Một số bất đẳng thức đối với hàm lượng giác, hàm hyperbolic và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN CÔNG HUY MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN CÔNG HUY MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn “Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng” thân thực theo logic riêng hướng dẫn PGS.TS Đinh Thanh Đức Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2021 Học viên thực Nguyễn Công Huy i Mục lục MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm số lượng giác-Hàm hyperbolic 1.2 Định nghĩa hàm lượng giác, hàm hyperbolic 1.3 Các trung bình hai biến 1.4 Khai triển hàm lượng giác hàm hyperbolic thành chuỗi tổng quát 13 14 BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG 2.1 Một số bất đẳng thức hàm lượng giác 2.2 Áp dụng 2.3 Một số bất đẳng thức hàm hyperbolic 2.4 Áp dụng 2.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lượng giác hàm hyperbolic 2.6 Áp dụng 16 16 28 34 44 49 56 BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC HÀM HYPERBOLIC MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG 3.1 Một số bất đẳng thức 3.2 Áp dụng Kết luận Tài liệu tham khảo 60 60 67 71 72 VÀ MỞ ĐẦU Vào kỉ 16, nhà toán học Châu Âu bắt đầu tạo bước tiến mà không cần biết đến nơi khác giới, tới mức ngày Một bước tiến phát triển lượng giác Do nhu cầu cấp thiết định hướng vẽ đồ xác cho khu vực rộng lớn, lượng giác phát triển thành ngành lớn toán học Cùng với xuất hình học vào kỉ 19, hình học hyperbolic Những lý thuyết hàm lượng giác hàm Hyperbolic có vị trí quan trọng tốn học giải tích hàm, tốn ứng dụng, hình học, tính tích phân, giải phương trình vi phân tuyến tính, Do đó, khơng phải ngẫu nhiên mà bất đẳng thức lượng giác nhà toán học giới quan tâm cơng bố nhiều cơng trình tạp chí tốn học Journal of Mathematical Inequalities; Mathematical Inequalities and Applications, Cụ thể, toán học đại phải kể đến giáo sư người Trung quốc Ling Zhu, nghiên cứu làm nên tên tuổi ông việc nghiên cứu bất đẳng thức Jordan, Redheffer, Wilker Shafer-Fink số bất đẳng thức hàm lượng giác hàm hyperbolic khác ([8],[10]) Và với giáo sư Liu Jianjun người Trung Quốc, nghiên cứu lĩnh vực Tốn ứng dụng, có đóng góp việc nghiên cứu bất đẳng thức lượng giác có trọng ([5]) Ngồi ra, cịn có nhiều nhà Toán học khác Riku Klén, M.Visuri, M Vuorinen, Xiaohui Zhang ([6],[7]), Những toán bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic dạng tốn thường gặp ,những dạng tốn khó học sinh trung học phổ thông, thường dạy số trường chuyên Do việc giảm tải chương trình phổ thơng nên tài liệu bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic viết Để có nhìn tổng quan chi tiết tổng kết kết đạt bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic ứng dụng giải tốn có liên quan đến vấn đề này, chọn đề tài "Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng" Luận văn "Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng" gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu định nghĩa, tính chất