Hình giảI tích kg_quách duy tuấn Hình giải tích trong không gian 1.[ĐHTCKTHN_95] Xác định l và m để mặt phẳng (P): 5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng a(3x 7y + z - 3) + b(x 9y 2z + 5) = 0 l = -15, m = -11 2.[ĐHSPHN2_00] Cho điểm A(1; -1; 1) và hai đờng thẳng (d 1 ): = = = tz ty tx 3 21 (d 2 ): =+ =++ 012 033 yx zyx CMR (d 1 ), (d 2 ) và A cùng thuộc một mặt phẳng Xây dựng mp (P) qua (d 2 ) và A, c/m (d 1 ) (P) 3.[ĐHNNI_95] Lập PT mp chứa đờng thẳng =+ = 0323 02 zyx zx và vuông góc với mp (P): x - 2y + z + 5 = 0 11x - 2y -15z 3 = 0 4.[ĐHKT_96] Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b , c > 0. Lập PT tổng quát của mp(ABC) và tính diện tích của tam giác ABC. S = 222222 accbba ++ /2 5.[ĐHNNI_96] Lập PT mp(P) chứa đờng thẳng (d 1 ) và song song với (d 2 ) (d 1 ): =+ = 0323 02 zyx zx (d 2 ): 1 5 2 3 1 1 + = = z y x 11x 2y -15z 3 = 0 6.[ĐHKTHN_97] Viết PT mp (P) đi qua A(1; 2; 1) và chứa đờng thẳng (d): 1 3 4 1 3 + = = z y x 15x 11y z + 8 = 0 7.[ĐH Nông Lâm_94] CMR hai đờng thẳng sau vuông góc với nhau (d 1 ): 32 1 1 z y x = = (d 2 ): =++ =++ 01832 0153 zyx zyx 8.[ĐHKT TPHCM_94] Lập PT đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng (d 1 ): 1 9 2 3 1 7 = = z y x (d 1 ): 3 1 2 1 7 3 = = z y x 4 9 1 3 2 7 = = z y x 9.[ĐH Nông Lâm TPHCM_95] Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng (d 1 ): x = 1 t, y = t, z = -t và (d 2 ): x = 2t, y = 1 t, z = t 2 /2 10.[ĐH Ngoại Ngữ_96] Viết PT đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau (d 1 ): x = -7 + 3t, y = 4 2t, z = 4 + 3t và (d 2 ): x = 1 + t, y = -9 + 2t, z = -12 t =++ =+ 0557211 06751817 zyx zyx 11.[ĐH Thăng Long_A96] Cho hai đờng thẳng (d 1 ): x = -y + 1 = z 1 và (d 2 ): -x + 1 = y - 1=z Tìm toạ độ điểm A thuộc (d 1 ) và B thuộc (d 2 ) để đờng thẳng AB vuông góc với (d 1 ) và (d 2 ) A(-1/4; 5/4; 3/4), B(1/4; 7/4; 3/4) 12.[ĐH Huế_97] Cho hai đờng thẳng (d 1 ): =+ =++ 01 03 zy zyx và (d 2 ): =+ =+ 01 0922 zy zyx Chứng tỏ (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) và viết PT đờng vuông góc chung của chúng =+ =++ 01 094 zy zyx 13.[HVKTQS-98] Viết PT tham số đờng vuông góc chung của AC và BD biết A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1) x = 45/17+ t, y = 45/17 t,z =1+ 7t 1 Hình giảI tích kg_quách duy tuấn 14.[ĐHSP TPHCM_94] Xác định hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên mp(P), biết rằng (d): =++ =+ 0432 05 zyx zyx (P): 3x 2y z + 15 = 0 =++ =+ 0215119 01523 zyx zyx 15.[HVCNBCVT_00] Viết PT hình chiếu của (d 2 ) theo phơng (d 1 ) lên mp(P), biết rằng (d 2 ): 1 9 2 3 1 7 = = z y x , (d 1 ): 3 1 2 1 7 3 = = z y x , (P): x + y + z + 3 = 0 =++ =+++ 05342 03 zyx zyx 16.[ĐHSP Hải Phòng_01] Viết PT hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d): 1 2 21 2 = = + z y x trên mp(Oxy) Tách một mp đi qua (d) không chứa z, Đ/S =++ = 042 0 yx z 17.[ĐH Mỏ_94] Lập PT đờng thẳng đi qua M(-4; -5; 3) cắt (d 1 ) và (d 2 ), trong đó (d 1 ): 1 2 2 3 3 1 = + = + z y x , (d 2 ): 5 1 3 1 2 2 = + = z y x =+++ =+ 0225137 053 zyx zx 18.[ĐHKTQD_95] Lập PT đờng thẳng đi qua A(-1; 2; -3), vuông góc với n = (6; -2; -3) và cắt đ- ờng thẳng (d): 5 3 2 1 3 1 = + = z y x 6 3 3 2 2 1 + = = + z y x 19.[ĐHTL_97] Viết PT đờng thẳng đi qua A(3; -2; -4) song song với mp(P): 3x 2y 3z 7=0 đồng thời cắt đờng thẳng (d): 2 1 2 4 3 2 = + = z y x =+++ = 0488176 025323 zyx zyx 20.[ĐHTL_98] Cho mp(P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đờng thẳng (d): =+++ =+ 0488176 02743 zyx zyx a. Xác định giao điểm A của (d) và (P) A(2; -5; 4) b. Viết PT đờng thẳng đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong (P) =+++ =+++ 097152711 01752 zyx zyx 21.[ĐHXD_98] Viết PT đờng thẳng (d) vuông góc với mp(P): x + y + z = 1 và cắt cả hai đờng thẳng (d 1 ): 11 1 2 1 z y x = + = , (d 2 ): =++ =+ 0122 042 zyx zyx =+ =+ 042 0132 zyx zyx 22.[ĐHTCKT TPHCM_95] CMR đờng thẳng (d): = =+ 012 05235 zyx zyx nằm trong mp(P): 4x 3y + 7z 7 = 0 23.[ĐHDL Phơng Đông_A00] Cho đờng thẳng (d): 1 1 23 1 + = = z y x và hai điểm A(3; 0; 2), B(1; 2; 1). Kẻ AA, BB vuông góc với đờng thẳng (d).Tính độ dài đoạn AB 11/ 14 24.[ĐHLHN_96] Tính chiều dài đờng cao hạ từ đỉnh D(4; -1; 0) của tứ diện ABCD biết A(1; 1; 1), B(-2; 0; 2), C(0; 1; -3) 39/ 186 25.[ĐH Kiến Trúc HN_98] Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2; 2; 4), A(-2; 2; 0), B(-5; 2; 0), C(- 2; 1; 1). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và BC 3/ 10 26.[ĐH Kiến Trúc HN_98] Cho hai đờng thẳng song song (d 1 ): 4 9 1 5 3 7 = = + z y x và (d 2 ): 4 18 1 4 3 + = + = z y x 2 Hình giảI tích kg_quách duy tuấn a. Viết PT mp(P) chứa (d 1 ) cà (d 2 ) 63x + 109y -20z + 76 = 0 b. Tính khoảnh cách giữa (d 1 ) và (d 2 ) 25 27.[ĐH Kiến Trúc HN_97] Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 1) đến đờng thẳng (d): 3 4 1 3 += = z y x 347/26 28.[ĐHNT_96] Tìm điểm A thuộc mặt cầu (V): x 2 + y 2 + z 2 -2x + 2z 2 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến mp(P): 2x 2y + z + 6 = 0 đạt GTNN, GTLN A 1 (-1/3; 4/3; -5/3), d min = 1/3, A 2 (7/3; -4/3; -1/3), d max = 13/3(HD: Xây dung đờng thẳng đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với mp(P), cắt mặt cầu tại A 1 và A 2 ) 29.[ĐHTH TPHCM_94] Cho đờng thẳng (d): = =+ 0sincos 0cossin zy zx a. Xác định vectơ chỉ phơng của (d) )1,cos,(sin = u b. CMR đờng thẳng (d) tạo với trục Oz một góc không phụ thuộc cos((d); Oz) = 1/ 2 30.