CHỦ ĐỀ 4: HÌNH BÌNH HÀNH A/ LÝ THUYẾT I HÌNH BÌNH HÀNH Định nghĩa: “Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song” AB / / DC ⇔ AD / / BC ABCD hình bình hành Chú ý: Hình bình hành hình thang đặc biệt (là hình thang có hai cạnh bên song song) Tính chất: Trong hình bình hành: - Các cạnh đối AB = DC ; AD = BC - Các góc đối µ =C µ B µ A ; µ =D - Hai đường chéo cắt trung điểm đường Hai đường chéo AC BD cắt O => O trung điểm AC BD Dấu hiệu nhận biết: (Dùng chứng minh tứ giác Hình Bình Hành) - Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có góc đối hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành II/ ĐỐI XỨNG TÂM Hai điểm đối xứng qua điểm: Định nghĩa: Hai điểm gọi đối xứng với qua điểm I I trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm Hai điểm A A' gọi hai điểm đối xứng với qua điểm I Hai hình đối xứng qua điểm: Định nghĩa: Hai hình gọi đối xứng với qua điểm I điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua điểm I ngược lại Điểm I gọi tâm đối xứng hai hình ∆A’B’C’ đối xứng với ∆ABC qua tâm I khi: +) A’ đối xứng với A qua I +) B’ đối xứng với B qua I +) C’ đối xứng với C qua I Đoạn M’N’ đối xứng với đoạn MN qua tâm I khi: +) M’ đối xứng với M qua I +) N’ đối xứng với N qua I Hình có tâm đối xứng: Định nghĩa: Điểm I gọi tâm đối xứng qua hình H điểm đối xứng với điểm thuộc hình H qua điểm I thuộc hình H Định lí: Giao điểm hai đường chéo hình bình hành tâm đối xứng hình bình hành B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG I MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Trên tia đối tia AD lấy điểm M, tia đối tia CB lấy điểm N cho AM = CN Chứng minh ba đường thẳng MN, AC, BD gặp điểm Giải * Tìm cách giải AC BD hai đường chéo hình bình hành ABCD nên chúng cắt trung điểm O AC Ta phải chứng minh MN qua O Muốn cần chứng minh AMCN hình bình hành để suy đường chéo MN qua trung điểm O AC * Trình bày lời giải Tứ giác AMCN có AM // CN AM = CN nên hình bình hành => hai đường chéo MN AC cắt trung điểm O AC Mặt khác, ABCD hình bình hành nên hai đường chéo BD AC cắt trung điểm O AC Vậy đường thẳng MN, BD AC qua trung điểm O AC Nhận xét: Hai hình bình hành AMCD ABCD có chung đường chéo AC đường chéo chúng đồng quy trung điểm đường chéo chung Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành tam giác ABM ADN Chứng minh tam giác CMN tam giác Giải * Tìm cách giải Đề cho hình bình hành tam giác nên có nhiều đoạn thẳng nhau, nhiều góc Do nghĩ đến việc chứng minh tam giác * Trình bày lời giải o · · · Ta đặt ABC = α ADC = α; BAD = 180 − α; ( ) · MAN = 360o − 60o + 60o + 180o − α = 60o + α ∆MAN ∆CDN có · · AM = DC (= AB); MAN = CDN (= 60o + α); AN = DN Do ∆MAN = ∆CDN (c.g.c) ⇒ MN = CN (1) Chứng minh tương tự ta ∆MAN = ∆MBC (c.g.c) ⇒ MN = MC (2) Từ (1) (2) suy MN = CN = MC Vậy ∆CMN · Nhận xét: Việc đặt ABC = α kĩ thuật giúp ta tính tốn so sánh góc nhanh chóng, tiện lợi Ví dụ Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến vng góc với tổng bình phương hai đường trung tuyến bình phương đường trung tuyến thứ ba Giải * Tìm cách giải Kết luận toán gợi ý cho ta vận dụng định lí Py-ta-go Muốn phải vẽ hình phụ tạo tam giác vng có ba cạnh ba đường trung tuyến * Trình bày lời giải Giả sử tam giác ABC tam giác có hai đường trung tuyến BD CE vng góc với Ta phải chứng minh BD2 + CE2 = AF2 (AF đường trung tuyến thứ ba) Trên tia ED lấy điểm K cho D