Chuyên đề Phân thức đại số

Microsoft Word �S8 C2 CD1 PHÂN THèC �€I SÐ docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ THCS TOANMATH com PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A B v[.]

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng A với A B đa B thức, B khác đa thức Chú ý: Trong phân thức A , đa thức A gọi tử thức (hay tử), B gọi mẫu thức (hay B mẫu) • Hai phân thức A C gọi A.D = B.C B D Ta viết: A C = A.D = B.C B D Chú ý: * Các tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số phân số cho phân thức * Các giá trị chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị gọi giá trị làm phân thức vô nghĩa hay không xác định II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Phương pháp: Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng A với A B đa B thức, B khác đa thức Chú ý: Trong phân thức A , đa thức A gọi tử thức (hay tử), B gọi mẫu thức (hay B mẫu) TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định a) d) x2 x b) x3 2 x  10 x 1 x 3 e) c) 9 x x4 f) 6 x 8 x x4 Bài Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định a) x4  x  1 x  3 b) x 1 c) x2  2x  x2  x d) 2x  x  4x  Dạng Chứng minh phân thức ln có nghĩa Phương pháp giải: Thực theo bước: Bước Lựa chọn cách biến đổi thường dùng sau: Cách Biến đổi vế trái thành vế phải Cách Biến đổi vế phải thành vế trái Cách Biến đổi đồng thời hai vê' Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử; Bước Rút gọn cách triệt tiêu nhân từ chung sử dụng định nghĩa hai phân thức cần, từ suy điều phải chứng minh Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa với giá trị x a) x 5 b) 6 x  x  1 4  x2 c) x  2x  d) Bài Chứng minh y xy  a) 8x x  y x x  y  b) 3x x  x  y TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 x  11  x2  4x  c) x2  x  x  2 2x  x2 x2  x3 e)  x x  x2  x  4 x  x2  x  d)  x  x2  6x  x  y  xy  x  y  f)  x  y2  2x 1 x  y 1 Dạng Tìm đa thức đẳng thức Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử hai vế; Bước Triệt tiêu nhân tử chung rút đa thức cần tìm Bài Tìm đa thức A đẳng thức sau a) A x  x 4 x2 x2  x  1  x2  c) x A e) x  xy  y A  x y x  y2 b) A x2  y2  x y x y  x3  x  x2  d) A x f) x  xy  y A  x y x  y2 Bài Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống 3x  15  a) x  10 c) x  x  x  16 x  x2  x  b) x 1 d) x 1  x 3 x 9 Dạng Tìm x để giá trị phân thức Phương pháp giải -Đặt đk cho mẫu khác 0, rút đk x (*) -Nhân mẫu thức với vế phải để triệt tiêu mẫu TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com -Cho tử = để tìm giá trị x so sánh với đk (*) kết luận giá trị x Bài Tìm giá trị x để giá trị phân thức sau x3 a) x3 3x  b) x 2 x  125 c) x2  x2  4x  d) x  4x  Dạng Chứng minh đẳng thức có điều kiện Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất hai phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết); Bước Thu gọn biểu thức dựa vào điều kiện đề cho để lập luận Bài Cho hai phân thức R R P P thỏa mãn = P ≠ Q.Chứng minh: R ≠ S S S Q Q P R  QP S R Bài Chứng minh đẳng thức Bài 10 Cho hai phân thức R R PQ RS P P hai phân thức thỏa mãn =  S S Q S Q Q A C E A C E AC  E A thỏa mãn   Chứng minh: ,  B D F B D F BDF B HƯỚNG DẪN Bài Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định a) x2 có nghĩa x  x b) x 1 có nghĩa x    x  x 3 c) có nghĩa  x   x  9 x d) x3 có nghĩa 2 x  10   x  5 2 x  10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com e) 8 x x4 có nghĩa x    x  8 x4 f) có nghĩa  x   x  6 x Bài Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định a)  x  1 x4 có nghĩa  x  1 x  3     x  1 x  3 x  b) có nghĩa x    x  1 x 1 x  x2  