quan trọng hàm lượng giác , hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic, hàm hyperbolic ngược, mở rộng chúng Đồng thời, nhắc lại định nghĩa trung bình số học, trung bình nhân, trung bình logarit, trung bình identric Chương Bất đẳng thức hàm lượng giác; hàm hyperbolic áp dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết bất thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic quan trong; bất đẳng thức liên hệ hàm lượng giác hàm hyperbolic; với tập áp dụng Chương Bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic mở rộng áp dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết bất thức hàm lượng giác; hàm hyperbolic mở rộng áp dụng Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Đinh Thanh Đức Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Đinh Thanh Đức - giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy giảng dạy lớp Phương pháp tốn sơ cấp, trường Đại học Quy Nhơn toàn thể quý thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù chúng tơi cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2021 Học viên thực Nguyễn Công Huy Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để chuẩn bị cho chương tiếp theo, ta cần nắm lại kiến thức định nghĩa, tính chất quan trọng hàm lượng giác , hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic, hàm hyperbolic ngược, mở rộng chúng Ngoài ra,chúng ta cịn phải biết cơng thức mở rộng chuỗi hàm lượng giác hàm hyperbolic để nhằm mục đích đánh giá bất đẳng thức chương Đồng thời, chúng tơi trình định nghĩa trung bình số học, trung bình nhân, trung bình logarit, trung bình đồng ([1],[3],[4],[6],[12],[13]) 1.1 Hàm số lượng giác-Hàm hyperbolic Định nghĩa 1.1.1 Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sin x sin :R → R x → y = sin x gọi hàm số sin Kí hiệu y = sin x Hàm số y = sin x có tính chất sau - Có tập giá trị: [−1; 1] - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì 2π π - Đồng biến khoảng − + k2π; π + k2π nghịch biến khoảng π 3π + k2π; + k2π , k ∈ Z 2 Định nghĩa 1.1.2 Quy tắc đặt tương số thực x với số thực cos x cos :R → R x → y = cos x gọi hàm số cosin Kí hiệu y = cos x Hàm số y = cos x có tính chất sau: - Có tập giá trị: [−1; 1] - Là hàm số chẵn - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π - Đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) nghịch biến khoảng(k2π; π + k2π) , k ∈ Z - (cos x) = − sin x Định nghĩa 1.1.3 Hàm số tang xác định công thức y= sin x cos x (cos x = 0) Kí hiệu y = tan x Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ π + kπ, k ∈ Z Hàm số y = tan x có tính chất sau: - Có tập giá trị: R - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì π π −π + kπ; + kπ), k ∈ Z - Đồng biến khoảng ( 2 - (tan x) = = + tan2 x cos x Định nghĩa 1.1.4 Hàm số cotang xác định công thức cos x (sin x = 0) y= sin x Kí hiệu y = cot x Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z} Hàm số y = cot x có tính chất sau - Có tập giá trị: R - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì π - Nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ), k ∈ Z - (cot x) = − = −(1 + cot2 x) sin x Định lý 1.1.5 [1]Giả sử hàm số y = f (x) xác định, đồng biện nghịch biến liên tục khoảng X Khi khoảng Y giá trị tương đương hàm số đó, tồn hàm ngược x = g(y) hàm đồng biến nghịch biến, liên tục khoảng Theo Định lý 1.1.5, ta định nghĩa hàm lượng giác ngược hàm lượng giác y = sin x; y = cos x; y = tan x; y = cot x sau Định nghĩa 1.1.6 [4] π π Hàm số y = sin x hàm đồng biến, liên tục − ; Khi tồn 2 hàm ngược y = arcsin x xác định sau π y = arcsin x ⇔ x = sin y, |x| ≤ 1, |y| ≤ , x arcsin x = √ dt, |x| ≤ 1 − t2 Định nghĩa 1.1.7 [4] Hàm số y = cosx hàm nghịch biến, liên tục [0; π] Khi tồn hàm ngược y = arccos x xác định sau π y = arccos x ⇔ x = cos y, |x| ≤ 1, |y| ≤ , √ arccos x = x dt, |x| ≤ 1 − t2 59 π Bài toán 2.6.6 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x < y < 10 x Chứng minh rằng: (x + y)2 · cos log y x < 2xy + cos log y x Lời giải π y π Ta có x < y < 10 x Suy < log < x y Đặt t = log Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương x cos 2t · cosh2 t < cos2 t cos t ⇔ cosh t < √ cos 2t Áp dụng Định lý 2.5.8 ta điều phải chứng minh sin x , để từ thiết x lập bất đẳng thức liên quan hàm lượng giác hàm hyperbolic mục 2.5 Và để củng cố kiến thức, đưa số tập để áp dụng mục 2.6 Từ việc tìm chặn trên, chặn tốt cho 60 Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPERBOLIC MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG Đối với hàm lượng giác hàm hyperbolic, chương trình trung học phổ thơng khơng có đề cập Nhưng để có nhìn tổng qt hơn, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất Chương I để trợ cho chương Trong chương chúng tơi trình bày số bất đẳng thức quan trọng áp dụng ([6]) 3.1 Một số bất đẳng thức Bổ đề 3.1.1 [6] Cho −∞ < a < b < ∞, f, g : [a, b] → R liên tục (a, b), với f (a) = g(a) = f (b) = g(b) = 0; g (x) = với x ∈ (a, b) Nếu f /g tăng (giảm) ( a, b ), f /g tăng (giảm) (a, b) Chứng minh Từ Bổ đề 2.3.1 ta suy Bổ đề 3.1.1 Bổ đề 3.1.2 [6]Cho p > 2, f (x) ≡ tanp (x)p−2 − tanhp (x)p−2 tăng chặt 0, πp /2 61 Chứng minh Ta có f (x) = (p−2) tanp (x)p−3 + tanp (x)p − tanhp (x)p−3 − tanhp (x)p với p ≥ Suy f (x) ≥ (p − 2) tanp (x)p−3 − tanhp (x)p−3 > (vì tanp (x) > tanhp (x)) Do tính chất sinp (x)p + cosp (x)p = coshp (x)p − sinhp (x)p = 1, nên sinhp (x)p−3 sinp (x)p−3 − f (x) = (p − 2) cosp (x)2p−3 coshp (x)2p−3 1 − >0 2p−3 cosp (x) coshp (x)2p−3 Với p ∈ [2, 3) sinp (x) < sinhp (x) Chứng minh hoàn thành ≥ (p − 2) sinhp (x)p−3 Bổ đề 3.1.3 [6]Với p > f (x) ≡ cosp (x) coshp (x) tăng chặt từ 0, πp /2 đến (0, 1) Đặc biệt, với p ∈ (1, ∞) x ∈ 0, πp /2 cosp (x) < coshp (x) Chứng minh Ta có f (x) = cosp (x) coshp (x) tanhp (x)p−1 − tanp (x)p−1 < Điều cho thấy f tăng chặt cosp (x) coshp (x) < Định lý 3.1.4 [6]Cho p ∈ [2, ∞) x ∈ 0, πp /2 sinp (x) x < x sinhp (x) Chứng minh Cho f1 (x) ≡ sinp (x) sinhp (x), f2 (x) ≡ x2 f1 (0) = f2 (0) = Ta có f1 (x) = cosp (x) coshp (x)− sinp (x) sinhp (x) tanp (x)p−2 − tanhp (x)p−2 f2 (x) tăng chặt với p ≥ Bổ đề 3.1.2 3.1.3 Do tính đơn điệu f1 (x)/f2 (x) suy từ quy tắc đơn điệu L’Hôpital, điều nghĩa sinp (x) sinhp (x) < x2 62 Định lý 3.1.5 [6]Với p ∈ (1, ∞), ta có f (x) ≡ log sinp (x)/x log cosp (x) tăng chặt từ 0, πp /2 vào (0, 1/(1 + p)) Đặc biệt, với p ∈ (1, ∞) x ∈ 0, πp /2 , sinp (x) Khi (p + 1) sinp (x) + > p + với x ∈ 0, πp /2 x cosp (x) (3.3) sinhp (x) + > p + với x > x coshp (x) (3.4) (p + 1) Chứng minh Bất đẳng thức hình học-số học có trọng số tiếng phát biểu ta + (1 − t)b > at b1−t với a, b > 0, a = b, < t < Đặt t = (p + 1)/(p + 2), a = sinp (x)/x, b = 1/ cosp (x), kết hợp với bên trái (3.1), ta có sinp (x) (p+1) + > (p+2) x cosp (x) sinp (x) x (p+1)/(p+2) cosp (x) 1/(p+2) > p+2 64 Tương tự, bất đẳng thức (3.4) suy từ bất đẳng thức bên trái (3.2) Định lý 3.1.8 [6]Với p > 1, ta có p sinp (x) tanp (x) + > + p, x x 0 + p, x x x>0 (3.6) Chứng minh Đặt f (x) ≡ p sinp (x) + tanp (x) − (1 + p)x Ta có f (x) = p cosp (x) + tanp (x)p − p f (x) = p tanp (x)p−1 − cosp (x) + tanp (x)p > Điều cho thấy f (x) > f tăng chặt Do đó, ta có f (x) > 0, suy bất thức ( 3.5 ) Tương tự, đặt g(x) ≡ p sinhp (x) + tanhp (x) − (1 + p)x Ta có g (x) = p coshp (x) − tanhp (x)p − p g (x) = p tanhp (x)p−1 tanhp (x)p + coshp (x) − > Từ ta nhận g (x) > 0, suy g(x) > Chứng minh kết thúc Sau đây, ta trình bày bất đẳng thức kiểu Cusa-Huygen tiếng cho hàm lượng giác tổng quát hàm hypebol tương ứng Định lý 3.1.9 [6]Với p ∈ (1, 2], ta có sinp (x) cosp (x) + p cosp (x) + < ≤ x 1+p với x ∈ 0, πp /2 (3.7) 65 Chứng minh Đặt f (x) ≡ x cosp (x) + px − (1 + p) sinp (x) Ta có f (x) = − cosp (x) x tanp (x)p−1 + p + p ≡ −g(x) + p g (x) = cosp (x) tanp (x)p−2 (p − 1) x − tanp (x) + (p − 2)x tanp (x)p < Suy g(x) < g(0) = p f (x) > Do f (x) tăng chặt f (x) > f (0) = Từ suy ( 3.7 ) Bất đẳng thức thứ (3.7) hiển nhiên cosp (x) ≤ Định lý 3.1.10 [6]Với x > 0, sinhp (x) coshp (x) + p < , x 1+p p ∈ (1, 2] (3.8) sinhp (x) coshp (x) + < , nếup ∈ [2, ∞) x Chứng minh Đặt f (x) ≡ x coshp (x) + px − (1 + p) sinhp (x) Ta có f (x) = coshp (x) x tanhp (x)p−1 − p + p (3.9) f (x) = coshp (x) tanhp (x)p−2 (p − 1) x − tanhp (x) + (2 − p)x tanhp (x)P > Điều cho thấy f (x) > Do f (x) tăng chặt, f (x) > f (0) = Từ suy bất đẳng thức ( 3.8 ) Với bất đẳng thức (3.9), đặt h(x) ≡ x coshp (x) + 2x − sinhp (x) Ta h (x) = coshp (x) x tanhp (x)p−1 − + h (x) = coshp (x) tanhp (x)p−2 x tanhp (x)p − tanhp (x) + (p − 1)x − tanhp (x)p ≥ coshp (x) tanhp (x)p−2 x tanhp (x)p − tanhp (x) + x − tanhp (x)p = coshp (x) tanhp (x)p−2 x − tanhp (x) > 66 Do h (x) > h (0) = 0, h(x) tăng chặt h(x) > h(0) = Từ suy bất đẳng thức (3.9) Định lý 3.1.11 [6]Với p ∈ [2, ∞) x ∈ 0, πp /2 , sinhp (x) < x + cosp (x) Chứng minh Đặt f (x) ≡ 3x − sinhp (x) − sinhp (x) cosp (x) Ta có f (x) = − coshp (x) − coshp (x) cosp (x) + sinhp (x) sinp (x)p−1 cosp (x)2−p ≥ − coshp (x) − coshp (x) cosp (x) + sinhp (x) sinp (x)p−1 ≡ g(x) g (x) = − coshp (x) tanhp (x)p−1 − sinhp (x) cosp (x) tanhp (x)p−2 + coshp (x) sinp (x)p−1 cosp (x)2−p + coshp (x) sinp (x)p−1 + (p − 1) sinhp (x) cosp (x) sinp (x)p−2 ≥2 coshp (x) sinp (x)p−1 − tanhp (x)p−1 + sinhp (x) cosp (x) sinp (x)p−2 − tanhp (x)p−2 ≥0 (Vì sinp (x) > tanhp (x).) Suy f (x) > f (0) = Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.1.12 [6] Cho p ∈ [2, ∞) x ∈ 0, πp /2 , sinp (x) p − + cosp (x) + cosp (x) > ≥ x p Chứng minh Bất đẳng thức thứ hai hiển nhiên Ta chứng minh bất đẳng thức thứ nhất, đặt f (x) ≡ p sinp (x) − x cosp (x) − 67 (p − 1)x Ta có f (x) = (p − 1) cosp (x) + x cosp (x) tanp (x)p−1 − (p − 1) f (x) = cosp (x) tanp (x)p−2 g(x) Trong g(x) = (p − 2)x tanp (x)p − (p − 2) tanp (x) + (p − 1)x Ta có g(x) > g (x) = p(p − 2)x tanp (x)p−1 + tanp (x)p + > 3.2 Áp dụng Ở phần này, chúng tơi đưa số tốn để áp dụng kiến thức mục 3.1 sau: Bài toán 3.2.1 Với p ∈ (1, ∞) x ∈ cosp (x) < x sinp (x) 0, πp , chứng minh rằng: 1+p Lời giải Theo Định lý 3.1.5 ta có với p ∈ (1, ∞) x ∈ 0, πp /2 , cosp (x)1/(1+p) < sinp (x) x Lấy mũ + p hai vế ta điều phải chứng minh Bài toán 3.2.2 ([6])Với p > x > 0, chứng minh sinhp (x) x p + tanhp (x) >2 x (3.10) 68 Lời giải Với a > t > 0, (1 + t)a > + at (Bất đẳng thức Bernoulli) (3.11) Đặt t = sinhp (x)/x − a = p (3.11), sau kết hợp bất đẳng thức (3.6), ta có sinhp (x) x p >1+p sinhp (x) −1 x >2− tanhp (x) x Suy bất đẳng thức (3.10) Bài toán 3.2.3 ([6]) Với p ∈ [2, ∞) x ∈ 0, πp /2 Chứng minh x sinhp (x) 1+p < coshp (x) Lời giải 1+p x Bất đẳng thức < suy từ bất đẳng thức sinhp (x) coshp (x) sinhp (x) (3.2) coshp (x)α < x Bài toán 3.2.4 ([6]) Với p ∈ [2, ∞) x ∈ 0, πp /2 Chứng minh tanhp (x) < coshp (x) x Lời giải Xét f (x) = sinhp x − x Ta có f (x) = coshp x − > 0, ∀x ∈ 0, πp /2 Do f (x) tăng chặt 0, πp /2 sinhp x Từ suy f (x) > f (0) Suy > x sinhp x Chia hai vế bất phương trình > cho coshp x, ta có x điều phải chứng minh 69 Bài toán 3.2.5 ([6]) Với p ∈ [2, ∞) x ∈ 0, πp /2 Chứng minh tanhp (x) sinp (x) < x x Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh suy từ sinp x > tanhp x Bài toán 3.2.6 ([6]) Với p ∈ [2, ∞) x ∈ 0, πp /2 Chứng minh p+1 sinhp (x) < x p + cosp (x) Lời giải Chứng minh tương tự Định lý 3.1.11 Bài toán 3.2.7 Cho Với p > 1) x ∈ 0, πp /2 Chứng minh p 1+p p cosp x + cosp p+2 x+1 > x tanp x Lời giải Theo Định lý 3.1.8, ta có p sinp x tanp x + > + p x x Suy p+ x > (1 + p) cosp x sinp x (∗) Theo Định lý 3.1.5, ta có 1/1+p cosp > x x sinp x (∗∗) Từ (∗)(∗∗) suy p+ 1 x + > (p + 2) cosp x cos1/2+p sinp x Tiếp theo nhân vế bất đẳng thức cho cosp x ta p p cosp x + cosp1+p x + x > p+2 tanp x 70 Tóm lại, Chương chúng tơi trình bày mục 3.1 số bất đẳng thức cổ điển cho hàm lượng giác hyperbolic, chẳng hạn bất đẳng thức Mitrinovi´c-Adamovi´c, bất đẳng thức Lazarevi´c, bất đẳng thức kiểu Huygens Các bất đẳng thức kiểu Wilker bất đẳng thức CusaHuygens, tổng quát hóa cho tất trường hợp Đồng thời đưa toán để áp dụng mục 3.2 71 Kết luận Trong luận văn thực công việc sau Trình bày định nghĩa, tính chất quan trọng hàm lượng giác hàm hyperbolic; trung bình; khai triển chuỗi hàm lượng giác, hàm