Su dung dao ham chung minh BDT

Trong các môn học ở trường phổ thông cùng với môn Văn-Tiếng việt, môn Toán có vị trí rất quan trọng. Toán học, với tư cách là môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới thực. Toán h[r]

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT

Phần I Đặt vấn đề A Lyù chọn đề tài.

Nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường khối lớp nhiệm vụ giáo viên, đặc biệt vấn đề chất lượng học sinh lớp 12 Là giáo viên tham gia giảng dạy mơn tốn lớp 12, năm qua trăn trở làm để nâng cao chất lượng môn Tôi cho người thầy phải nâng cao chất lượng lên lớp, trọng đổi phương pháp dạy học, tích cực kiểm tra theo dõi sát việc học tập học sinh Từ người thầy uốn nắn, giải đáp vướng mắc cho em điều chỉnh phương pháp dạy học cho phù hợp Đồng thời người thầy phải thường xuyên ôn tập hệ thống kiến thức, phân loại tập, hình thành phương pháp kỹ giải toán cho em học sinh

Trong môn học trường phổ thơng với mơn Văn-Tiếng việt, mơn Tốn có vị trí quan trọng Tốn học, với tư cách môn khoa học nghiên cứu số mặt giới thực Tốn học có hệ thống kiến thức phương pháp nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt lao động Nó cơng cụ cần thiết cho môn khoa học khác để tiếp tục nhận thức giới xum quanh, đồng thời giúp hoạt động có hiệu thực tiễn đời sống Tốn học có nhiều tác dụng việc phát triển trí thơng minh, tư động lập, linh hoạt, sáng tạo lĩnh vực hoạt động người Tốn học cịn góp phần giáo dục y chí đức tính tốt như: cần cù, nhẫn nại, tinh thần vượt khó,

Ứng dụng đạo hàm mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng Tuy nhiên, thời gian có hạn trước hết tơi trình bày chun đề: “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức” Nhằm giúp em học sinh lớp 12 củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ ứng dụng đạo hàm việc giải tốn sơ cấp, góp phần nâng cao chất lượng môn chất lượng dạy học nhà trường phổ thông

B Phạm vị ứng dụng.

Đề tài áp dụng chương trình tốn lớp 12, Ơn thi Đại học, Cao đẳng Bồi dưỡng học sinh giỏi toán

Các tập ứng dụng đạo hàm đa dạng, phong phú, địi hỏi học sinh phải nắm chăc kiến thức có kỹ tổng hợp định Cho nên từ đầu giáo viên ôn tập cho học sinh tập tổng hợp nhiều em khó tiếp thu học, dẫn đến kết học thấp

Vấn đề đặt người thầy phải dạy tập liên quan đến ứng dụng đạo hàm để chứng minh BĐT để đối tượng học sinh có khả tiếp thu được, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh khá, giỏi đạt kết cao

Sau xin đưa số nội dung mà thực hiện, áp dụng đạt hiệu định giảng dạy

Để học sinh làm tập ứng dụng đạo hàm, trước tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, đồng biến, nghịch biến, cực trị GTLN, GTNN hàm số

Phần III Phân loại tập phương pháp giải. Dạng I Hàm số f(x) cho dạng tường minh.

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức f(x)>0 (hoặc f(x)0), xK

Phương pháp:

- Bước 1: Khảo sát hàm số y=f(x) tập K

- Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên, suy f(x)>0 (hoặc f(x)≥0), xK. Bài tập mẫu

Lời giải

a) Xét hàm số f x( )ex x1, x 0, ta có:

'( ) x 0,

f x e    x  f(x) đồng biến khoảng (0; +)

f(x)>f(0)=0, x>0 ex x 0,  x

b) Xét hàm số f x( ) ln(1 x) x x, 0, ta có:

1

'( ) 0,

1

x

f x x

x x

     

   f(x) nghịch biến khoảng (0; +)

f(x)<f(0)=0, x>0 ln(1x) x0, x 0.

c) Xét hàm số

2 x

( ) osx+ 1,

2

f x c   x

, ta có:

'( ) sinx+x

f x  f x''( ) 1  cosx>0, x>0 f’(x) đồng biến khoảng (0; +)

f’(x)>f’(0)=0x>0f(x) đồng biến khoảng (0; +) f(x)>f(0)=0, x>0

2 x

osx+ 1,

2

c   x

d) Hs làm tương tự

Bài Chứng minh rằng: a) x (0; )2

  

sinx+tanx>2x

b) Cho tam giác ABC nhọn, ta có: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2 Lời giải

a) Xét hàm số f(x)=sinx+tanx-2x, x (0; )2

  

