Su dung dao ham vao giai toan

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán “Tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiêm” là một bài toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào c[r]

SỬ DỤNG SỰ ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán “Tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiêm” là bài toán quan trọng và thường gặp đề thi tuyển sinh vào các trường Đạị học và Cao đẳng Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng túng gặp bài toán này gặp khó lúc giải bài toán vì thường gặp khó điều kiện phát sinh giải toán Trong chuyên đề này tôi trao đổi cách vận dụng đạo hàm để giải bài toán thuộc dạng trên II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lí thuyết: Trước tiên ta xét các mệnh đề sau suy luận từ định nghĩa hàm số đơn điệu và các kinh nghiệm giải toán: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D  f ( x ) m max f ( x) xD xD 1) Phương trình: f(x) = m có nghiệm x D f ( x) m f ( x) m có nghiệm x D  xD 2) Bất phương trình: 3) Bất phương trình: 4) Bất phương trình: f ( x) m f ( x) m nghiệm đúng x  D  mxax D f ( x) f ( x) m có nghiệm x D  m mxax D f ( x) f ( x) m nghiệm đúng x  D  m min xD 5) Bất phương trình: 6) hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D thì f (u )  f (v)  u v (u , v  D) Phương pháp giải toán: Để giải bài toán tìm giá trị tham số m để phương trình(PT), bất phương trình(BPT) có nghiệm ta có thể thực theo các bước sau:  Biến đổi PT(BPT) dạng: f(x) = g(m) (hoặc f ( x ) g (m), f ( x ) g (m) )  Tìm tập xác định D hàm số f(x)  Lập bảng biến thiên hàm số f(x) f ( x) , max f ( x) xD  Xác định: x  D  Vận dụng các mệnh đề đã nêu mục rút kết luận cho bài toán Lưu ý: Trong trường hợp PT(BPT) chứa các biểu thức phức tạp ta làm sau  Đặt ẩn số phụ t =  ( x) Từ điều kiện ràng buộc ẩn x ta tìm điều kiện cho ẩn t  Đưa PT(BPT) ẩn số x PT(BPT) theo ẩn số t Ta f(t) = g(m) f (t ) g (m), f (t ) g (m)  Lập bảng biến thiên hàm số f(t)  Từ bảng biến thiên hàm số f(t) và các mệnh đề đã nêu mục rút kết luận bài toán Một số ví dụ minh họa x  x   m( x  2)  m  Thí dụ 1: Chứng minh rằng: phương trình luôn có nghiệm thực phân biệt (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007) Giải Điều kiện: x 2 x  x   m( x  2)  ( x  2)( x  x  32  m) 0 ta có:  x 2   x  x  32 m(*) đặt f(x) = x3 + 6x2 – 32 ta có f’(x) = 3x2 + 12x > với x > bảng biến thiên x f’(x) +   f(x) Từ bảng biến thiên và mục 1) ta có m > (*) luôn có nghiệm x > Vậy bài toán chứng minh Thí dụ : Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình x   m x  2 x  có nghiệm(trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007) Giải Điều kiện : x 1 x x2  x x 3  m 2 3  m 2 2 4 x 1 ( x  1) x 1 x 1 x   m x  2 x  x x  với x 1 ta có t 0 thay vào phương trình ta m 2t  3t  f (t ) Đặt f '(t ) 0  t  ta có : f '(t ) 2  6t ta có : t 4 t f’(t) +  f(t)  Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm Thí dụ : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : x  mx  2 x  (*) (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006) m Giải : vì x = không là nghiệm nên Điều kiện : 3x  x  (*)  x  x  1mx  m  x 3x  x  3x  f ( x)  f '( x)   x 0 x x Xét ta có Bảng biến thiên x  x  f’(x)  + +  f(x)   m Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì 2 Thí dụ 4: Cho phương trình : log x  log x   2m  0 (1) a Giải phương trình m =  1;3   b Tìm m để phương trình có ít nghiệm trên  (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2002) Giải t  t  2m  0 (*) Đặt t  log x  điều kiện : t 1 ta : x   1;3   t  [1;2] 2 a m = ta : t  t  0  t 2  t  ( L)  log x  2  log 32 x  4  x 3 t2  t  (*)  f ( t )  m x  [1;3 ]  t  [1;2] b ta có : Bảng biến thiên t f’(t) + f(t) Từ bảng biến thiên ta có : m 2 (1  x )(3  x )  m  x  x  Thí dụ : Tìm m để bất phương trình : nghiệm đúng   x    ;3   với Giải  2   x    ;3  t   0;    t  (1  