tuyển tập các chuyên đề học tập môn Toán lớp 9 giai đoạn học kì 2

Mục lục PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.2 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2.2 BÀI TẬP 10 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 15 HÀM SỐ y = ax2 (a = 0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 23 HÀM SỐ Y = AX (A = 0) 23 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 23 1.2 VÍ DỤ 23 1.3 BÀI TẬP 24 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ 34 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 34 3.2 BÀI TẬP 35 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 42 4.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 42 4.2 BÀI TẬP 43 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 57 5.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 57 5.2 BÀI TẬP 58 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 73 6.1 VÍ DỤ 73 6.2 BÀI TẬP 73 MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ 76 MỤC LỤC ÔN TẬP HỌC KÌ II 92 GÓC VÀ ĐƯỜNG TRỊN 127 GĨC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG 127 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 127 1.2 BÀI TẬP 129 LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 131 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 131 2.2 BÀI TẬP 132 GÓC NỘI TIẾP 136 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 136 3.2 BÀI TẬP 139 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 164 4.1 LÝ THUYẾT 164 4.2 BÀI TẬP 165 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN, GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN 171 5.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 171 5.2 BÀI TẬP 172 CUNG CHỨA GÓC 179 6.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 179 6.2 BÀI TẬP 181 TỨ GIÁC NỘI TIẾP 186 7.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 186 7.2 BÀI TẬP 189 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP 240 8.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 240 8.2 BÀI TẬP 241 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN 252 10 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN 10.1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT 252 10.2 BÀI TẬP 253 HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU 252 258 HÌNH TRỤ 258 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 258 1.2 BÀI TẬP 259 MỤC LỤC 3 HÌNH NĨN - HÌNH NĨN CỤT 261 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 261 2.2 BÀI TẬP 262 HÌNH CẦU 265 3.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 265 3.2 BÀI TẬP 266 ÔN TẬP CHƯƠNG 267 ƠN TẬP HỌC KÌ II 275 MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 322 ĐỀ GIỮA HỌC KÌ 322 ĐỀ HỌC KÌ 353 Chương PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1.1 1.1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm Phương trình bậc hai ẩn x, y hệ thức dạng ax + by = c (1) a, b, c số biết (a = b = 0) Ví dụ Các phương trình 2x − y = 1, 3x + 4y = 0, 0x + 2y = 4, x + 0y = phương trình bậc hai ẩn Trong