1. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Giả sử có một điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với tốc độ góc . Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox trùng với một đường kính của đường tròn và có gốc trùng với tâm O của đường tròn. Ta thấy điểm P dao động trên trục Ox quanh gốc toạ độ O. Tại thời điểm t = 0, điểm M ở vị trí M0 được xác định bởi góc
CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN VỀ THỜI GIAN PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động tròn Giả sử có điểm M chuyển động trịn đường tròn theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với tốc độ góc Gọi P hình chiếu vng góc điểm M trục Ox trùng với đường kính đường trịn có gốc trùng với tâm O đường tròn Ta thấy điểm P dao động trục Ox quanh gốc toạ độ O Tại thời điểm t = 0, điểm M vị trí M xác định góc Sau t giây, tức thời điểm t chuyển động đến điểm vị trí điểm M xác định góc Khi tọa độ ta có: điểm P có phương trình Như vậy: Một dao động điều hịa coi hình chiếu chuyển động trịn xuống đường thẳng nằm mặt phẳng quỹ đạo Khi chất điểm chuyển động vịng vật dao động điều hòa thực dao động Tần số góc hình chiếu dao động điều hịa vận tốc góc chất điểm chuyển động trịn Vecto vận tốc gia tốc đường tròn lượng giác: Xét góc ta có: Khi Khi Khi Khi Trên hình vẽ ta thấy, vật chuyển động trịn nửa vịng trịn phía hình chiếu âm tức dao động điều hịa chuyển động theo chiều âm trục Ox, vật chuyển động trịn nửa vịng trịn phía hình chiếu tức dao động điều hịa chuyển động theo chiều dương trục Ox Vecoto gia tốc hướng vị trí cân Phương pháp đường trịn lượng giác BÀI TỐN: Một vật dao động điều hịa dọc theo trục Ox với phương trình Tính khoảng thời gian ngắn để vật từ điểm có li độ x1 đến điểm có li độ x2? Phương pháp giải: Phương trình dao động vật có dạng Bước 1: Vẽ trục Ox gắn vào đường tròn bán kính R = A Bước 2: Xác định vị trí x1 vịng trịn lượng giác chiều chuyển động Bước 3: Xác định vị trí x2 vòng tròn lượng giác chiều chuyển động (Chiều âm nằm phía đường trịn, chiều dương phía đường tròn lượng giác) Bước 4: Khi vật dao động điều hồ từ điểm x1 đến điểm x2 tương ứng đường tròn chất điểm chuyển động từ M1 đến M2 quét góc Bước 5: Tính góc Ví dụ mẫu: Một vật dao động trục Ox với phương trình thời gian ngắn để vật từ li độ Tìm khoảng đến li độ Hướng dẫn Vẽ đường trịn bán kính R = A = cm Thời gian ngắn để vật từ li độ đến li độ thời gian để vật theo chiều trực tiếp (chiều âm hình vẽ khơng lặp lại hay quay vịng) từ vật qt góc hình vẽ bên Khi đường trịn lượng giác Ta có: Lại có: Do Khi đó: II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Một chất điểm M chuyển động tròn qũy đạo tâm O bán kính cm với tốc độ m/s Hình chiếu điểm M trục Ox nằm mặt phẳng qũy đạo dao động điều hòa với tần số góc: A 30 (rad/s) B 0,6 (rad/s) C (rad/s) D 60 (rad/s) Hướng dẫn Ta có: v = 300 cm / s suy tần số góc: Chọn D Ví dụ 2: Một chất điểm M chuyển động tròn quỹ đạo tâm O bán kính R = cm với tốc độ v Hình chiếu điểm M trục Ox nằm mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 5(rad/s) Giá trị v bằng: A 10cm/s B 20cm/s C 50cm/s D 25cm/s Hướng dẫn Vận tốc vật Chọn B Ví dụ 3: Một chất điểm M chuyển động tròn quỹ đạo tâm O với tốc độ góc 50 cm / s Hình chiếu điểm M trục Ox nằm mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 10(rad/s) Biên độ dao động điều hịa bằng: A 5m B 0,2cm C 2cm D 5cm Hướng dẫn Biên độ dao động bán kính đường trịn Chọn D Ví dụ 4: Một chất điểm M chuyển động tròn quỹ đạo tâm O bán kính cm với tốc độ v cm /s Gọi P hình chiếu M lên trục Ox nằm mặt phẳng quỹ đạo Khi P cách O đoạn có tốc độ 20 cm / s A 10cm/s B 40cm/s C 50cm/s Hướng dẫn Tần số góc: Khi P cách O đoạn tốc độ Chọn B D 20cm/s Ví dụ 5: Một chất điểm M chuyển động tròn quỹ đạo