Chuyên đề hình thoi

HÌNH THOI I TĨM TẮT LÝ THUYẾT * Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Nhận xét: Hình thoi hình bình hành * Tính chất: - Hình thoi có tất tính chất hình bình hành - Trong hình thoi: + Hai đường chéo vng góc vói + Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi * Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có bốn cạnh hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CB-NC Dạng Chứng minh tứ giác hình thoi Phương pháp: Sử dụng dấu hiệu nhận biết + Tứ giác có bốn cạnh hình thoi + Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi + Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi + Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi Bài Cho tứ giác ABCD có AC = BD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho hình bình hành ABCD có AC vng góc với AD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh tứ giác AECF hình thoi Dạng Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh tính chất hình học Phương pháp: Sử dụng tính chất định nghĩa hình thoi để giải tốn + Hình thoi tứ giác có bốn cạnh + Hình thoi có tất tính chất hình bình hành Các cạnh đối song song nhau, góc đối Hai đường chéo cắt trung điểm đường + Ngoài ra, hình thoi có: Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Bài Cho hình thoi ABCD có B = 60° Kẻ AE  DC, AF  BC a) Chứng minh AE = AF b) Chứng minh tam giác AEF c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF Bài Cho hình thoi ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm M, N, P, Q cho AM = CN = CP = AQ Chứng minh: a) M, O, P thẳng hàng N, O, Q thẳng hàng; b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình thoi Bài Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q trung điểm hai đáy hai đường chéo hình thang a) Chứng minh tứ giác MPNQ hình bình hành b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để tứ giác MPNQ hình thoi? Bài Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB AC, cắt AC AB theo thứ tự E F a) Tứ giác AEDF hình gì? TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Điểm D vị trí BC AEDF hình thoi? Dạng 4.Tổng hợp Bài Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh EF phân giác  AED Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA a) EFGH hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui Bài Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB P đường thẳng song song với AB cắt AC Q a) Tứ giác APMQ hình gì? Vì sao? b) Chứng minh PQ//BC Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M v N cho AM = DN Đường trung trực BM cắt đường thẳng MN BC E F a) Chứng minh E F đối xứng với qua AB b) Chứng minh tứ giác MEBF hình thoi c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để tứ giác BCNE hình thang cân Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE Tia phân giác góc  ABD  ACE cắt O, cắt AC, AB N, M Tia BN cắt CE K, tia CM cắt BD H: Chứng minh rằng: a) BN  CM; b) Tứ giác MNFIK hình thoi TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Bài Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác ta chứng minh được: EH  FG  1 BD HG  EF  AC 2 Mà AC = BD  EH = HG = GF= FE nên EFGH hình thoi Bài 2.Chứng minh AECF hình bình hành có 2đường chéo vng góc với có cạnh Bài  nên AE = FA a) Do AC phân giác góc DBC  = 600 nên ABC ADC tam giác  b) Có B   FAC   300 Vậy AFE cân có FAE   600 nên FAE EAC   FAC   300 DCB c) EF đường trung bình EAC Vậy FE  DB  8cm; Chu vi FAE 24cm Bài a) Chứng minh MBPD BNDQ hình bình hành  ĐPCM b) Áp dụng định lý Talet đảo cho ABD BAC tacos MQ//BD MN//AC Mà ABCD hình thoi nên AC  BD  MQ  MN MNPQ hình chữ nhật có góc đỉnh góc vng Bài a) Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác cho ABC DBC ta có: MQ//PN//BC MQ = PN = BC MPNQ hình bình hành b) Tương tự ta có QN//MP//AD QN = MP = AD Nên để MPNQ hình thoi MN  PQ MN  CD trung trực hay trục đối xứng AB CD  hình thang ABCD hình thang cân TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài a) Học suinh tự chứng minh  suy AD b) AEDF hình thoi AD phân giác FAE  phân giác BAC Bài Chứng minh tứ giác AEDF hình thoi  EF phân giác  AED Bài a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho BAC ADC ta có: EF//HG; EF = HG = 1 AC HE//HG; HE = FG = BD 2 Mà ABCD hình chữ nhật nên AB = BD  EFGH hình thoi b) Gọi O = AC  BD  O trung điểm AC BD Chứng minh EBGD BFDH hình bình hành suy AC, BD,EG, FH đồng quy trung điểm đường (điểm O) Bài a) Vận dụng đinh lý đường trung bình tam giác suy APMQ hình thoi có cạnh b) Vì PQ  AM mà AM  BC (tính chất tamgiacs cân) nên PQ//BC Bài 10 a) Do AM = DN  MADN hình bình hành    MBC  D AMN  EMB Ta có MPE = BPE nên EP = FP Vậy MEBF hình thoi điểm E, F đối xứng qua AB b) Tứ giác MEBF có MB  EF = P; Lại có P trung điểm BM, P trung điểm EF, MB  EF  MEBF hình thoi   BEN  c) Để BNCE hình thang cân CNE Mà D   MBC   EBM  nên MEB có góc nhau, suy điều CNE kiện để BNCE hình thang cân  ABC  600 Bài 11 a) Sử dụng tính chất tổng góc tam giác 180 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com   ABC  AEC   MCA   NBD   BND   900 Trong DBN có: NBD Gọi O = CM  BN  CM  BN = O (1) b) Xét CNK có: CO  KN  CO  BN, CO phân giác  ACE nên CNK cân C  O trung điểm KN (2) Tương tự chứng minh trung điểm MH (3) Từ (1),(2) (3) suy MNHK hình thoi B.PHIẾU BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Dạng 1: Nhận biết tứ giác hình thoi Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Gọi D , E , F trung điểm cạnh BC , AB, AC Chứng minh: tứ giác AEDF hình thoi Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ đường thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia Bx / / AC tia Cy / / AB Gọi D giao điểm hai tia Bx Cy Chứng minh: : tứ giác ACDB hình thoi Bài : Cho ABC cân B có đường cao BE Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED  EB Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Bài 4: Cho ABC cân B Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác  ABC D Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD có AD  AC Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AB , CD Chứng minh tứ giác AMCN hình thoi  cắt BE , BC theo Bài : Cho ABC nhọn , đường cao AD , BE Tia phân giác DAC  cắt AD , AC theo thứ tự M , N Chứng minh: thứ tự I , K Tia phân giác EBC MINK hình thoi Dạng Sử dụng tính chất hình thoi để tính tốn, chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, đường thẳng vng góc   90 Kẻ BE  AD E , BF  DC F , DG  AB Bài Cho hình thoi ABCD có B G , DH  BC H , BE cắt DG M , BF cắt DH N Chứng minh góc tứ giác BMDN góc hình thoi ABCD Bài Cho ABC có AB  AC Trên cạnh AC lấy D cho CD  AB Gọi M , N  cắt BC I Chứng minh: AI  MN trung điểm AC , BD Phân giác BAC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho hình bình hành ABCD có  A  90 AD  AB Kẻ CH  AB có  A  90 Gọi   2. AHM M , N trung điểm AD , BC Chứng minh: BAD 1 AB , CF  CD Gọi 3 I giao điểm EF DA , K giao điểm DE BI Chứng minh: Bài Cho hình thoi ABCD Trên AB , CD lấy E , F cho AE  a) BDI vuông b) BK  IK Bài Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD O Lấy E đối xứng với A qua B Gọi I , K giao điểm DE với AC BC ; G giao điểm OE BC ; H giao điểm OK CE Chứng minh: A , G , H thẳng hàng Bài Cho hình thoi ABCD có AB  25 cm , AC  BD  70 cm Tính AC , BD ? Bài Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O Kẻ OH  AB Biết AB  cm , OH  1cm Tính góc hình thoi? Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Bài Cho hình thang ABCD  AB / / CD  Gọi M , N , P , Q trung điểm AB , BC , CD , DA a) Chứng minh: MNPQ hình bình hành b) Hình thang ABCD thêm tính chất để MNPQ hình thoi Bài Cho ABC cân A, đường cao AD M điểm cạnh BC Từ M vẽ ME vng góc với AB E , MF vng góc AC F Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh EID , DIF cân b)  ABC cân thêm điều kiện để tứ giác DEIF hình thoi? c) Với điều kiện  ABC câu b, gọi H trực tâm  ABC Chứng minh EF , ID , MH đồng quy TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Dạng 1: Nhận biết tứ giác hình thoi Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Gọi D , E , F trung điểm cạnh BC , AB, AC Chứng minh: tứ giác AEDF hình thoi Giải A E B F D C Cách 1: Vì D , E trung điểm cạnh BC , AB  DE đường trung bình ABC  DE  AC (1) Vì D , F trung điểm cạnh BC , AC  DF đường trung bình ABC  DF  AB (2) Vì E , F trung điểm cạnh AB, AC  AE  1 AB, AF  AC (3) 2 Tam giác ABC cân A  AB  AC (4) Từ (1), (2), (3), (4)  AE  ED  DF  FA Tứ giác AEDF có AE  ED  DF  FA  AEDF hình thoi Cách 2: Vì D , F trung điểm cạnh BC , AC  DF đường trung bình ABC  DF / / AB DF  AB Mà AB  AE A, E, B thẳng hàng  DF / / AE Tứ giác AEDF có   EADF hình bình hành  DF  AE   Hình bình hành AEDF có AE  AF   AB  AC   AEDF hình thoi   Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ đường thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia Bx / / AC tia Cy / / AB Gọi D giao điểm hai tia Bx Cy Chứng minh: : tứ giác ACDB hình thoi Giải TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A C B D Cy / / AB CD / / AB   Bx / / AC  BD / / AC Vì  CD / / AB  ACDB hình bình hành  BD / / AC Tứ giác ACDB có  Hình bình hành ACDB có AB  AC (tam giác ABC cân A )  AEDF hình thoi Bài : Cho ABC cân B có đường cao BE Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED  EB Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Giải B A E C D Vì ABC cân B có đường cao BE  BE đường trung tuyến  EA  EC (1) Ta có : EB  ED ( gt ) (2) Từ (1) (2)  ABCD hình bình hành Vì BE đường cao ABC  BE  AC Hình bình hành ABCD có BE  AC  ABCD hình thoi Bài 4: Cho ABC cân B Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác  ABC D Chứng minh: tứ giác ABCD hình thoi Giải TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B C A D  (so le trong) Vì CD / / AB   ABD  BDC (1)  (2) Vì BD phân giác  ABC   ABD  DBC   DBC   BCD cân D  CB  CD Từ (1) (2)  BDC (3) Vì ABC cân B  CB  AB (4) Từ (3) (4)  AB  CD  AB  CD  ABCD hình bình hành  AB / / CD Tứ giác ABCD có  Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB phân giác  ABC  ABCD hình thoi Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB  AB  ABCD hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD có AD  AC Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AB , CD Chứng minh tứ giác AMCN hình thoi Giải M A D N B C  AB / / CD Vì ABCD hình bình hành    AD / / BC 10 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com OAB vng A có M trung điểm AB  OM  AB  2cm   30 Vì OH  1cm  OM  OMH nửa tam giác  OMH Vì M trung điểm AB  MA  MO  MB  MOA cân M    2.MAO   MAO   OMH  30  15  OMH 2   2.MAO   2.15  30 Ta có: BAD   BAD   30   ABC   ADC  150 ABCD hình thoi  BCD Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Bài Cho hình thang ABCD  AB / / CD  Gọi M , N , P , Q ,lần lượt trung điểm AB , BC , CD , DA , c) Chứng minh: MNPQ hình bình hành d) Hình thang ABCD thêm tính chất để MNPQ hình thoi Giải A M B N Q D P C a) Vì M , N trung điểm AB , BC  MN đường trung bình ABC  MN / / AC    MN  AC (1) Vì P , Q trung điểm CD , DA  PQ đường trung bình ADC  PQ / / AC  (2)   PQ  AC Từ (1) (2)  MNPQ hình bình hành 18 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Để MNPQ hình thoi  MN  NP  AC (3) Vì P , N trung điểm CD , BC  NP đường trung bình BDC  NP  BD (4) Từ (3), (4)  AC  BD Hình thang ABCD có AC  BD  ABCD hình thang cân Bài Cho ABC cân A, đường cao AD M điểm cạnh BC Từ M vẽ ME vng góc với AB E , MF vng góc AC F Gọi I trung điểm AM d) Chứng minh EID , DIF cân e)  ABC cân thêm điều kiện để tứ giác DEIF hình thoi? f) Với điều kiện  ABC câu b, gọi H trực tâm  ABC Chứng minh EF , ID , MH đồng quy Giải A K I H O E B M D F C a) AEM vuông E , I trung điểm AM Do EI  AM 1 Tương tự ta có FI  AM , DI  AM 2 Do EI  DI  FI  EID , DIF cân I b) DEIF hình thoi  EI  ED  DF  FI  EID , DIF tam giác   120  EIF   2.EAM  Mà EIA cân I  EIM 19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com   2.FAM  Mà FIA cân I  FIM     EAM   FIM   EIM   EIF   60  FAM 2   60  BAC   60 Do để DEIF hình thoi ABC cân A cần thêm điều kiện BAC c) Gọi O giao điểm EF DI  OE  OF Gọi K trung điểm AH   60   ABC  ABC cân A có BAC HA  KH Ta có IK OH đường trung bình AMH AID  IK / / MH , OH / / IK  H trọng tâm ABC c OH  H , M , O thẳng hàng Do EF , ID , MH đồng quy O C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ AE  BC E , DF  AB F Biết AE  DF Chứng minh tứ giác ABCD hình thoi Bài Cho tam giác ABC có AC  AB , đường trung tuyến BM Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến tia phân giác góc A Chứng minh ABHM hình thoi Bài Cho hình thang cân ABCD  AB // CD, AB  CD  Gọi E , F , G , H trung điểm AB , BC , CD , DA 1) Chứng minh: EF  GH ; EH  GF 2) Chứng minh: tứ giác EFGH hình thoi 3) Gọi M , N trung điểm BD , AC Chứng minh: EN  MG  BC 4) Tứ giác ENGM hình gì? Vì sao? Bài Cho tam giác ABC cân A , hai đường cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D , cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB AC Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M N cho AM  DN Đường trung trực BM cắt đường thẳng MN BC E F 20 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Chứng minh E F đối xứng với qua AB; b) Chứng minh tứ giác MEBF hình thoi; c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để tứ giác BCNE hình thang cân Dạng 2: Vận dụng kiến thức hình thoi để chứng minh giải tốn Bài Cho hình thoi ABCD có A  60 Kẻ đường cao BE BF  E  AD; F  DC  1) Chứng minh: BE  BF 2) Tính số đo  ABC  BEF tam giác đặc biệt gì? Vì sao? 3) Tính số đo EBF Bài Cho hình thoi ABCD có A  60 , kẻ BH  AD  H  AD  , kéo dài đoạn HE  BH Nối E với A , E với D Chứng minh : 1) H trung điểm AD 2) Tứ giác ABDE hình thoi 3) D trung điểm CE 4) AC  BE Bài Cho hình thoi ABCD có AB  BD 1) Chứng minh: ABD 2) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh: OA2  AB 3) Biết chu vi hình thoi ABCD cm Tính độ dài đường chéo BD ; AC 4) Tính diện tích hình thoi ABCD Bài Cho hình thoi ABCD có A  60 Một góc xBy thay đổi cho tia Bx cắt cạnh AD M ,   60 Chứng minh : tia By cắt cạnh CD N xBy 1) AB  BD 2) ABM  DBN 21 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 3) Tổng độ dài  DM  DN  không đổi Bài 10 Cho hình thoi ABCD có AB  BD Gọi M , N cạnh AB , BC cho AM  NC  AD 1) Chứng minh: AM  BN 2) Chứng minh: AMD  BND 3) Tính số đo góc DMN HƯỚNG DẪN Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ AE  BC E , DF  AB F Biết AE  DF Chứng minh tứ giác ABCD hình thoi Hướng dẫn  Ta có: FAD ABE (vì AD // BC )  AFD  BEA (cgv - gn)  AD  AB (hai cạnh tưng ứng) Xét hình bình hành ABCD có AD  AB nên ABCD hình thoi Bài Cho tam giác ABC có AC  AB , đường trung tuyến