phương trình (1), giá trị vế trái x = x0 y = y0 vế phải cặp số (x0 ; y0 ) gọi nghiệm phương trình (1) Ví dụ (3; 5) nghiệm phương trình 2x − y = (vì · − = 1) Chú ý Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nghiệm phương trình (1) biểu diễn điểm Nghiệm (x0 ; y0 ) biểu diễn điểm có tọa độ (x0 ; y0 ) 1.1.2 Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c (1) CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN5 ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng ax + by = c Kí hiệu (d) : ax + by = c c a • Nếu a = b = đường thẳng (d) đồ thị hàm số bậc y = − x + b b  x ∈ R a c Khi đó, x; − x + với x ∈ R gọi nghiệm tổng quát phương y = − a x + c b b b b trình (1) c • Nếu a = b = phương trình trở thành by = c y = , đường thẳng (d) song b song trùng với trục hoành. x ∈ R c với x ∈ R gọi nghiệm tổng qt phương trình (1) Khi đó, x; y = c b b c • Nếu a = b = phương trình trở thành ax = c x = , đường thẳng (d) a song song trùng với trục tung  c x = c a gọi nghiệm tổng qt phương trình (1) Khi đó, ; y với y ∈ R  a y∈R Ví dụ Hãy viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ Oxy phương trình sau a) 2x − y = b) −5x − 0y + = Lời giải a) 2x − y = ⇔ y = 2x − y y = 2x − Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng Phương trình có nghiệm tổng qt (d)  x ∈ R (d) : y = 2x − Cho x = ⇒ y = −1; x = ⇒ y = Đường thẳng y = 2x−1 qua hai điểm (0; −1) (1; 1) b) −1 O −1 x CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN6 −5x − 0y + = ⇔ x = y   x = Phương trình có nghiệm tổng qt  y ∈ R Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng (d) : x = Å ã 3 Đường thẳng x = qua điểm ; song song với 5 trục tung 1.2 (d) −1 O x −1 −2 BÀI TẬP Bài Trong cặp số (−2; 1), (0; 2), (−1; 0) (4; −3), cặp số nghiệm phương trình? a) 5x + 4y = b) 3x + 5y = −3 Lời giải • Cặp (−2; 1) khơng nghiệm phương trình 5x + 4y = · (−2) + · = a) • Cặp (0; 2) nghiệm phương trình 5x + 4y = · + · = • Cặp (−1; 0) khơng nghiệm phương trình 5x + 4y = · (−1) + · = • Cặp (4; −3) nghiệm phương trình 5x + 4y = · + · (−3) = • Cặp (−2; 1) khơng nghiệm phương trình 3x + 5y = −3 · (−2) + · = −3 b) • Cặp (0; 2) khơng nghiệm phương trình 3x + 5y = −3 · + · = −3 • Cặp (−1; 0) nghiệm phương trình 3x + 5y = −3 · (−1) + · = −3 • Cặp (4; −3) nghiệm phương trình 3x + 5y = −3 · + · (−3) = −3 Bài Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình sau biểu diễn hình học tập nghiệm a) 3x − y = b) 2y − x = c) √ 2x = −2 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN7 3 d) − y = − Lời giải a) 3x − y = 1 ⇔ y = 3x − 2 Phương trình có nghiệm tổng qt y   x ∈ R (d1 )  y = 3x − Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng (d1 ) : y = 3x − Cho x = ⇒ y = − ; x = ⇒ y = 2 Å ã Å ã 1 Đường thẳng y = 3x − qua hai điểm 0; − 1; 2 O −1 2y − x = ⇔ y = x + 2 y x b)   x ∈ R  y = x + 2 Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng (d2 ) : y = x + 2 Cho x = ⇒ y = ; x = ⇒ y = 2 Å ã Đường thẳng y = 2x − qua hai điểm 0; (1; 2) Phương trình có nghiệm tổng qt (d2 ) O x x c) √ √ 