Các dạng bài tập số phức trắc nghiệm và tự luận có đáp án

CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM I – LÝ THUYẾT CHUNG 4k 4k 1  i; i 4k   -1; i 4k 3  -i Chú ý: i  1; i x Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b �R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0) z ảo  phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo a a' � a  bi  a’  b’i � � (a, b,a ', b ' �R) b  b' �  Hai số phức nhau: b Cộng trừ số phức:   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’  i a O y M(a;b) Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b �R) biểu diễn điểm M(a; b) hay r u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức)   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’  i  Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r  u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u  u ' biểu diễn z + z’ u  u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức :   a  bi   a ' b 'i    aa’ – bb’   ab’  ba’  i  k(a  bi)  ka  kbi (k �R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z  a  bi �z � z z  z ; z �z '  z �z ' ; z.z '  z.z '; � � �z � z2 ;   z số thực  z  z ; z số ảo  z   z z.z  a  b Môđun số phức : z = a + bi uuuu r 2 z  a  b  zz  OM  z 0�z0  z �0, z �C ,  z.z '  z z ' Chia hai số phức: z z   z' z'  z  z ' �z �z ' �z  z ' a+bi aa'-bb' ab ' a ' b   i a '  b '2  Chia hai số phức: a'+b'i a '  b ' Trang z 1  z z  (z  0) Căn bậc hai số phức: z' z '.z z '.z  z ' z 1   z.z z  z z'  w � z '  wz  z �x  y  a � z  x  yi w  a  bi z  w  bậc hai số phức   � 2xy  b  w = có bậc hai z =  w �0 có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a > � a  Hai bậc hai a < � a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A �0 )   B2  4AC  B � z1,2  2A , (  bậc hai )   �0 : (*) có hai nghiệm phân biệt B z1  z   2A    : (*) có nghiệm kép: z Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức (dành cho chương trình nâng cao) a) Acgumen số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ Gọi M điểm biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Nếu  acgumen z acgumen z có dạng  + k2 (kZ) b) Dạng lượng giác số phức : Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0) � � r a  b2 � a � cos  � r � b � sin   � r � ( acgumen z,  = (Ox, OM) c) Nhân, chia số phức dạng lượng giác : Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( +’)] z r   cos(   ')  i sin(   ')  z' r ' d) Công thức Moa-vrơ : n r(cos  i sin )   r n (cos n  i sin n) Với n số nguyên, n  :  n Khi r = 1, ta : (cos  i sin )  (cos n  i sin n) e) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác : Trang Các bậc hai số phức z = r(cos + isin) � � � � �  � � �  r� cos  i sin � r � cos �   � i sin �   � � 2� � � �2 � � �2 � Trang (r > 0) : � �  r� cos  i sin � �và � II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ  i Ví dụ 1: Cho số phức z = 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: 3  i  i a) Vì z = 2  z = 2 �3 � 3 � i  i �2  i � �  i  �= 4 =2 b) Ta có z = � �3 � 3  i   i  i   i � � �2 � 4 2 2 �  (z) = � �1 �3 � 3 �  i  i   i  i  i � � � � �2 � �2 � 4 � � � ( z ) =( z ) z = � 1 3  1 1  i  i  i 2 2 2 Ta có: + z + z2 = Ví dụ 2: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i � x � � � 3x  y  2y  � �y  � 5x  x  y � Giải hệ ta được: � Ví dụ 3: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính tốn này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n  N* Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N n n �� ��   i  i Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n = �� Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = 16 1 i � � 1 i � � � �� � 1 i � � 1 i � Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = �  i (1  i)(1  i) 2i   i 2 Giải: Ta có:  i Trang 16 1 i � � 1 i � � 1 i  i � �� � 1 i � �  i �=i16 +(-i)8 =  1 i Vậy � z  3z    i    i  (1) Ví dụ 5: Tìm phần ảo z biết: Giải: Giả sử z=a+bi (1) � a  bi  3a  3bi    12i  6i  i    i     11i    i  �a � 4a  2bi   2i  22i  11i  20i  15 Vậy phần ảo z -10 z z z z   i, z   i Ví dụ 6: Cho Tính 1 Giải: 15 ; b  10 z1  z1z   i    i    i   10  10  0i � z1  z1z  102  02  10 Ví dụ 7: Cho Giải: +) z1   3i, z   i Tính z1  3z ; z1  z z2 ; z13  3z z1  3z   3i   3i   6i � z1  3z  52  62  61 z1  z 49 z1  z  4i   4i    i   i       z2 4 z  i  i � +) z  3z   36i  54i  27i   3i  49  6i � z1  3z  2437 +) Ví dụ 8: Tìm bậc hai số phức z   12i Giải: Giả sử m+ni (m; n �R) bậc hai z Ta có: (m  ni)   12i � m  2mni  n 2i   12i � m  2mni  n   12i � m  n  5(1) � m2  n  � �� �� 2mn  12 m  (2) � � � n �6 � � � n  � 36  n  5n Thay (2) vào (1) ta có: �n � � n  5n  36  � n  4; n  9(loai) n 2�m 3 � � n  2 � m  3 � Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết số phức z  x  iy thỏa z  8  6i Mệnh đề sau sai? �x  8x   � �x  y2  8 � � �y  xy  A � B � x Trang �x  �x  1 hay � � 2 �y  3 C �y  D x  y  2xy  8  6i z   m  1   m   i,  m �R  z�5 Câu 2: Cho số phức Giá trị m để m �6 � �m �2 A 2 �m �6 B 6 �m �2 C �m �3 D �   i    2i  3i Câu 3: Viết số phức dạng đại số: 11 13 11   i   i  i A 5 B 5 C 5 Câu 4: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: a0 � � b0 A Số phức z  a  bi  � D  11  i 5 B Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng phức Oxy 2 C Số phức z  a  bi có môđun a  b D Số phức z  a  bi có số phức đối z '  a  bi   zz Câu 5: Cho số phức z  a  bi, a, b �R mệnh đề Khi số là: M  a; b  1) Điểm biểu diễn số phức z zz 2) Phần thực số phức a;  3) Môdul số phức 2z  z zz 4) A Số mệnh đề C Số mệnh đề sai Câu 6: Mệnh đề sau sai z  z � z1  z A z 0� z0 B  9a  b B Số mệnh đề D Cả z  C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn tâm O, bán kính R = D Hai số phức phần thực phần ảo tương ứng z   3i, z    3i, z  z1.z Câu 7: Cho hai số phức Lựa chọn phương án đúng: z  25 z  z1 z  z2 z  z  z1  z A B C D 3i 3i z , z'   7i  7i Trong kết luận sau: Câu 8: Cho số phức (I) z  z ' số thực, (II) z  z ' số ảo, (III) z  z ' số thực, Kết luận đúng? A Cả I, II, III B Chỉ II III C Chỉ III, I D Chỉ I, II 2009 i i 2 z z  z z  zz z 1 z 1 Câu 9: Cho số phức z �1 Xét số phức Khi  ,  � R  ,   � R,   � R,  số ảo A B số ảo C số ảo D Trang   i Câu 10: Cho số phức z = 2 Số phức + z + z2 bằng:   i A 2 B - 3i C D Câu 11: Giá trị biểu thức  i  i  i   i là: A  i B i C i Câu 12: Đẳng thức đẳng thức sau: 2018 2018 1009 2018  21009 i  21009 A (1  i) B (1  i)  2 i C (1  i) Câu 13: Cho 2017 D  i 2018  21009 D (1  i) z1 , z �� đẳng thức: z z z1 z  z1.z ;  ; z1  z  z1  z ; z1  z  z1  z z2 z2 Số đẳng thức đẳng thức là: A B C Câu 14: Đẳng thức sau đẳng thức đúng? 8 A (1  i)  16 B (1  i)  16 C (1  i)  16i D D (1  i)  16i Câu 15: Đẳng thức sau đẳng thức đúng? 2006 2345 1997 2005  i 1 A i B i  i C i  1 D i Câu 16: Số số phức sau số ảo ? 2  3i   3i   2i  A B  2i  3i  3i C D  3i 4k * Câu 17: Giá trị  i  i   i với k �N A 2ki B 2k C D x; y � R (1  i)(x  yi)  (2y  x)i   2i Câu 18: Các số thỏa mãn đẳng thức Khi tổng x  3y là: A - B - C 13 D - 13 � � Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y thỏa mãn z = 18 + 26i Giá trị 2012 2012 T  (z  2)  (4  z) là:   1007 A 2      1007 B 1007 C 1006 D 2 n � 13  9i � � �12  i � � � số thực ? số ảo ? là: Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức � A n = + 6k, k �� B n = + 4k, k �� C n = 2k, k �� D n = 3k, k �� z Câu 21: Cho số phức z  2i  z bằng:  12i  6i  12i  6i A 13 B 11 C 13 D 11 � 1 i � z� �1  i � � � �: Câu 22: Tính số phức A + i B + 2i 1 i � � z� �  i �, tính z  z  z  z8 � Câu 23: Cho A B 11 Câu 24: Tính giá trị P  i  i  i   i Trang C – 2i D – i C D A −1 B P�   5i     3i  � � � kết Câu 25: Tính 2007 A 2 i B 2007i 105 23 20 34 Câu 26: Giá trị biểu thức A  i  i  i – i A 2i B 2 z 1 z 1 Câu 27: Nếu z A Là số ảo B Bằng 16 1 i � � 1 i � � z � �� � 1 i � �  i �bằng: � Câu 28: Số phức A i B C + i D – i 2007 C 2 là: C 2i 2007 D i 2007 D 2 C Lấy giá trị phức D Lấy giá trị thực D 2 iz    3i  z a b z z  i c c ( với a, b, c số tự nhiên) thỏa mãn 1 i Câu 29: Biết số phức Khi giá trị a là: A - 45 B 45 C - D x 1 y 1  Câu 30: Cho x, y số thực thỏa điều kiện: x  1  i là: x  1; y  A x  1; y  B x  1; y  C x  1; y  3 D z  z2 Tính : (z1  z ) z   3i; z   i Câu 31: Cho 85 61 A 85 B C 85 D 25 C i z  ax  b, z  cx  d Câu 32: Cho hai số phức mệnh đề sau: z  z a  b2 z  z  z1  z ; (III) z1  z  z1  z (I) ; (II) Mệnh đề là: A Chỉ (I) (III) B Cả (I), (II) (III) C Chỉ (I) (II) D Chỉ (II) (III) Câu 33: Tìm bậc hai số phức z   24i A z  4  3i z   3i B z  4  3i z  4  3i C z   3i z   3i D z   3i z  4  3i zz Câu 34: Cho z   3i Tính 2i ta kết là: A 3i B C 3 D 6i  Câu 35: Cho số phức z �a  b A  z  a  bi,  a, b �� Nhận xét sau đúng? z � 2 a  b z �a  b z �  a  b B C D  9i z  5i 1 i Câu 36: Tìm bậc số phức A �4i B �2i C �2 D �4   i  ta kết là: Câu 37: Tính A 4  4i B  4i C 8i D  4i Trang 2024 �i � � �  i � Câu 38: Giá trị � 1  2024 1012 A B C 2024 D  1012 �3 i � z� �2  � � � � ta kết viết dạng đại số là: Câu 39: Tính i 3 i  i   2 A 2 B C Câu 40: Tìm bậc hai - A - B C 3i z   i 2 Tính  z  z Câu 41: Cho A B - C   z1  2z , z   2i, z1   3i Câu 42: Tìm số phức biết rằng: A   3  4i B   3  8i C    i z   2i z  3i Câu 43: Tích số phức i A B - 2i C - 5i Câu 44: Tổng hai số phức  i;5  7i  i D D �3i D D    8i D  5i A  8i B  8i C  6i D  6i Câu 45: Các số thực x y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i � � � x x x � � � � � 11 � 11 11 � � � �y  �y   �y  11 A Kết khác B � 11 C � D � 11 25i Câu 46: Biết số phức z   4i Số phức z là: A 4  3i B 4  3i C  3i D  3i Câu 47: Cho biết:  1 i3  i  2 i4  i  3  i  1  2  i Trong ba kết trên, kết sai A Chỉ (3) sai B Chỉ (2) sai Câu 48: Tổng số phức  i  i A  B 2i z1   i, z   i Câu 49: Cho số phức Hiệu A + i B   4i   (2  3i) ta kết quả: Câu 50: Tính A  i B  7i Câu 51: Đẳng thức 4 A (1  i)  B (1  i)  4i z Câu 52: Cho số phức z = 2i + z bằng: Trang C Chỉ (1) (2) sai C   i z1  z D Cả (1), (2), (3) sai D   2i C 2i D + 2i C  7i D  i C (1  i)  16 D (1  i)  16 A z  12i 13 Câu 53: Số A - 12.5 12  5i B z  12i 13 C z  6i 11 D z  6i 11 bằng: B C 13 Câu 54: Giá trị biểu thức (1 - i ) bằng: A 64 B 25 C 24 z1 z   2i z  i Câu 55: Tính z , với ` A - i B - i 2008 Câu 56: Giá trị ` i A i B - Câu 57: Nghịch đảo số phức 5  2i là: 5   i  i 29 29 A ` B ` 29 29 D ` 119 D Kết khác C + i D I C - i D  i C ` 29 29 D x  2y   2x  y  i  2x  y   x  2y  i  Câu 58: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: ` 1 xy x ; y 3 A B C x  y  Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)10 A i B Kết khác C – 32i (4  3i)  (2  5i) Câu 60: Dạng đơn giản biểu thức là: x ; y 3 D D 32i A + 7i B + 2i C – 8i D – 7i Câu 61: Các bậc hai + 6i 1   i 1   i 1   i � � � � � �   3  i   3i   3  i A Kết khác B �2 C �2 D �2   i    4i  Câu 62: Số sau số A  4i B  11i C 10  5i D  i   i    2i     i    2i  z 2i 2i Câu 63: Cho Trong két luận sau, kết luận đúng? 22 z.z  A B z số ảo C z �� D z  z  22 Câu 64: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được: A z = + 3i B z = - – 2i C z = + 2i Câu 65: Thu gọn z = i(2 – i)(3 + i) ta được: A z   5i B z  5i C z  Câu 66: Kết phép tính (2  3i)(4  i) là: A - 14i B - - 14i C - 14i   i  bằng: Câu 67: Số phức z = A  3i B  2i C  4i  i  z    3i    2i    3i Câu 68: Số phức z thỏa mãn:  là: 1 z  1 i z  i z  i 2 2 A B C  4i z  i bằng: Câu 69: Số phức Trang 10 D z = - – i D z   7i D + 14i D 2  2i z  i 2 D DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức z z’ mp phức b) Biểu diễn số phức z + z’ z’ – z mp phức Giải: uuuu r uuuur OM OM ' biểu diễn số a) Vecto biểu diễn số phức z = + 3i, vecto phức z’ = + i b) uuu rz + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = + 4i, biểu diễn mp phức vecto OP z’ uuu–r z = (2 – 1) + (1 – 3)i = – 2i, biểu diễn mp phức vecto OQ Ví dụ 2: Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i Giải: Gọi D điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i � �3 1� �  cos ;sin � � ; � � 6� � 2� � � �nên E biểu diễn số Dễ thấy điểm E có tọa độ  i phức 2 ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 3  i  i 2 ; F biểu diễn số phức 2 ; B biểu diễn số phức   i 2 Ví dụ 3: Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z i 1 z  z   4i z  i a) z – i = b) c)  Giải: Gọi z = a + bi a)  z - i = a + bi - i =  a + (b – 1)i =  a2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(0 ; 1) bán kính z  i a  (b  1)i   � a  (b  1)i  a  (b  1)i � a  (b  1)  a  (b  1) � b  z  i a  (b  1)i b) Vậy z số thực z  z   4i c) Ta có :  a + bi = a – bi – + 4i a + bi = (a – 3) + (4 – b)i 2  a + b = (a – 3) + (4 – b)2  6a + 8b – 25 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng Ví dụ 4: Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z2 số thực âm b) z2 số ảo Trang 40 d) z  i số ảo c) z2 = ( z )2 Giải: a) z2 số thực âm  z số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trục ảo (Oy), trừ điểm O b) Gọi z = a + bi  z2 = a2 – b2 + 2abi số ảo  a2 – b2 =  b = a Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm hai đường phân giác gốc tọa độ c) z2 = ( z )2  (z + z )(z − z ) =  � z+z =0 (trục thực) � z-z =0 (trục aûo) � Vậy tập hợp điểm trục tọa độ d) z  i số ảo  z – i số ảo  x + (y – 1)i số ảo  x = y ≠ Vậy tập hợp điểm biểu diễn nằm trục Oy (trừ điểm có tung độ 1) z   3i u z  i số ảo Ví dụ 5: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho a   bi  3i (a   (b  3)i)(a  (b  1)i) u  a  (b  1)i a  (b  1) Giải: Giả sử z  a  ib ( a, b �R) , 2 Tử số a  b  2a  2b   2(2a  b  1)i � � a  b  2a  2b   (a  1)  (b  1)  �� � (a; b) �(0;1), ( 2; 3) � u số ảo khi: �2a  b  �0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(1; 1) , bán kính điểm (0;1) (-2;-3) z   3i  1(*) z   i Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: Giải: Giả sử z  