chuyên đề Hình học không gian

http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP – 10 Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ABC vuông A Ta có: 2 a) Định lý Pitago : BC  AB  AC A b) BA  BH BC ; CA  CH CB c c) AB AC  BC AH 1   2 AH AB AC e) BC  AM b c b c f) sin B  , cos B  , tan B  , cot B  a a c b B d) g) b  a.sin B  a.cos C , c  a.sin C  a.cos B, a  b H M a C b b  sin B cos C b  c.tan B  c.cot C Hệ thức lượng tam giác thường Š Định lý hàm số côsin: a  b  c  2bc.cos A a b c Š Định lý hàm số sin:    2R sin A sin B sin C Các công thức tính diện tích a) Công thức tính diện tích tam giác S abc 1 a.ha  a.b sin C   pr  2 4R Đặc biệt: ABC vuông A : S  p  p  a p  b p  c với p  a b c AB AC ABC cạnh ABC : S  a2 b) Diện tích hình vuông: S  cạnh x cạnh c) Diện tích hình chữ nhật: S  dài x rộng d) Diện tích hình thoi: S  (chéo dài x chéo ngắn) BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao f) Diện tích hình bình hành: S  đáy x chiều cao g) Diện tích hình tròn: S   R e) Diện tích hình thang: S  ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa Đường thẳng mặt phẳng gọi a & P a  P   song song với chúng điểm chung a (P) 2.Các định lý: Định lý 1: Nếu đường thẳng a a     b & a   a &    b    không nằm mặt phẳng   song song với đường thẳng  nằm   a b α a song song với   Định lý 2: Nếu đường thẳng a   a &  P   b& a a  (Q)   P  Q  b song song với mặt phẳng P mặt phẳng Q chứa a mà cắt P cắt theo giao tuyến song song với a Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng P  Q  b   b& a P & a   Q & a Q a b P Q b P a §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung P & Q P  Q   P Q BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Các định lý: Định lý 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng Q P Q song song với Định lý 2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P Q song song mặt phẳng R cắt P phải cắt Q giao tuyến chúng   a b  I   P & Q  a & Q , b & Q a, b  P P a b I Q P & Q  a & Q   a  P  a P Q P & Q   R  P  a   a & b R  Q  b R a P b Q song song B QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Một đường thẳng gọi a  P  a  c, c   P vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng P Các định lý: Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng  P đường thẳng d góc với mặt phẳng P đường thẳng b nằm c d  a , d  b  a , b  P   d  P  a  b   d b P vuông góc với mặt phẳng P Định lý 3: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông a a a  P , b  P b  ab  a ' P Khi đó, BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan điều kiện cần đủ để b vuông góc với a b vuông góc với hình chiếu a ' a P §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc chúng 90 Các định lý: Định lý 1: Nếu mặt phẳng a  P    Q  P chứa đường thẳng vuông góc a  Q với mặt phẳng khác hai mặt Q a phẳng vuông góc với P Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P Q vuông góc với đường thẳng a nằm P  Q   P  Q  d   a  Q a   P , a  d   P , vuông góc với giao tuyến P Q vuông góc với mặt phẳng Q Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P P  Q  A P  Q vuông góc với A     a  P   điểm P đường A  a  a Q     thẳng a qua điểm A vuông góc với Q nằm P Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba P a Q d P a A Q P  Q  a   P  R   a  R Q  R  P Q a R §3.KHOẢNG CÁCH BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng P ) khoảng cách hai điểm M O O H , H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mặt phẳng P )  H a P H  d O; a  OH ; d O;  P  OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng P O a song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng P  H P  d a; P  OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d O P P; Q  OH H Q 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng a d a; b  AB A b B §4.GÓC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm phương với a b a a' b' b BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Góc đường thẳng a không vuông góc với a mặt phẳng P góc a hình chiếu a ' mặt phẳng  P Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng P ta a' P nói góc đường thẳng a mặt phẳng P 90 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến điểm b a Q P Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác H  mặt phẳng P a b Q P S S ' diện tích hình chiếu H ' H  mặt phẳng P ' thì: S '  S cos  C M A  góc hai mặt phẳng P P ' B ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V  S h Trong đó: S : Diện tích đa giác đáy h : Đường cao hình lăng trụ a) Thể tích khối hộp chữ nhật: A' D' V  a.b.c với a , b, c ba kích thước C' B' A B BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D C http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan b) Thể tích khối lập phương: V  a3 với a độ dài cạnh A' D' C' B' A D B C Thể tích khối chóp: Trong đó: V  S h S : Diện tích đa giác đáy h : Đường cao hình chóp Tỉ số thể tích tứ diện: Hai khối chóp S ABC S MNP có chung đỉnh S góc đỉnh S Khi đó: VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC S M P N C A B Thể tích khối chóp cụt: h V B  B ' BB ' Trong đó: B , B ' : Diện tích hai đáy  A'  B' C' A B h : Chiều cao C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vuông cạnh a d  a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d  a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c d  a  b  c , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác 2/ Đường cao tam giác cạnh a h  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan PHÂN DẠNG BÀI TẬP A LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ Cho ( H ) khối lăng trụ đứng tam giác có tất cạnh a Thể tích ( H ) bằng: A a3 B a3 C a3 D a3 Hướng dẫn giải: a3 V  S SBC AA '  A' C' B' C A B Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC ABC có AA  a , tam giác ABC cạnh a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC ABC a3 a3 B VABC ABC  12 Hướng dẫn giải: A VABC ABC  S ABC  C VABC ABC  a2 a3 , h  AA '  a  V  S ABC h  4 a3 A D VABC ABC  a3 B C B' A' C' Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông, BA  BC  a , AA  a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC ABC 2.a A VABC ABC   B VABC ABC   Hướng dẫn giải: 2.a C VABC ABC   BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 2.a D VABC ABC a3  http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan V a3 AB.BC AA '  2 B' C' A' C B A Ví dụ Lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, BC  2a, AB  a Mặt bên BB’C’C  hình vuông Khi thể tıć h lăng trụ là: A a3 B a C 2a3 Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C hình vuông  h  BB  2a  AC  BC  AB  a  D a 3 B' C' A' a2 AB AC  2   VABC A’ B’C ’  BB S ABC  a3  S ABC  C B A Ví dụ Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC  a biết A ' B  3a Tính thể tích khối lăng trụ A a3 B a3 Hướng dẫn giải: ABC vuông cân A nên AB  AC  a ABC A ' B ' C ' lăng trụ đứng  AA '  AB  AA '  D 2a C a3 A' C' B' A ' B  AB  a  V  B.h  S ABC AA '  a C A B BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' tam giác cạnh a  biết diện tích tam giác A ' BC Tính thể tích khối lăng trụ A B C Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm BC Ta có: ABC nên D A' AB  3; AI  BC  A ' I  BC 2S S A ' BC  BC A ' I  A ' I  A ' BC  BC AA '   ABC   AA '  AI C' AI  AA '  B' C A A ' I  AI  I  VABC A ' B 'C '  S ABC AA '  B Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ A 9a3 B Hướng dẫn giải: C 3a3 ABCD A ' B ' C ' D ' lăng trụ đứng nên BD  BD '2  DD '2  3a 3a ABCD hình vuông  AB  D A' B' C' 9a Suy B  S ABCD   V  B.h  S ABCD AA '  9a D' A B D C Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD ABCD có đáy ABCD hình vuông, tam giác AAC vuông cân AC  a Tính theo a thể tích khối hộp ABCD ABCD a3 a3 B VABCD ABC D  24 48 Hướng dẫn giải: A VABCD ABC D  C VABCD ABC D  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 16 D VABCD ABC D  a3 10 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SA   ABCD; CD  AD  CD  SD  S SDA  60 SCD,  ABCD  n SA  AD.tan 60  a a3  V  S ABCD SA  3 A D B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD   Biết góc SC mặt phẳng ABCD 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD  A 3a3 B 3a  C 2a3 D 6a3 Hướng dẫn giải: AC  S AB  BC  a SA   ABCD  SA  AC SCA  60  SC ,  ABCD  n   SA  tan 60  SA  AC tan 60  a AC 1 a3  V  S ABCD SA  a a  3 A B D C Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D , AD  CD  a, AB  3a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc SC với mặt đáy 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD A VS ABCD a3  2a3 B VS.ABCD  2a3 C VS ABCD  a3 D VS ABCD  Hướng dẫn giải: BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 28 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SA   ABCD  SC ,  ABCD  SC , AC  n SCA  45  S   SA  AC  AD  CD  a 1 2a  V   AB  CD AD.SA  3 A B D C Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy ACB  30o Hình chiếu vuông góc Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , AC  2a,n S lên mặt đáy trung điểm H cạnh AC SH  a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC A VS ABC a3  17 B VS ABC a3  C VS ABC a3  D VS ABC a3  Hướng dẫn giải: AB  AC.sin30 a  BC  a S 1 a3  V  AB AC.SH  A C H B Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác đều, BCD tam giác vuông cân D ,  ABC   BCD AD hợp với BCD góc 60 Tính thể tích khối tứ diện ABCD a3 a3 B VABCD  Hướng dẫn giải: A VABCD  C VABCD  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 D VABCD  a 3 29 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Gọi H trung điểm BC A Ta có tam giác ABC nên AH  BCD  ABC , BCD  AH  BCD AH  HD  AH  AD.tan 60  a a 2a ; BC  HD  3 a  V  S BCD AH  HD  AD.cot 60  C D H B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân A , SC  2a Hình chiếu vuông góc S lên  ABC trung điểm M cạnh AB , góc đường thẳng SC với mặt phẳng đáy o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC 2a3 15 A VS ABC  B VS ABC a3 15  C VS ABC 2a3  D VS ABC  3a3 15 Hướng dẫn giải: S B C A M M A B C SM   ABC  SC,  ABC   SC , CM   n SCM  60    CM  SC.cos 60 a 5; SM  a 15 1 2a3 15 Tam giác MAC vuông A  AC  2a  V  AB AC.SM  3 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B , BC  a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC A VS ABC a3 a3 B VS ABC   4 Hướng dẫn giải: C VS ABC BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3  D VS ABC a3  12 30 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Kẻ SH  BC Gọi I , J hình chiếu H S AB BC SAC ,  ABC  SH   ABC SI  AB, SJ  BC  n SIH  n SJH  45 SHI  SHJ  HI  HJ  BH đường phân giác ABC  H trung điểm AC a a3  VS ABC  S ABC SH  12 HI  HJ  SH  H A C J I B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân A , AB  a, SBC   ABC Hai mặt bên lại hợp với đáy góc o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC A VS ABC  a3 12 B VS ABC  a3 C VS ABC  a3 18 D VS ABC  7a 3 12 Hướng dẫn giải: S B B H H D C E D A A C E Kẻ SH  BC Do SBC  ABC  SH  ABC       SDH  n SEH  60 Kẻ HD  AB, HE  AC n Do tam giác ABC  SH  HD.tan 60 vuông cân A nên HD  HE  a H trung điểm BC a 1 a3  V  AB.AC.SH  12 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD A a3 B a3 C BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 D a3 31 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB SAB  SH  AB SAB   ABCD  SH   ABCD SH  S AB a a3   V  S ABCD SH  2 A D H B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy tam giác SAB cân S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD , biết rằng: đáy ABCD hình vuông cạnh a , góc mặt SBD mặt đáy 60 A VS ABCD  a a3 B VS ABCD  C VS ABCD  a3 12 a3 D VS ABCD  12 Hướng dẫn giải: S A D M O A M B D N O N B C C Gọi M trung điểm AB SAB   ABCD  SM   ABCD Gọi O giao điểm AC BD , N trung điểm OB  MN  BD    BD  SMN   BD  SN SM  BD   SNM  60 SBD,  ABCD  SN , MN   n  SM  MN tan 60  a a3  V  AB SM  12 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy tam giác SAB cân S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD , biết rằng: đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  a , góc mặt SAC mặt đáy 60 BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 32 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan a3 A VS ABCD  a3 B VS ABCD  a3 C VS ABCD  a3 D VS ABCD  Hướng dẫn giải: S A D N H M A M N D H B B C C Gọi M trung điểm AB SAB   ABCD  SM   ABCD Kẻ BH vuông góc với AC , gọi N trung điểm AH  MN  AC  MN  AC    AC  SMN   AC  SN SM  AC   SNM  60 SAC ,  ABCD  SN , MN   n 1 a BH a    BH   MN   2 BH AB BC  SM  MN tan 60  a a3  V  AB AD.SM  3 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, AB  BC  BD  a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD a3 A VS ABCD  5a3 B VS ABCD  5a3 C VS ABCD  D VS ABCD 11a3  Hướng dẫn giải: S D A A D M B C B C Gọi M trung điểm AB BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 33 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SAB   ABCD  SM   ABCD a a2 a3 SM  , S ABCD  2S ABD   V  S ABCD SM  2 Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , AB  3a, AD  2a, CD  a , tam giác SAD cân S , mặt phẳng SAD vuông góc với đáy, góc mặt phẳng SBC mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD A VS ABCD  4a3 B VS ABCD  2a3 C VS ABCD  5a3 D VS ABCD  a3 Hướng dẫn giải: S D A B M M D C C B A Gọi M trung điểm AD SAD   ABCD  SM   ABCD  SM  BC   BC  MC  BC   SMC   BC  SC SCM  60  SM  MC tan 60  a SBC ,  ABCD  SC , MC   n 1 4a  V   AB  CD  AD.SM  3 Dạng 3: Khối chóp Ví dụ Cho H khối tứ diện cạnh a Thể tích H bao nhiêu? A a3 B a3 12 C a3 12 D a3 Hướng dẫn giải: BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 34 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Gọi G trọng tâm tam giác ABC  SG  ABC   a a a   SG  SA2  AG  3 3 1 a a a  V  S ABC SG   3 12 S AG  C A G B Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp S ABC A a 11 a 11 B 36 12 Hướng dẫn giải: C a 11 D Gọi G trọng tâm tam giác ABC  SG  ABC  AG  S AB a  ; SA  2a 3  SG  SA2  AG  S ABC   a 11 24 a 33 AB a a 11   VS ABC  S ABC SG  4 12 C A G a a a3  V  36 B Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD có cạnh a , M trung điểm CD Tính thể tích hình chóp M ABC a3 a3 B VM ABC  24 16 Hướng dẫn giải: A VM ABC  C VM ABC  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 12 D VM ABC  a3 35 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Gọi G trọng tâm ABC Kẻ MH & DG D  DG   ABC   MH   ABC  MH  1 a DG  CD  GC  2 S ABC  AB a a3   V  S ABC MH  4 24 M C A H G B Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp S ABI A VS ABC  a3 41 24 B VS ABC  a3 11 24 C VS ABC  a3 31 24 D VS ABC  a3 21 24 Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC  SG  ABC   S  AB  a 33    SG  SA  AG  SA    3   2 1 a 11  VS ABI  VS ABC  S ABC SG  2 24 C A G I B Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tất cạnh a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD A V  a3 a3 B V  Hướng dẫn giải: C V  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 D V  a3 36 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Gọi O giao điểm AC BD  SO   ABCD S a a ; SO  SA2  AO  AC  2 1 a V  S ABCD SO  AB.BC.SO  3 AO  A D O B C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD A VS ABCD  a3 B VS ABCD  a2 C VS ABCD  a3 D VS ABCD  Hướng dẫn giải: Gọi O giao điểm AC BD , M trung điểm CD  OM  CD, SM  CD  a2 S SMO  60 SCD ,  ABCD  OM , SM   n a 3 a  V  S ABCD SO   SO  OM tan 60  A D B M O C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy Khi thể tích khối chóp là: a3 A a3 B 12 a3 C a3 D Hướng dẫn giải: BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 37 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Gọi O giao điểm AC BD , M trung điểm CD S xq  4S SCD  .CD.SM  2a.SM ; S d  AB  a 2 S xq  2S d  2a.SM  2a  SM  a A a  SO  SM  OM  a3 V  S ABCD SO  S D M O B C Dạng 4: Khối chóp phương pháp tỉ số thể tích Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi B ' C ' trung điểm AB AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D khối tứ diện ABCD bằng: A B C D Hướng dẫn giải: VAB 'C ' D AB ' AC ' AD   VABCD AB AC AD A B' C' B D C Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi A, B  trung điểm SA SB Mặt phẳng ABC   chia hình chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần bằng: A B C D Hướng dẫn giải: VS A' B ' D SA ' SB ' SC V    S A' B ' D  VS ABC SA SB SC VABCDA' B ' S A' B' A C B BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 38 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B , AC  a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA  a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng   qua AG song song với BC , cắt SC , SB M , N Tính thể tích khối chóp S AMN a3 a3 A VS AMN  B VS AMN  27 Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm BC C VS AMN 2a  27 D VS AMN 2a  S AC  a  AB  BC  