Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word HH8 C1 CD8 HÌNH BÌNH HÀNH docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ THCS TOANMATH com HÌNH BÌNH HÀNH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Định nghĩa Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song Tứ giác ABCD là[.]
HÌNH BÌNH HÀNH I TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song Tứ giác ABCD hình bình hành AB / / CD AD / / BC * Tính chất: Trong hình bình hành: - Các cạnh đối - Các góc đối - Hai đường chéo cắt trung điểm đường * Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có góc đối hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Dạng Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E F theo thứ tự trung điểm AB CD a) Chứng minh AF / / CE b) Gọi M , N theo thứ tự giao điểm BD DM MN NB với AF , CE Chứng minh rằng: Bài Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo, E F theo thứ tự trung điểm OD OB a) Chứng minh AE / / CF b) Gọi K giao điểm AE DC Chứng minh DK KC Dạng Chứng minh tứ giác hình bình hành Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G , H theo thứ tự trung điểm BD, AB, AC , CD a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Cho AD a , BC b Tính chu vi hình bình hành EFGH Bài Cho ABC , trực tâm H Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D CMR: a) BDCH hình bình hành b) BAC BDC 180 c) H , M , D thẳng hàng ( M trung điểm BC ) Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Bài Cho hình bình hành ABCD có E , F trung điểm AB, CD a) b) c) d) e) f) CMR: AF / / EC CMR: ED BF Gọi O giao điểm AC BD CMR: E , O , F thẳng hàng AF cắt ED G, BF cắt EC H CMR: G, O, H thẳng hàng CMR: GH / / CD Giả sử AB cm Tìm GH ? Bài Cho hình bình hành ABCD Lấy N AB, M CD cho AN CM a) CMR: AM / / CN b) CMR: DN BM c) CMR: AC , BD, MN đồng quy HƯỚNG DẪN Dạng Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E F theo thứ tự trung điểm AB CD a) Chứng minh AF / / CE b) Gọi M , N theo thứ tự giao điểm BD với AF , CE Chứng minh rằng: DM MN NB Hướng dẫn giải a) Ta có ABCD hình bình hành nên AB CD (tc hbh) Mà E , F trung điểm cuả AB CD AB CF BE DF AE CF Xét tứ giác AECF , có AE CF (doAB CD ) AECF hình bình hành AF EC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Gọi AC BD O Xét ADC có DO; A F trung tuyến; AF DO M M trọng tâm ADC 2 DM DO BO(1) (do DO BO) OM DO BO (2) 3 Xét ABC có: BO; CE trung tuyến, BO CE N N trọng tâm ABC BN BO(3) ON BO (4) 1 Từ (2) (4) MN OM ON BO BO BO (5) 3 Từ (1); (3) (5) DM BN MN (đpcm) Bài Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo, E F theo thứ tự trung điểm OD OB a) Chứng minh AE / / CF b) Gọi K giao điểm AE DC Chứng minh DK KC Hướng dẫn giải a) AC BD O DO BO E ; F trung điểm DO BO nên: DE EO OF FB Xét tứ giác AFCE , có: AC EF O OA OC OE OF AFCE hình bình hành (dhnb) TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com AE CF (tc hbh) b) Từ O kẻ OM EK Xét DOM có OM EK Và E trung điểm DO K trung điểm DM DK KM (1) Xét CDK , có OM / / AK O trung điểm AC M trung điểm KC CM KM (2) Từ (1) (2) DK KM CM Mà KM CM KC DK KC (đpcm) Dạng Chứng minh tứ giác hình bình hành Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G , H theo thứ tự trung điểm BD, AB, AC , CD a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Cho AD a , BC b Tính chu vi hình bình hành EFGH Hướng dẫn giải a) Xét ABD có F ; E tủng điểm AB; BD EF Là đường trung bình ABD EF AD(1) EF AD(2) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Tương tự, ta có GH đường trung bình ACD GH AD(3) GH AD(4) 1 3 EF GH EF GH b) Ta có: GH EF Tương tự: FG HE tứ giác GFEH hình bình hành 1 AD a 2 1 BC b 2 1 Chu vi tứ giác GFEH là: a b a b 2 Bài Cho