0

Luận văn một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị

43 2 0

Đang tải.... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/01/2023, 13:10

Mục lục Mở đầu 1 Chương 1 Mở đầu đại số tổ hợp và lý thuyết đồ thị 3 1 1 Đại số tổ hợp 3 1 2 Công thức đa thức 12 1 3 Mở đầu lý thuyết đồ thị 14 Chương 2 Bài toán đếm trên đồ thị 23 2 1 Cây và các bài[.] Mục lục Mở đầu Chương Mở đầu đại số tổ hợp lý thuyết đồ thị 1.1 Đại số tổ hợp 1.2 Công thức đa thức 12 1.3 Mở đầu lý thuyết đồ thị 14 Chương Bài toán đếm đồ thị 23 2.1 Cây toán đếm 23 2.2 Cơng thức tính số khung 29 2.3 Đánh giá số cạnh đồ thị phẳng 34 2.4 Số tam giác đồ thị 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 i Mở đầu Cùng với phát triển với tốc độ nhanh công nghệ thông tin, lý thuyết tổ hợp đồ thị trờ thành lĩnh vực toán học quan trọng cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng Lý thuyết tổ hợp cầu nối tốn cần giải với cơng cụ tính tốn, cịn đồ thị mơ hình trực quan để mô tả quan hệ hai Trong thập kỷ gần đâỵ, người ta quan tâm nhiều tới đồ thị ứng dụng Đó đồ thị chứng tỏ mô hình hữu hiệu cho tính tốn tối ưu Ngày khái niệm đồ thị xâm nhập không vào lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống toán học, vật lý học hay hoá học, mà vào nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên xã hội khác Có nhiều tốn tốn lý thuyết đồ thị cần tìm hiểu tốn tối ưu đồ thị, tốn tơ màu đồ thị, cấu trúc đồ thị, Các toán đồ thị thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp Luận văn tìm hiểu số toán đếm lý thuyết đồ thị tốn đếm cây; tính số khung; tìm mối liên hệ số yếu tố đồ thị cạnh, đỉnh; đếm số tam giác đồ thị Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị đại số tổ hợp, công thức đa thức mở đầu lý thuyết đồ thị Tuy kiến thức chuẩn bị cho Chương tác giả nhiều kiến thức chương kiến thức có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng Chương chủ yếu tham khảo theo tài liệu [1, 2, 4] Chương trình bày số tốn đếm lý thuyết đồ thị Bắt đầu toán đếm Việc đếm số đỉnh, số cảnh cho ta số đặc trưng (Định lý móc xích kiểu hoa cúc) Tiếp theo luận văn tìm hiểu số tập đỉnh cho trước, số có n đỉnh cho trước, với n số nguyên dương Luận văn tìm hiểu cách tính số khung ma trận Laplacian Việc đánh giá số đỉnh, số cạnh đồ thị phẳng xem toán đếm Cuối luận văn trình bày số đánh giá việc đếm số tam giác đồ thị, toán thường xuất đề thi học sinh giỏi Chương tham khảo theo tài liệu [4, 6, 7, 8, 9]] Trong trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học khóa Cao học Tốn khóa 11E (2017-2019) - trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập Thái Ngun, ngày 30 tháng 01 năm 2019 Tác giả Ninh Thị Nụ Chương Mở đầu đại số tổ hợp lý thuyết đồ thị 1.1 Đại số tổ hợp Mục nhắc lại số kiến thức chuẩn bị Đại số tổ hợp quy tắc đếm bản, công thức tổ hợp Tài liệu tham khảo mục 1.1 1.2 Trần Nguyên An Nguyễn Văn Hoàng (2016), Tập hợp logic Tốn, NXB Đại học Thái Ngun Ngơ Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Người ta thường phân biệt nhiều mức độ việc