Chuyên đề nâng cao chủ đề đoạn thẳng, góc - Toán lớp 6

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN Website: tailieumontoan.com Chương III – PHÂN SỐ §1 Mở rộng khái niệm phân số Hai phân số Kiến thức bản: a với a, b ∈ Z ; b ≠ phân số, a tử, b mẫu phân số b a Số nguyên a viết a c Hai phân số gọi a d = b c b d Người ta gọi Nâng cao: Nếu đổi dấu tử mẫu phân số ta phân số phân số cho a −a a −a ; = = b −b −b b (Vì dễ nhận thấy hai “tích chéo” chúng nhau) Thí dụ 38: Cho A = {−5 ; ; 9} Hãy viết tất phân số a với a ; b ∈ A b Giải: Số lấy mà mẫu phân số Lấy số – làm mẫu ta viết phân số −5 ; −5 ; −5 −5 Lấy số làm mẫu ta viết phân số −5 ; ; 9 Vật ta viết tất phân số Nhận xét: - Mẫu phân số phải khác tử phân số 0, lúc giá trị phân số - Tử mẫu phân số nhau, lúc giá trị phân số Thí dụ 39: Tìm x, y ∈ Z biết x = x < y < 15 y Giải: x = nên xy = 45 15 y Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -1- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUN ĐỀ TỐN Website: tailieumontoan.com Vì x < y < nên ta có bảng sau x − 45 − 15 −9 y −1 −3 −5 BÀI TẬP 258 Trong số sau, số phân số? −5 ; 43 ; (a ∈ Z) ; a −3 (a ∈ Z) a −5 : 2a 10 ( a ∈ Z) 259 Cho n ∈ N , hỏi sau n kim quay vịng? Vói giá trị số vịng quay số tự nhiên 260 Viết phân số dạng phân phân số có mẫu dương, biết a ∈ Z −4 ; 17 a −3 (với a < 3) ; −a − 261 Từ ba số 2, 10, 50, có số dùng hai lần viết cặp phân số 262 Trong phân số sau, phân số nhau? 15 ; 60 −7 ; ; 15 28 ; −20 12 263 Tìm x ∈ Z biết: a) 111 91 y b) −2 y = x x < < y 268* Tìm x, y ∈ Z biết: x−4 = y−3 x − y = §2 Tính chất phân số Rút gọn phân số Kiến thức bản: Tính chất phân số: a a.m = (m ∈ Z ; m ≠ 0) b b.m a a:n = b b:n (n ∈ ƯC(a,b)) Ta nói phân số cách viết khác số hữu tỉ Rút gọn phân số: a) Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác ± 1) chúng để phân số đơn giản b) Phân số tối giản phân số mà tử mẫu có ước chung ± a tối giản ⇔ ( a , b ) = b Nâng cao: Muốn rút gọn phân số thành phân số tối giản, ta chia tử mẫu cho ƯCLN chúng a a.n Nếu phân số tối giản phân số đề có dạng với n ∈ Z ; n ≠ b b.n Thí dụ 40: Viết tập hợp A phân số phân số −7 với mẫu dương có hai chữ số 15 Giải: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -3- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUN ĐỀ TỐN Vì Website: tailieumontoan.com −7 −7 n phân số tối giản nên phân số có dạng Mẫu số 15 15 n phân số phải tìm số có hai chữ số nên n ∈ {1 ; ; ; 6}  −7 −14 −21 −28 −35 −42  ; ; ; ; Vậy A =  ;   15 30 45 60 75 90  Thí dụ 41: Tìm phân số phân số 32 , biết tổng tử mẫu 115 60 Giải: 32 8m với = theo tính chất phân số, phân số phải tim có dạng 60 15 15m m ∈ Z ; m ≠ Ta có Theo đầu 8m + 15m= 115 ; 32m= 115 ; m= Vậy phân số phải tìm 40 = 15 75 Nhận xét: 32 thành phân số tối giản mà khẳng định phân số 60 15 32 32 m phân số có dạng ta mắc sai lầm bỏ sót nhiều phân số phân 60 60 m Nếu ta không rút gọn phân số số 32 khơng thể tìm đáp số tốn 60 BÀI TẬP 269 Viết dạng tổng quát phân số phân số −12 30 270 a) Một mẫu Bắc = 3600m Hỏi mẫu Bắc phần hecta? b) Một pao (pound) = 0,45kg hỏi pao phần ki lơ gam c) Một vịi nước chảy vào bể 48 phút đầy Nếu mở vịi 36 phút nước chiếm phần bể 271 Rút gọn phân số sau: 990 a) ; 2610 272 Cho phân số 374 b) ; 506 3600 − 75 c) ; 8400 − 175 914 255 87 d) 12 18 6253 243 a Chứng minh rằng: b Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -4- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN Nếu Website: tailieumontoan.com a−x a x a = = b−y b y b 273 Cho phân số A = + + + + 19 21 + 23 + 25 + + 39 a) Rút gọn A b) Hãy xóa số hạng tử xóa số hạng mẫu để phân số có giá trị A 274 Rút gọn phân số A = 71 52 + 53 mà khơng cần thực phép tính tử 530 71 − 180 275 Hai phân số sau có khơng? abab ababab ; cdcd cdcdcd 276* Chứng minh rằng: a) 39 = 20 21 22 23 40 b) (2n − 1) = n với n ∈ N* (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2n 277 Tìm phân số a 60 phân số , biết: b 108 a) ƯCLN (a, b) = 15 b) BCNN (a, b) = 180 278 Tìm phân số phân số 200 cho 520 a) Tổng tử mẫu 306 b) Hiệu tử mẫu 184 c) Tích tử mẫu 2340 279 Chứng minh với n ∈ N* , phân số sau phân số tối giản: a) 280 Cho 3n − 4n − ; b) 4n + 6n + a phân số chưa tối giản Chứng minh phân số sau chưa tổi giản: b Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -5- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN a) a a−b ; 281* Cho phân số A= b) Website: tailieumontoan.com 2a a − 2b n +1 (n ∈ Z ; n ≠ 3) n −3 a) Tìm n để A có giá trị ngun b) Tìm n để A phân số tối giản §3 Quy đồng mẫu số nhiều phân số So sánh phân số Kiến thức bản: Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương Bước 1: Tìm BCNN mẫu Bước 2: Tìm thừa số phụ mẫu Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng So sánh phân số: Muốn so sánh hai phân số không mẫu, ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu dương so sánh tử với nhau: Phân số có tử số lớn phân số lớn Nâng cao: a c Cho hai phân số ( a, b, c, d ∈ ; b > 0; d > ) d b a c ad > bc ⇔ > b d a c ad < bc ⇔ < b d Trong hai phân số có tử mẫu dương, hai tử số phân số có mẫu nhỏ phân số lớn ngược lại Cho a, m, n ∈ * a a > m n Bạn đọc chứng minh hai quy tắc so sánh cách quy đồng mẫu so sánh hai tử Thí dụ 42: a c Cho hai phân số ( a , b, c , d > ) d b m < b d a c Giải: a c b d Vì > nên ad > bc hay bc < ad suy < b d a c Thí dụ 43: −101 200 So sánh hai phân số −100 201 200 201 −101 101 100 Giải: = > = 1; < = −100 100 100 201 201 −101 200 Vậy > −100 201 Nhận xét: - Trong cách giải trên, ta vận dụng tính chất bắc cầu thứ tự để so sánh hai phân số - Nếu phân số có tử mẫu dương, phân số lớn tử lớn mẫu; phân số nhỏ tử nhỏ mẫu BÀI TẬP 282 Quy đồng mẫu so sánh phân số sau: −8 −789 11 29 1 a) ; b) ; c) ( n ∈  *) 31 3131 5 n n +1 283 Quy đồng mẫu phân số xếp theo thứ tự tăng dần 11 17 −19 38 −13 a) b) ; ; ; ; ; 52 39 65 20 30 45 18 x y 1 284 Tìm số nguyên x, y biết: < < < 18 12 285 Quy đồng tử phân số xếp theo thứ tự tăng dần 15 ; ; 382 257 643 286 Tìm phân số có mẫu 15 biết giá trị khơng thay đổi lấy tử trừ lấy mẫu nhân với 287 Tìm hai phân số có mẫu dương biết hai mẫu có mẫu gấp lần mẫu sau 56 −65 quy đồng mẫu hai phân số 210 210 288 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 29 28 29 307 317 307 a) ; ; ; b) ; ; 40 41 41 587 587 593 289 So sánh Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -7- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN Website: tailieumontoan.com 179 971 183 −184 b) ; 197 184 917 −183 Cho a ∈ {−5;7;9} ; b ∈ {0;16;17;18;19} a) 290 a b 291 Hai người quãng đường AB Người thứ hết 32 phút, người thứ hai hết 48 phút a) So sánh quãng đường người thứ 20 phút với quãng đường người thứ hai 28 phút b) Người thứ hai phải để quãng đường quãng đường người thứ 24 phút ? 292 Có phân số lớn nhỏ mà: 10 a) Mẫu 40 b) Mẫu 80 c) Mẫu 400 1 293 Có phân số lớn nhỏ mà: a) Tử b) Tử 294 Cho hai phân số 12 nhỏ a) Tìm phân số lớn 12 nhỏ b) Tìm hai phân số lớn 12 nhỏ c) Tìm phân số lớn 12 Tìm GTLN GTNN phân số Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -8- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TỐN Website: tailieumontoan.com §4 Chun đề Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số Để so sánh hai phân số cách quy đồng mẫu tử (cách so sánh hai ” tích chéo” thức chất quy đồng mẫu), số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm phân số, ta cịn so sánh số phương pháp khác Tính chất bắc cầu thứ tự thường sủ dụng, phát số trung gian để làm cầu nối vấn đề quan trọng Dùng số làm trung gian a c c a > < > b d d b a c a c b) Nếu = + M ; = + N mà M > N > b d b d M N theo thứ tự gọi “phần thừa” so với hai phân số cho Nếu hai phân số có “phần thừa” so với khác nhau, phân số có “phần thừa” lớn lớn 77 84 Chẳng hạn = 1+ ; = 1+ 83 76 76 83 1 77 84 nên Vì > > 76 83 66 83 c a c) Nếu = − M ; = − N b d a c mà M > N < b d M N theo thứ tự gọi “phần thiếu” hay “phần bù” tới đơn vị hai phân số cho Nếu hai phân số có “phần bù”tới đơn vị khác nhau, phân số có “phần bù” lớn phân số nhỏ 42 58 Chẳng hạn = 1− ; = 1− 43 43 59 59 1 42 58 Vì nên > < 43 59 43 59 a) Nếu Dùng phân số trung gian 18 15 a) Thí dụ 44: So sánh 31 37 18 (phân số có tử tử phân số thứ nhất, có mẫu Giải Xét phân số trung gian 37 mẫu phân số thứ hai) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -9-