ABC , trực tâm H Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D CMR: a) BDCH hình bình hành b) BAC BDC 180 c) H , M , D thẳng hàng ( M trung điểm BC ) Hướng dẫn giải a) Ta có Lại có CH AB CH BD(1) BD AB BH AC BH CD (2 ) CD AC Từ (1) (2) BHCD hình bình hành b) Tứ giác ABCD có: ABD BDC ACD 360 BAC 90 BDC 90 360 BAC BDC 180(dpcm) BAC c) Vì BHCD hình bình hành nên BC cắt HD trung điểm đường ta có: M trung điểm BC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com M trung điểm HD H ; M ; D thẳng hàng Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đường chéo hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD có E , F trung điểm AB, CD a) CMR: AF / / EC b) CMR: ED BF c) Gọi O giao điểm AC BD CMR: E , O , F thẳng hàng d) AF cắt ED G, BF cắt EC H CMR: G, O, H thẳng hàng e) CMR: GH / / CD f) Giả sử AB cm Tìm GH ? Hướng dẫn giải a) Vì ABCD hình bình hành nên AB CD E ; F Là trung điểm AB; CD AE CF BE DF Xét tứ giác AECF có: AE FC (do AB CD) AE FC AECF Là hình bình hành (dhnb) AF CE b) Chứng minh tương tự ta có BEDF hình bình hành ED BF c) Có AC BD O O Là trung điểm AC BD (t/c hbh) Ta có: EO đường trung bình ABC EO BC OF Là đường trung bình DBC OF BC E ; O; F Thẳng hàng ( tiền đề o’clit) d) Chứng minh OG; đường trung bình EDF GO DF GO DC (1) OH đường trung bình EFC OH FC OH DC (2) Từ (1) (2) OH GO (tiền đề o’clit) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com O; H ; G thẳng hàng e) AB CD 4cm Chứng minh GH đường trung bình DEC GH 1 DC 2cm 2 Bài Cho hình bình hành ABCD Lấy N AB, M CD cho AN CM a) CMR: AM / / CN b) CMR: DN BM c) CMR: AC , BD, MN đồng quy Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác ABCD, có AN CM AN CM (do AB CD ) ANCM Là hình bình hành AM CN b) Ta có: BN AB AN DM DC CM Mà AB DC , AN CM BN DM Mà BN DM (do AB CD ) BNDM hình bình hành DN BM c) Gọi AC BD O (1) O Là trung điểm AC BD Ta có ANCM hình bình hành; O trung điểm đường chéo AC O Là trung điểm MN O MN (2) Từ (1) (2) AC , BD, MN đồng quy C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC Dạng Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điếm AD, F trung điểm BC Chứng minh: ; ABE CDF a) BE = DF TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) BE // DF 2 Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I trung điểm cạnh AB CD Gọi M v N giao điểm AI CK với BD Chứng minh: a) ADM = CBN; b) MAC NCA IM//CN; c) DM = MN = NB Dạng Chứng minh tứ giác hình bình hành Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH CK vng góc với BD H K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC E, F Qua O vẽ đưòng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD K, H Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đường chéo hình bình hành Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh đoạn thẳng EL, FM DN đồng quy Cho hình bình hành ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo Trên AB lấy điểm K, CD lấy điểm I cho AK = CI Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng Dạng 4.Tổng hợp Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F a) Chứng minh DE//BE b) Tứ giác DEBF hình gì? Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thăng song song vói AB cắt BC D Giả sử AE = BF, chứng minh: a) Tam giác AED cân; b) AD phân giác góc A Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 10 Cho tam giác ABC H trực tâm Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành , biết BAC = 60° b) Tính số đo góc BDC 11 Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Từ C vẽ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vng góc với CE cắt BC N a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? 