Microsoft Word HH8 C1 CD14 HÌNH THOI docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ THCS TOANMATH com HÌNH THOI I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Định nghĩa Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Nhận xét Hình thoi cũng là một hình b[.]
HÌNH THOI I TĨM TẮT LÝ THUYẾT * Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Nhận xét: Hình thoi hình bình hành * Tính chất: - Hình thoi có tất tính chất hình bình hành - Trong hình thoi: + Hai đường chéo vng góc vói + Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi * Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có bốn cạnh hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CB-NC Dạng Chứng minh tứ giác hình thoi Phương pháp: Sử dụng dấu hiệu nhận biết + Tứ giác có bốn cạnh hình thoi + Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi + Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi + Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi Bài Cho tứ giác ABCD có AC = BD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho hình bình hành ABCD có AC vng góc với AD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh tứ giác AECF hình thoi Dạng Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh tính chất hình học Phương pháp: Sử dụng tính chất định nghĩa hình thoi để giải tốn + Hình thoi tứ giác có bốn cạnh + Hình thoi có tất tính chất hình bình hành Các cạnh đối song song nhau, góc đối Hai đường chéo cắt trung điểm đường + Ngoài ra, hình thoi có: Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Bài Cho hình thoi ABCD có B = 60° Kẻ AE DC, AF BC a) Chứng minh AE = AF b) Chứng minh tam giác AEF c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF Bài Cho hình thoi ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm M, N, P, Q cho AM = CN = CP = AQ Chứng minh: a) M, O, P thẳng hàng N, O, Q thẳng hàng; b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình thoi Bài Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q trung điểm hai đáy hai đường chéo hình thang a) Chứng minh tứ giác MPNQ hình bình hành b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để tứ giác MPNQ hình thoi? Bài Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB AC, cắt AC AB theo thứ tự E F a) Tứ giác AEDF hình gì? TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Điểm D vị trí BC AEDF hình thoi? Dạng 4.Tổng hợp Bài Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E, qua AED D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh EF phân giác Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA a) EFGH hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui Bài Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB P đường thẳng song song với AB cắt AC Q a) Tứ giác APMQ hình gì? Vì sao? b) Chứng minh PQ//BC Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M v N cho AM = DN Đường trung trực BM cắt đường thẳng MN BC E F a) Chứng minh E F đối xứng với qua AB b) Chứng minh tứ giác MEBF hình thoi c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để tứ giác BCNE hình thang cân Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE Tia phân giác góc ABD ACE cắt O, cắt AC, AB N, M Tia BN cắt CE K, tia CM cắt BD H: Chứng minh rằng: a) BN CM; b) Tứ giác MNFIK hình thoi TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Bài Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác ta chứng minh được: EH FG 1 BD HG EF AC 2 Mà AC = BD EH = HG = GF= FE nên EFGH hình thoi Bài 2.Chứng minh AECF hình bình hành có 2đường chéo vng góc với có cạnh Bài nên AE = FA a) Do AC phân giác góc DBC = 600 nên ABC ADC tam giác b) Có B FAC 300 Vậy AFE cân có FAE 600 nên FAE EAC FAC 300 DCB c) EF đường trung bình EAC Vậy FE DB 8cm; Chu vi FAE 24cm Bài a) Chứng minh MBPD BNDQ hình bình hành ĐPCM b) Áp dụng định lý Talet đảo cho ABD BAC tacos MQ//BD MN//AC Mà ABCD hình thoi nên AC BD MQ MN MNPQ hình chữ nhật có góc đỉnh góc vng Bài a) Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác cho ABC DBC ta có: MQ//PN//BC MQ = PN = BC MPNQ hình bình hành b) Tương tự ta có QN//MP//AD QN = MP = AD Nên để MPNQ hình thoi MN PQ MN CD trung trực hay trục đối xứng AB CD hình thang ABCD hình thang cân TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài a) Học suinh tự chứng minh suy AD b) AEDF hình thoi AD phân giác FAE phân giác BAC Bài Chứng minh tứ giác AEDF hình thoi AED EF phân giác Bài a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho BAC ADC ta có: EF//HG; EF = HG = 1 AC HE//HG; HE = FG = BD 2 Mà ABCD hình chữ nhật nên AB = BD EFGH hình thoi