BM Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến tia phân giác góc A Chứng minh ABHM hình thoi Hướng dẫn 22 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com + Xét AHC vng H có HM đường trung tuyến  HM  MA  MC + Ta có: MAH  BAH (c-g-c)  HM  HB + Xét tứ giác ABHM có: AB  BH  HM  MA  ABHM hình thoi Bài Cho hình thang cân ABCD  AB // CD, AB  CD  Gọi E , F , G , H trung điểm AB , BC , CD , DA 1) Chứng minh: EF  GH ; EH  GF 2) Chứng minh: tứ giác EFGH hình thoi 3) Gọi M , N trung điểm BD , AC Chứng minh: EN  MG  BC 4) Tứ giác ENGM hình gì? Vì sao? Hướng dẫn Vì E trung điểm AB , F trung điểm BC 1)  EF đường trung bình tam giác ABC  EF  AC (1) Vì H trung điểm AD , G trung điểm DC  HG đường trung bình tam giác ADC  HG  AC (2) Từ (1) (2)  EF  GH  AC Chứng minh tương tự ta EH  GF 2) ABCD hình thang cân  AC  BD (3) 23 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com EF  GH  AC EH  GF  (4) BD (5) Từ (3), (4), (5)  EF  GH  EH  GF Suy tứ giác EFGH hình thoi Vì E trung điểm AB , N trung điểm AC 3)  EN đường trung bình tam giác ABC  EN  BC (6) Vì G trung điểm CD , M trung điểm BD  GM đường trung bình tam giác BCD  MG  BC (7) Từ (6) (7)  EN  MG  4) BC (8) Chứng minh tương tự ta ME  NG  AD (9) ABCD hình thang cân  AD  BC (10) Từ (8),(9),(10)  EN  MG  ME  NG Suy tứ giác ENGM hình thoi Bài Cho tam giác ABC cân A , hai đường cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D , cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB AC Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi 24 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Hướng dẫn ABE  ACF (cạnh huyền, góc nhọn)  AE  AF BE  CF Vì H trực tâm ABC nên AH đường cao, đồng thời đường trung tuyến, từ GB  GC DE  DF Xét EBC có GN // BE (cùng vng góc với AC ) GB  GC nên NE  NC Chứng minh tương tự ta MF  MB Dùng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh DM // GN DM  GN nên tứ giác DNGM hình bình hành Mặt khác, DM  DN (cùng hai cạnh nhau) nên DNGM hình thoi Bài Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M N cho AM  DN Đường trung trực BM cắt đường thẳng MN BC E F a) Chứng minh E F đối xứng với qua AB; b) Chứng minh tứ giác MEBF hình thoi; c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để tứ giác BCNE hình thang cân Hướng dẫn a) Gọi H giao điểm EF MB Ta có: AMND hình bình hành ( AM  ND AM // ND )  AD // NM 25 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com   HFB  Lại có AD // BC , nên suy MN // BC  MEH Ta có: EHM  FHB (cgv - gn)  HE  HF Mà EF  AB nên E F đối xứng với qua AB b) Xét tứ giác MEBF có HE  HF , HB  HM , EF  MB nên MEBF hình thoi   NEB  c) Để tứ giác BCNE hình thang cân ENC   HBE  ( FBE cân B );   EMB  (vì AB // CD ); FBH Ta có: ENC   MBC  (vì MBCN hình bình hành) MNC   MBE   BEM  nên suy EMB   MBE   BEM   60 Xét EMB có: EMB Vậy để tứ giác BCNE hình thang cân  ABC  60 Bài Cho hình thoi ABCD có A  60 Kẻ đường cao BE BF  E  AD; F  DC  1) Chứng minh: BE  BF 2) Tính số đo  ABC  BEF tam giác đặc biệt gì? Vì sao? 3) Tính số đo EBF Hướng dẫn B A 23 C 60o F E D 1) Vì ABCD hình thoi nên AB  AD  CB  CD Mặt khác A  60 nên ABD, CBD ( tam giác cân có góc 60 )   B   ABD  60  30 B B   DBC  60  30 B 2 2 26 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com (trong tam giác đường cao đường phân giác) Xét tam giác vng BED BFD có: B   30 B BD cạnh chung  BED  BFD ( cạnh huyền- góc nhọn)  BE  BF ( hai cạnh tương ứng)   60  60  120 2) Ta có:  ABC   ABD  DBC B B   30  30  60 3) Ta có: EBF Xét tam giác BEF có: BE  BF   60 EBF  BEF tam giác Bài Cho hình thoi ABCD có A  60 , kẻ BH  AD  H  AD  , kéo dài đoạn HE  BH Nối E với A , E với D Chứng minh : 1) H trung điểm