2x = −2 ⇔ x = − Phương trình có nghiệm tổng quát  √ x = − y ∈ R Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường √ thẳng (d3 ) : x = − Ä √ ä √ Đường thẳng x = − qua điểm − 2; song song với trục tung d) y (d3 ) √ − −1 O CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN8 3 − y = − ⇔ y = Phương trình có nghiệm tổng qt y  x ∈ R (d4 ) y = Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng (d4 ) : y = −1 Đường thẳng y = qua điểm (0; 2) song song với O x trục hoành Bài Xác định hệ số góc tung độ gốc đường thẳng biểu diễn tập ngiệm phương trình bậc sau a) 3x + 3y = −6 1 b) √ x − y = −2 2 √ c) = 2x − 3y Lời giải a) 3x + 3y = −6 ⇔ y = −x − y Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng (d1 ) : y = −x − Đường thẳng y = −x − có hệ số góc −1, tung độ gốc −2 −2 −1 Cho x = ⇒ y = −2; y = ⇒ x = −2 O x −1 Đường thẳng (d1 ) qua điểm (0; −2) (−2; 0) −2 (d1 ) b) √ 1 √ x − y = −2 ⇔ y = 2x + 2 Tập nghiệm phương trình biểu diễn √ đường thẳng (d2 ) : y = 2x + √ √ Đường thẳng y = 2x + có hệ số góc 2, tung y (d2 ) độ gốc √ Cho x = ⇒ y = 4; y = ⇒ x = −2 Ä √ ä Đường thẳng (d2 ) qua điểm (0; 4) −2 2; √ −2 −2 −1 O x CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN9 c) √ = 2x − 3y ⇔ y = x − √ 3 Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng (d3 ) : y = x − √ 3 2 Đường thẳng y = x − √ có hệ số góc , tung độ gốc 3 −√ √ √ − Cho x = ⇒ y = ;y=0⇒x= Ç√ å Ç √2 å − A ;0 Đường thẳng (d3 ) qua điểm B 0; y (d3 ) A −1 O x B −1 Bài Cho hai phương trình x + 2y = x − y = Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai phương trình mặt phẳng tọa độ Xác định tọa độ giao điểm hai đường thẳng đồ thị cho biết nghiệm phương trình nào? Lời giải −1 x + 2 −1 x + Tập nghiệm phương trình x + 2y = đường thẳng (m) : y = Cho x = ⇒ y = 2; y = ⇒ x = • x + 2y = ⇔ y = Đường thẳng (m) qua hai điểm (0; 2) (4; 0) • x − y = ⇔ y = x − Tập nghiệm phương trình x − y = đường thẳng (n) : y = x − Cho x = ⇒ y = −1; y = ⇒ x = Đường thẳng (n) qua hai điểm (0; −1) (1; 0) • Hai đường thẳng (m) (n) cắt điểm (2; 1) Tọa độ (2; 1) nghiệm phương trình (n) y (m) x + 2y = x − y = −1 O −1 Bài Định a để cặp số sau nghiệm phương trình 3x − y = −5 x CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN10 a) (a; −2a) Å ã 1 b) − ; a a Å ã √ c) a 2; Lời giải a) Cặp (a; −2a) nghiệm phương trình 3x − y = −5 ⇒ 3a + 2a = −5 ⇒ a = −1 Vậy với a = −1 cặp số nghiệm phương trình 3x − y = −5 ã Å 1 nghiệm phương trình 3x − y = −5 b) Cặp − ; a a Å ã 1 −4 ⇒ 3· − − = −5 ⇒ = −5 ⇒ a = a a a Vậy với a = cặp số nghiệm phương trình 3x − y = −5 Å ã √ nghiệm phương trình 3x − y = −5 c) Cặp a 2; √ √ √ −3 −9 ⇒ · a − = −5 ⇒ · a = ⇒a= √ −3 Vậy với a = cặp số nghiệm phương trình 3x − y = −5 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình sau a) x + 3y = b) 4x − 5y = 24 c) 5x + 7y = Lời giải −x + 3m Để y nguyên −x + ⇒ −x + = 3m (m ∈ Z) hay x = − 3m Khi y = = m  x = − 3m Vậy phương trình có nghiệm ngun với m số nguyên y = m a) x + 3y = ⇔ y = 4x − 24 Để y nguyên 4x − 24 ⇒ x − (do 4, số nguyên tố