tâm O với tốc độ 30 cm / s Gọi P hình chiếu M lên trục Ox nằm mặt phẳng quỹ đạo Khi P cách O đoạn 9cm có tốc độ 24 cm / s Biên độ dao động P A 10cm B 15cm C 18cm D 20cm Hướng dẫn Ta có: Lại có: Chọn B Ví dụ 6: [Trích đề thi THPTQG năm 2016] Một chất điểm chuyển động tròn đường trịn tâm O bán kính 10 cm với tốc độ góc rad/s Hình chiếu chất điểm lên trục Ox nằm mặt phẳng quỹ đạo có tốc độ cực đại A 15cm/s B 50cm/s C 250cm/s D 25cm/s Hướng dẫn Ta có: Chọn B Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình Tại thời điểm ban đầu vật có: A x = -2cm chuyển động theo chiều dương trục Ox B x = cm chuyển động theo chiều dương trục Ox C x = cm chuyển động theo chiều âm trục Ox D x = -2cm chuyển động theo chiều âm trục Ox Hướng dẫn Tại thời điểm ban đầu t = ta có: Do vật chuyển động theo chiều âm trục Ox Chọn D Ví dụ 8: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình thời điểm t = 0,5s vật có: B chuyển động theo chiều dương trục Ox chuyển động theo chiều dương trục Ox C chuyển động theo chiều âm trục Ox A Tại D chuyển động theo chiều âm trục Ox Hướng dẫn Tại thời điểm ban đầu t = 0,5s ta có: Do đó: vật chuyển động theo chiều âm trục Ox Chọn C Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình Tính từ thời điểm ban đầu, khoảng thời gian vật đến vị trí có li độ A B C lần thứ D Hướng dẫn Tại thời điểm ứng với điểm M0 vịng trịn lượng giác Tại thời điểm vật có li độ lần thứ ứng với điểm M vịng trịn lượng giác Ta có: Do Chọn C Ví dụ 10: Một vật dao động điều hồ dọc theo trục Ox với phương trình Thời gian ngắn vật từ điểm có li độ x = -6 cm đến điểm có li độ x = cm A 0,292s B 0,093s C 0,917s D 0,585s Hướng dẫn Thời gian ngắn vật từ điểm có li độ x = - cm đến điểm có li độ x = cm thời gian vật qt góc đường trịn lượng giác hình vẽ bên Do Khi Chọn A Ví dụ 11: Một vật dao động điều hịa theo dọc trục Ox với phương trình Khoảng thời gian ngắn vật từ điểm có li độ độ theo chiều dương đến điểm có li theo chiều âm A 2s B 1,33s C 1,5s D 1,167s Hướng dẫn Vị trí theo chiều dương điểm M1 vịng trịn lượng giác Vị trí theo chiều âm điểm M2 vòng tròn lượng giác Thời gian ngắn vật di chuyển từ x đến x2 thời gian ngắn vật chuyển động từ M1 đến M2 (khơng lặp vịng) Ta có: ; tương tự Do đó: Chọn D Ví dụ 12: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình Khoảng thời gian ngắn vật từ điểm có li độ A 0,237s B 0,075s đến điểm có li độ C 0,027s D 0,473s Hướng dẫn Khoảng thời gian ngắn vật từ điểm có li độ điểm M1 đường trịn) đến điểm có li độ (ứng với (ứng với điểm M2 đường tròn) khoảng thời gian ngắn vật chuyển động từ M đến M2 vòng tròn lượng giác biểu diễn hình vẽ bên Ta có Suy Chọn C Ví dụ 13: [Trích đề thi đại học năm 2013] Một vật nhỏ dao động điều hồ theo phương trình (trong t tính giây) Tính từ thời điểm t = 0, khoảng thời gian ngắn để gia tốc vật nửa gia tốc cực đại A 0,083s B 0,104s C 0,167s D 0,125s Hướng dẫn Ta có: Tại thời điểm ban đầu Như thời gian ngắn để gia tốc vật nửa gia tốc cực đại thời gian vật từ x = A đến Ta có Chọn A Ví dụ 14: Một vật nhỏ dao động điều hịa theo phương trình (t tính giây) Tính từ thời điểm t = 0, khoảng thời gian ngắn để tốc độ vật nửa tốc độ cực đại chuyển động theo chiều âm A 0,104s B 0,073s C 0,115s D 0,146s Hướng dẫn Tại thời điểm t = ta có: Khi Do Như thời gian ngắn tính từ thời điểm ban đầu đến vận tốc nửa tốc độ cực đại thời gian vật đến vị trí chuyển động theo chiều âm Khi vật chuyển động từ vị trí M1 đến vị trí M2 đường trịn lượng giác (hình vẽ trên) Ta có: Chọn A lần thứ Ví dụ 15: Một vật nhỏ dao động điều hoà với biên độ A = 10 cm Biêt khoảng thời gian ngắn hai thời điểm vận tốc vật lần vận tốc cực đại 0,25 (s) Gia tốc cực đại chất điểm có độ lớn A 17,546m/s2 B 1,7546m/s2 C 55,85cm/s2 D 0,5585m/s2 Hướng dẫn Ta có: Theo giả thiết