Bài giảng hàm số mũ và logarit

Biên soạn Trịnh Đình Triển – Khóa học VD VDC LIMB TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1 Công thức lũy thừa và logarit LŨY THỪA 1 LŨY THỪA ; ,a R n m Z  ta có thua so 1 ; 1;n m m n a a a a a a       + T[.]

Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB TĨM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN Cơng thức lũy thừa logarit LŨY THỪA LŨY THỪA: a  R ; n, m  Z ta có:  a.a   a n ; a  1; a  m  m a n thua so + Tính chất lũy thừa: a a  a m n mn   ; a m n a m n LOGARIT LOGARIT: Định nghĩa : a  b    loga b (a ,b  ;a  1) Tính chất : Với  a , b , c  ta có: log a (b c)  log a b  log a c ;(a  b)  a  b m m m m am am mn  a   a ;  b an bm   log a b  a  0  a      ;          a  a a  a CĂN THỨC : n b  a  an  b n log a b  logb c  log a c a n b  n ab ; ( n a ) m  n a m ; n m log a b  a logb c  c logb a log b a  log a b    log a b CHÚ Ý:  Logarit Nepe: ln x  loge x a  n m a m n log b a b log a    log a b  log a c c log c b log a b  log c a a na  ; a n  n am n b b n  1 Trong đó: e  lim 1    2.71 n   n  Logarit thập phân : log10 x  log x Hàm số mũ hàm số logarit HÀM SỐ MŨ Hàm số y  a x với a  ; a  gọi hàm số mũ Hàm có TXD: D  R Đao hàm: e x   e x ; a x   a x  ln a;      a   a n u  ln a  u Khảo sát: Như KSHS Chú ý: a  1: lim a x  ; lim a x   ; x  x   a  1: lim a   ; lim a x  x x  x  Đồ thị qua: A(0;1) B(1; a) HÀM SỐ LOGARIT Hàm số y  loga x với a  ; a  gọi hàm số logarit TXD: D  [0; ) Hàm số y  loga f ( x) có nghĩa  f ( x)  Đao hàm: 1 u (ln x)  ;  log a x    ;  log a u    x x ln a u  ln a Khảo sát: Như KSHS Chú ý: a  1: lim y  ; lim y   ; x 0 x   a  1: lim y  ; lim y  8 x 0 x  Đồ thị ln qua: A(1;0), B(a;1) Phương trình mũ phương trình logarit PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương trình Nếu b  thì: * a x  b  x  loga b * Tổng quát: a  b  f ( x)  loga b Nếu b  phương trình vơ nghiệm f ( x) Cách giải phương trình đơn giản a) Đưa số: a x  ab  x  b Khi a số , a  ta có : Tồng quát: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) b) Lấy logarit hai vế đặt ẩn phụ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Phương trình * loga x  b  x  ab ; a  0; a  * Tồng quát: loga f ( x)  b  f ( x)  ab Cách giải phương trình đơn giản a) Đưa số: loga x  loga b  x  b  f ( x)  g ( x)  Tổng quát: log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)    g ( x)   b) Lấy logarit hai vế đặt ẩn phụ Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB Bất phương trình mũ logarit BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bpt mũ bản:  Dạng: a x  b; a x  b; a x  b; a x  b ;  Xét bpt: a x  b : *Nếu b  bpt có tập nghiệm : S  R  x  log a b a  *Nếu b  : a x  b    x  log a b  a  Tồng quát:  f ( x)  log a b a  a f ( x)  b    f ( x)  log a b  a  Bpt mũ đơn giản: a Đưa co số:  x  b a  * a x  ab    x  b  a   f ( x)  g ( x) a  *TQ: a f ( x )  a g ( x )    f ( x)  g ( x)  a  b Đặt ẩn phụ: Đặt a x  t  , đưa bất phương trình đại số logarit hai vế BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bpt logarit bản: + Dạng: loga x  b;loga x  b;loga x  b;log a x  b  Xét bpt: log a x  b  x  ab a  log a x  b   b 0  x  a  a  Tồng quát:  f ( x)  a b a  log