x)(3  x)   Đặt thay vào bất phương trình ta f (t ) t  t  m t f’(t) + 49  14 f(t) Từ bảng biến thiên ta có : m  Thí dụ : Giải hệ phương trình Giải (1)  x3  3x    y 1  y 1  x3  x ( y  4) y  (1)  :  y  x  (2) (Đk : y  )xét hàm số f (t ) t  3t ta có f '(t ) 3t   t Vậy f(t) luôn đồng biến trên R f ( x)  f ( y  1)  x  y   x  y  ( x 0) kết hợp với (2) ta có :   x  y 1    y x 1 2  x  y  y  x     y x 1  ( x  y )( x  y  1) 0     y x 1  x  y    x  y   x  y    y 0       y   y  y  x  x  0   1 1  ;   ; (0;  1) 2  Vậy hệ phương trình có nghiệm là  Thí dụ : Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với x  [  1;3] Giải : Đặt  x y   1 x     x   x  (1  x)(3  x) m t   x   x  t 4  (1  x)(3  x)  (1  x)(3  x) t  Với x  [  1;3]  t  [2;2 2] Thay vào bất phương trình ta : m  t  3t  Xét hàm số f (t )  t  3t  ta có f '(t )  2t  f '(t )  2t  ta có f '(t ) 0  t   2 t f’(t) -2 f(t) 2  12 Từ bảng biến thiên ta có m 6  12 thỏa đề bài Thí dụ : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: √ x3 −7 x +m=2 x −1 Giải: Với ĐK x ≥ 1/2 , phương trình đã cho ⇔ x − x+ m=4 x −4 x+1 ⇔ x3 – 4x2 – 3x – = – m <=> f(x) = - m (1) Xét hàm số f(x) trên ¿ , ta có x 1/2 f ’(x) = 3x2 – 8x – ; f ‘(x) = + f’(x) ⇔ ⇔ + _ -27/8 x=3 x=3 + ¿ x=−1/3(loai) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ f(x) ¿ x=−1/3( loai) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ -19 _ f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8 * BBT (hình bên) Từ BBT suy (1) có hai nghiệm trên ¿ (tức phương trình đã cho có hai nghiệm)   19  m  27 27  m 19 8 11 Thí dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m( √ 3+ x+ √ − x )+ √15+ x − x ≤ m− Hướng dẫn: * ĐK: −3 ≤ x ≤ * Đặt t=√ 3+ x+ √5 − x , √2 ≤ t ≤ −8 t 2− 11 t +3 ≤ m− ⇔ ≤ −2 m ⇔ g(t )≤ −2 m Nên (1) trở thành: mt + 2 t −2 * Khảo sát biến thiên hàm số g(t) trên đoạn [ √2 ; ] , Suy ra: √ 15+2 x − x 2= t * Lập BBT và từ BBT suy các giá trị cần tìm Bài tập làm thêm : 2 Bài Tìm điều kiện m để phương trình 1- x + - x = m 1) có nghiệm thực nhất, 2) có nghiệm thực Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực nhất: x + 1- x + 2m x(1- x) - 24 x(1- x) = m3 Bài Tìm điều kiện m để phương trình phân biệt  x   x  (1  x )(8  x) m Bài Tìm m để phương trình : Bài Tìm m để phương trình x2 + 2x - m = 2x - có nghiệm thực x - + 3- x - Bài Tìm điều kiện m để phương trình 3x2  2x  Bài Tìm a để phương trình : có nghiệm (x - 1)(3 - x) = m có nghiệm thực x- x+2 - m +2= x +2 x- có nghiệm thực  x   ax có nghiệm 1 + x+ = m Bài Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thực 4 Bài Tìm điều kiện m để phương trình √ x + √ x +2 √ 6− x+ √ − x=m có hai nghiệm x+ x+ thực phân biệt (A-2008) x + x - + x + x - = m có nghiệm Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình thực Bài 11 Tìm điều kiện m để phương trình nghiệm thực x+6 x- 9+ x- x- = Bài 12 Tìm điều kiện m để phương trình thực 16 - x2 - m 16 - x2 x+m có - 4= có nghiệm x4 + 4x + m + x4 + 4x + m = có nghiệm thực Bài 13 Tìm m để phương trình 3x2 - 2x - Bài 14 Chứng tỏ phương trình giá trị m = 2x - + mx (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3) luôn có nghiệm thực với x +1 =m x- có nghiệm thực Bài 15 Tìm m để phương trình 3 Bài 16 Tìm m để phương trình - x + + x = m có nghiệm thực Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện m để phương trình: ( m + x2 - ) - x2 + = - x4 + + x2 - - x2 có nghiệm thực Bài 18 Tìm m để phương trình m x + = x + m có nghiệm thực phân biệt a ( x  1)  Bài 19: Tìm giá trị lớn a để bất phương trình : có ít nghiệm Bài 20 : Tìm m để x  [0; 2] thỏa mãn bất phương trình : a ( x  1)  a sin x log x  x  m  log ( x  x  m) 5 2 Bài 21 : Tìm m để bất phương trình : log ( x  x  m)  log ( x  1)  nghiệm đúng với x  (2;3) Bài 22 : Tìm tất các giá trị tham số a để bất phương trình : a x 1  (2a  1).(3  ) x  (3  5) x  nghiệm đúng với : x  Giáo viên thực Đinh Văn Thắng