Thời gian ngắn hai thời điểm vận tốc vật vận tốc cực đại khoảng thời gian vật từ vị trí lần đến vị trí hay từ điểm M1 đến vị trí M2 đường trịn lượng giác hình vẽ (hoặc từ M3 đến M4) (chú ý bạn chứng minh khoảng thời gian từ M M1 M2 M3 lớn ) Ta có: Do Chọn B Ví dụ 16: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Khoảng thời gian chu kỳ để vật có tốc độ nhỏ A tốc độ cực đại B C Hướng dẫn Ta có Dựa vào hình vẽ ta thấy vận tốc vật biểu diễn nét đậm Khi đó, vật quét góc D Chọn A Ví dụ 17: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Khoảng thời gian chu kỳ để vật có tốc độ nhỏ A tốc độ cực đại B C D Hướng dẫn Ta có Dựa vào hình vẽ ta thấy vận tốc vật biểu diễn nét đậm Khi đó, vật quét góc Chọn D Ví dụ 18: Một vật dao động điều hịa theo phương trình Trong giây vật quãng đường cm Hỏi giây thứ 2014, khoảng thời gian mà lực hồi phục sinh công âm bao nhiêu? A 0,3s B 0,75s C 0,25s D 0,5s Lời giải Sử dụng đường tròn lượng giác Ban đầu vật M0 1s đầu ứng với Ta có: vịng Tại M2014 lực phục hồi sinh công âm vecto lực ngược chiều với vecto vận tốc ứng với góc phần tư thứ thứ đường tròn Trong giây thứ 2014 vật quay rad hình Khoảng thời gian lực phục hồi sinh công âm chọn góc phần tư thứ ứng với Chọn B Ví dụ 19: Một vật dao động điều hịa theo phương trình Trong giây vật quãng đường cm Hỏi giây thứ 2014, khoảng thời gian mà lực hồi phục sinh công dương bao nhiêu? A 0,3s B 0,75s C 0,25s D 0,5s Lời giải Sử dụng đường tròn lượng giác Ban đầu vật M0 1s đầu ứng với Lực hồi phục sinh công dương vecto lực chiều với vecto vận tốc ứng với góc phần tư thứ thứ đường tròn + Trong giây thứ 2014 vật quay hình khoảng thời gian lực phục hồi sinh cơng dương góc ứng với Chọn C Ví dụ 20: Một lắc lị xo có dao động điều hịa với phương trình điểm t1, vật có vận tốc vật có vận tốc , gia tốc Tại thời Tại thời điểm , gia tốc Giá trị nhỏ khoảng thời gian A B , C Lời giải +) Tại thời điểm a, v vng pha nên ta có: D Do thời điểm lần thứ 3, tính từ biên âm đến vật có tốc độ lần tốc độ cực đại Chọn A Ví dụ 5: Một vật dao động điều hịa với phương trình Tính từ thời điểm ban đầu, khoảng thời gian ngắn để vật đến vị trí có gia tốc A 0,0167s B 0,105s C 0,033s D 0,33s Lời giải Tại thời điểm ban đầu ta có: Lại có: Do đó: Chọn C Ví dụ 6: Một vật dao động điều hồ với chu kì T Nếu chọn gốc thời gian t = lúc vật qua vị trí theo chiều dương nửa chu kì tốc độ vật cực đại thời điểm A B C D Lời giải Ta có: Khi Chọn D Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Gọi v max tốc độ cực đại vật trình dao động, v tốc độ tức thời chất điểm Trong chu kì, khoảng thời gian mà A B C D Lời giải Ta có: nên Khi Chọn B Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Gọi v max tốc độ cực đại vật trình dao động, v tốc độ tức thời chất điểm Trong chu kì, khoảng thời gian mà 0,333s Biết vận tốc vật gia tốc vật Biên độ dao động vật A 10cm B 12,5cm C 13cm D 15cm Lời giải Ta có: , nên Khi Ta có: Chọn B Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa quỹ đạo dài 40cm Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x – 10cm tăng, đến thời điểm vật đến vị trí biên lần Vận tốc vật thời điểm ban đầu A B C Lời giải Do Tại tăng nên v > D ... khoảng thời gian đặt biệt ta có: a) Thời gian vật từ vị trí cân (x = 0) đến điểm có li độ b) Thời gian vật từ vị trí biên dương (x = A) đến điểm có li độ c) Thời gian vật từ vị trí có li độ d) Thời. .. li độ đến điểm có li độ Thời gian Lời giải Thời gian ngắn vật từ điểm có li độ thời gian ngắn vật từ đến điểm có li độ VTCB từ VTCB Do ta có: Hay Ghi nhớ khoảng thời gian đặc biệt: Vật dao động... tính giây) Tính từ thời điểm t = 0, khoảng thời gian ngắn để gia tốc vật nửa gia tốc cực đại A 0,083s B 0,104s C 0,167s D 0,125s Hướng dẫn Ta có: Tại thời điểm ban đầu Như thời gian ngắn để gia