a f ( x)  b   b 0  f ( x)  a  a  Bpt logarit đơn giản: a Đưa số  x  b a  * log a x  log a b   0  x  b  a  * Tổng quát   f  x   g  x   a    g  x   log a f  x   log a g  x      f  x   g  x   a   f x         f  x   g  x   a    f  x   log a f  x   log a g  x      f  x   g  x   a     g  x   b Đặt ẩn phụ Đặt log a x  t , đưa bất phưong trình đại số logarit hai vế Một vài lưu ý quan trọng lũy thừa logarit * Lưu ý Phương trình mũ Khi số a có chứa ẩn (a  a( x)) : * a f ( x)  a g ( x)  (a  1)  [ f ( x)  g ( x)]  Một số trường hợp đặc biệt phải xét a  Bất phương trình mũ * a f ( x)  a g ( x )  (a  1)[ f ( x)  g ( x)]  * a f ( x )  a g ( x )  (a  1)[ f ( x)  g ( x)]  Với a  const Trường hợp a  a( x) ( chứa ẩn) nói chung phức tạp rườm rà, không *Lưu ý Khi số a có chứa ẩn (a  a( x)) Phương trình logarit  f ( x)  g ( x)  log a f ( x)  log a g ( x)   a  ; a  Bất phương trình logarit (a  1)[ f ( x)  g ( x)]  log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  0; g ( x)  0;a  (a  1)[ f ( x)  g ( x)]  log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  0; g ( x)  0; a  Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB LÝ THUYẾT NÂNG CAO Các kĩ thuật thường dùng I) Các bất đẳng thức thường dùng a) Bất đẳng thức bernoulies Cho số thực x ; r thỏa mãn x  1 ta có bất đẳng thức sau :  (1  x)r   rx r  r  Dấu "  " xẩy  x  r  , r   (1  x)r   rx  r  Dấu "  " xẩy  x  r  , r  b) Bất đẳng thức liên quan hàm mũ logarit Ta có số bất đẳng thức hay dùng sau :  ex   x  x  R Dấu "  " xẩy  x  (*) x2 xn    x  n  N 2! n! x2 x n 1 x2 x2n  e x   x    Hệ 2:  x     x  n  N ( dùng ) 2! (2n  1)! 2! (2n)! Hệ 1: e x   x  x x3 x2   ex   x  x  Chẳng hạn: n  ta có:  x  x x  ln x  x   x  hay  ln( x  1)  x e x 1  x   e x  x  1 x 1 x Hệ 4: e x  ex  x  R e1 x   x  x Hàm đặc trưng kĩ thuật liên quan Hệ 3:  Lý thuyết kĩ thuật đơn giản tập đa dạng khó Bản chất từ biểu thức gốc cho ta biến đổi phương trình , bất phương trình có dạng f (u)  f (v) f (u)  f (v) Sau khảo sát hàm biến f ( x) chứng minh f (x) đơn điệu khoảng giá trị u ; v từ suy u  v u  v ; ….Ta đến với ví dụ sau : Ví dụ 1: Có cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn  x  2020 x  x2  y  3y ? A 2020 B 1010 C D Giải: Phương trình  x  x   Hàm đặc trưng : f (t )  t  t có f '(t )   2t   t  nên đồng y y biến miền (0; ) mà x  ; y  f ( x)  f (3y ) suy x  3y Mà :  x  2020   3y  2020   y  log3 2020 , y  Z  y 0;1; ;6 , chọn D Ví dụ 2: Có số nguyên x cho với x tồn số thực y để 2.2 x  x  sin y  2cos A B C D y ? Giải: Phương trình  x 1 x2 cos y  sin y  2 x 1  ( x  1)  2cos y  cos y Hàm đặt trưng f (t )  2t  t Dễ thấy f '(t )  2t ln    t  R nên hàm đồng biến R Mà ta có :   f ( x  1)  f cos y  x   cos y Lại có:  cos ( y )   x  1;0 , chọn B Tuy nhiên thực tế lúc đưa dạng hàm đặc trưng chí khơng thể đưa , nhiên ta lại biến đổi “ gần giống” để kết Xét ví dụ sau làm rõ vấn đề : Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB Ví dụ 3: Có số thực m   5;5 thỏa mãn 4m  Z để phương trình :   x  m  ( x  m  1)  x  x  có nghiệm nghiệm thực ? A 24 B 25 C 26 D 27 Giải:  Đặt t  x  m   x  t  m Phương trình  (t  2)(t  1)  x3  x2  2  t  2t  t  x3  x2  t  2t  t  ( x  1)3  2( x  1)2  ( x  