2x  x x    c) có nghĩa  x2  x x  d) 2x  có nghĩa x  x    x  2 x  4x  Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa với giá trị x a) b) x 5 x  0, x  x   5, x 6 x  x  1 4  x2 c) x  2x  d) 2 x  11  x2  4x   x  1  0, x   x  1   4, x x  x    x  1   8, x  x  x     x     1; x Bài Chứng minh a) y xy  8x y.8 x  24 xy TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 4.6 xy  24 xy x  y x x  y  b) 3x x  x  y x.3 x  x  y   x  x  y  c) x2  x  x  2  2x x2  x  y  x  x  y   x  x  y   2x  x   x    x3  x  x  x  2 x  x2  x   x  x2  6x  d) 2 x  x  x  x  x  1  x2  x     x  1 x  3  x  3  x2  x  3   x  3  x  1 x2  x3  e) x x  x2  x  4  x   x. x  x    x  x    x  x    x.  x3    x   x   x  x    x  x    x  x   f) x  y  xy  x  y   x2  y  x  x  y  x  y  xy  1  x  y  1   x  y  1 x  y  1 x  y  1 x  y  x  1  x  y  1   x   y  x   y  x  y  1 Bài Tìm đa thức A đẳng thức sau a) A x   x  x    A  x    A  x  x   x 4 x2 b) A x2  y2   x  y  x  y  A. x  y   A   x  y   x y x y c)    x3  x  x2   1  x3  x  A 1  x  x   A  x 1  x  A x TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x  xy  y A d)  x  xy  y x  y  A  x  y   A   x  y   2 x y x y    Bài Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống a) 3x  15  x  10 x  x2  x  b) x 1 c) d) Đa thức cần điền: Đa thức cần điền: x  x x Đa thức cần điền: x  x  x  x  16 x 1 Đa thức cần điền: x  x   x 3 x 9 Bài Tìm giá trị x để giá trị phân thức sau a) x3  x  3 x3 x3   x    x  3 x3 b) 3x  x2  3x    3x    x  x2  x  125 c) x2  d) x  125   x  125   x  5 x 1 x2  4x  x2  x  x2  x    x2  4x    x  2 x  4x  Bài Xuất phát từ điều cần chứng minh  P(S + R) = R(Q + P) Rút gọn PS = RQ hay P R  (đúng với giả thiết) Q S Bài Tương tự Bài 10 Tương tự Rút gọn CB - EB = DA - FA.Mà A C A E   A.D  B.C ,   A.F  B.E  ĐPCM B D B F TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) 2x 1 với x ≠ -2 x ≠  x  2 x  3x  2 b) y2  y  y2  3y   với y ≠ y ≠ y4 y2 Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) 3a  10a  3  a  với a ≠ 3; 2(a  3) 2 b) b  3b  b2 với b ≠ b ≠  b  27 b  5b  Bài Tìm đa thức A đẳng thức sau: a) A x2  3x với x ≠ ± ;  2 2x  4x  b) b  3b b  3b với b   b  3  2 2b  3b  A Bài Tìm đa thức B đẳng thức sau: a) y 1 với y  ; y  y  3;  2 ( y  3) B y  y  b) a 1 B a   a  2a  a  Bài Tìm cặp đa thức P Q thỏa mãn đẳng thức: ( x  1) P ( x  1)Q với x  2  2 x 4 x  4x  Bài Cho đẳng thức: x2  x 1  với x  2;1;3 ( x  x  1) ( x  x  6) B Hãy tìm cặp đa thức A B thỏa mãn đẳng thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài a) Tìm GTNN phân thức: b) Tìm GTLN phân thức: Bài  2x  14 4x  4x 15 Tìm GTLN phân thức: a) x  2x  2 b) 2x   HƯỚNG DẪN Bài a) Biến đổi VP  2x 1   VT  ĐPCM (2 x  1)( x  2) x  b) Biến đổi được: VT  ( y  1)( y  4) ( y  1)( y  2)  y  VP   y  y2 y4 Từ suy ĐPCM Bài Tương tự Chú ý rằng: a) 3a2 – 10a + = (3a – 1)(a – 3) b) b3 – 27 = (b – 3)(b2 + 3b + 9) b2 – 5b + = (b – 2)(b – 3) Bài a) Cách Ta có:  A x(2 x  3)  x  (2 x  3)(2 x  3) A x   A  x 2x  2x  TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Cách Ta có: A  (2 x  x)(2 x  3) x(2 x  3)(2 x  3)  x x2  (2 x  3)(2 x  3) A  x b) Cách Ta có:  b(b  3) b(b  3) b b(b  3)    (2b  3)(b  3) A 2b  A b3   A  2b  9b  2b  A Cách Ta có: A  (b  3b)(2b  3b  9) b  3b Từ tìm được: A = 2b2 + 9b + Bài Tương tự Chú ý rằng: a) y2 – 4y + = (y – 1)(y – ) Tìm được: B = 2y – 3y + b) a3 – = (a – 2)(a2 + 2a + 4) Tìm được: B = a2 – 3a + Bài Biến đổi ( x  1) P ( x  1)Q ( x  1)( x  2)  P Q ( x  2)( x  2) ( x  2) ( x  1)( x  2) Chọn Q = (x + 1)(x – 2)  P = (x – 1)(x + 2) Bài Tương tự Chú ý rằng: x2 - 2x +1 = (x - 1)2; x2 - x -6 = (x + 2)(x - 3) B x 1 A Chọn A = (x + 2)(x - 3)  B = x-1 ( x  2)( x  3) Bài 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a)  2x  14  3 GTNN biểu thức x  14 14    4x  4x  1  2x  1 4x  4x b)    15 15 15 15 GTLN biểu thức 1 x  15 Bài a) Có b) 5   Vậy GTLN biểu thức x   x  2x  (x  1)  1 2x    3   Vậy GTLN biểu thức x  2 2x   2 PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ Bài Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x2  x  16 b) d) 5x  x2  x e) g) 2x  x  5x  2x 1 x  4x  x  5x  x2  c) x2  x2  f) ( x  1)( x  3) Bài Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x  y2 b) x y  2x x  2x  c) 5x  y x  6x  10 d) x y ( x  3)  ( y  2)2 Bài Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không: 2x  a) 5x  10 ( x  1)( x  2) d) x  4x  x2  x b) 2x f) x2  x2  2x  11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com c) 2x  4x  Bài Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không: x2  a) x  3x  10 x  16x b) x  3x  4x x3  x  x  c) x  2x  Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa: a) x 1 b) 3x  ( x  1)  d) x2   x  4x  e) x5 x2  x  c) 5x  x2  2x  Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa: a) x y x  y2  x  y  2x  b) 2 Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) 3y xy  ( x  0) 8x b) 3x 3x  ( y  0) 2y 2 y 2xy 8xy  (a  0, y  0) d) 3a 12ay e) c) 2( x  y ) 2  ( x  y) 3( y  x ) 1 x x 1  ( y  2) 2 y y2 f) 2a 2a  (b  0) 5b 5b Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) x2 23  x  ( x  0) x x( x  2x  4) x  y 3a( x  y )2 c)  (a  0, x   y) 3a 9a2 ( x  y ) 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) 3x 3x(x  y )  ( x   y) x y y  x2 HƯỚNG DẪN Bài Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x   d ) x  0; x  b) x  c ) x  1 e ) x  1 f ) x  1; x  g ) x  2; x  Bài Tìm điều kiện xác định phân thức: a ) x  0; y  b) x  c )x  R d ) x  3; y  Bài Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không: 2x   0( x  2) 5x  10  2x   x a) 2x  5   0 x   4x  4   2x   c) x 3 x2  x  0( x  0) 2x  x2  x   x 1 b) d) ( x  1)( x  2)  0( x  1;3) x2  4x   ( x  1)( x  2)   x  2 x2  f)  0( x  1) x  2x   x2    x  1 Bài Tìm giá trị biến số x để phân thức sau khơng: 13 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x2  a)  0( x  2; x  5) x  3x  10  x2   x3  16x b)  0( x  0; 1; 4) x  3x  4x  x  16 x   x  2  x  4 x3  x2  x   0( x  1; 3) x3  2x   x3  x  x   c)  x  1 Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa: a) x2  x  0x  x   1x b) 3x  ( x  1)  ( x  1)  0x  ( x  1)   2x 5x  x2  d) x  2x   x  4x  2 x  2x   ( x  1)   3x  x  4x   ( x  2)   1x c) e) x5 x  x7 2  27 27  x  x7 x    x 2 4  Bài Chứng minh đẳng thức sau: a )3 y.8 x  4.6 xy 2 b) 3x (2 y )  x y c) 2(x  y).3  3(y  x).( 2) d) xy.12ay  3a.8 xy e) (1  x)(y  2)  (2  y)(x  1) f) a b  5b.( 2 a) Bài Chứng minh đẳng thức sau: 3 a) (x  2).x( x  2x  4)   x.(2  x ) 2 b) 3x.( y  x )  ( x  y ).(3 x).( x  y ) 2 c) (x  y).9a ( x  y)  3a.3a( x  y ) 14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... 2) Bài Tương tự Chú ý rằng: x2 - 2x +1 = (x - 1)2; x2 - x -6 = (x + 2)(x - 3) B x 1 A Chọn A = (x + 2)(x - 3)  B = x-1 ( x  2)( x  3) Bài 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a)  2x ... 9 Dạng Tìm x để giá trị phân thức Phương pháp giải -? ?ặt đk cho mẫu khác 0, rút đk x (*) -Nhân mẫu thức với vế phải để triệt tiêu mẫu TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com -Cho tử = để tìm giá trị... thức A B thỏa mãn đẳng thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài a) Tìm GTNN phân thức: b) Tìm GTLN phân thức: Bài  2x  14 4x  4x 15 Tìm GTLN phân thức: a) x  2x  2 b) 2x   HƯỚNG DẪN