a   & BC  MN & BC   SM SN SG    SB SC SI N VS AMN SM SN   VS ABC SB SC G A 4 1 2a  VS AMN  VS ABC  AB.BC.SA  9 27 C M I B Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A , AB  a Trên đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng  ABC lấy điểm D cho CD  a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , cắt BD F cắt AD E Tính theo a thể tích khối tứ diện CDEF A a 36 B a3 18 C Hướng dẫn giải: a3 VABCD  S ABC CD  DE.DA DC DE DC     DE.DA  DC  DA2 DA2 DA DA2 DF DC CMTT :   DB DB VCDEF DE DF a3     VCDEF  VABCD  VABCD DA DB 6 36 a3 24 D a3 12 D E F C A B BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 39 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N trung điểm SB SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S AMN S.ABD A B C D Hướng dẫn giải: VS AMN SA SM SN   VS ABD SA SB SD S N M D A B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi A ', B ', C ', D ' trung điểm SA, SB, SC, SD Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A ' B ' C ' D ' S.ABCD là: A B C D Hướng dẫn giải: S A' B' D' C' A B D C VS A' B 'C ' SA ' SB ' SC ' VS A' D 'C ' SA ' SD ' SC '   ;   VS ABC SA SB SC VS ADC SA SD SC  VS A' B 'C ' VS A' D 'C ' VS A' B 'C '  VS A' D 'C ' VS A' B 'C ' D '     VS ABC VS ADC VS ABC  VS ADC VS ABCD Ví dụ Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng   qua A, B trung điểm M SC Tỉ số A thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng là: B C 8 Hướng dẫn giải: BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D 40 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Kẻ MN & CD  N  CD , suy hình thang ABMN S thiết diện khối chóp V SM VS ABMN  VS ABM  VS AMN ; S ABM   VS ABC SC N 1  VS ABM  VS ABC  VS ABCD VS AMN SM SN 1    VS AMN  VS ABCD VS ACD SC SD M A 1  VS ABMN  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD 8 V  VABMNDC  VS ABCD  S ABMN  VABMNDC D O B C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB E cắt SD F Tính theo a thể tích khối chóp S AEMF a3 A 36 a3 B 18 Hướng dẫn giải: Gọi I  SO  AM  AEMF  & BD  EF & BD a3 C a3 D S a a3  VS ABCD  S ABCD SO  SM SF 1    VS AMF  VS ACD  VS ABCD SC SD 3 SO  OA.tan 60  VS AMF VS ACD M E I B F C a VS AEMF  VS AMF  VS AME  2VS AMF  VS ABCD  18 O A D Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA  a Gọi B ', D ' hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng  AB ' D ' cắt SC C ' Tính theo a thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' A 2a a3 B Hướng dẫn giải: 2a C 27 BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 D 18 41 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SB ' SA2 SC '   ;  SB SB SC VS AB 'C ' SB ' SC ' 1    VS AB 'C '  VS ABC VS ABC SB SC 3 VS AB 'C ' D '  VS AB 'C '  VS AC ' D '  2VS AB 'C ' S D' C' 2a  VS ABC  B' A D B C Ví dụ 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V với đáy hình bình hành Gọi C ' trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AC ' song song với BD cắt cạnh SB, SD B ', D ' Khi thể tích khối chóp S A ' B ' C ' D ' bằng: A V B 2V C V D V Hướng dẫn giải: Gọi O giao điểm AC BD , gọi I giao điểm SO AC ' Qua I kẻ B ' D ' song song với BD Khi mặt phẳng qua AC ' song song với BD mặt phẳng AB ' C ' D'   Ta dễ dàng nhận thấy I trọng tâm tam giác SAC nên Theo định lí Ta lét ta có S SD ' SI SB '    SD SO SB VSAD 'C ' SA SD ' SC ' 1    3 VSADC SA SD SC D' C' SI  SO I B' A B D O C VSAB 'C ' SA SB ' SC ' 1    3 VSABC SA SB SC VSADC  VSABC  VSABCD 1 V  VSAD 'C ' B '  VSAD 'C '  VSAB 'C '  VSABCD  2 BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 42 ... ABC  Ta có: ‒ SH chiều cao hình chóp ‒ Góc cạnh bên mặt đáy: n SAH   ‒ Góc mặt bên mặt đáy: n SIH   Š Hình chóp tứ giác đều: Hình chóp tứ giác đều: ‒ Đáy hình vuông ‒ Các mặt bên tam... Chú ý: 1/ Đường chéo hình vuông cạnh a d  a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d  a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c d  a  b  c , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa... https://www.facebook.com/thaydat.toan Š Hình chóp tam giác đều: Hình chóp tam giác đều: ‒ Đáy tam giác ‒ Các mặt bên tam giác cân Hình tứ diện đều: ‒ Đáy tam giác ‒ Các mặt bên tam giác Cách vẽ: ‒