[ĐEHY_D TPHCM_94] Xác định góc nhọn tạo bởi đơng thẳng (d) và mp(P), biết rằng (d): =+ =++ 0273 0724 zyx zyx (P): 3x + y z + 1 = 0 sin = 19 7 /77 31.[ĐHNT TPHCM_94] Lập PT mp chứa đờng thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S), biết rằng (d): = =+ 02 0308118 zyx zyx (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2x 6y + 4z 15 = 0 (P 1 ): 3x - 4y + 2z 10 = 0, (P 2 ): 2x - 3y + 4z 10 = 0 32.[HVQY_95] Lập PT mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 10x + 2y + 26z 113 = 0 và song song với hai đờng thẳng (d 1 ): 2 13 3 1 2 5 + = = + zyx , (d 2 ): 0 8 2 1 3 7 = + = + z y x (P 1 ): 4x + 6y + 5z 103 = 0, (P 2 ): 4x + 6y + 5z + 205 = 0 33.[ĐHSP Vinh_A99] Cho điểm I(1; 2; -2) và mp(P): 2x + 2y + z + 5 = 0 a.Lập PT mặt cầu (S) tâm I sao cho giao điểm của (S) và (P) là đờng tròn có chu vi bằng 8 (S):(x - 1) 2 + (y - 2) 2 + (z + 2) 2 = 25 b. CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với đờng thẳng ( ): 2x 2 = y + 3 = z Viết ( ) dới dạng tham số rồi thay vào PT của mặt cầu (S) dẫn tới PT có một nghiệm kép 34.[ĐHTL_00] Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 4 và mp(P): x + z = 2. CMR (P) cắt (S).Xác định toạ độ tâm và bán kính đờng tròn giao tuyến (C) của (P) và (S) (C) có tâm I(1;0;1),bán kính r = 2 35.[ĐH Kiến Trúc_94] Cho hai mp (P): 5x 4y + z 6 = 0, (Q): 2x y + z + 7 = 0 và đờng thẳng (d): =++ =+ 03 032 zyx zyx . Lập PT mặt cầu có tâm I = (d) (P) sao cho (Q) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20 (x - 1) 2 + y 2 + (z - 1) 2 = 110/3 36.[ĐHL_95] Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đờng thẳng ( ): 2 1 2 1 3 2 = = z y x và tiếp xúc với hai mp (P): x + 2y 2z 2 = 0, (Q): x + 2y 2z + 4 = 0 Do (P) song song với (Q) nên tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với A và B là giao điểm của ( ) với (P) và (Q) (x + 1) 2 + (y - 3) 2 + (z - 3) 2 = 1 37.[ĐHAN_98] Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mp(P 1 ) và (P 2 ), biết (d): =+ =+++ 01 01 zyx zyx , (P 1 ): x + 2y + 2z + 3 = 0, (P 2 ): x + 2y + 2z + 7 = 0 3 Hình giảI tích kg_quách duy tuấn (x - 3) 2 + (y + 1) 2 + (z + 3) 2 = 4/9 38.[ĐH Thái Nguyên_01] Cho bốn điểm A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2) a. CMR ABCD là hình tứ diện và có hai cặp cạnh đối bằng nhau b. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và CD d = EF = 4, với E, F là trung điểm AB, CD c. Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD x 2 + (y 4) 2 + (z 1/2) = 29/4 Chú ý: Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau đợc gọi là tứ diện gần đều. Trong tứ diện này, trọng tâm trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp; đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó. 39.[ĐHBK TPHCM_94] Cho tứ diện với bốn đỉnh A(0; 0; 2), B(3; 0; 5), C(1; 1; 0), D(4; 1; 2) a. Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnhD xuống mp(ABC) 1/ 11 b. Viết PT tham số của đờng cao nói trên. Tìm toạ độ hình chiếu D trên mp(ABC) H(43/11; 14/11; 23/11) 40.[HVKTQS_98] Cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD D(81/25; 13/5; 33/25), V = 8 41.[ĐH Cần Thơ_01] Cho A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3) a. Kiểm chứng A, B, C không thẳng hàng. Viết PT mp(P) chứa A, B, C. Tímh khoảng cách từ gốc O tới D. (P): x + 2y + 2z 9 = 0, d = 3 b. Tính diện tích tam giác ABC và thể tích OABC. S = 3/2, V = 3/2 42.[ĐHBKHN_96] Cho A(3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1) a. CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc b. Tính góc giữa đờng thẳng AD và mp(ABC) sin = 10 /5 c. Lập PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (x + 1) 2 + (y + 3/2) 2 + (z- 4) 2 =129/4 43.[ĐHSP Quy Nhơn_97] Cho M(1; 0; 2), N(1; 1; 0), P(0; 1; 2) a. Viết PT mp ( ) đi qua M, N, P 2x + 2y + z 4 = 0 b. Gọi A, B, C là giao điểm ( ) với Ox, Oy, Oz. Tính thể tích tứ điện ABCD và diện tích tam giác ABC V = 8/3, S = 6 c. CMR ba đờng thẳng AP, BM, CN đồng quy tại G, tìm toạ độ diểm G Ba trung tuyến đồng quy tại G(2/3;2/3;4/3) d. Gọi a 1 , a 2 , a 3 là góc tạo bởi OG với OCOBOA ,, . CMR cos 2 a 1 + cos 2 a 2 + cos 2 a 3 = 1 cosa 1 = cosa 2 = 1/ 6 , cosa 3 = 2/ 6 44.[ĐHSP Vinh_97] Cho hình lập phơng ABCDABCD có A trùng gốc toạ độ, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A(0; 0; 1). Điểm M, N thay đổi trên đoạn AB, BD tơng ứng sao cho AM = BN = a, với 0 < a < 2 a. Viết PT đờng thẳng MN t aa zt a yta a x 22 , 2 ,)21( 2 ==+= b. Tìm a để MN đồng thời vuông góc với AB và BD a = 3/2 c. Xác định a để đoạn MN nhỏ nhất và tính độ dài đoạn đó a = 3/2 , MN min = 3/3 d. CMR khi a thay đổi thì các đờng thẳng MN luôn song song với một mp cố định, viết PT mp đó Cho a hai giá trị đặc biệt để xây dựng mp cần tìm, chẳng hạn một mp cần tìm là y+z=0 4 Hình giảI tích kg_quách duy tuấn 45.[ĐHBKHN_98] Cho đờng thẳng (d): x = 1 + 2t, y = 2 t, z = 3t và mp(P): 2x y 2z +1=0 a. Tìm toạ độ các điểm M thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mp(P) bằng 1 M 1 (9; -2; 12), M 2 (-3; 4; -6) b. Xác định toạ độ điểm K đối xứng với I(2; -1; 3) qua đờng thẳng (d) K(4; 3; 3) 46.[HVKTQS_95] Cho A(-1; 3; -2) và B(-9; 4; 9) và mp(P): 2x y + z + 1 = 0. Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK nhỏ nhất. K(-1; 2; 3) 5 . Hình giảI tích kg _quách duy tuấn Hình giải tích trong không gian 1.[ĐHTCKTHN_95] Xác định l. 1; 1) x = 45/17+ t, y = 45/17 t,z =1+ 7t 1 Hình giảI tích kg _quách duy tuấn 14.[ĐHSP TPHCM_94] Xác định hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên mp(P),