giải toán tổ hợp Mức độ tìm cách bố trí đối tượng có tính chất cho Nếu tốn tổ hợp có nhiều lời giải đề đặt đếm số lời giải, mô tả tất lời giải toán cho Cuối cùng, lời giải khác phân biệt với tham số đó, vấn đề đặt tìm lời giải tối ưu toán cho Ở giới hạn vào việc đếm số lời giải toán tổ hợp Để làm việc này, người ta thường áp dụng công thức thiết lập cho loại toán Tất công thức ấy, xét cho cùng, dựa hai quy tắc đơn giản quy tắc cộng quy tắc nhân Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng) Nếu cơng việc thực theo n phương án khác nhau, đó: phương án có m1 cách thực hiện, phương án có m2 cách thực hiện, , phương án thứ n có mn cách thực Khi đó, có: m1 + m2 + + mn cách để hồn thành cơng việc cho Ta phát biểu quy tắc cộng theo ngôn ngữ tập hợp: Gọi A1 tập hợp đối tượng x1 , A2 tập hợp đối tượng x2 , , An tập hợp đối tượng xn Mỗi cách chọn đối tượng xi ứng với phần tử Ai đảo lại Điều kiện "cách chọn đối tượng xi không trùng với đối tượng xj , (j 6= i)" diễn tả theo ngôn ngữ tập hợp điều kiện: Ai ∩ Aj = ∅, (i 6= j); i, j = 1, 2, , n Cách chọn "x1 x2 xn" phiên dịch thành cách chọn phần tử tập hợp A1 ∪ A2 ∪ ∪ An Các số m1 , m2, , mn theo thứ tự số phần tử tập hợp A1, A2, , An, tức là, theo cách ký hiệu quen thuộc m1 = |A1 |, m2 = |A2 |, , mn = |An | Mệnh đề 1.1.2 Nếu A1 , , Am tập hợp hữu hạn đôi rời nhau, đó: |A1 ∪ ∪ Am | = |A1 | + + |Am−1| + |Am | Quy tắc cộng mở rộng cho cơng thức |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An |, A1 , , An tập hợp hữu hạn tùy ý (không thiết đôi rời nhau) Công thức gọi Nguyên lý bao hàm loại trừ Định lý 1.1.3 (Nguyên lý bao hàm loại trừ) Giả sử A1 , A2, An Là tập hữu hạn Khi đó: X |Ai1 | − |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = 1≤i1≤n + (−1) k+1 + (−1) n+1 X |Ai1 ∩ Ai2 | + 1≤i ≤i2 ≤n X1 |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik | + 1≤i1 ≤i2 ≤ ik ≤n |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Ain | Định nghĩa 1.1.4 (Quy tắc nhân) Nếu công việc phải hồn thành qua m giai đoạn liên tiếp, đó: giai đoạn có m1 cách thực hiện, giai đoạn có m2 cách thực hiện, , giai đoạn n có mn cách thực Khi đó, có: m1 m2 mn cách để hồn thành cơng việc cho Mệnh đề 1.1.5 Cho s tập hợp hữu hạn A1 , A2 , , An (n ≥ 2) Khi |A1 × A2 × × An | = |A1 |.|A2| |An| Định nghĩa 1.1.6 Cho X tập hợp có n phần tử k > số tự nhiên Một chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử thứ tự k gồm k phần tử X Ta kí hiệu An số chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử Ví dụ 1.1.7 Cho X = {a, b, c} Khi (a, a, b, c) chỉnh hợp có lặp chập phần tử Những (b, a, a), (a, b, c) chỉnh hợp có lặp chập phần tử Tất chỉnh hợp có lặp chập phần tử (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) Do A3 = Mệnh đề 1.1.8 Chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử cho công thức k An = nk Định nghĩa 1.1.9 Cho X tập hợp có n phần tử < k ≤ n số tự nhiên Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử thứ tự gồm k phần tử phân biệt X Ta kí hiệu Akn số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Ví