dạng Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị ax +b Dạng (C ) : y = cx +d cắt ( d ) điểm phân biệt Dạng y = ax3 + bx2 + cx + d cắt (d) điểm phân biệt (C ) : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành lập thành cấp số cộng Dạng Dạng Tìm m để hàm trùng phương cắt (d) bốn điểm phân biệt Vấn đề ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG Vấn đề ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN CỦA ĐỒ THỊ Vấn đề 10 ĐỒ THỊ HÀM CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng Trị tuyệt đối toàn phần y = | f ( x )| (C ′ ) Dạng Trị tuyệt đối cùa riêng x: y = f (| x |) (C ′ ) 54 54 55 56 61 61 62 63 64 65 66 67 68 70 70 71 MỤC LỤC Dạng Trị tuyệt đối cục y = |u( x )| · v( x ) (C ′ ) Vấn đề 11 TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ HÀM F ′ ( X ) Dạng Tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) Dạng Cực trị hàm số y = f ( x ) dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) ÔN TẬP CHƯƠNG I Chương LŨY THỪA, MŨ & LÔGARIT Vấn đề LŨY THỪA Vấn đề LÔGARIT Vấn đề HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Vấn đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Vấn đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Dạng Vấn đề BÀI TOÁN THỰC TẾ Dạng Lãi đơn Dạng Lãi kép Dạng Tiền gửi hàng tháng Dạng Vay vốn trả góp 72 73 73 74 80 83 84 86 89 97 98 100 102 107 107 108 108 108 108 109 Chương NGUYEN HÀM, TICH PHÂN & ỨNG DỤNG 111 Chương SỐ PHỨC 113 B HÌNH HỌC Chương KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Dạng Khối đa diện lồi Dạng Năm khối đa diện Vấn đề KHỐI CHÓP Dạng Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Dạng Hinh chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Dạng Hình chóp đa giác đều, hình chóp Vấn đề KHỐI LĂNG TRỤ Dạng Lăng trụ đứng, lăng trụ xiên 115 Chương NÓN, TRỤ & CẦU Vấn đề MẶT CẦU Vấn đề MẶT CẦU- KHỐI CẦU Dạng Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng Tính diện tích, thể tích mặt cầu Vấn đề MẶT NÓN Vấn đề MẶT TRỤ Chương TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trang | 151 117 118 118 119 121 121 124 126 131 131 137 137 138 140 141 143 147 151 NHĨM PI LATEX A GIẢI TÍCH PHẦN CHƯƠNG KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VẤN ĐỀ SỰ ĐỒNG BIẾN-NGỊCH BIẾN KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa 1 Hàm số y = f ( x ) đồng biễn (tăng) khoảng (a; b) ⇔ ∀ x1 , x2 ∈ ( a; b), x1 < x2 ta có: f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0∀ x ∈ ( a; b) (Đẳng thức (tức dấu "=") xảy số hữu hạn điểm ( a; b)) + Khi đó, đồ thị hàm số y = f ( x ) khoảng ( a; b) có hình dạng lên từ trái sang phải y Đồ thị hàm số y = f (x) Bảng biến thiên x f ( x2 ) a f ′ (x) f ( x1 ) a x x1 x2 b + f (x) b Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) khoảng ( a; b) ⇔ ∀ x1 , x2 ∈ ( a; b), x1 < x2 ta có: f ( x1 ) > f ( x2 ) ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0∀ x ∈ ( a; b) (Đằng thức chi xảy số hữu hạn điểm ( a; b) ) + Khi đó: đồ thị hàm số y = f ( x ) khoảng ( a; b) có hỉnh dạng xuống từ trái sang phải Đồ thị hàm số y = f (x) y Bảng biến thiên x f ( x1 ) f ( x2 ) b x a x1 f ′ (x) a b − f (x) x2 ÷ Định lí Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ( a; b) • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀ x ∈ ( a; b) hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) ( a; b) • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀ x ∈ ( a; b) hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) ( a; b) • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀ x ∈ ( a; b) hàm số y = f ( x ) hàm ( a; b) Lưu ý Định lí mở rộng cho f ′ ( x ) ≥ 0, f ′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ ( a; b) dấu "=" xảy số hữu hạn điểm vô hạn điểm rời rạc Trang | 151 NHÓM PI LATEX SỰ ĐỒNG BIẾN ր-NGỊCH BIẾN ց DẠNG 1: Xét tính đơn điệu (ր PHƯƠNG PHÁP ց) hàm số Các bước xét tính đơn điệu hàm số Tìm tập xác định D hàm số Tính đạo hàm f ′ ( x ) Tìm nghiệm (nếu có) phương trình f ′ ( x ) = tìm giá trị mà f ′ ( x ) không xác định Lập bảng biến thiên hàm số từ kết luận khoảng đơn điệu a Biểu diễn tập xác định, loại bỏ rõ phần không thuộc tập xác định b Biểu diễn rõ điểm (các khoảng) mà y′ = y′ không xác định c Biểu diễn dấu + hay − y′ vào khoảng lại d Biểu diễn tăng giảm y dựa dấu y′ VÍ DỤ L Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = x3 − 3x2 − L Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y = − x4 + 2x2 − L Ví dụ Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số y = L Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y = 12 √ x+1 x−1 2x − x2 Trang | 151 CHƯƠNG KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau đây: a) y = − x3 + 3x + b) y = x3 + 6x2 + c) y = x3 + x2 + 5x − d) y = − x3 + 2x2 − 10x + e) y = x4 − 2x2 − f) y = − x4 + 4x2 + g) y = x4 + x2 + h) y = −2x4 − 4x2 + i) y = k) y = x+1 x−1 j) y = − 2x x+4 b) y = √ 3x + 2−x Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau: x2 − x + a) y = x−1 √ c) y = 3x − x2 2x + x2 √ d) y = x − x2 BÀI TẬP BỔ SUNG Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau a) y = − x3 + 3x2 − 8x + b) y = 2x2 − 3x + c) y = x2 ( x2 − 4) d) y = 3x + x−2 x2 − x + 2−x f) y = x2 + x + x2 − x + x2 h) y = x4 − 6x2 + 8x + e) y = x +1 √ i) y = x + 2x2 + g) y = k) y = 1 − x x−2 Trang | 151 π π j) y = sin 2x − x, − < x < 2 l) y = x+1 √ x NHÓM PI LATEX SỰ ĐỒNG BIẾN ր-NGỊCH BIẾN ց ax +b Tìm tham số để hàm số y = cx +d , ( ad − bc = 0) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng xác định DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ß ™ d Bước Tập xác định D = R \ − c Bước Đạo hàm y′ = ac − bd (cx + d)2 Bước • Để hàm số ĐB khoảng xác định y′ > 0, ∀ x ∈ D ⇔ ad − bc > 0, ∀ x ∈ D • Để hàm số NB khoảng xác định y′ < 0, ∀ x ∈ D ⇔ ad − bc < 0, ∀ x ∈ D Chú ý điều kiện khơng có dấu "=" VÍ DỤ L Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx + đồng biến khoảng xác định x+m L Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx − m2 + 3m nghịch biến khoảng xác định x+1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm m để mx − a) Hàm số y = tăng khoảng xác định x−1 m2 x − 2m + b) Hàm số y = đồng biến khoảng xác định x+1 mx + 7m − c) Hàm số y = đồng biến khoảng xác định x−m d) Hàm số y = giảm khoảng xác định − mx mx − m + e) Hàm số y = nghịch biến khoảng xác định x+m mx − m2 − f) Hàm số y = đồng biến khoảng xác định x+2 mx − g) Hàm số y = nghịch biến khoảng xác định x+m−3 12 Trang | 151 CHƯƠNG KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tìm tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến (hoặc nghịch biến) R DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP Bước Tập xác định D = R Bước Đạo hàm y = 3ax2 + 2bx + c Bước ® • Để hàm số ln đồng biến y′ ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ • Để hàm số ln đồng biến y′ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ® a>0 ∆ y′ ≤ a