2 c) Chứng minh BAD AEM HƯỚNG DẪN a) Ta chứng minh BEDF hình bình hành BE = DF CDF EBF ABE CDF Cách khác: AEB = CFD (c.g.c) suy BE = DF b) Vì BEDF hình bình hành ĐPCM 2.a) Chứng minh AKCI hình bình hành ADI = CBK (cc-c-) ADM = CBN (g-c-g) b) Vì AKCI hình bình hành ĐPCM c) Từ câu a) DM= NB Mặt khác MN = NB (định lý đường trung bình), từ suy ĐPCM Ta chứng minh AH//CK, AH = CK (AHD = CKB) AHCK hình bình hành (cặp cạnh đối song song nhau) Ta có AOK = COH OK =OH, DOE = BOF OE = OF EHFK hình bình hành OB DENL hình bình hành Tương tự chứng minh LMEF hình bình hành Từ suy EL,FM, DN đồng quy I Gọi I trung điểm LE Ta có DL//EN//OB DL = EN = Chứng minh AKCI hình bình hành ĐPCM TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com DE / / BF (có góc vị 7.a) Ta có AED EDC ABF EDC trí đồng vị nhau) b) Từ câu a) suy DEBF hình bình hành 8.a) Chứng minh BDEF hình bình hành ED= BF = AE AED cân E DAC (vì b) Ta có BAD ADE ) AD phân giác  Tương tự 10 a) Vì BHCD có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành 600 ABD ACD 900 mà BAC b) Tứ giác ABCD có 1200 BDC nên 11 a) Ta có MNCD hình bình hành b) Chứng minh F trung điểm CE EMC cân M FMC CMD DCM MCB mà c) Chứng minh AEM FME FMD 2CMD 2 AE//MF nên BAD AEM C.DẠNG BÀI NÂNG CAO Tính chất hình bình hành Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD tam giác ACE vuông cân A Gọi M trung điểm DE Chứng minh hai đường thẳng MA BC vng góc với Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ ngồi hình bình hành tam giác ABM vng cân A, tam giác BCN vuông cân C Chứng minh tam giác DMN vuông cân Bài Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Chứng minh chu vi tam giác ABC lớn HA HB HC Bài Cho hình thang cân ABCD AB CD điểm O hình Chứng minh có tứ giác mà bốn cạnh OA, OB, OC, OD bốn đỉnh nằm bốn cạnh hình thang cân Bài Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy không cắt cạnh hình bình hành Qua đỉnh A, B, C, D vẽ đường thẳng vng góc với xy, cắt xy A, B, C , D Chứng minh AA CC BB DD Bài Cho hình bình hành ABCD AD AB Vẽ ngồi hình bình hành tam giác ABM cân B tam giác ADN cân D cho ABM ADN 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Chứng minh CM CN ; b) Trên AC lấy điểm O Hãy so sánh OM với ON Nhận biết hình bình hành Bài Cho đoạn thẳng PQ điểm A đường thẳng PQ Vẽ hình hình hành ABCD có đường chéo BD PQ BD PQ Chứng minh đường thẳng BC CD qua điểm cố định Bài Trong tất tứ giác với hai đường chéo có độ dài m n cho trước góc xen hai đường chéo có độ lớn cho trước xác định tứ giác có chu vi nhỏ Dựng hình bình hành Bài Cho tam giác ABC Dựng điểm M AB , điểm N AC cho MN BC BM AN Bài 10 Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí điểm A vị trí trung điểm M, N BC CD Hướng dẫn giải Bài (h.4.6) Vẽ hình bình hành DAEF Khi AF qua M Gọi H giao điểm MA với BC Ta có: EF AD AB 180 mà BAC DAE 180 nên AEF DAE AEF BAC AEF CAB g c.g A1 C 90 A1 A2 90 C A2 90 H Ta có: 11 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Do đó: MA BC Bài (h.4.7) 90 ; NCD 90 Ta đặt ADC DAM DAM NCD có: NCD 90 ; AM CD AB ; DAM AD CN BC Do DAM NCD c.g.c DM DN (1) NDC DMA Kéo dài MA cắt CD H Ta có: MA AB MH CD ADM 90 Xét MDH có DMA NDC ADM 90 90 Hay MDN (2) Từ (1) (2) suy DMN vuông cân D Bài (H.4.8) Vẽ HM AC M AB , HN AB N AC Vì CH AB nên CH HN Vì BH AC nên BH HM Xét HBM vng H có BM HB (1) Xét HCN vng H có CN HC (2) Xét hình bình hành ANHM có AM AN AM MH HA (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: BM CN AM AN HB HC HA MB AM CN AN HA HB HC hay AB AC HA HB HC Chứng minh tương tự, ta được: BC BA HA HB HC 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com CA CB HA HB HC Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: AB BC CA HA HB HC Do AB BC CA HA HB HC Bài (h.4.9) Qua O dựng đường thẳng song song với BC cắt AB CD E G Qua O dựng đường thẳng song song với CD cắt AD H Qua E dựng đường thẳng song song với OC cắt BC F Khi tứ giác EFGH thỏa mãn đề Thật vậy, tứ giác AEOH, HOGD hình thang cân OA EH ; OD HG (1) Tứ giác EFCO hình bình hành OC EF (2) OE CF Suy OG BF Vậy tứ giác OBFG hình bình hành OB GF (3) Từ (1), (2), (3) suy tứ giác EFGH thỏa mãn đề Bài (h.4.10) Gọi O giao điểm AC BD Vẽ OO xy Ta có: AA BB CC DD OO Xét hình thang AAC C có OA OC OO AA nên OA OC Do OO đường trung bình hình thang AAC C OO AA CC hay AA CC 2OO Xét hình thang DD BB , chứng minh tương tự, ta có: BB DD 2OO Từ suy ra: AA CC BB DD 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài (h.4.11) a) Vì ABCD hình bình hành nên ABC ADC ABC m, ABM n, Ta đặt CDN m n MBC MBC CDN có: CDN (chứng minh trên); MB CD AB ; MBC BC DN AD Vậy MBC CDN c.g.c CM CN b) Các ABM AND tam giác cân có góc đỉnh mà AB AD nên AM AN (bạn đọc tự chứng minh) ACM ACN Xét ACM CAN có CM CN ; CA chung AM AN nên Xét OCM OCN có CM CN ; CO chung ACM ACN nên OM ON Bài (h.4.15) Qua A vẽ đường thẳng xy PQ Trên tia Ax lấy điểm M, tia Ay lấy điểm N cho AM AN PQ Như điểm M N cố định Tứ giác AMBD có hai cạnh đối diện song song nên hình bình hành BM AD Mặt khác, BC AD nên ba điểm B, M, C thẳng hàng (tiên đề Ơclit) Do đường thẳng BC qua điểm cố định M Chứng minh tương tự, ta đường thẳng CD qua điểm cố định N 14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài (h.4.16) Xét tứ giác ABCD có AC m, BD n BOC Vẽ hình bình hành ADBE vẽ hình bình hành CAEF Khi đó: EF AC m; CF AE BD n; BOC EAC Như hình bình hành CAEF hồn tồn xác định, hai đường chéo AF CE không đổi Dễ thấy tứ giác BFCD hình bình hành BF CD Chu vi tứ giác ABCD là: AB CD BC AD AB BF BC BE AF CE A, B, F Dấu " " xảy C , B, E thẳng hàng thẳng hàng AB CD AD BC ABCD hình bình hành Vậy chu vi tứ giác ABCD nhỏ ABCD hình bình hành Bài (h.4.17) a) Phân tích Giả sử dựng MN BC cho BM AN Vẽ ND AB D BC Tứ giác MNDB hình bình hành DN BM mà BM AN nên DN AN A2 D NAD cân (so le trong) nên A1 D A1 A2 Mặt khác, Do AD đường phân giác góc A Điểm D dựng suy điểm N M dựng b) Cách dựng - Dựng đường phân giác AD tam giác ABC - Dựng DN AB N AC - Dựng NM BC M AB Các bước cịn lại, bạn đọc tự giải 15 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 10 (h.4.18) a) Phân tích Giả sử dựng hình bình hành thỏa mãn đề Gọi O giao điểm hai đường chéo K giao điểm MN AC Xét CBD có MN đường trung bình, MN BD Xét COB có MB MC MK OB nên CK KO Vậy MK đường trung bình nên MK Chứng minh tương tự, ta KN OB OD Mặt khác, OB OD nên KM KN Vậy điểm K trung điểm MN xác định 1 1 Dễ thấy OK KC OC OA KC AC suy KC KA 2 Điểm C nằm tia đối tia KA cách K khoảng AK Điểm C xác định điểm B D xác định b) Cách dựng - Dựng đoạn thẳng MN - Dựng trung điểm K MN - Dựng tia AK - Trên tia đối tia KA dựng điểm C cho KC KA - Dựng điểm B cho M trung điểm CB - Dựng điểm D cho N trung điểm CD - Dựng đoạn thẳng AB, AD ta hình bình hành phải dựng ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 16 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... CFD (c.g.c) suy BE = DF b) Vì BEDF hình bình hành ĐPCM 2.a) Chứng minh AKCI hình bình hành ADI = CBK (cc-c-) ADM = CBN (g-c-g) b) Vì AKCI hình bình hành ĐPCM c) Từ câu a) DM= NB... giác hình bình hành Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH CK vng góc với BD H K Chứng minh tứ giác AHCK hình. .. DENL hình bình hành Tương tự chứng minh LMEF hình bình hành Từ suy EL,FM, DN đồng quy I Gọi I trung điểm LE Ta có DL//EN//OB DL = EN = Chứng minh AKCI hình bình hành ĐPCM TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com