dụ 1.1.10 Cho X = {a, b, c} Khi (a, b, c) chỉnh hợp khơng lặp chập phần tử; (b, a, a) không chỉnh hợp không lặp chập phần tử Các chỉnh hợp không lặp chập phần tử (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b) Do A23 = Mệnh đề 1.1.11 Số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử cho công thức Akn = n! , (n − k)! ta quy ước 0! = Cho thuận tiện, ta quy ước có chỉnh hợp khơng lặp chập n phần tử Định nghĩa 1.1.12 Cho X tập hợp có n phần tử Một hốn vị n phần tử thứ tự gồm n phần tử phân biệt X Ta kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử Ví dụ 1.1.13 Cho X = {a, b, c} Khi hốn vị phần tử (a, b, c), (b, c, a), (c, a, b), (a, c, b), (c, b, a)(b, a, c) Do P3 = Mệnh đề 1.1.14 Số hoán vị n phần tử cho công thức Pn = n! Định nghĩa 1.1.15 Cho n, k số tự nhiên cho ≤ k ≤ n Cho X tập gồm n phần tử Một tổ hợp chập k n phần tử tập X gồm k phần tử Ta kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Ví dụ 1.1.16 Cho k = n = Cho X = {a, b, c, d} Khi tổ hợp chập phần tử tập X {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} Do C42 = Mệnh đề 1.1.17 Cơng thức tính số tổ hợp chập k n phần tử cho công thức Cnk = n! , k!(n − k)! ta quy ước 0! = Mệnh đề 1.1.18 Cho k, n số tự nhiên cho ≤ k ≤ n Khi ta có (i) Cnk = Cnn−k k−1 k (ii) Cnk = Cn−1 + Cn−1 (iii) Với n k số nguyên dương ta có k−1 k−1 k−1 k−1 Cnk = Cn−1 + Cn−2 + + Ck+1 + Ckk−1 + Ck−1 Mệnh đề 1.1.19 Cho số tự nhiên n > cho a, b hai số thực Khi ta có (a + b)n = Cn0an + Cn1an−1b + Cn2an−2 b2 + + Cnn−1abn−1 + Cnnbn Hệ 1.1.20 Với số tự nhiên n ta có (i) Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n Do đó, có 2n tập tập gồm n phần tử (ii) Cn0 − Cn1 + Cn2 + + (−1)k Cnk + + (−1)nCnn = (iii) Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + + (−1)k−1kCnk + + (−1)n−1nCnn = với n ≥ (iv) Cn1 + 2Cn2 + + kCnk + + nCnn = n2n−1 với n ≥ Kết sau cho ta cách đếm số phân hoạch tập hợp có m phần tử cho trước thỏa mãn số yêu cầu Định lý 1.1.21 Cho số tự nhiên k1 , k2 , , ks cho k1 + k2 + + ks = m Khi số phân hoạch tập hợp A gồm m phần tử khác thành hợp rời rạc s tập B1 , B2 , , Bs, với số phần tử theo thứ tự k1, k2, , ks, m! k1 !.k2! ks ! Chứng minh Ta thực phân hoạch mô tả tập A thành s tập B1 , B2, , Bs sau: Ta lấy tập B1 k1 cách), chứa k1 phần tử tập hợp A (điều thực theo Cm m − k1 phần tử lại, ta lấy tập B2 chứa k2 phần tử (điều k2 cách) Khi đó, theo quy tắc nhân, số tất thực theo Cm−k cách chọn tập B1 , B2 , , Bs ks k3 k2 k1 × Cm−k × Cm−k ×Cm−k Cm −k2 − −ks−1 −k2 m! (m − k1 )! (m − k1 − k2 )! = × × k1!(m − k1)! k2 !(m − k1 − k2 )! k3!(m − k1 − k2 − k3 )! (m − k1 − k2 − − ks )! × × ks !