hyperbolic Trình bày chi tiết số bất đẳng thức hàm lượng giác hàm hyperbolic; số bất đảng thức liên hệ hàm lượng giác hàm hyperbolic; số bất đẳng thức cổ điển cho hàm lượng giác hyperboli tổng quát cho tất trường hợp Đồng thời, chương này, nghiên cứu làm rõ số hệ quả, tự đưa số tập để áp dụng Trình bày chi tiết số bất đẳng thức hàm lượng giác hàm hyperbolic mở rộng tự đưa số tập để áp dụng 72 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc (2001), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [2] Hồng Minh Qn, Hồng Thị Bích Ngọc (2018), Các chuyên đề chọn lọc chứng minh bất đẳng thức hình học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trương Đức Thịnh (2015), Đẳng thức bất đẳng thức lớp hàm hyperbolic,luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học [4] Đỗ Thị Thu Trang (2018), Một số lớp bất đẳng thức lượng giác kiểu Klamkin tam giác,luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học Tiếng Anh [5] Jian Liu (2020) ,An improved result of a weighted trigonometric inequality in acute triangles with applications, Journal of Mathematical Inequalities, volume 14, number 1, 145-158 [6] Riku Klén, Matti Vuorinen, Xiaohui Zhang (2014), Inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions, J Math Anal Appl 409, 521-529 [7] R Klén, M Visuri, and M Vuorinen (2010), On Jordan Type Inequalities for Hyperbolic Functions, Journal of Inequalities and Applications, volume 2010, article ID 362548, 1-14 73 [8] Ling Zhu (2012), New inequalities for hyperbolic functions and their applications,Journal of Inequalities and Applications,2012:303, 1-9 [9] Shanhe Wu, Lokenath Debnath (2009), A generalization of L’Hôspitaltype rules for monotonicity and its application, Elsevier, Applied Mathematics Letters 22, 284–290 [10] L Zhu (2010), Inequalities for Hyperbolic Functions and Their Applications, Journal of Inequalities and Applications, Volume 2010, Article ID 130821, 10 pages [11] J Liu (1994), Several trigonometric inequalities for triangles (Chinese), Teaching Montyly, 11, 10-13 [12] Sever S Dragomir, Charles E.M Pearce (1991), Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequalities and Applications, Mathematics Subject Classification Primary 26D15, 26D10; Secondary 26D99 [13] M Abramowitz, IA Stegun (1948), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical, Library of Congress Catalog card number; 64-60036 ... 14 BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG 2.1 Một số bất đẳng thức hàm lượng giác 2.2 Áp dụng 2.3 Một số bất đẳng thức hàm hyperbolic. .. lượng giác, hàm hyperbolic ứng dụng giải tốn có liên quan đến vấn đề này, chọn đề tài "Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng" Luận văn "Một số bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm. .. thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic quan trong; bất đẳng thức liên hệ hàm lượng giác hàm hyperbolic; với tập áp dụng Chương Bất đẳng thức hàm lượng giác, hàm hyperbolic mở rộng áp dụng Trong chương