, ta có: Bài Chứng minh rằng:

a) ex>1+x,  x>0

c)

2 x

osx>1-2

c

,  x>0

b) ln(1+x)<x,  x>0

d) sinx<x<tanx,  x (0; )2

2

1 2(1 osx )

'( ) osx+ 2 0, (0; )

cos x osx osx

c

f x c x

c c

 

       

f(x) đồng biến khoảng (0;/2)f(x)>f(0)=0, x (0;/2) x (0; )2

  

, sinx+tanx>2x b) Do tam giác ABC nhọn theo chứng minh trên, ta có:

sinA+tanA>A sinB+tanB>B sinC+tanC>C

Cộng vế theo vế, ta được: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>A+B+C=2

Bài Chứng minh rằng:  x>0,

2

2

x x

e   x

, (ĐH Kiến trúc –HN, 1998) Lời giải

Xét hàm số

2

( ) 1,

2

x x

f x e  x   x

, ta có:

'( ) x

f x e  x f x"( )ex1, x 0f’(x) đồng biến (0; +)f’(x)>f(0)=0

f(x) đồng biến (0; +)f(x)>f(0)=0, x>0

2

2

x x

e   x

,  x>0 Bài Chứng minh rằng

2

-x

) 1 , x [0; 1]

2 e

b) -x , x [0; 1]

1+x 2(1 )

x x

a x e x

x x

x



      

      

Lời giải.

a) Hs tự chứng minh b)

-x e -x

1+x



, x[0;1] (Hs tự giải) Ta chứng minh:

-x

e

1 , x [0; 1]

1+x 2(1 )

x x

x

    

 sau:

Theo kết trên, ta có

2

1 2

1 2(1 ) 2(1 )

x

e x x x x

x x x x



  

  

   

Ta chứng minh:

2 4

2

4

2 2

1 2 2

2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

2 0, [0;1]

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x

   

         

  

     

Vậy, BĐT Bài

(BĐT Bec-nu-li) b) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng:

3 3

3 3

a b c a b c

b  c  a  b c a

Lời giải

a) Xét hàm số f(x)=x-x+-1,  x>0, ta có

f’(x)= x-1-=( x-1-1)>0>1, x>1 <0, x<1

Bảng biến thiên

x +∞ f’(x) - +

f(x)

f(1)

Do đó: f(x)>f(1)=0, x>0>1 (hoặc <0) xx-+1,  x>0

a) Áp dụng kết quả, ta có:

3

2

3

3

3

( )

2

3

2

3

2

a a a

b b b

b b

c c

c c

a a

   

   

   

Cộng vế theo vế ta được:

3 3

3 3

3

( 1)

2

a b c a b c

b  c  a  bca 

Ta chứng minh:

3

( 1) ( )

2 2

a b c a b c a b c

b ca b c a  bc a  .

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:

3

1

( )

2 2

a b c a b c

b c a  b c a 

Suy Đpcm Bài tập tự luyện

Bài 6* Chứng minh tam giác ABC ta có:

2 2

sin sin sin 3( )

2

A B C

Bài Chứng minh rằng:

2( 1) 1, ln

1

x

x x

x

   



Bài Chứng minh rằng:

ln

0, 1,

x

x x

x x

    

Bài Chứng minh rằng:  x 1, ln(x22x2) ln( x21) 1

a) Khảo sát hàm số f(x)

b) Chứng minh rằng: ( ) , 0, \ 0 

n n n

a b a b

a b n

 

    

Bài 11 Chứng minh rằng:

2 +2

1 os x , [0; ]

4

x c  x 

    

Bài 12 Chứng minh rằng:

2-n

n n n

os x+sin x , (0; ), , 2

c   x  n n

Bài 13 Chứng mih rằng: log (x x1) log ( y y1), (1x y) Bài 14 Chứng minh rằng:  t 0, lnt  t

Bài 15 Chứng minh rằng: e2x>2(x2+x),  x>0

Bài 16 Chứng minh rằng:

2

4

sinx , [0; ]

4

x x x 

 

   

Dạng II Hàm số f(x) không cho dạng tường minh.

Phương pháp:

- Bước Biến đổi bất đẳng thức đưa dạng f(t)>0 (hoặc f(t)≥0 ) với t=u(x) tập K

- Bước Khảo sát hàm số f(t) tập K

- Bước Dựa vào bảng biến thiên, suy f(t)>0 (hoặc f(t)≥0), xK Bài tập mẫu

Bài 17 Chứng minh rằng:

3 2sin t anx 2

2 2 , (0; )

2

x

x  x 

   

Lời giải

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:

1 sinx+ t anx+1 2sin t anx 2sin t anx 2

2 x 2 x

  

Ta chứng minh:

1 3

sinx+ t anx+1> sinx+ t anx> , (0; )

2 2x 2x x



   

Xét hàm số

3

2

1

( ) sinx+ t anx- , (0; )

2 2

1 3 3(2 2cos )

'( ) osx+ 0, (0; )

2cos x 2 osx 2 2cos

f x x x

x

f x c x

c x





  



       

f(x) đồng biến (0;



)f(x)>f(0)=0, x(0;



) 

1

sinx+ t anx+1> 1, (0; )

2 2x x

   

Bài 18 Cho tam giác ABC có ABC<900 Chứng minh:

2cos3 cos 2 osC

C C

c

  

3

3

8cos 8cos 6cos

2 osC

8cos 8cos 8cos

C C C

BDT

c

C C C

  

 

    

Đặt t=cosC, 600C<900 nên 0<t=cosC

1

BĐT8t3-8t2-8t+50, (0<t

1 2)

Xét hàm số f(t)=8t3-8t2-8t+5, (0<t

1 2)

f’(t)=24t2-16t-8=8(3t2-2t-1)

Bảng biến thiên t

0

1 2

f’(t)

-f(t)

f(

1 2)

Do đó: f(t)f(

1

2)=0BĐT chứng minh.

Bài 19 Chứng minh rằng: 4sinx 2cosx 3 Lời giải

Do 0s inx , osx 1c  nên sinx sin x, osx2 c cos x2 , ta có: 4s inx 2cosx 4s in x2 2cos x2

  

Ta chứng minh: 4s in x2 2cos x2

 

Đặt t2sin x2 , BPT

2 3 3 2 0, (1 2)

t t t t

t

       

Xét hàm số f(t)=t3-3t+2, (1t2)

f’(t)=3(t-1)0, t[1; 2]f(t) đồng biến đoạn [1; 2]f(t) f(1)=0, t[1; 2]BĐT chứng minh

Bài 20 Chứng minh rằng:

a) n3,nn1 (n1)n, (ĐH An ninh, 2000)

b)  n 2, ln2nln(n1) ln(n1)

Lời giải

a) Lấy ln hai vế ta được: (n+1)lnnnln(n+1)

ln ln( 1)

n n

n n

 



Xét hàm số

ln

( ) t, ( 3)

f t t

t

2 ln

'( ) t 0,

f t t

t



   

f(t) nghịch biến [3; +∞)f(n+1)<f(n), n3

ln ln( 1)

n n

n n

 

 , n3 (Đpcm)

b)

ln ln( 1)

2,

ln( 1) ln

n n

n

n n

   



Xét hàm số

ln( 1)

( ) ,( 2)

ln

t

f t t

t



 

… Hs tự giải tương tự…

Bài 21 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh:

osA tan osB tan osC tan

c A c B c C

Lời giải

Xét hàm số f x( ) cosxtanx-x, x (0; )2



  

sinx

'( ) tanx+ -1>0, x (0; ) 2 cosx cos x

f x   

f(x) đồng biến khoảng (0;



) cosxtanx>x, x (0; )2

  

Do đó:

osA t anA>A; osB t anB>B; osC t anC>C

osA t anA+ osB t anB+ osC t anC>A+B+C= >3

c c c

c c c 



Đpcm

Bài 22 Cho

,

2

x y

x y 

   

  

 Chứng minh rằng:

ysinx os(x+y)<

xsiny

c

Lời giải

Ta có: x 2y x y y cos(x+y)<cos(2 y) siny

   

           

Ta chứng minh:

2 ysinx

siny< sin ysinx<0

xsiny  x y , x (0; )2

  

Xét hàm số

2

2

( ) sin ysinx '(x)=sin y-ycosx

f x x y

f

 

Ta biết: siny y,  y 0 sin2 y y2  y

Do đó:

2

'(x)=sin y-ycosx>y(1-cosx)>0, x (0; )

f   

f(x) đồng biến (0;



)

2

( ) ( ) sin , (0; )

2 2

f x f   y y x 

     

Ta chứng minh:

2

( ) sin 0, (0; )

2

g y  y y   y 

0

'( ) sin sin sin 2

g y  y y y

      

Bảng biến thiên: y

0 y0



g’(y) - +

g(y)

0 g(y0)

Do đó: g y( ) Max{g(0);g( )}=04 g y( ) 0, y (0; )4

 

    

(Đpcm)

Bài 23 Cho 3 Chứng minh rằng:

sinx

osx, x (0; )

x c



  

    

 

(HSG Toán 12, Đăk Lăk, 2009) Lời giải

Bổ đề 1: sinx<x

sinx x

 

, x>0

Bổ đề 2:

3 x

sinx>x- ,  x

- Hs tự chứng minh

Trước hết ta chứng minh BĐT với =3, tức là:

3 sinx

osx, x (0; )

x c

  

    

 

Thật

Theo bổ đề ta có:

3 2

3

x sinx sinx

sinx>x- ( ) (1 ) 1 , (0; )

6 x x 12 256 24

x x x x x x x

x 

              

Ta chứng minh:

2

3

( ) osx>0, (0; )

2 24

'( ) sinx ( ) 0, (0; )

6

x x

f x c x

x

f x x x





     

     

f(x) đồng biến (0;



)f(x)>f(0)=0, x(0;



) …

3 sinx

osx, x (0; )

x c

  

    

 

Với <3,

3

sinx sinx sinx

0 1, (0; ) ( ) ( ) osx, (0; )

x x x x c x



 

Vậy, BĐT (Đpcm)

Bài 24 Cho

, ,

x y z x y z

 



  

 Chứng minh rằng:

7

27

xy yz zx   xyz

(IMO Quốc tế lần thứ 25) Lời giải

Khơng tính tổng qt, ta giả thiết:

1

1

x y z    z

2

2

( ) (1 )

(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) (1 )

4

1

(1 ) ( )

4

x y z

BDT xy z x y z z x y z z z z

z z f z

 

           

   

1 '( ) (1 )

2

z

f z   z   z

Bảng biến thiên z

0

1

f’(z) + f(z)

7 27

0 Do đó:

7

( )

27 27

f z   xy yz zx   xyz

Bài tập tự luyện

Bài 25* Cho số ,  thoả mãn >>0 Chứng minh rằng:

1

(1517 )  (15 17 ) 

(HSG Toán 12, Đăk Lăk, 2004) Bài 26 Cho a.b0 Chứng minh

4 2

4 ( 2)

a b a b a b

b a  b a b a 

Bài 27* Cho 2

,

1

x y

x y z

  

  

 Chứng minh rằng:

2 2 2

3 )

2

x y z

a

y z  x z x y  (ĐH Đà Nẵng, Khối A, 2001)  

2

2 2

(2 1)

) , \

1 1

n

n n n

x y z n n

b n

x y z n

 

   

   

(Tạp chí Tốn học &Tuổi trẻ) Bài 28 Cho x0, y0 x+y=1 Chứng minh rằng: 2008x+2008y2009

Bài 30* Chứng minh rằng: Mọi tam giác ABC có

A B C

1 os os os

2 2 3 3

A B C

c c c

  

  

Bài 31 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:

3

sin sin sin sin sin sin

4

A B C   A B C

Bài 32 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:

2

(sin sin sin ) (tan tan tan )

3 A B C 3 A B C 

Bài 33 Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh:

tanAtanBtanC6(sinAsinBsin ) 12 3C 

Bài 34* Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1 12

( ) , , , (0; )

sin x sin y sin z x y z x y z

 

        

(HSG Toán 12, Hà Tĩnh, 1999) Bài 35* Chứng minh bất đẳng thức:

1 2002

ln

2002 2001 2001

(HSG Toán 12, Đăk Lăk, 2003) Bài 36*.(Bất đẳng thức Nesbitt).Chứng minh rằng:

3

, , ,

a b c

a b c

b c a c a b       

Phần III Kết luận

Trên đề tài áp dụng trình giảng dạy Ơn thi Đại học, Cao đẳng, Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 Hệ thống phân dạng tập đưa đến cho học sinh loại tập từ dễ đến khó, giúp học sinh hình thành tốt kỹ dạng tập

Qua việc áp dụng thực tế, thân rút số kinh nghiệm định Đó giáo viên phải bám sát học sinh, tìm hiểu thơng tin ngược từ phía học sinh Để có phương pháp giảng dạy tốt người thầy phải phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh Từ em có điều kiện, khả nhìn nhận, bao qt toàn diện, định hướng đắn nắm kiến thức sâu sắc Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trường THPT

Đề tài tơi có nhiều tác giả dề cập tới khía cạnh hay khía cạnh khác, khơng có sáng tạo hồn tồn mà mang tính hệ thống dựa sở kiến thức biết

Trong trình nghiên cứu, sưu tầm tài liệu nhận cộng tác, đóng góp nhiệt tình đồng nghiệp, đặc biệt quan tâm Ban giám hiệu Nhà trường giúp đỡ tơi hồn thành đề tài Chắc chắn đề tài tránh khỏi hạn chế, mong đống góp ‎ý ‎kiến đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn!