SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I TÓM TẮT LÍ THUYẾT Cho hàm số xác định trên D +Nếu thì +Nếu thì II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN[.]
SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Cho hàm số xác định D +Nếu +Nếu II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Ta thường gặp hai dạng toán sau: Bài toán Cho hàm số y=f(x) liên tục khoảng (a;b) (a -∞, b +∞) Hãy tìm (nếu chúng tồn tại) Cách giải Lập bảng biến thiên hàm số khoảng (a;b) dựa vào mà kết luận Nếu khoảng (a;b) có cực trị cực đại (hoặc cực tiểu), giá trị cực đại giá trị lớn nhất(giá trị cực tiểu giá trị nhỏ nhất) hàm số cho khoảng (a;b) Bài toán Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] có mợt sớ hữu hạn điểm tới hạn đoạn đó Hãi tìm Cách giải Để giải bài toán này , ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức là lập bảng biến thiên của hàm số đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận Cách giải 2.Ta có quy tắc sau đây: 1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …., xn của f(x) đoạn [a;b] 2) Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) 3) ; III BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3a trang 66 Sgk) đoạn [-4;4] Bài làm Ta có: , Cả hai giá trị này đều thuộc đoạn [-4;4] f(-4)=-41, f(-1)= 40, f(3)= 8, f(4)=15 Vậy Bài Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3d trang 66 Sgk) đoạn Bài làm Ta có: Trên đoạn Vậy max y = phương trình có nghiệm là 2x = ± , y = Bài Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số(Bài tập 3b trang 66 Sgk) đoạn [-10;10] Bài làm Ta có Bảng biến thiên x -10 - y(x) + 10 - + 132 72 0 Nhìn vào bảng biến thiên suy miền giá trị của y là [0;132] , Bài Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài làm Ta có Đặt t=sinx + cosx ( ) Khi đó : Ta có với ) với g(t) = với Bảng biến thiên: t - + g(x) -+ Nhìn vào bảng biến thiên suy miền giá trị của g(t) là Do f(x)≥0 nên ; Bài Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m cho a) Đạt GTNN b) Đạt GTLN Bài làm: Để phương trình có nghiệm Theo định lí Vi- et thì Ta có , Bảng biến thiên : m -∞ + -2 + +∞ F Do đó F lớn nhất = F nhỏ nhất = Bài Tìm GTLN và GTNN của hàm số : Bài làm Ta có : Đặt Suy ta có nên F(X) nghịch biến đoạn [0;1] Do đó GTLN của F(X) = F(0)=1, GTLN của F(X) = F(1)= Bài Cho phương trình : Gọi x1, x2 là các nghiệm Tìm GTLN của Bài làm: Để phương trình có nghiệm Theo định lí Vi – et ta có đoạn [-5;-1] Do đó đoạn [-5;-1] Bảng biến thiên m -5 -4 + -1 - A Vậy GTLN của A bằng Ta còn gặp bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến số Bài Cho Tìm max, của Bài làm Nếu y=0 thì S=0 Nếu y≠0 thì chia cả tử và mẫu của S cho , ta có với Ta có , Mặt khác Bảng biến thiên: t S -∞ - t1 + t2 - +∞ 0 Nhìn vào bảng biến thiên suy ra: , Bài Tìm giá trị nhỏ nhất của Với a,b≠0 Bài làm Đặt Thì Khi đó Suy ra: X≥2 X≤-2 Bảng biến thiên X F , -∞ - +∞ -2 + -2 Giá trị nhỏ nhất của F = -2 +∞ +∞ Bài 10 Cho x,y≥0 và x+y = Tìm GTLN, GTNN của Bài làm Từ giả thiết suy Ta có Đặt xy = t ( ), suy Bảng biến thiên Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra: GTLN của S bằng 1; GTNN của S bằng Bài 11 x≥0 Cho hai số thực x, y thoã mãn : y≥1 x+y = Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : P = x3 + 2y2 +3x2 + 4xy - 5x Bài làm x≥0 x + y = => y = - x Ta có => ≤ x ≤ y≥1 2 P = x + x – 5x + 2(y +2xy + x ) = x3 + x2 – 5x + 2(x + y)2 = x3 + x2 – 5x + 18 Xét f(x) = x3 + x2 – 5x + 18 ; f’(x) = 3x2 + 2x – ; f’(x) = ; loại Ta có f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20 Vậy GTLN của P bằng 20 ; GTNN của P bằng 15 Bài tập tự giải: Bài 1.Với giá trị nào của m thì hàm số: có GTNN lớn 1? Bài 2.Tìm p,q để giá trị lớn nhất của hàm số đoạn [-1;1] là bé nhất Bài Cho x, y > và x + y =1 Tìm GTNN của Bài Giả sử có nghiệm x1 , x2 Tìm p ≠ cho S = x14 + x24 nhỏ nhất