1) (*) Phân tích : Hàm đặt trưng f (t )  t  2t  t có f '(t )  3t  4t   (3t  1)(t  1) chưa biết dấu Vì t  x   m  chưa xác định miền Ta dùng hàm đặc trưng hai biến không miền giá trị tiêu chuẩn đánh giá Vì ta xử lý theo cách khác :    Đặt a  x  (*)  t  2t  t  a  2a  a  (t  a ) t  ta  a  2(t  a )   2t   4t    t  Ta có : t  ta  a  2(t  a )   a  a (2t  1)  (t  1)   a      Do (*)  t  a  x  m  x   m  x2  3x  ( x  1) Từ kẻ bảng biến thiên dễ dàng suy Để phương trình có nghiệm thực 4m  5 4m  4 tổng 25 giá trị , chọn B Ví dụ 4: Có giá trị ngun a 0;20 để phương trình (alog x  3)log a  x  vô nghiệm x ? A B C 10 D 11 Giải: Nếu dùng biến đổi thơng thường khó mà mị hàm đặc trưng Đối với dạng có hướng làm đặc thù sau :  Đặt alog x   t sử dụng cơng thức alogb c  clogb a alog x   t  xlog a   t  xlog a  t  Với a  vế trái khơng xác định nên phương trình vơ nghiệm , Xét a  ta có : t log a  x   t log a  t   x log a  x  Hiển nhiên x  ; t  ta có: Kết hợp đề cho , ta có hệ :  log a t 3  x Hàm đặc trưng f (t )  t log a  t  có f '(t )  (log a) t log a 1    a  1; t  Do : f (t )  f ( x)  t  x  x log a   x  log a  log( x  3) ln( x  3)   g ( x) Khảo sát g ( x)  0;  log x ln x ta suy g ( x)  log a vô nghiệm   log a    a  10 Kết hợp a  , chọn D Ví dụ Cho phương trình : log3 (a  b)  (a  b)3  3(a  b2 )  3ab(a  b  1)  Có cặp số tự nhiên (a; b) thỏa mãn phương trình cho ? A B C D vô số Giải : Ta tìm cách đưa ẩn a  b sau : PT  log3 (a  b)  (a  b)3  3(a  b)2  6ab  3ab(a  b  1)  ab 2  log3 (a  b)   (a  b)3  3(a  b)  3ab(a  b  3)   log    (a  ab  b )(a  b  3)    Hiển nhiên để có nghiệm a2  b2  a2  ab  b2  Tới ta đốn a  b  Tuy nhiên tách thành hàm đặc trưng mà phải đánh giá : ab log3   (a  b  3)  a  b  Dấu "  "  a  b  PT  a  b  , có cặp Chọn A   Nhận xét: Đây dạng toán đưa : f (u)  f (v)  k (u ; v). g (u)  g (v)  Trong k (u ; v) hàm phụ thuộc vào u ; v ln dương ln âm cịn k (u ; v). f (u)  f (v) . g (u)  g (v)   Tức : f (u)  f (v)  k (u ; v). g (u)  g (v)   f (u)  f (v) g (u)  g (v) Tới thường u  v !! Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB II) Bài tập vận dụng cao :  17       2018  Câu 1: Cho hàm số f ( x)  log  x   x  x   Tính T  f   f     f   ?   2019   2019   2019   2019 A T  B T  2019 C T  2018 D T  1019 Câu 2: Cho x ; y số thực dương thỏa mãn log 25 x a  b x x y   log15 y  log y Với a , b số nguyên dương , tính a  b ? A a  b  14 Câu 3: Cho hai số thực dương a ; b thỏa mãn 4 D a  b  34 C a  b  21 B a  b  log a  log b  log a  log b  108 bốn số log a , log b , log a , log b  108 số nguyên dương , tích ab ? A 10125 B 10320 Câu 4: Biết a  log30 10 ; b  log30 150 log 2000 15000  số nguyên Tính S  A S  D 10300 C 1028 x1a  y1b  z1 với x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 x2 a  y2b  z2 x1 ? x2 B S  C S  D S  Câu 5: Tìm m để phương trình log3 (3x  2m)  log5 (3x  m2 ) có nghiệm ? B m  1 A m  R C m  D Đáp án khác Câu 6: Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log2 ( x2  y )  log3 ( x  y) ? A B Vô số C D Câu 7: Có số nguyên x cho tồn số thực y , z thỏa mãn điều kiện log ( x  y )  log  x  y  z  ? A B C D Câu 8: Có số nguyên dương z cho tồn số thực x,y thỏa mãn : log  x  y   log  x3  y   log z ? A 210 B 211 C 212 D 213 Câu 9: Có giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : 4  16.4 x   m x  x   4m  4m  x     A B C D  m.4 x  m.4 x   m.4 x   với m tham số thực m Biết phương trình cho có nghiệm thực x Gọi T tổng tất các giá trị m thỏa mãn điều kiện , T thuộc khoảng ? Câu 10: Cho phương trình : x  A T   2;3 B T   0;1 C T  1;  D T  Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB Câu 11 : Có cặp số nguyên (a; b) thỏa mãn  a, b  20 cho đồ thị hai hàm số 1 1 y  x  y  x  cắt hai điểm phân biệt : b a a b A 340 B 342 C 361 D 324 Câu 12: Có giá trị nguyên y để phương trình 273 x A 12 B 27  xy C 11 1   ( xy  1).279 x có nghiệm x   ;3  ? 3  D Câu 13: Có cặp số nguyên dương (m ; n) cho m  n  14 ứng với cặp (m , n) tồn   ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  A 14 B 12 C 11 D 13 Câu 14: Có số nguyên a cho ứng với a , tồn số nguyên b  12;12 thỏa mãn 4a A b  3ba  65 ? B C D Câu 15: Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 127 số nguyên y thỏa mãn log3 ( x2  y)  log2 ( x  y) ? A 45 B 89 C 90 D 46 Câu 16 : Có giá trị nguyên x cho ứng với x giá trị thực y thỏa mãn : log  y  xy  x  1   log  y  y   log  y   ? A B C D Câu 17: Có số nguyên a  2;2021 để tồn số nguyên 5x cho a  x  A 1892 B 125 C 127 1  2 x  ? a D 1893 Câu 18: Có giá trị thực tham số m để bất phương trình sau có nghiệm ? log m   x  mx   log  x  mx    log m  A B C D Câu 19: Có số nguyên m  2021 để có nhiều cặp ( x ; y) thỏa mãn x  y   log x2  y  (4 x  y  m)  ? A 2017 B 2019 C 2020 D 2022 Câu 20: Có số nguyên b để với b tồn hai số nguyên a thỏa mãn  7a  2ab   bất phương trình : log3    4a  2ab  ? a 1   A 10 B C D Câu 21: Cho số thực dương x , y thỏa mãn 3(ex  1)   ln(2ex  y ) Giá trị biểu thức: ex  y P  x  y nằm khoảng ? A (4;5)  3 B 1;   2 C  0;1 3  D  ;2  2  Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB  y     Câu 22: cho số thực dương x;y thỏa mãn log 2021    1   log 2021     1  x y  x      Giá trị nhỏ P  x  y thuộc khoảng ? A (40;41) B (46;47) C (42;43) D (44;45) Câu 23: Xét tất số thực x , y cho 89 y  a6 x log2 a với số thực dương a Giá trị nhỏ biểu thức P  x2  y  x  y ? A  25 B  C 39 D  21 Câu 24: Cho số thực x , y , z thỏa mãn 2x  3y  5z  Biết tồn giá trị lớn P  x  y  z Po Giá trị Po nằm khoảng ? A [0;2] 2 5  C  ;3  2   5 B  2;   2 ak D 3;   bk  1  1 Câu 25: Cho hai số thực a ; b thỏa mãn 1    e  1   với k số nguyên dương  k  k p m Biết giá trị nhỏ | a  b | có dạng  với m , n , p , q  Z Mệnh đề sau ? q ln n A m  n  p  q B mq  np C m  p  n  q D p  m  n  q *Ghi : Các tập hàm đặc trưng hướng dẫn file riêng ! ... trình đại số logarit hai vế Một vài lưu ý quan trọng lũy thừa logarit * Lưu ý Phương trình mũ Khi số a có chứa ẩn (a  a( x)) : * a f ( x)  a g ( x)  (a  1)  [ f ( x)  g ( x)]  Một số trường... A m  R C m  D Đáp án khác Câu 6: Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log2 ( x2  y )  log3 ( x  y) ? A B Vô số C D Câu 7: Có số nguyên x cho tồn số thực y , z thỏa mãn điều kiện log...Biên soạn : Trịnh Đình Triển – Khóa học VD -VDC LIMB Bất phương trình mũ logarit BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bpt mũ bản:  Dạng: a x  b; a x  b; a x  b; a x  b ;  Xét bpt: a x  b : *Nếu