a  bi , khuyết � (a  2)  (b  3)  (a  4)  (b  1) � 3a  b   Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0 Ví dụ 7: Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức   (1  i 3)z  biết số phức z z  �2 (1) thỏa mãn: Giải: Giả sử   a  bi Ta có a  bi  (1  i 3)z  � z  a   (b  3)i (1) ۣ 1 i ۣ a   bi a   (b  3i) � z 1  1 i 1 i a   (b  3)i 1 i (a  3)  (b  3) 2 � (a  3)  (b  3) �16 2 Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình trịn (x  3)  (y  3) �16 (kể điểm nằm biên) Ví dụ 8: Cho z1 = + i; z2 = -1 - i Tìm z3  C cho điểm biểu diễn z1, z2, z3 tạo thành tam giác Giải: Giả sử z3 = x+yi Để điểm biểu diễn z1, z2 , z3 tạo thành tam giác Trang 41 �    x  1   y  1 2 � x  1   y  1  � �  � z  z  z  z �� �1 � 2 � �x  y  � �z1  z  z  z3  �    x  1   y  1  2y2 =  y = �  x = m Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = (1+i) z3 = - (1-i) Ví dụ 9: Tìm điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z 2 z sau: Giải: Giả sử z = x + yi  z  � z2   z z � x  y   2y �2 x  y   2y 2 2 2 2 2  (x – y +1) +4x y = 4(x + y )  (x + y -1) = 4y  �  Tập hợp điểm M(x;y) biểu thị số phức z hợp hai đường tròn: x2 + y2-2y – = x2 + y2 +2y – = B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho (z  1)(z  i) số thực 2 A Đường thẳng x  y   B Đường tròn x  y  x  y  2 C Đường tròn x  y  x  y  D Đường thẳng  x  y   Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1  (1  i)(2  i), z   3i, z  1  3i Tam giác ABC là: A Một tam giác B Một tam giác vuông (không cân) C Một tam giác vuông cân D Một tam giác cân (không đều) Câu 3: Gọi M, N, P điểm biểu diễn số phức – i, + 4i , + i Tìm số phức z biểu diễn điểm Q cho MNPQ hình bình hành A 6i – B + 6i C – 7i D + 7i Câu 4: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho z  i số ảo A Trục hoành, bỏ điểm (-1; 0) B Đường thẳng x = -1, bỏ điểm (-1; 0) C Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1) D Trục tung, bỏ điểm (0; 1) Câu 5: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm A, B, C biểu diễn cho số phức z1   i, z  2  3i, z  1  2i Xác định độ lớn số phức biểu diễn trọng tâm G tam giác ABC A B C D Câu 6: Gọi M, N, P uuucác u r điểm uuuu r biểu r diễn số phức + i , + 3i , – 2i Số phức z biểu diễn điểm Q cho MN  3MQ  là: 2 2       A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i z   i �1 Câu 7: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn I  1,1 I  1, 1 A Đường tròn tâm , bán kính R  B Đường trịn tâm , bán kính R  I  1,1 I  1, 1 C Hình trịn tâm , bán kính R  D Hình trịn tâm , bán kính R  Trang 42 Câu 8: Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuông C; Biết A, B biểu diễn số z  -2  4i, z  -2i phức: Khi đó, C biểu diễn số phức: A z   4i B z    7i C z    2i D z   4i z   3i; z  2 +2i; z  1  i Câu 9: Cho số phức: uuuu r uuur uuurđược biểu diễn điểm A, B, C mặt phẳng Gọi M điểm thỏa mãn: AM  AB  AC Khi điểm M biểu diễn số phức: 2 A z  6i B z   6i C z  D z  uu ur uuur uuur Câu 10: Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A(4; 0), B(0; - 3) Điểm C thỏa mãn: OC  OA  OB Khi điểm C biểu diễn số phức: A z    4i B z   3i C z    4i D z   3i z   2i Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức , B điểm thuộc đường thẳng y = cho tam giác OAB cân O B biểu diễn số phức sau đây: A z    2i B z   2i C z   i D z   2i Câu 12: Cho số phức i, – 3i, 3  i có điểm biểu diễn mặt phẳng phức A, B, C; Tìm số phức biểu diễn trọng tâm G tam giác ABC 2 2       A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i Câu 13: Cho số phức z   7i Số phức liên hợp z có điểm biểu diễn là: A (6;7) B (6; 7) C ( 6; 7) D (6; 7) Câu 14: Cho A, B, M điểm biểu diễn số phức - 4, 4i, x + 3i Với giá trị thực A, B, M thẳng hàng? A x = - B x = C x = - D x = (1 Câu 15: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy biết  i)z số thực là: A Trục Ox C Đường thẳng y  x B Trục Oy D Đường thẳng y   x z 4 Câu 16: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn A Đường tròn B Đường thẳng C Phần bên đường tròn có tâm O có bán kính R = D Đường hypebol Câu 17: Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường z thẳng  hình vẽ Giá trị nhỏ là: A B C D Câu 18: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 = + 2i, z2 = – 3i, z3 = + 4i Chu vi tam giác ABC là: A 26  2  58 B 26   58 C 22  2  56 D 22   58 z1  4i  6i , z    i    2i  , z3  1  i 3i Câu 19: Gọi A, B, C điểm biểu diển số phức Khi đó, mệnh đề A A, B, C thẳng hàng B Tam giác ABC tam giác tù C Tam giác ABC tam giác D Tam giác ABC tam giác vuông cân Trang 43 Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z2  z2 5 có dạng là: 2 x y x y2  1  1 25 9 25 2 2 A B x  y  C D x  y  16 Câu 21: Cho số phức   iz  với | z   2i | Khi tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức  mặt phẳng Oxy là: 2 2 A (x  1)  (y  2)  B (x  1)  (y  3)  2 2 C (x  3)  (y  1)  D (x  3)  (y  1)  z   z   10 Câu 22: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: là: A Parabol B Hình trịn C Đường thẳng D Elip Câu 23: Cho biết có hai số phức z thỏa mãn | z | có phần thực hai lần phần ảo Hai điểm biểu diễn hai số phức đó: A Đối xứng qua trục thực B Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông C Đối xứng qua trục ảo D Đối xứng qua gốc tọa độ w   1 i z 1 Câu 24: Tập hợp số phức với z số phức thỏa mãn | z  1|�1 hình trịn có diện tích A  B 3 C 4 D 2 Câu 25: Cho số phức z = a + a 2i với a  R Khi điểm biểu diễn số phức liên hợp z nằm trên: A Đường thẳng y = - x + B Parabol y = - x2 C Đường thẳng y = 2x D Parabol y = x2 z2  iz Câu 26: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn A 4x  2y   B 4x  2y   C 4x  2y   D 4x  2y   z 1 i  Câu 27: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn A Đường trịn tâm (1; 2), bán kính R = B Đường tròn tâm ( - 1; 1), bán kính R = C Đường trịn tâm (1; - 1), bán kính R = D Đường thẳng x  y  Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: z    4i   có dạng 2 x  3   y     A B 2x  3y   2 x     y  3   C D 2x  3y   | z  i ||   i  z | Câu 29: Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn đường tròn có phương trình 2 2 2 2 A x  y  2x   B x  y  2y   C x  y  2x   D x  y  2y   z    i  z   5i Câu 30: Số phức z thỏa mãn có điểm biểu diễn M, A M nằm góc phần tư thứ B M nằm góc phần tư thứ hai C M nằm góc phần tư thứ ba D M nằm góc phần tư thứ tư Trang 44 4i Câu 31: Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức i  , (1 – i)(2i  6i + 1),  i Chọn khẳng định khẳng định sau: A Tam giác ABC có diện tích B Tam giác ABC C Tam giác ABC vuông cân D Tam giác ABC có chu vi Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   2i  là: A Đường tròn tâm I( - 3;2) bán kính B Đường trịn tâm I(3; - 2) bán kính C Đường trịn tâm I( - 3; - 2) bán kính D Đường trịn tâm I(3;2) bán kính z ,z Câu 33: Giả sử hai nghiệm phương trình z  2z   A, B điểm biểu diễn z ,z Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là:  0,1  0, 1  1,1  1,  A B C D z   4i �2 Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là: A Đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R = B Đường trịn tâm I(3; - 4) bán kính R = C Hình trịn tâm I(3; - 4) bán kính R = D Hình trịn tâm I(3; 4) bán kính R = Câu 35: Cho A, B, M điểm biểu diễn số phức 4; 4i; x  3i Với giá trị thực x A, B, M thẳng hàng: A x  B x  1 C x  2 D x  2 Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z số ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là: A Đường thẳng B Parabôn C Elip D Đường tròn z Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Giả sử điểm M biểu diễn số phức , điểm N biểu diễn số phức z Khi đó: A Hai điểm M, N đối xứng qua trục Oy B Hai điểm M, N đối xứng qua trục Ox C Hai điểm M, N đối xứng qua gốc tọa độ O D Tất sai Câu 38: Trong mặt phẳng phức, cho điểm A, B, C biểu diễn số phức z   4i , z   i , z   i Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biểu diễn số phức nào? A z   3i B z   3i C z   3i D z   i z   z   3i Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là: A Đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = B Đường thẳng có phương trình x - 5y - = C Đường thẳng có phương trình 2x - 6y + 12 = D Đường thẳng có phương trình x - 3y - = z   3i 1 z z z   i Câu 40: Tập hợp điểm biểu diễn số phức biết thỏa mãn: là: A Đường tròn tâm I( - 2;3) bán kính r = B Đường thẳng: 3x - y - = C Đường thẳng: 3x + y - = D Đường tròn tâm I( - 4;1) bán kính R = Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   2i  z   3i là: A Một Hyperbol B Một đường tròn C Một parabol D Một đường thẳng Câu 42: Trong mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn z  i  z  3i  Trang 45 I  0;1 tâm , bán kinh R  B Đường thẳng D: x  2y    C  tâm I  2; 3 , bán kinh R  C Đường tròn D Đường thẳng D: y  A Đường tròn  C Câu 43: Cho điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số:  i,  4i,  5i Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành:  A B  8i C 3  8i D  2i z 2 Câu 44: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i là: � 4� I� 0; � r A bán kính � �bán kính B bán kính I  1;0  r bán kính � 4� I� 0; � r  r I  0;1 3 C Đường trịn bán kính D bán kính � �bán