AD 2) Tứ giác ABDE hình thoi 3) D trung điểm CE 4) AC  BE Hướng dẫn 27 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B A 60o C I H D E 1) Ta có: AB  AD ( ABCD hình thoi) Và A  60 Suy ra: ABD tam giác Mà BH  AD nên H trung điểm AD 2) Xét tứ giác ABDE có: HA  HD ( chứng minh trên) HE  HB (Giả thiết)  ABDE hình bình hành Mặc khác: AD  BE nên ABDE hình thoi ( hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi) 3) Ta có: ABCD hình thoi  DC  AB, DC // AB 1 ABDE hình thoi  DE  AB, DE // AB  2 Từ 1 ,   suy C , D, E thẳng hàng ( theo tiên đề Ơclit) DC  DE Vậy D trung điểm CE 4) Ta có: 28 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com AC  AI ( ABCD hình thoi) BE  BH ( ABDE hình thoi) Mà BH  AI ( đường cao tam giác ABD )  AC  BE Bài Cho hình thoi ABCD có AB  BD 1) Chứng minh: ABD 2) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh: OA2  AB 3) Biết chu vi hình thoi ABCD cm Tính độ dài đường chéo BD ; AC 4) Tính diện tích hình thoi ABCD Hướng dẫn 1) ABCD hình thoi  AB  AD mà AB  BD (giả thiết) Nên AB  AD  BD Vậy ABD tam giác 2) OAB vuông O  OA2  AB  OB mà OB  Do : OA2  AB  BD AB AB   OB  2 AB  AB 4 3) Chu vi ABCD cm  BD  AB  cm nên BO  BD  cm Tam giác vuông OAB : AO  AB  OB     AO  cm AC  AO  cm Vậy BD  cm, AC  cm 29 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 4) Diện tích hình thoi ABCD : 1 AC.BD  3.2  cm 2   Bài Cho hình thoi ABCD có A  60 Một góc xBy thay đổi cho tia Bx cắt cạnh AD M ,   60 Chứng minh : tia By cắt cạnh CD N xBy 1) AB  BD 2) ABM  DBN 3) Tổng độ dài  DM  DN  không đổi Hướng dẫn B 600 A C 600 M N x D y 1) Chứng minh AB  BD Ta có ABCD hình thoi nên: AB  AD  ABD cân A   60 (giả thiết) nên suy ABD Mà A  AB  BD 2) Chứng minh ABM  DBN Xét ABM DBN có:   BDN   60 (Gt) BAM AB  AD (cmt) 30 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  tạo thành góc có số đo 60 )   (Cùng cộng với MBD ABM  DBN  ABM  DBN (g.c.g) 3) Chứng minh tổng độ dài  DM  DN  không đổi Do ABM  DBN (cmt) nên AM  DN (1) Từ (1) suy ra: DM  DN  DM  AM  DM  DN  AD Vì AD khơng đổi nên  DM  DN  không đổi Bài 10 Cho hình thoi ABCD có AB  BD Gọi M , N cạnh AB , BC cho AM  NC  AD 1) Chứng minh: AM  BN 2) Chứng minh: AMD  BND 3) Tính số đo góc DMN Hướng dẫn 1) Theo ta có: AM  NC  AD Lại có: BN  NC  BC  AD ( ABCD hình thoi)  AM  BN 2) +Có: AB  AD ( ABCD hình thoi) + Lại có: AB  BD (GT)  AD  BD  AB  ABD tam giác 31 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com   60  MAD   60(1)  BAD    ABC ( ABCD hình thoi) + Có:  ABD  CBD +Lại có:  ABD  60 ( ABD tam giác đều)   60  NBD   60(2)  CBD   NBD  +Từ (1) (2) ta có: MAD + Xét AMD BND có: AM  BN (CMT )   NBD  (CMT ) MAD AD  BD (CMT )  AMD  BND (c.g.c) 3) + Có AMD  BND (CMT)   NDB  (cặp góc tương ứng)  MDA   MDB  + Mà: MDA ADB  60   MDB   60  MDN   60  NDB + Có AMD  BND (CMT)  MD  ND (cặp cạnh tương ứng)   60  MNB tam giác cân D, mà MDN  MNB tam giác     60 MND  MDN  NMD ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 32 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... hành Mặc khác: AD  BE nên ABDE hình thoi ( hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi) 3) Ta có: ABCD hình thoi  DC  AB, DC // AB 1 ABDE hình thoi  DE  AB, DE // AB  2 Từ...  ABCD hình bình hành  AB / / CD Tứ giác ABCD có  Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB phân giác  ABC  ABCD hình thoi Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB  AB  ABCD hình thoi Bài Cho hình bình... minh tứ giác MEBF hình thoi; c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để tứ giác BCNE hình thang cân Dạng 2: Vận dụng kiến thức hình thoi để chứng minh giải tốn Bài Cho hình thoi ABCD có A 