trung điểm EK Tứ giác AKCE có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành ⇒ AK // CE AK = CE Ta có DE // BC DE = BC ⇒ DK // BF DK = BF Vậy tứ giác DKFB hình bình hành ⇒ KF // BD KF = BD Mặt khác, BD ⊥ CE nên AK ⊥ KF Do ∆KAF vng A ⇒ AK2 + KF2 = AF2 ⇒ CE2 + BD2 = AF2 II BÀI TẬP VẬN DỤNG • Tính chất hình bình hành Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD tam giác ACE vuông cân A Gọi M trung điểm DE Chứng minh hai đường thẳng MA BC vng góc với Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Vẽ ngồi hình bình hành tam giác ABM vuông cân A, tam giác BCN vuông cân C Chứng minh tam giác DMN vuông cân Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H Chứng minh chu vi tam giác ABC lớn ( HA + HB + HC ) Bài 4: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) điểm O hình Chứng minh có tứ giác mà bốn cạnh OA, OB, OC, OD bốn đỉnh nằm bốn cạnh hình thang cân Bài 5: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng cắt cạnh hình bình hành Qua đỉnh A, B, C, D vẽ đường thẳng vng góc với xy, cắt xy A', B', C', D' Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD' Bài 6: Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) Vẽ ngồi hình bình hành tam giác ABM cân B · · tam giác ADN cân D cho ABM = ADN a) Chứng minh CM = CN; b) Trên AC lấy điểm O Hãy so sánh OM với ON Bài 7: Cho tam giác ABC cân A, AB < BC Trên tia AB có điểm D, tia CA có điểm E cho AD = DE = EC = CB Tính góc tam giác ABC • Nhận biết hình bình hành Bài 8: Chứng minh tứ giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo đoạn thẳng nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện gặp điểm (định lí Giéc-gơn, nhà tốn học Pháp) Bài 9: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Gọi E, F, G, H trung điểm NA, NB, MC, MD Chứng minh ba đường thẳng MN, EF, GH đồng quy Bài 10: Cho đoạn thẳng PQ điểm A ngồi đường thẳng PQ Vẽ hình bình hành ABCD có đường chéo BD // PQ BD = PQ Chứng minh đường thẳng BC CD qua điểm cố định Bài 11: Trong tất tứ giác với hai đường chéo có độ dài m n cho trước góc xen hai đường chéo có độ lớn α cho trước xác định tứ giác có chu vi nhỏ • Dựng hình bình hành Bài 12: Cho tam giác ABC Dựng điểm M ∈ AB, điểm N ∈ AC cho MN // BC BM = AN Bài 13: Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí điểm A vị trí trung điểm M, N BC CD Bài 14: Cho trước hai điểm A B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng d Một đoạn thẳng CD có độ dài a cho trước nằm đường thẳng d Hãy xác định vị trí điểm C D để tổng AC + CD + DB nhỏ Bài 15: Hai điểm dân cư A B hai bên sơng có hai bờ d d' Chiều rộng sơng a Hãy tìm địa điểm bắc cầu cho quãng đường từ A sang B ngắn (cầu vng góc với bờ sông) ... O AC Nhận xét: Hai hình bình hành AMCD ABCD có chung đường chéo AC đường chéo chúng đồng quy trung điểm đường chéo chung Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành tam giác ABM... cạnh hình bình hành Qua đỉnh A, B, C, D vẽ đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy A', B', C', D' Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD' Bài 6: Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) Vẽ ngồi hình bình hành. .. + HB + HC ) Bài 4: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) điểm O hình Chứng minh có tứ giác mà bốn cạnh OA, OB, OC, OD bốn đỉnh nằm bốn cạnh hình thang cân Bài 5: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng