Đang tải... (xem toàn văn)
1 Chương 1 Một số kiến thức liên quan đến các hàm mũ và hyperbolic 1 1 Tính chất cơ bản của các hàm mũ và hyperbolic 1 1 1 Tính chất cơ bản của hàm mũ Xét hàm số mũ dạng f (x) = ax với 0 < a 6= 1 * Tậ[.]
1 Chương Một số kiến thức liên quan đến hàm mũ hyperbolic 1.1 1.1.1 Tính chất hàm mũ hyperbolic Tính chất hàm mũ Xét hàm số mũ dạng f (x) = ax với < a 6= * Tập xác định: D f = R * Tập giá trị: I f = R+ * Tính đơn điệu: Hàm số f (x) = ax đồng biến R a > nghịch biến R < a < Nhận xét 1.1 Đồ thị hàm số mũ có tiệm cận ngang trục Ox phía −∞ a > tiệm cận ngang trục Ox phía +∞ < a < Tiếp theo, ta xét số đẳng thức lớp hàm mũ Tính chất 1.1 (Cơng thức tính đạo hàm) (ex )0 = ex ; (eu )0 = u0 eu , (ax )0 = ax ln a; (au )0 = u0 au ln a Tính chất 1.2 (Đồng thức lớp hàm mũ) Cho < a 6= Khi đó: a) a f (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) b) Giả sử b > Khi a f (x) = b ⇔ f (x) = loga b c) a f (x) > ag(x) ⇔ (a − 1)( f (x) − g(x)) > d) Giả sử b > Khi a f (x) > b ⇔ (a − 1)( f (x) − loga b) > 1.1.2 Tính chất hàm hyperbolic Trong phần này, ta trình bày số tính chất hàm mũ đặc biệt, hàm hyperbolic sinh e±x Tính chất 1.3 (Hàm sin hyperbolic) Hàm sin hyperbolic ex − e−x sinh x = hàm số lẻ R sinh x ≥ 0, ∀x ≥ 0, sinh x < 0, ∀x < (sinh x)0 = cosh x; (sinh u)0 = u0 cosh u Ta có (sinh x)0 = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R nên hàm số sinh x đồng biến R Do (sinh x)00 = sinh x nên hàm số sinh x lồi (0; +∞) lõm (−∞; 0) Tính chất 1.4 (Hàm cosin hyperbolic) Hàm cosin hyperbolic cosh x = ex + e−x hàm số chẵn R Ta có (cosh x)0 = sinh x; (cosh u)0 = u0 sinh u (cosh x)0 = sinh x nên hàm số cosh x đồng biến (0; +∞) nghịch biến (−∞; 0) Do (cosh x)00 = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R cosh x lồi R Tính chất 1.5 (Hàm tang hyperbolic) Hàm tang hyperbolic sinh x ex − e−x x = = cosh x ex + e−x hàm số lẻ R Ta có u0 (tanh x) = ; (tanh u) = cosh2 x cosh2 u Do (tanh x)0 = > 0, ∀x ∈ R cosh2 x nên hàm số x đồng biến R Tính chất 1.6 (Hàm cotang hyperbolic) Hàm cotang cosh x ex + e−x coth x = = sinh x ex − e−x hàm số lẻ R \ {0} Ta có (coth x)0 = −1 −u0 ; (coth u) = sinh2 x sinh2 u < 0, ∀x ∈ R\ {0} nên hàm số coth x đồng biến sinh2 x khoảng (−∞; −1) (1; +∞) (coth x)0 = − Tính chất 1.7 (Công thức khai triển tổng hiệu) cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, (1.1) cosh (x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y, (1.2) sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, (1.3) sinh (x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh y, (1.4) (x + y) = x + y , + x y (1.5) (x − y) = x − y − x y (1.6) Chứng minh Ta có cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y + 2 2 ex+y + e−x−y = cosh(x + y) = Từ đó, suy (1.1) Tiếp theo, công thức (1.1) thay y −y, ta thu cosh (x − y) = cosh x cosh(−y) + sinh x sinh(−y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y Ta nhận (1.2) Các công thức lại (1.3)-(1.6) chứng minh tương tự Từ công thức cộng ta dễ dàng chứng minh cơng thức nhân sau Tính chất 1.8 (Cơng thức khai triển góc nhân hai nhân ba) sinh (2x) = sinh x cosh x, cosh (2x) = cosh2 x + sinh2 x = 2cosh2 x − = + 2sinh2 x, (2x) = x , + tanh2 x sinh (3x) = 4sinh3 x + sinh x, cosh (3x) = 4cosh3 x − cosh x Tính chất 1.9 (Cơng thức biến đổi tích thành tổng) [cosh(x + y) + cosh(x − y)] , sinh x sinh y = [cosh(x + y) − cosh(x − y)] , sinh x cosh y = [sinh(x + y) + sinh(x − y)] cosh x cosh y = Tính chất 1.10 (Cơng thức biến đổi tổng thành tích) x−y x+y cosh , 2 x+y x−y cosh x − cosh y = sinh sinh , 2 x−y x+y cosh , sinh x + sinh y = sinh 2 x+y x−y sinh x − sinh y = cosh sinh , 2 sinh(x + y) x + y = , cosh x cosh y sinh(x − y) x y = cosh x cosh y cosh x+ cosh y = cosh 1.2 Đẳng thức sinh hàm mũ hàm hyperbolic Trong phần ta xét số dạng tốn áp dụng tính chất hàm mũ hàm hyperbolic Bài tốn 1.1 Tính giá trị hàm hyperbolic điểm ln ln Lời giải Theo định nghĩa, ta có eln − e−ln = sinh(ln 2) = eln + e−ln 5 cosh(ln 2) = = ; tanh(ln 2) = ; coth(ln 2) = Tương tự, ta có eln − e−ln sinh (ln 3) = = cosh(ln 3) = eln + e−ln 5 = ; tanh(ln 3) = ; coth(ln 3) = Bài toán 1.2 Giải phương trình bất phương trình sau: a e2x + e−2x = b e3x − e−3x ≥ 3 c ax − a−x < , < a 6= Lời giải e2x + e−2x a = ⇔ = 2 ⇔ cosh 2x = cosh(ln 2) ⇔ 2x = ±ln hàm cosh x đồng biến (0; +∞) e2x + e−2x nghịch biến (−∞; 0) √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±ln e3x − e−3x 3x −3x b e − e ≥ ⇔ ≥ 3 ⇔ sinh 3x ≥ sinh(ln 3) ⇔ 3x ≥ ln hàm sinh x đồng biến R √ Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ ln 3 3 exln a − e−xln a x −x x ln a −x ln a c a − a < ⇔ e −e < ⇔ < 2 ⇔ sinh(xln a) < sinh(ln 2) ⇔ xln a < ln ln Nếu a > bất phương trình có nghiệm x < ⇔ x < loga ln a ln ⇔ x > loga Nếu < a < bất phương trình có nghiệm x > ln a Bài tốn 1.3 Chứng minh bất đẳng thức a cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R b −1 < x < 1, ∀x ∈ R c coth x > 1, ∀x > & coth x < −1, ∀x < d sinh3 x + cosh3 x ≥ 1, ∀x ∈ R Lời giải a cosh x ≥ ∀x ∈ R ex + e−x √ x −x Ta có cosh x = ≥ e e = Dấu đẳng thức xảy x = Từ ta có điều cần chứng minh b −1 < x < ∀x ∈ R ex − e−x e2x − Ta có x = x = = − e + e−x e2x + e2x + Do e2x > nên −1 < x < 1, ∀x ∈ R c coth x > 1, ∀x > & coth x < −1, ∀x < Ta có coth x = , ∀x 6= từ phần b Từ ta có điều cần chứng minh x d Ta có 3 sinh x + cosh x = = ex − e−x 3 ex + e−x + e3x + 3e−x = e3x + e−x + e−x + e−x √ ≥ e3x e−x e−x e−x = Dấu đẳng thức xảy x = Từ ta có điều cần chứng minh Tiếp theo, ta xét số ví dụ minh họa sau Bài tốn 1.4 Chứng minh sinh x + sinh 3x + sinh 5x a = 3x cosh x+ cosh 3x + cosh 5x b x + 2x − 3x = x 2x 3x Lời giải 3 a sinh x + sinh 3x + sinh 5x cosh x+ cosh 3x + cosh 5x = sinh 3x cos 2x + sinh 3x = 3x cosh 3x cosh 2x + cosh 3x b x+ 2x − 3x = x+ 2x − tanh(x + 2x) x+ 2x = x + 2x − 1 + x 2x = (tanh x+ 2x) − + x 2x x 2x = (tanh x+ 2x) + x 2x x+ 2x x 2x = x 2x 3x = + x 2x Bài toán 1.5 Tính tổng sau: Sn = sinh x + sinh 2x + sinh 3x + · · · + sinh nx Tn = cosh x + cosh 2x + cosh 3x + · · · + n cosh nx Lời giải Nếu x = Sn = x Xét x 6= Nhân hai vế Sn với sinh , ta x x x x = sinh sinh x + sinh sinh 2x + sinh sinh 3x + 2 x + sinh sinh nx 3x x 5x 3x = cosh − cosh + cosh − cosh 2 2 7x 5x 2n + 2n − + cosh − cosh + · · · + cosh x − cosh x 2 2 Sn sinh = cosh 2n + x x − cosh 2 Suy x cosh 2n+1 x − cosh Sn = sinh 2x Nếu x = Tn = + + + · · · + n = Xét x 6= 0, n(n + 1) Sn = cosh x + cosh 2x + cosh 3x + · · · + n cosh nx Suy ! x 2n+1 x − cosh cosh 2 Tn = Sn = = x sinh 2n+1 x x x 2n+1 x 2n+1 sinh x − sinh sinh − cosh cosh x − cosh 2 2 2 2 sinh2 2x = = 2x 2x x 2n+1 x (2n + 1) sinh 2n+1 x sinh − sinh − cosh x cosh + cosh 4sinh2 2x 1 + 2n+1 (cosh(n + 1)x − cosh nx) − (cosh(n + 1)x + cosh nx) 4sinh2 2x = = + n cosh(n + 1)x − (n + 1) cosh nx 4sinh2 2x n (cosh(n + 1)x − cosh nx) + − cosh nx 4sinh2 2x nx x 2n sinh 2n+1 x sinh − sinh = 4sinh2 2x nx x n sinh 2n+1 x sinh − sinh 2sinh2 2x Bài toán 1.6 Chứng minh bất đẳng thức cosh(5x − 7) ≥ √ 25x2 − 70x + 50 10 Lời giải Xét hàm số y = cosh2 (5x − 7) − (5x − 7)2 + 5x − 1, ∀x ∈ R Ta có y0 = sinh (2(5x − 7)) − 10(5x − 7) + 5; y00 = 50 cosh (2(5x − 7)) − 50 ≥ Do 7 y≥y +y x− 5 Ta có 7 y = 7; y0 =5 5 nên cosh (5x − 7) − (5x − 7) + 5x − ≥ + x − 2 Suy cosh2 (5x − 7) ≥ 25x2 − 70x + 50 Từ ta có điều cần chứng minh cosh(5x − 7) ≥ 1.3 √ 25x2 − 70x + 50 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm tích phân quan trọng Trong phần này, ta trình bày bất đẳng thức Landau, Kolmogorov Steklov đạo hàm tích phân hàm số đặc biệt Và trình bày số áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị với hàm mũ hàm hyperbolic Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Landau) Cho f : R → R hàm lớp C2 Giả sử f f 00 bị chặn Đặt M0 = sup | f (x)|, M1 = sup | f (x)|, M2 = sup | f 00 (x)| x∈R x∈R x∈R √ Chứng minh f bị chặn M1 ≤ M0 M2 Chứng minh Đầu tiên, ta nhận thấy M2 = hàm f đáp ứng x→0 x→0 x sin x x f (x) = lim ≤ 1, x→0 sin x ⇒ | f (0)| = |a1 + 2a2 + · · · + nan | ≤ Bài toán 1.10 Cho a số thực dương Chứng minh ex > xa ⇔ a < e với x > ex Lời giải Xét hàm f (x) = a , x > x Ta có f (x) → ∞ x → x → ∞ Do tồn giá trị cực tiểu f x0 Theo định lí Fermat ta có f (x0 ) = ex0 x0−a Giá trị nhỏ x = a f (a) = 1−a = x0 ea Do aa ex > xa ⇔ a < e, x > Bài toán 1.11 Cho f hàm có đạo hàm cấp liên tục đoạn [0; 1], thỏa mãn f (0) = f (0) = f 00 (0) = f (1) = f 00 (1) = f (1) = Chứng minh tồn c ∈ [0; 1] cho f 000 (c) ≥ 24 Lời giải Hãy xem xét mở rộng chuỗi Taylor điểm x = x = : 20 f 00 (0) f 000 (ξx ) f (x) = f (0) + f (0)x + x + x , f 00 (1) f 000 (ηx ) f (x) = f (1) + f (1)(x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 với ≤ ξx ≤ x; x ≤ ηx ≤ Kết hợp với giả thiết, ta có f (x) = f (x) = + f 000 (ξx ) x , f 000 (ηx ) (x − 1)3 ta thấy tồn ξ ; η cho f 000 (ξ ) + f 000 (η) = 48 Như vậy, số f 000 (ξ ), f 000 (η) lớn 24 Chọn x = Vậy tồn c ∈ [0; 1] để f 000 (c) ≥ 24 Bài toán 1.12 Cho hàm số f khả vi [0; 1] cho f (0) = 0, f (1) = Chứng 0 minh tồn số phân biệt a, b thuộc (0; 1) cho f (a) f (b) = Lời giải Xét hàm số g(x) = f (x) + x − g khả vi [0; 1] Ta có g(0) = −1 < g(1) = > nên tồn số c ∈ (0; 1) cho g(c) = Do f (c) + c − = hay f (c) = − c Áp dụng định lý Lagrange cho f đoạn [0; c] [c; 1] thì: f (c) − f (0) + Tồn a ∈ (0; c) cho = f (a) c−0 f (1) − f (c) + Tồn b ∈ (c; 1) cho = f (b), nên 1−c f (c) − f (c) (1 − c)c f (a) f (b) = = = c 1−c c(1 − c) 0 Vậy tồn số phân biệt a, b thuộc (0; 1) cho f (a) f (b) = Bài toán 1.13 Cho hàm f : R → R hàm C3 Chứng minh tồn a ∈ R cho f (a) f (a) f 00 (a) f 000 (a) ≥ ... x+ cosh y = cosh 1.2 Đẳng thức sinh hàm mũ hàm hyperbolic Trong phần ta xét số dạng tốn áp dụng tính chất hàm mũ hàm hyperbolic Bài toán 1.1 Tính giá trị hàm hyperbolic điểm ln ln Lời giải Theo... Tính chất hàm hyperbolic Trong phần này, ta trình bày số tính chất hàm mũ đặc biệt, hàm hyperbolic sinh e±x Tính chất 1.3 (Hàm sin hyperbolic) Hàm sin hyperbolic ex − e−x sinh x = hàm số lẻ R... + 50 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm tích phân quan trọng Trong phần này, ta trình bày bất đẳng thức Landau, Kolmogorov Steklov đạo hàm tích phân hàm số đặc biệt Và trình bày số áp dụng vào