nhau) · 5k = 4k ⇒ x − = 5k (k ∈ Z) hay x = 5k + Khi y =  x = 5k + Vậy phương trình có nghiệm ngun với k số nguyên y = 4k b) 4x − 5y = 24 ⇔ y = CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 374 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II ( Phịng GD - ĐT Q.1 ) - Năm học: 2016 - 2017 Mơn: Tốn - Thời gian làm bài: 90 phút Bài Giải phương trình sau a) 5x2 − 8x = b) x2 + 5x + = √ 2(x + 1) c) x4 − 36 = 5x2 Lời giải  x=0 a) Ta có 5x2 − 8x = ⇔ x(5x − 8) = ⇔  x= ™5 ß Vậy tập nghiệm phương trình S = 0; √ √ √ b) Ta có x2 + 5x + = 2(x + 1) ⇔ x2 + (5 − 2)x + − = √ √ Ta có a = 1; b = − 2; c = − √ √ Vì a − b + c = − (5 − 2) + − = −c √ Nên phương trình cho có nghiệm x1 = −1; x2 = = â a ả Vậy tập nghiệm phương trình S = −1; − c) x4 − 36 = 5x2 ⇔ x4 − 5x2 − 36 = Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình trở thành t2 − 5t − 36 = (∗) √ Ta có ∆ = b2 − 4ac= (−5)2 − · · (−36) = 169 > ⇒ ∆ = 13 Do đó, phương trình có nghiệm t = (nhận); t = −4 (loại) Với t = x2 = ⇔ x = ±3 (nhận) Vậy tập nghiệm phương trình S = {±3} Bài Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x − = (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm trái dấu với giá trị m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn (x21 − 2x1 − 4)(x22 − 2x2 − 4) = 16 x1 x Lời giải CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 375 a) Xét phương trình x2 − 2(m + 1)x − = Khi a · c = · (−4) = −4 < ∀m Nên phương trình cho có nghiệm trái dấu với m b) Ta có x2 − 2(m + 1)x − = Vì phương trình cho có nghiệm trái dấu với m nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với  m x1 + x2 = 2(m + 1) Theo định lý Vi-ét, ta có x · x = −4 Vì  trình nên ta  x1 , x2 hai nghiệm phương x2 − 2x1 − = 2mx1 x − 2(m + 1)x1 − = 1 ⇔ x2 − 2x − = 2mx x2 − 2(m + 1)x − = 2 2 Khi (x21 − 2x1 − 4)(x22 − 2x2 − 4) 2mx1 · 2mx2 = 16 ⇔ = 16 x1 x2 −4 ⇔ m2 = ⇔ m = ±2 (nhận) Vậy m = ± giá trị cần tìm Bài a) Vẽ đồ thị (P ) hàm số y = x2 b) Tìm m để (P ) cắt đường thẳng (d) : y = −2x + − 3m điểm có hồnh độ x = – Lời giải a) Bảng giá trị Ta có đồ thị sau x −3 −2 3 y 4.5 2 4.5 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 376 y x2 y= 4.5 −3 −2 −1 MDD-171 O x −1 b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) (d) x2 = −2x + − 3m ⇔ x2 + 4x + 6m − = Vì (P ) cắt (d) điểm có hồnh độ x = −2 nên ta có (−2)2 + · (−2) + 6m − = ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm Bài Để đặt ống dẫn nước đoạn đường, dùng 100 ống dài 160 ống ngắn Do đặt hai loại ống nên dùng 124 ống Tính số ống loại (đơn vị tính độ dài ống mét) Lời giải Gọi chiều dài ống dài d m, số ống dài cần tìm x ống Điều kiện d > 0, x ∈ N∗ , x < 124 Khi đó, số ống ngắn cần tìm 124 − x ống Chiều dài đoạn đường 100d m 5d Chiều dài ống ngắn (100d) : 160 = m 5d Ta có phương trình : dx + (124 − x) = 100d ⇔ x = 60 (thỏa mãn) Vậy số dài cần tìm 60 ống Số ống ngắn cần tìm 124 − 60 = 64 ống Bài Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh tứ giác BF HD, BF EC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh F H tia phân giác góc DEF H tâm đường tròn nội tiếp DEF CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 377 c) Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh OM d) Gọi N giao điểm AD EF Chứng minh AD tứ giác DM EF nội tiếp 1 − = HN HD AH Lời giải A E N F O HMDD-171 C B D M a) Vì AD, CF đường cao tam giác ABC nên BF H = 90◦ , BDH = 90◦ ⇒ BF H + BDH = 90◦ + 90◦ = 180◦ Mà F, D hai đỉnh đối tứ giác BF HD nên tứ giác BF HD nội tiếp đường trịn Vì BE, CF đường cao tam giác ABC nên hai góc CF B = 90◦ , BEC = 90◦ Vì E, F kề nhìn đoạn BC góc vng nên tứ giác BF EC nội tiếp đường tròn b) Vì tứ giác BF HD nội tiếp đường trịn nên DBH = DF H ( Hai góc nội tiếp chắn cung DH) (1) Vì tứ giác BF EC nội tiếp đường tròn nên CBE = CF E ( Hai góc nội tiếp chắn cung CE) (2) Từ (1) (2), suy DF H = EF H ⇒ F H tia phân giác góc DEF (3) Chứng minh tương tự, ta có EH tia phân giác góc F ED (4) Từ (3) (4), suy H tâm đường tròn nội tiếp DEF c) Vì M trung điểm BC nên OM ⊥ BC Mà AD ⊥ BC nên AD OM (quan hệ vng góc với song song) Ta có EM C = 2EF C (Góc nội tiếp nửa góc tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác EF BC với M tâm đường tròn) Mà EF D = 2EF C nên EF D = EM C CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 378 ⇒ Tứ giác DM EF nội tiếp đường tròn (Góc tứ giác nội tiếp góc ngồi đỉnh đối diện) d) Vì EH đường phân giác ∆DEN EH ⊥ EA ⇒ EA đường phân giác ∆DEN AD HD HD + AD AH + 2HD 2HD HD = ⇒ = = =1+ ⇒ HN AN HN HN + AN AH AH 1 = + ⇒ − = ⇒ HN HD AH HN HD AH CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 379 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II (Phịng giáo dục đào tạo Q.1) - Năm học: 2017-2018 Mơn: Tốn - Thời gian làm bài: 90 phút x2 Vẽ đồ thị (P ) mặt phẳng Oxy Tìm tọa độ giao điểm (P ) x đường thẳng (d) : y = − Lời giải Bài Cho (P ) : y = − a) • Bảng giá trị (P ) x −4 −2 y −8 −2 −2 −8 • Đồ thị −4 −2 y O −1 x −2 −8 (P ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P )  x=2 x x − = − ⇔ x2 + x − = ⇔  2 x = −3 Với x = −3 ⇒ y = − ; với x = ⇒ y = −2 Å ã Vậy tọa độ giao điểm (P ) đường thẳng d −3; − , (2; −2) Bài Cho phương trình x2 + (m + 2)x + m + = với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x1 ; x2 với m b) Tìm giá trị m để hai nghiệm x1 ; x2 phương trình thỏa mãn x21 + x22 = 26 Lời giải CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 380 a) Ta có ∆ = (m + 2)2 − 4(m + 1) = m2 + 4m + − 4m − = m2 ≥ , ∀m Do phương trình cho ln ln có nghiệm x1 ; x2 với m b) Phương trình cho có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn định lý Vi-ét  x1 + x2 = −(m + 2) x x = m + 1 Ta có x21 + x22 = 26 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 26 ⇔ (m + 2)2 − 2(m + 1) = 26 ⇔ m2 + 4m + − 2m − − 26 = ⇔ m  + 2m − 24 = m=4 ⇔  m = −6 Vậy m = m = −6 thỏa mãn yêu cầu toán Bài Lực F gió thổi vng góc với cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v gió, tức F = av với a số Biết vận tốc gió m/s lực tác động lên cánh thuyền buồm thuyền 120 N (Niu-tơn) Tính số a cho biết thuyền bão với vận tốc 90 km/h hay không? Biết cánh buồn chịu áp lực tối đa 12000 N Lời giải Ta có F = 120 N v = m/s nên thay vào cơng thức F = av , ta có 120 = 4a ⇔ a = 30 90 Với tốc độ v = 90 km/h = = 25 m/s lực gió phải F = 30 · 252 = 18750 N 3,6 Do thuyền khơng thể giới hạn chịu lực tối đa 12000 N Bài Một cầu thiết kế hình dưới, chiều cao M K = m, bán kính đường trịn chứa cung AM B 78 m Tính độ dài AB M A B K Lời giải CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 381 Gọi M N = · 78 = 156 m đường kính đường trịn chứa cung AM B Khi M A K B AM N vng A nhìn đường kính M N Áp dụng hệ thức lượng AM N ta có AK = KM · KN = · (156 − 6) = 900 ⇒ AK = 30 m Vậy độ dài cầu AB = 2AK = 60 m N Bài Bạn Tuất tiêu thụ 12 ca-lo cho phút bơi ca-lo cho phút chạy Bạn Tuất tiêu thụ tổng cộng 600 ca-lo với hai hoạt động Vậy bạn Tuất cần thời gian cho hoạt động Lời giải Gọi thời gian bạn Tuất bơi x phút (x ≥ 0) Thời gian bạn Tuất chạy y phút (y ≥ 0) Đổi đơn vị 60 phút Theo đề ta có hệ phương trình  12x + 8y = 600 x + y = 60 Giải hệ phương trình  12x + 8y = 600 ⇔ x + y = 60 ⇔ ⇔  12x + 8y = 600 8x + 8y = 480  4x = 120 y = 60 − x  x = 30 y = 30 Vậy hoạt động bạn Tuất cần 30 phút Bài Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Trên đường số nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB vẽ nửa đường tròn đường kính AB, BC, AC hình vẽ Hai đường số robot chạy từ A đến C, robot thứ chạy theo đường số (nửa đường trịn đường kính AC), robot thứ hai chạy A B C theo đường số (hai nửa đường trịn đường kính AB, AC) Biết xuất phát thời điểm A chạy vận tốc không đổi Cả hai robot đến C lúc Em giải thích sao? CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 382 Lời giải Đường số robot chạy với nửa chu vi đường trịn đường kính AC qng πAC đường theo đường số Đường số robot chạy với tổng nửa chu vi đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính BC nên qng đường theo đường số πAB πBC π(AB + BC) πAC + = = 2 2 Do hai đường có độ dài, mà robot vận tốc nên thời gian di chuyển đến C vào thời điểm Bài Cho đường trịn (O; R) điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) với B, C hai tiếp điểm Vẽ cát tuyến ADE đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm A E, tia AD nằm hai tia AB, AO ) a) Chứng minh ABD AEB AB = AD · AE b) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh AHD AEO tứ giác DEOH nội tiếp c) Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt BC M Gọi N giao điểm OM DE + = Chứng minh DM OD2 DE Lời giải M B E D N O A H C a)  Xét ABD AEB có BAD = BAE ABD = AED chắn cung BD ˜ Suy ABD AEB (góc-góc) AB AD Do = ⇒ AB = AD · AE AE AB (1) CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 383 b) AB AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) nên AO đường trung trực cạnh BC, suy BH ⊥ OA OAB vng B có BH đường cao nên AB = OH · OA AH AD Từ (1) (2) suy AD · AE = OH · OA ⇒ = AO AE Xét AHD AEO, ta có Xét (2) • HAD = EAO AH AD = • AO AE Do AHD AEO (c-g-c) Suy AHD = AEO (3) Mặt khác OHD + AHD = 180◦ (hai góc kề bù) (4) Từ (3) (4) suy OHD + AEO = 180◦ , mà H, E hai đỉnh đối Khi tứ giác DEOH tứ giác nội tiếp c) Xét tứ giác M DHO có • M DO = 90◦ (do M D tiếp tuyến đường trịn) • M HO = 90◦ Suy M DO = M HO mà D H hai đỉnh kề tứ giác Do tứ giác M DHO nội tiếp đường tròn, suy OM D = AHD Mà AEO = AHD (do (3)) Đồng thời ODE cân O nên DEO = ODE Từ suy OM D = ODN Mặt khác ODN + M DN = 90◦ (5) (6) Từ (5) (6), ta có DM N + M DN = 90◦ ⇒ M N ⊥ DE, N trung điểm ED 1 Xét ODM vuông D, ta có = + 2 ND OD M D2 DE Do N D = nên + = 2 DM OD DE CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 384 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II (Phịng giáo dục đào tạo Q.1) - Năm học: 2018-2019 Mơn: Tốn - Thời gian làm bài: 90 phút Bài Giải phương trình sau a) 5(x2 + 1) − 3x(x + 3) = 10 b) 4x4 + 11x2 − 20 = Lời giải a) Ta có 5(x2 + 1) − 3x(x + 3) = 10 ⇔ 5x2 + − 3x2 − 9x − 10 = ⇔ 2x2 − 9x − = √ Biệt thức ∆ = (−9)2 − · · (−5) = 121 > ⇒ ∆ = 11 − 11 + 11 = 5; x2 = =− Khi phương trình có hai nghiệm x1 = ß ™ Vậy phương trình có tập nghiệm S = − ; b) Đặt t = x2 với điều kiện t ≥ 0, phương trình trở thành 4t2 + 11t − 20 = √ Ta có ∆ = 112 − · · (−20) = 441 > ⇒ ∆ = 21 −11 − 21 −11 + 21 Do phương trình (∗) có nghiệm t1 = = −4 (loại); t2 = = 8 √ 5 Với t = ⇔ x2 = ⇔ x = ± 4 ®√ √ ´ 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S = ;− 2 Bài Cho (P ) : y = x2 a) Vẽ đồ thị (P ) mặt phẳng Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm (P ) đường thẳng (d) : y = 2x + phép toán Lời giải a) • Bảng giá trị (P ) • Đồ thị x −4 −2 y 2 (∗) CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 385 y (P ) −4 −2 MDD-171 O 4x b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P )  x = −2 x = 2x + ⇔ x2 − 4x − 12 = ⇔  x = Với x = −2 ⇒ y = 2; với x = ⇒ y = 18 Vậy tọa độ giao điểm (P ) đường thẳng d (−2; 2), (6; 18) Bài Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − 2m + = với m tham số a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 b) Tính tổng tích hai nghiệm x1 ; x2 theo m c) Tìm giá trị m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình thỏa mãn x21 + x22 − x1 x2 = 15 Lời giải a) Ta có ∆ = m2 − m2 + 2m − = 2m − Phương trình cho có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ 2m − ≥ ⇔ m ≥  x1 + x2 = 2m b) Phương trình cho có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn định lý Vi-ét x x = m2 − 2m + c) Ta có x21 + x22 − x1 x2 = 15 ⇔ (x1 + x2 )2 − 3x1 x2 = 15 ⇔ 4m2 − 3(m2 − 2m + 4) = 15 ⇔ 4m2 − 3m2 + 6m − 12 − 15 = ⇔ m  + 6m − 27 = m=3 (Nhận) ⇔  m = −9 (Loại) CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 386 Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Bài Để tổ chức tham quan hướng nghiệp cho 435 người gồm học sinh khối lớp giáo viên phụ trách, nhà trường thuê 11 xe gồm hai loại: loại 30 chỗ ngồi loại 45 chỗ ngồi (không kể tài xế) Hỏi nhà trường cần thuê xe loại? Biết khơng có xe trống chỗ Lời giải ∗ Gọi số xe loại 30 chỗ số xe loại 45  chỗ lần x, y (x, y ∈ N ) 30x + 45y = 435 Theo đề ta có hệ phương trình x + y = 11 Giải hệ phương trình   30x + 45y = 435 30x + 45y = 435 ⇔ 30x + 30y = 330 x + y = 11  15y = 105 ⇔ x = 11 − y  x = ⇔ y = Vậy nhà trường cần thuê xe loại 30 chỗ xe loại 45 chỗ Bài Tính khoảng cách hai địa điểm B C, biết từ vị trí Hồ nước C ◦ A ta đo AB = 234 m, AC = 185 m BAC = 53 (kết 185 m tính mét làm trịn đến hàng đơn vị) MDD-171 B 234 m A Lời giải Kẻ đường cao CH ABC, ta có CH sin BAC = ⇒ CH = AC · sin BAC = 185 · sin 53◦ ≈ 147,7 AC m AH cos BAC = ⇒ AH = AC · cos BAC = 185 · cos 53◦ ≈ 111,3 AC m Hồ nước C 185 m MDD-171 B H 234 m A Khi BH = AB − AH = 234 − 111,3 = 122,7 m Xét BCH vng H có BC = CH + BH = 147,72 + 122,72 = 36870,6 Do BC ≈ 192 m Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE CF tam giác ABC cắt H CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 387 a) Chứng minh tứ giác BCEF CDHE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh EH tia phân giác góc DEF EB · EH = ED · EF c) Từ D kẻ đường thẳng song song với EF cắt đường thẳng AB CF M N Chứng minh D trung điểm M N Lời giải A E F O MDD-171 H N B C D M a) Xét tứ giác BCEF có  BEC = 90◦ BF C = 90◦ Suy tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn có hai đỉnh liền nhìn cạnh BC góc vng  CEH = 90◦ ⇒ CEH + CDH = 180◦ CDH = 90◦ Do tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn ¯ Suy HCD = HED chắn cung DH (1)  AEH = 90◦ ⇒ AEH + AF H = 180◦ b) Xét tứ giác AEHF có AF H = 90◦ Do tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn ˜ Suy HEF = HAF (2)  chắn cung F H ◦ AF C = 90 Xét tứ giác ACDF có ADC = 90◦ Do tứ giác ACDF nội tiếp đường trịn có hai đỉnh liền nhìn cạnh AC Xét tứ giác CDHE có góc vng ˜ Suy HCD = HAF chắn cung DF (3) CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 388 Từ (1), (2), (3) ta có HEF = HED nên EH tia phân giác góc DEF Xét HED F EB có HED = F EB (chứng minh trên)  F BE = F CE (cùng chắn cung EF ˜) ⇒ F BE = HDE HDE = HCE (cùng chắn cung HE) ¯ Do HED F EB (góc-góc) HE ED Suy = ⇒ EB · EH = ED · EF FE EB c) Chứng minh tương tự ta có F H tia phân giác góc DF E ⇒ EF N = DF N Vì EF N D nên EF N = F N D (so le trong) Do DF N = F N D hay DN F cân D, suy DN = DF (4) Ta lại có M F D = 90◦ − DF H = 90◦ − HF E = AF E Mà DM F = AF E (góc đồng vị hai cạnh EF Suy DM F = M F D hay M D) DM F cân D, suy DM = DF Từ (4) (5) suy DM = DN hay D trung điểm M N (5) ... x x2 x1 x2 P 15 b) Ta có x21 + x 22 = x21 + 2x1 x2 + x 22 − 2x1 x2 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 22 − 2( −15) = 34 c) Đặt C = |x1 − x2 | với C ≥ Ta có C = |x1 − x2 |2 CHƯƠNG HÀM SỐ Y = AX (A = 0) -... PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 46 = x21 − 2x1 x2 + x 22 = x21 + 2x1 x2 + x 22 − 4x1 x2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 22 − 4(−15) = 64 √ ⇒C = 64 = Bài 22 Cho phương trình x2 − √ 3x − + √ = Số √ có nghiệm... Lời giải y Bảng giá trị: x ? ?2 y = − x2 ? ?2 −1 − 0 1 − 2 ? ?2 −1 O x ? ?2 ? ?2 x ? ?2 −1 y = −2x2 −8 ? ?2 ? ?2 −8 y = − x2 y = −2x2 Bài 27 Cho hàm số y = ax2 có đồ thị qua điểm A (2; 4) a) Tìm a vẽ đồ thị hàm