b) Gọi O = AC BD O trung điểm AC BD Chứng minh EBGD BFDH hình bình hành suy AC, BD,EG, FH đồng quy trung điểm đường (điểm O) Bài a) Vận dụng đinh lý đường trung bình tam giác suy APMQ hình thoi có cạnh b) Vì PQ AM mà AM BC (tính chất tamgiacs cân) nên PQ//BC Bài 10 a) Do AM = DN MADN hình bình hành MBC D AMN EMB Ta có MPE = BPE nên EP = FP Vậy MEBF hình thoi điểm E, F đối xứng qua AB b) Tứ giác MEBF có MB EF = P; Lại có P trung điểm BM, P trung điểm EF, MB EF MEBF hình thoi BEN c) Để BNCE hình thang cân CNE Mà D MBC EBM nên MEB có góc nhau, suy điều CNE kiện để BNCE hình thang cân ABC 600 Bài 11 a) Sử dụng tính chất tổng góc tam giác 180 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ABC AEC MCA NBD BND 900 Trong DBN có: NBD Gọi O = CM BN CM BN = O (1) ACE nên b) Xét CNK có: CO KN CO BN, CO phân giác CNK cân C O trung điểm KN (2) Tương tự chứng minh trung điểm MH (3) Từ (1),(2) (3) suy MNHK hình thoi B.PHIẾU BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Dạng 1: Nhận biết tứ giác hình thoi Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Gọi D , E , F trung điểm cạnh BC , AB, AC Chứng minh: tứ giác AEDF hình thoi Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ đường thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia Bx / / AC tia Cy / / AB Gọi D giao điểm hai tia Bx Cy Chứng minh: : tứ giác ACDB hình thoi Bài : Cho ABC cân B có đường cao BE Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED EB Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Bài 4: Cho ABC cân B Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác ABC D Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD có AD AC Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AB , CD Chứng minh tứ giác AMCN hình thoi cắt BE , BC theo Bài : Cho ABC nhọn , đường cao AD , BE Tia phân giác DAC cắt AD , AC theo thứ tự M , N Chứng minh: thứ tự I , K Tia phân giác EBC MINK hình thoi Dạng Sử dụng tính chất hình thoi để tính tốn, chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, đường thẳng vng góc 90 Kẻ BE AD E , BF DC F , DG AB Bài Cho hình thoi ABCD có B G , DH BC H , BE cắt DG M , BF cắt DH N Chứng minh góc tứ giác BMDN góc hình thoi ABCD Bài Cho ABC có AB AC Trên cạnh AC lấy D cho CD AB Gọi M , N cắt BC I Chứng minh: AI MN trung điểm AC , BD Phân giác BAC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho hình bình hành ABCD có A 90 AD AB Kẻ CH AB có A 90 Gọi 2. AHM M , N trung điểm AD , BC Chứng minh: BAD 1 AB , CF CD Gọi 3 I giao điểm EF DA , K giao điểm DE BI Chứng minh: Bài Cho hình thoi ABCD Trên AB , CD lấy E , F cho AE a) BDI vuông b) BK IK Bài Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD O Lấy E đối xứng với A qua B Gọi I , K giao điểm DE với AC BC ; G giao điểm OE BC ; H giao điểm OK CE Chứng minh: A , G , H thẳng hàng Bài Cho hình thoi ABCD có AB 25 cm , AC BD 70 cm Tính AC , BD ? Bài Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O Kẻ OH AB Biết AB cm , OH 1cm Tính góc hình thoi? Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Bài Cho hình thang ABCD AB / / CD Gọi M , N , P , Q trung điểm AB , BC , CD , DA a) Chứng minh: MNPQ hình bình hành b) Hình thang ABCD thêm tính chất để MNPQ hình thoi Bài Cho ABC cân A, đường cao AD M điểm cạnh BC Từ M vẽ ME vng góc với AB E , MF vng góc AC F Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh EID , DIF cân b) ABC cân thêm điều kiện để tứ giác DEIF hình thoi? c) Với điều kiện ABC câu b, gọi H trực tâm ABC Chứng minh EF , ID , MH đồng quy TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Dạng 1: Nhận biết tứ giác hình thoi Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Gọi D , E , F trung điểm cạnh BC , AB, AC Chứng minh: tứ giác AEDF hình thoi Giải A E B F D C Cách 1: Vì D , E trung điểm cạnh BC , AB DE đường trung bình ABC DE AC (1) Vì D , F trung điểm cạnh BC , AC DF đường trung bình ABC DF AB (2) Vì E , F trung điểm cạnh AB, AC AE 1 AB, AF AC (3) 2 Tam giác ABC cân A AB AC (4) Từ (1), (2), (3), (4) AE ED DF FA Tứ giác AEDF có AE ED DF FA AEDF hình thoi Cách 2: Vì D , F trung điểm cạnh BC , AC DF đường trung bình ABC DF / / AB DF AB Mà AB AE A, E, B thẳng hàng DF / / AE Tứ giác AEDF có EADF hình bình hành DF AE Hình bình hành AEDF có AE AF AB AC AEDF hình thoi Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ đường thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia Bx / / AC tia Cy / / AB Gọi D giao điểm hai tia Bx Cy Chứng minh: : tứ giác ACDB hình thoi Giải TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A C B D Cy / / AB CD / / AB Bx / / AC BD / / AC Vì CD / / AB ACDB hình bình hành BD / / AC Tứ giác ACDB có Hình bình hành ACDB có AB AC (tam giác ABC cân A ) AEDF hình thoi Bài : Cho ABC cân B có đường cao BE Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED EB Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Giải B A E C D Vì ABC cân B có đường cao BE BE đường trung tuyến EA EC (1) Ta có : EB ED ( gt ) (2) Từ (1) (2) ABCD hình bình hành Vì BE đường cao ABC BE AC Hình bình hành ABCD có BE AC ABCD hình thoi Bài 4: Cho ABC cân B Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác ABC D Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Giải TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B C A D (so le trong) Vì CD / / AB ABD BDC (1) (2) Vì BD phân giác ABC ABD DBC DBC BCD cân D CB CD Từ (1) (2) BDC (3) Vì ABC cân B CB AB (4) Từ (3) (4) AB CD AB CD ABCD hình bình hành AB / / CD Tứ giác ABCD có Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB phân giác ABC ABCD hình thoi Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB AB ABCD hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD có AD AC Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AB , CD Chứng minh tứ giác AMCN hình thoi Giải M A D N B C AB / /CD Vì ABCD hình bình hành AD / / BC 10 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com OAB vng A có M trung điểm AB OM AB 2cm 30 Vì OH 1cm OM OMH nửa tam giác OMH Vì M trung điểm AB MA MO MB MOA cân M 2.MAO MAO OMH 30 15 OMH 2 2.MAO 2.15 30 Ta có: BAD BAD 30 ABC ADC 150 ABCD hình thoi BCD Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Bài Cho hình thang ABCD AB / / CD Gọi M , N , P , Q ,lần lượt trung điểm AB , BC , CD , DA , c) Chứng minh: MNPQ hình bình hành d) Hình thang ABCD thêm tính chất để MNPQ hình thoi Giải A M B N Q D P C a) Vì M , N trung điểm AB , BC MN đường trung bình ABC MN / / AC MN AC (1) Vì P , Q trung điểm CD , DA PQ đường trung bình ADC PQ / / AC (2) PQ AC Từ (1) (2) MNPQ hình bình hành 18 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Để MNPQ hình thoi MN NP AC (3) Vì P , N trung điểm CD , BC NP đường trung bình BDC NP BD (4) Từ (3), (4) AC BD Hình thang ABCD có AC BD ABCD hình thang cân Bài Cho ABC cân A, đường cao AD M điểm cạnh BC Từ M vẽ ME vng góc với AB E , MF vng góc AC F Gọi I trung điểm AM d) Chứng minh EID , DIF cân e) ABC cân thêm điều kiện để tứ giác DEIF hình thoi? f) Với điều kiện ABC câu b, gọi H trực tâm ABC Chứng minh EF , ID , MH đồng quy Giải A I H O E B K M D F C a) AEM vuông E , I trung điểm AM Do EI AM 1 Tương tự ta có FI AM , DI AM 2 Do EI DI FI EID , DIF cân I b) DEIF hình thoi EI ED DF FI EID , DIF tam giác 120 EIF 2.EAM Mà EIA cân I EIM 19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2.FAM Mà FIA cân I FIM EAM FIM EIM EIF 60 FAM 2 60 BAC 60 Do để DEIF hình thoi ABC cân A cần thêm điều kiện BAC c) Gọi O giao điểm EF DI OE OF Gọi K trung điểm AH 60 ABC ABC cân A có BAC HA KH Ta có IK OH đường trung bình AMH AID IK / / MH , OH / / IK H trọng tâm ABC c OH H , M , O thẳng hàng Do EF , ID , MH đồng quy O C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ AE BC E , DF AB F Biết AE DF Chứng minh tứ giác ABCD hình thoi Bài Cho tam giác ABC có AC AB , đường trung tuyến BM Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến tia phân giác góc A Chứng minh ABHM hình thoi Bài Cho hình thang cân ABCD AB // CD, AB CD Gọi E , F , G , H trung điểm AB , BC , CD , DA 1) Chứng minh: EF GH ; EH GF 2) Chứng minh: tứ giác EFGH hình thoi 3) Gọi M , N trung điểm BD , AC Chứng minh: EN MG BC 4) Tứ giác ENGM hình gì? Vì sao? Bài Cho tam giác ABC cân A , hai đường cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D , cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB AC Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M N cho AM DN Đường trung trực BM cắt đường thẳng MN BC E F 20 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... ABCD hình bình hành AB / / CD Tứ giác ABCD có Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB phân giác ABC ABCD hình thoi Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB AB ABCD hình thoi Bài Cho hình bình... BC MPNQ hình bình hành b) Tương tự ta có QN//MP//AD QN = MP = AD Nên để MPNQ hình thoi MN PQ MN CD trung trực hay trục đối xứng AB CD hình thang ABCD hình thang cân TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com... để tứ giác hình thoi Bài Cho hình thang ABCD AB / / CD Gọi M , N , P , Q trung điểm AB , BC , CD , DA a) Chứng minh: MNPQ hình bình hành b) Hình thang ABCD thêm tính chất để MNPQ hình thoi