kính Câu 45: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau đây, tập hợp hình trịn: z 1 i  z  i  z �z  z  2i �3  i z 1  i  A B C D Câu 46: Điểm M( 1;3) điểm biểu diễn số phức: A z  1  3i B z  1  3i C z  2i D z  Câu 47: Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 4i  6i z1  , z    i    2i  , z  i 1 3i Nhận xét sau A Ba điểm A, B, C thẳng hàng B Tam giác ABC tam giác vuông C Tam giác ABC tam giác cân D Tam giác ABC tam giác vuông cân Câu 48: Cho số phức z = + bi , b thay đổi tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ A Đường thẳng y - b = B Đường thẳng x - = C Đường thẳng bx + y - = D Đường thẳng x - y - b = Câu 49: Cho điểm A, B, C, D, M, N, P nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức  3i, 2  2i, 4  2i,1  7i, 3  4i,1  3i, 3  2i Nhận xét sau sai A Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp B Hai tam giác ABC MNP hai tam giác đồng dạng C Hai tam giác ABC MNP có trọng tâm D A N hai điểm đối xứng qua trục Ox z  z  z3 Câu 50: Cho A, B, C ba điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa Mệnh đề sau A O trọng tâm tam giác ABC B O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C Tam giác ABC tam giác D Trọng tâm tam giác ABC điểm biểu diễn số phức z1 + z2 + z3 Câu 51: Gọi M điểm biểu diễn số phức z = a + bi mặt phẳng phức Khi khoảng cách OM bằng: 2 a  b2 ab A Môđun a + bi B a  b C D Câu 52: Cho số phức z   7i Số phức liên hợp z có điểm biểu diễn là: Trang 46 A (6; 7) B (6; –7) C (–6; 7) Câu 53: Cho số phức z = – 4i Số phức đối z có điểm biểu diễn là: A ( - 5; - 4) B (5; - 4) C (5;4) Câu 54: Số phức z = – 3i có điểm biểu diễn là: A ( - 2;3) B (2;3) C ( - 2; - 3) Câu 55: Tọa độ điểm M biểu diễn cho số phức z   i A M( 3;i) B M( 3;0) z C M(0; 3) D (–6; –7) D ( - 5;4) D (2; - 3) D M( 3;1)  3i là: Câu 56: Điểm biểu diễn số phức �2 � � ; � 13 13 � A (3; –2) B � C (2; –3) D (4; –1) Câu 57: Gọi A điểm biểu diễn số phức z = + 2i B điểm biểu diễn số phức z’ = + 3i Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai điểm A B đối xứng với qua gốc tọa độ O B Hai điểm A B đối xứng với qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng qua trục hoành D Hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng y = x Câu 58: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi    i   là: 2 x  1   y     A B x  2y   2 x  1   y     3x  4y   C D Câu 59: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi  zi  một: A Đường tròn B Đường Hypebol C Đường elip D Hình trịn Câu 60: Gọi A điểm biểu diễn số phức z = + 5i B điểm biểu diễn số phức z’ = - + 5i Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng y = x B Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành C Hai điểm A B đối xứng với qua gốc tọa độ O D Hai điểm A B đối xứng với qua trục tung Câu 61: Tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z2 số ảo là: A Trục ảo B đường phân giác y = x y = - x trục tọa độ C Đường phân giác góc phần tư thứ D Trục hồnh Câu 62: Phương trình z  2z  b  có nghiệm phức biểu diễn mặt phẳng phức hai điểm A B Tam giác OAB (với O gốc tọa độ) số thực b bằng: A B, C, D sai B C D z   4i  Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn w  2z  1- i Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn tâm I , bán kính R A I(3; 4), R  B I(4; 5), R  C I(5; 7), R  D I(7; 9), R  Câu 64: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực lần phần ảo A Parabol B Đường tròn C Đường thẳng D Elip z  (4  3i)  Câu 65: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đường tròn tâm I , bán kính R Trang 47 A I(4;3), R  B I(4; 3), R  C I( 4;3), R  D I(4; 3), R  Câu 66: Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B, C, D bốn điểm biểu diễn số phức z1   i, z  5i, z   2i, z  1  2i Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? ABC A A Tam giác vuông M(1; 2) B Điểm trung điểm đoạn thẳng CD C Tam giác ABC cân B D Bốn điểm A, B, C, D nội tiếp đường tròn Câu 67: Gọi A, B, C, D lần z1   3i, z   4i, z   5i, z  2i lượt điểm biểu diễn cho số phức Chọn kết luận nhất: B ABCD hình vng D ABCD hình thoi z   5i, z   i, z  Câu 68: Gọi M, N, P điểm biểu diễn cho số phức M, N, P đỉnh tam giác có tính chất: A Vng B Vng cân C Cân D Đều Câu 69: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) z 1  i thỏa mãn điều kiện: =2 A Đáp án khác B (x + 1)2 + (y + 1)2 = C (x - 1)2 + (y - 1)2 = D (x - 1)2 + (y + 1)2 = z  5i  z  5i  10 Câu 70: Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn là: A Đường tròn B Đường elip C Đường thẳng D Đường parabol Câu 71: Trong mặt phẳng phức, cho điểm A, B, C biểu diễn cho số phức z1   i, z  (1  i) , z  a  i, a �R Để tam giác ABC vng B a  A - B - C D - z  2i  Câu 72: Tập hợp điểm biễu diễn số phức z thoả đường tròn tâm I Tất giá trị m thoả khoảng cách từ I đến d: 3x + 4y – m = là? A m  10; m  14 B m  10; m  12 C m  10; m  11 D m  7; m  A ABCD hình bình hành C ABCD hình chữ nhật Câu 73: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa z   2i  A Đường tròn tâm I( - 3;2), bán kính R = B Đường trịn tâm I(3; - 2), bán kính R = 16 C Đường trịn tâm I(3; - 2), bán kính R = D Đường trịn tâm I( - 3;2), bán kính R = 16 z  (3  4i)  Câu 74: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn mặt phẳng Oxy là: 2 A Đường thẳng 2x  y   B Đường tròn (x  3)  (y  4)  2 D Đường tròn x  y  6x  8y  21  C B C z   i  z   2i Câu 75: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả điều kiện: là: A Đường thẳng B Elip C Đoạn thẳng D Đường trịn Câu 76: Cho phương trình x2 – 2x + = Gọi A B điểm biểu diễn nghiệm pt Khi diện tích tam giác OAB là: A 1đvdt B 2đvdt C đvdt D đvdt Câu 77: Trong mặt phức cho tam giác ABC vuông C; Biết A, B biểu diễn số phức: z1 = - – 4i; z2 = – 2i Khi có điểm C biểu diễn số phức: A z = – 4i B z = - + 2i C z = + 2i D z = -2 – 2i, z = -4i Câu 78: Trong mặt phẳng phức cho ba điểm A, B, C biểu diễn số phức Trang 48 z1 = 2; z2 = + i ; z3 = - 4i uuur uuur uuur uuuu r r điểm cho: OA  OB  OC  3OM  M Khi M biểu diễn số phức: A z = 18 –i B z = - + 18i C z = – i D z = - + 2i Câu 79: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z = + 2i B điểm thuộc đường thẳng y = cho tam giác OAB cân O B biểu diễn số phức sau đây: A z = - + 2i B z = – 2i C z = - – 2i D z = + 2i Câu 80: Gọi M M’ theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z z  i  z(z  1) Tam giác OMM’ tam giác gì? A Tam giác vng B Tam giác cân C Tam giác vuông cân D Tam giác Câu 81: Điểm biểu diễn số phức z = a + với a  R, nằm đường thẳng có phương trình là: A y = x B y = 2x C y = 3x D y = 4x Câu 82: Cho số phức z = a - với a  R, điểm biểu diễn số phức đối z nằm đường thẳng có phương trình là: A y = 2x B y = - 2x C y = x D y = - x Câu 83: Cho số phức z = a + a i với a  R Khi điểm biểu diễn số phức liên hợp z nằm trên: y y y 3i x x O (Hình 1) O x 3i (Hình 2) A Đường thẳng y = 2x C Parabol y = x2 B Đường thẳng y = - x + D Parabol y = - x2 O (Hình 3) uuur Câu 84: Giả sử A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z1, z2 Khi đọ dài véctơ AB bằng: z  z2 z  z2 z z z z A B C D z i  Câu 85: Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện là: A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vng Câu 86: Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z số thực âm là: A Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B Trục tung (trừ gốc toạ độ O) C Đường thẳng y = x (trừ gốc toạ độ O) D Đường thẳng y = - x (trừ gốc toạ độ O) Câu 87: Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z số ảo là: A Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B Trục tung (trừ gốc toạ độ O) C Hai đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O) D Đường tròn x2 + y2 = Câu 88: Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z2 = ( z )2 là: A Trục hoành B Trục tung C Gồm trục hoành trục tung D Đường thẳng y = x Trang 49 z i Câu 89: Cho số phức z = x + yi (x, y  R) Tập hợp điểm biểu diễn z cho z  i số thực âm là: A Các điểm trục hoành với - < x < B Các điểm trục tung với - < y < x �1 y �1 � � � � x �1 y �1 C Các điểm trục hoành với � D Các điểm trục tung với � C - ĐÁP ÁN 1D, 2C, 3B, 4D, 5C, 6B, 7C, 8A, 9A, 10B, 11A, 12B, 13B, 14C, 15C, 16C, 17D, 18A, 19D, 20A, 21A, 22B, 23D, 24C, 25B, 26C, 27B, 28A, 29D, 30D, 31C, 32D, 33D, 34D, 35B, 36A, 37, 38B, 39C, 40B, 41D, 42D, 43D, 44A, 45C, 46D, 47B, 48D, 49B, 50B, 51A, 52B, 53C, 54D, 55D, 56B, 57D, 58A, 59C, 60D, 61B, 62A, 63D, 64C, 65D, 66D, 67B, 68A, 69D, 70B, 71A, 72D, 73A, 74B, 75A, 76A, 77D, 78C, 79A, 80B, 81A, 82C, 83D, 84C, 85D, 86A, 87C, 88C, 89B Trang 50 DẠNG 7: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lương giác: z   i �3 i � �   � �   � z  2�   cos  sin i  cos  i sin � � � � � �2 � � 6 � � 6 � � � Giải: � �  z  2� sin  icos � 5� � Ví dụ 2: Tìm acgumen số phức:   � � 3 3 � � 3 3 � �   z  2� cos(  )  i sin(  ) � � cos  i sin � � cos( )  i sin( )� � � 10 10 � � 10 10 � � Giải: 3  k2 � acgumen z 10 Ví dụ 3: Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i � � �1   � �  z 2 2�  i � 2 � cos  i sin � 2 � cos( )  i sin( ) � � 4� � 4 � � �2 � Giải: Ví dụ 4: Tìm acgumen z   2i �3 � �   � �   � z   2i  � cos  i sin � � cos( )  i sin( ) � �2  i � � � 6� � 6 � � � � Giải:   k2 Vậy acgumen z 2012 Ví dụ 5: Biết z   i Tìm dạng đại số z �1 3� �  �   � 2�  i  2� cos  i sin � � � cos( )  i sin( ) � �2 � � � � 3� � 3 � Giải: z   i = � 2012 2012 z 2012  (2 2) 2012 (cos  i sin )  (2 2) 2012 ( 1  i.0)  (2 2) 2012 4 20 15 z   i z   2i Ví dụ 6: Cho ; Tìm dạng đại số z z � �1  �  � �   2�  i � � cos  i sin � � cos( )  i sin( ) � � z  1 i � 4� 4 � �2 � � Giải: 20 � 10 � 20 z120  ( 2) 20 � cos( )  i sin( ) � ( 1  i.0)  210 4 � � �3 � �  �  4�  i�  4� cos  i sin � � � z   2i 6� �2 � � 15 15 � 15 15 � 15 z15 cos  i sin  � � (0  i1)  i � � 20 15 40 Suy z z  2 i z1 z ; nghiệm phức phương trình: z  3iz   , z z viết dạng lượng giác ; Giải: z  3i.z   , Ví dụ 7: Gọi Trang 51   3i     z1  3i  1; z  3i  �1 � � 2 2 � z1  �  i  cos  isin � � � �2 � � � � � �1 � �  � z2  �  cos  isin � �2 i � � � 3� � � � Ví dụ 8: Tính : a) (1 + i)5 Giải: b) (1 + i)9 � � �  � � 5 � 2� � 5 cos  i sin �  ( 2)5 � cos  i sin � �   i � 4(1  i) �2 � � � 4� � � � � � � � � a) (1 + i) = b) Ta tìm dạng lượng giác  3i � �r    � � cos  � � � sin   � Ta có : � suy r =  = /3 Dạng lượng giác  3i : 2(cos/3 + isin /3)  (1  i 3) Ví dụ 9: Cho số phức w = Tìm số nguyên dương n để w n số thực Hỏi có số nguyên dương m để wm số ảo ? 4 4 4n 4n  (1  i 3)  cos  i sin cos  i sin 3  wn = 3 (n guyên dương) Số Giải: Ta có : w = số thực sin 4n 0  4n/3 phải số nguyên, tức n phải bội nguyên dương cos 4m 0 , tức có số nguyên k để Số wm (m nguyên dương) số ảo 4m  k  8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho Vậy khơng có số ngun dương m để wm số ảo 2010 2012 S  C02012  C2012  C2012  C62012   C 2012  C 2012 Ví dụ 10:Tính tổng 2011 2012 (1  i) 2012  C02012  C12012i  C2012 i  C32012i3   C 2011  C 2012 2012i 2012i Giải: Ta có 2011 2011 2012 (1  i) 2012  C02012  C12012i  C 2012 i  C32012i3   C 2012 i  C2012 2012i Suy 2012 (1  i) 2012  (1  i) 2012  2(C02012  C 22012  C62012   C 2010 2012  C 2012  2S Mặt khác    i sin )]2012  21006 (cos 503  i sin 503)  21006 4    [ 2(cos  i sin )]2012  21006 (cos  503  i sin  503)  21006 4 (1  i) 2012  [ 2(cos (1  i) 2012 Trang 52 1006 Từ S  2 Ví dụ 11: Dùng cơng thức triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 cơng thức Moa-vro để tính : 16 18 C19  C192  C194   C19  C19 Giải: 2 4 16 16 18 18 3 19 19 Ta có : (1 + i)19 = (C19  C19i  C19i   C19i  C19i )  (C19i  C19i   C19i ) = C19  C19  C19   C19  C19  (C19  C19  C19   C19  C19 ).i 16 18 17 19 16 18  phần thực C19  C19  C19   C19  C19 19 � �  � � 19 � � 19 2� cos  i sin �  ( 2)19 � cos  i sin � � � 4� 4 � � � Theo Moa-vro, ta có : (1 + i)19 = � � � 2� 9 ( 2)19 �   i � � � 2  i � � =  phần thực : −29 Vậy : C19  C19  C19   C19  C19 = −29 = −512 Cách khác: (1 + i)2 = 2i  (1 + i)19 = (2i)9(1 + i) = 29.i(1 + i) = 29(−1 + i), từ suy số cần tìm 16 18 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Số phức z = 8i viết dạng lượng giác là: 3 � � � 3 �  8� cos  i sin � 8� cos  i sin � � 2� A z = � B z = �  cos  i sin   cos   i sin   C z = D z = � �  2� cos  i sin � �là: � Câu 2: Dạng lượng giác số phức z = A z = 11 � � 11 2� cos  i sin � � � C z = 5 � � 5 2� cos  i sin � � � B z = D 7 � � 7 2� cos  i sin � � � 13 � � 13 2� cos  i sin � � � z Câu 3: Số phức viết dạng lượng giác số phức � 2 � �  � 2 s in  i cos � 3� cos  i sin � � 5� � � A � B 3  i 2  � 1�  � �  2 � cos  i sin cos  i sin � � � � 7� � C D � Câu 4: Cho số phức z = - - i Argumen z (sai khác k2) bằng:  3 5 7 A B C D Câu 5: Cho số phức z = cos + isin kết luận sau đúng: A z n   z n   n cos  z n   z n   cos n z n   z n   2n cos  z n   z n   2cos  B C D 0 z   cos 20  i sin 20  z    cos110  i sin110  Câu 6: Cho , Tích z1 z2 bằng: A 6(1 - 2i) B 4i C 6i D 6(1 - i) Trang 53 z1   cos100  i sin100 Câu 7: Cho A + i B  ,z 1 i    cos 40  i sin 40 C – ĐÁP ÁN 1B, 2A, 3B, 4B, 5B, 6C, 7A Trang 54 C - i  Thương z1 z2 bằng: D 2(1 + i) ... vơ nghiệm trường số phức Phương trình khơng có nghiệm thuộc tập hợp số thực Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập hợp số phức Phương trình có hai nghiệm số phức Trang 36 Phương trình có hai nghiệm. .. Trong số nhận xét Phương trình có nghiệm thuộc tập hợp số thực Phương trình có nghiệm thuộc tập hợp số phức Phương trình có hai nghiệm có phần thực Phương trình có hai nghiệm số ảo Phương trình có. .. > 0) : � �  r� cos  i sin � ? ?và � II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ  i Ví dụ 1: Cho số phức z = 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2