(m − k1 − k2 − − ks )! m! = k1!.k2! ks ! Định nghĩa 1.1.22 Cho s phần tử khác a1 , a2 , , as Một chỉnh hợp có lặp chập m s phần tử cho, có k1 phần tử thứ a1 , có k2 phần tử thứ hai a2 , , có ks phần tử as (với m = k1 + k2 + + ks ), gọi hoán vị có lặp cấp m = k1 + k2 + + ks kiểu (k1 , k2 , , ks ) s phần tử Số hốn vị có lặp cấp m kiểu (k1 , k2 , , ks) s phần tử kí hiệu Cm (k1, k2, , ks) Định lý sau cho ta cơng thức tính số hốn vị có lặp Định lý 1.1.23 Số hốn vị có lặp cấp m = k1 + + ks kiểu (k1 , k2 , , ks ) s phần tử, xác định công thức Cm(k1, k2, , ks ) = m! k1 !.k2! ks ! Chứng minh định lý 1.1.23 cách Gọi s phần tử phân biệt cho a1 , a2 , , as Ta đặt O = {O1 , O2 , , Om } tập gồm m ô chứa đánh số từ đến m Lấy T hốn vị có lặp chập m kiểu (k1, k2, , ks ) s phần tử cho Nếu ta đưa T vào dãy ô chứa từ O1 đến Om (theo thứ tự từ trái sang phải), Oi chứa phần tử aj số s phần tử cho Ta kí hiệu B1 = {Oi ∈ O | Oi chứa phần tử a1 }, B2 = {Oi ∈ O | Oi chứa phần tử a2 }, , Bs = {Oi ∈ O | Oi chứa phần tử as } Khi B1 có k1 phần tử, B2 có k2 phần tử a2 , , Bs chứa ks phần tử; đồng thời O = B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bs Như ta thấy hốn vị T hồn tồn xác định biết tập B1 , B2 , , Bs Nói cách khác số hốn vị có lặp cấp m kiểu (k1, k2, , ks ) s phần tử cho số phân hoạch tập O thành s tập rời B1 , B2 , , Bs cho |B1 | = k1 , |B2 | = k2 , , |Bs | = ks Từ theo định lý 1.1.21 ta Cm(k1, k2, , ks ) = m! k1 !.k2! ks ! Dưới cách chứng minh khác định lý 1.1.23 Chứng minh định lý 1.1.23 cách Giả sử có tập hợp X gồm s phần tử X = {a1 , a2, , as } Ta lấy tùy ý hoán vị T có lặp cấp m, kiểu (k1 , , ks) s phần tử cho (chẳng hạn để tiện cho minh họa ta lấy T = (a1, , a1 , a2, , a2 , , as , , as ) | {z } | {z } | {z } k1 k2 ks hốn vị có phần tử giống đứng cạnh nhau; cịn nói chung hốn vị có lặp T1 khác phần tử giống không đứng cạnh nhau) Tiếp theo, ta thay tất phần tử giống T phần tử khác cho ta tất phần tử khác nhau, ta hoán vị T ′ gồm m phần tử khác (chẳng hạn với T minh họa ta T ′ = (u11, , u1k1 , u21, , u2k2 , , us1, , usks ) | | {z } | {z } {z } k1 k2 ks thực hốn vị thơng thường m phần tử khác {u11 , , u1k1 , u21, , u2k2 , , us1, , usks }; cịn hốn vị T1 sinh hốn vị T1′ hốn vị T ′ trên) Khi số hốn vị khác sinh từ T ′ k1 !k2 ! ks! (ta thấy điều cách sử dụng quy tắc nhân) Ta làm cho hốn vị T có lặp cấp m, kiểu (k1 , , ks), từ ta tìm tất m! hoán vị m phần tử khác {u11, , u1k1 , u21, , u2k2 , , us1, , usks } Do ta có đẳng thức Cm (k1, k2, , ks).k1!k2! ks ! = m! Từ suy Cm(k1, k2, , ks ) = m! k1 !.k2! ks ! (1.1) Nhận xét 1.1.24 (i) Số Cm(k1 , k2 , , ks ) Định lý 1.1.23 gọi hệ số đa thức (vì ta thấy hệ số khai triển đa thức (a1 + a2 + + as )m coi ẩn a1 , a2 , , as ) ... Các toán đồ thị thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp Luận văn tìm hiểu số tốn đếm lý thuyết đồ thị toán đếm cây; tính số khung; tìm mối liên hệ số yếu tố đồ thị cạnh, đỉnh; đếm số tam giác đồ. .. trình bày số toán đếm lý thuyết đồ thị Bắt đầu toán đếm Việc đếm số đỉnh, số cảnh cho ta số đặc trưng (Định lý móc xích kiểu hoa cúc) Tiếp theo luận văn tìm hiểu số tập đỉnh cho trước, số có n... với n số nguyên dương Luận văn tìm hiểu cách tính số khung ma trận Laplacian Việc đánh giá số đỉnh, số cạnh đồ thị phẳng xem toán đếm Cuối luận văn trình bày số đánh giá việc đếm số tam giác đồ
- Xem thêm -

Xem thêm: Luận văn một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị,