44 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ NGHIỆM MỜ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HYPERBOLIC FUZZY SOLUTION OF THE HYPERBOLIC FUNCTION EQUATION ThS Đặng Vân Thu Thuỷ Đại Học Hàng Hải Việt Nam Email dvthuy@vimar[.]
NGHIỆM MỜ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HYPERBOLIC FUZZY SOLUTION OF THE HYPERBOLIC FUNCTION EQUATION ThS Đặng Vân Thu Thuỷ Đại Học Hàng Hải Việt Nam Email:dvthuy@vimaru.edu.vn Ngày tòa soạn nhận báo:02/12/2020 Ngày phản biện đánh giá: 17/12/2020 Ngày báo duyệt đăng: 28/12/2020 Tóm tắt: Hiện nay, nhà toán học quan tâm đến lý thuyết tập mờ đặc biệt phương trình đạo hàm riêng mờ sở logic mờ, tập mờ với mong muốn tìm nghiệm tính chất nghiệm toán mà số đại lượng phương trình mang tính chất khơng đầy đủ, khơng xác, mơ hồ hàm phụ thuộc, điều kiện ban đầu, điều kiện biên Trong phát triển đa dạng lý thuyết tập mờ, phương trình vi phân mờ phương trình đạo hàm riêng mờ dần hoàn thiện đạt số kết quan trọng Những kết có nhiều ứng dụng hệ động lực khí đốt, hệ âm thanh, hệ điều khiển, mạng noron máy tính Do có nhiều ứng dụng rộng rãi quan trọng nên việc nghiên cứu phương trình vi phân mờ phương trình đạo hàm riêng mờ đề tài nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Có nhiều kết cơng bố vấn đề này, dựa vào kết báo tập trung nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng đặc biệt tồn nghiệm mờ lớp phương trình hyperbolic Từ khóa : nghiệm mờ, hàm hyperbolic mờ, phương trình hyperbolic Summary: Currently, mathematicians have been very interested in fuzzy set theory and especially fuzzy partial derivative equations on the basis of fuzzy logic, fuzzy sets with the desire to find solutions and solution nature of problems but some quantities of the equation are of incomplete, inaccurate, ambiguous nature such as dependent function, initial condition, boundary condition In the diversified development of fuzzy set theory, fuzzy differential equations and fuzzy partial derivative equations are gradually being completed and achieving some important results These results have many applications in gas dynamics, sound systems, control systems, computer noron networks Due to 44 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ micro equations Fuzzy division and fuzzy partial derivative equations are a topic of much interest and research by scientists There are many published results on this problem, based on the these results, the equations article focuses the and many wide and important applications, study of micro Fuzzy on division fuzzy partial derivative a topic of muchthe interest and research scientists specific derivative equations equationsareand especially existence of onlybyfuzzy There are many published results on this problem, based on these results, the article focuses on the equations and especially the existence of only fuzzy solutions of specific the classderivative of hyperbolic equations solutions of the class of hyperbolic equations Key words: fuzzy solutions, fuzzy hyperbolic functions, hyperbolic equations Key words: fuzzy solutions, fuzzy hyperbolic functions, hyperbolic equations Mở đầu 1.1 Tính liên tục, khả vi đạo hàm hàm mờ n Định nghĩa 1.1: Với x, y ∈ E , tồn z ∈ E n cho x= y + z z gọi hiệu Hukuhara x y , ký hiệu x − y Định nghĩa 1.2: Ánh xạ f : J × J → E gọi liên tục cấp (t , s ) ∈ J × J ánh xạ fα ( t , s ) = f ( t , s )α liên tục ( t , s ) = ( t0 , s0 ) mêtric Hausdorff a n b 0 a b H d với α ∈ [0,1] Ánh xạ f : J × J → E gọi bị chặn khả tích tồn hàm khả tích h ∈ L1 ( J a × J b , � n ) cho | y |≤ h ( s, t ) với y ∈ f ( s, t ) Định nghĩa 1.3: Ánh xạ f : J × J × E → E gọi liên tục cấp điểm (t , s , x ) ∈ J × J × E với α ∈ [0,1] ò > bất kỳ, tồn số δ (ò, α ) > cho điểm (t , s) mà max ( t − t0 , s − s0 ) < δ (ò, α ) a n b a 0 ( a b n n n b ) ( ) H d [ x ] , [ x0 ] < δ (ò, α ) với ( t , s, x ∈ J a × J b × E n ) : H d f ( t , s, x ) , f ( t0 , s0 , x0 ) < ò α α f : J a × Jb → E n , Cho định (∫ ∫ a b 0 = {∫ a ) α =∫ a ∫ b ∫ v ( t , s ) dsdt | v : J = f ( t , s ) dsdt ký hiệu a b f α b 0 tích phân 0 f J a × J b xác × J b → � n , v(t , s ) = y, y ∈ fα (t , s ) = [ f (t , s )]α = x : f (t , s )( x) ≥ α } α Định nghĩa 1.4: Một hàm a b n ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt ∈ E ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt α ( t , s ) dsdt {∫ ∫ ydsdt : y ∈[ f (t, s)] }= {=z a a b α (∫ a ∫ b y1dsdt , , ∫ a f : J a × Jb → E n ∫ b } yn dsdt ) ∈ � n , y ∈ [ f (t , s )]α , ∀α ∈ (0,1] gọi khả tích J a × Jb Mệnh đề 1.1: Nếu f, g khả tích J a × J b λ ∈ � n a b ( f ( t , s ) + g ( t , s ))dsdt = a b 0 a b a b 0 a b a b 0 0 0 ∞ đạo hàm riêng mờ f theo biến x ∂f ( t0 , x0 ) TẠP CHÍ KHOA HỌC mờ xác định 45 ∈ En Định nghĩa 1.5:Cho ánh xạ f : J a × Jb → E n , điểm ∂f ( t0 , x0 ) ∂x 0 a b 0 ∞ 0 f ( t , s ) dsdt + ∫ a b ∫∫ ∫∫ ∫ g ( t , s ) dsdt , ii) ∫ ∫ λ f ( t , s ) dsdt = λ.∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , iii) d [ ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , ∫ ∫ g ( t , s ) dsdt ] ≤ ∫ ∫ d ( f ( t , s ) , g ( t , s ))dsdt i) = lim h →0 (t0 , x0 ) ∈ J a × J b f ( t0 + h, s0 ) − f ( t0 , x0 ) h Giới tập ∂x QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ hạn lấy khơng gian mêtric a b a b ∫ ∫ λ f ( t , s ) dsdt = λ.∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , iii) d [ ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , ∫ ∫ g ( t , s ) dsdt ] ≤ ∫ ∫ d ii) 0 ∞ a b 0 a b a b 0 0 0 ∞ Định nghĩa 1.5:Cho ánh xạ f : J a × Jb → E n , điểm ∂f ( t0 , x0 ) ∂x = lim h →0 (t0 , x0 ) ∈ J a × J b f ( t0 + h, s0 ) − f ( t0 , x0 ) h theo biến x f định ∂x hạn lấy không gian mêtric ( E , H ) Đạo hàm riêng mờ n đạo hàm riêng mờ ∂f ( t0 , x0 ) mờ xác ∈ En tập Giới ( f ( t , s ) , g ( t , s ))dsdt d f theo biến y điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b định nghĩa tương tự Phương trình hàm hyperbolic mờ với điều kiện biên địa phương Chúng ta nghiên cứu tồn nghiệm phương trình sau: ∂ u ( x, y ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] ∂x∂y (1) u ( x,0)= η1 ( x), u (0, y )= η2 ( y ),( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (2) (3) u ( x, y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [ − r , 0], n n n f : J a × J b × C ([−r ,0] × [−r ,0], E ) → E , ϕ :[−r ,0] × [−r ,0] → E hàm cho trước hàm u( x , y ) ( s, t ) định nghĩa sau: u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0] Định nghĩa 2.1: Nghiệm phương trình (1), (2), (3) hàm u (.,.) thuộc ∂ u ( x, y ) = f ( x, y, u( x , y ) ) J a × J b thỏa ∂x∂y n khơng gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) cho mãn điều kiện ban đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] Định lý 2.1: Giả sử phương trình thỏa mãn điều kiện ( H ) nghĩa tồn số K' cho H d ([ f (t , s, ϕ )]α ,[ f (t , s,ψ ]α ) ≤ K ′.H d ([ϕ (ω , ω )]α ,[ψ (ω , ω )]α ) n với (t , s) ∈ J a × J b ϕ ,ψ ∈ C ([−r ,0] × [−r ,0], E , ω , ω ∈ [−r , 0] Nếu K ′ab < tốn có nghiệm mờ khơng gian C ([−r , a] × [−r , b], E n ) Chứng minh Nghiệm toán điểm bất động toán N ′ : C ([ − r , a ] × [ − r , b], E ) → C ([ − r , a ] × [ − r , b]E ) xác định sau n n ϕ ( x, y ) N ′(u )( x, y ) = x y q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt 0 ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] ( x, y ) ∈ J a × J b q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0) n Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) α ∈ (0,1] với ( x, y ) ∈ J a × J b ∫ f ( t, s, u ) dsdt Và QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ )( x, y ) q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt N ′(u = x y 0 ′(u= q′( xHỌC )( xCHÍ , y )KHOA , y) + ∫ 46N TẠP (t ,s ) x y 0 (t ,s ) Ta có H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) = ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] tử ∫∫ 0 q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0) n Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) α ∈ (0,1] với ( x, y ) ∈ J a × J b ∫ f ( t, s, u ) dsdt Và q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt N ′(u= )( x, y ) q′( x, y ) + ∫ x y )( x, y ) N ′(u = (t ,s ) x y 0 (t ,s ) Ta có H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) = ( x, y ) ∈ J a × J b từ ( H ) suy ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) α α ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ,[q′( x, y) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ) x y ≤ ∫ ∫ H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt 0 = H d ([q′( x, y ) + ∫ x ≤∫ x ≤∫ a 0 ∫ y ∫ b 0 y x (t ,s ) y (t ,s ) K ′.H d (u (t + ω , s + ω )α , u (t + ω , s + ω )α )dsdt K ′ sup H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt ≤ K ′ α ∈(0,1] a b 0 ∫∫ d ∞ (u (t , s), u (t , s))dsdt ≤ K ′abH1 (u, u ) Với ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N ′(u )( x, y ), N ′(u )) ≤ K ′abH1 (u, u ) Nếu K ′ab < N’ ánh xạ co theo nguyên lý điểm bất động ánh xạ có điểm bất động nghiệm (1), (2), (3) � Chúng ta tiếp tục nghiên cứu tồn nghiệm toán sau ∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] ∂x∂y ∂y u ( x,0)= η1 ( x), u (0, y )= η2 ( y ),( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (4) (5) (6) u ( x, y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [ − r , 0], n f : J a × J b × C ([−r ,0] × [−r ,0], E n ) → E n , ϕ :[−r ,0] × [−r ,0] → E , p : J a × J b → � hàm cho trước u( x , y ) ( s, t ) định nghĩa sau u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0] Định nghĩa 2.2: Nghiệm phương trình (4), (5), (6) hàm không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) n ∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] ∂x∂y ∂y đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] kiện ban u (.,.) thuộc cho J a × J b thỏa mãn điều ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] Định lý 2.2: Nếu toán thỏa mãn điều kiện ( H ) a sup ( t , s )∈J a × J b p(t , s ) + K ′ab < n r , a]CHÍ × [−KHOA r , b], EHỌC ) tốn có nghiệm mờ không gian C ([−TẠP QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ Chứng minh Nghiệm tốn điểm bất động toán tử N1′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) xác định sau 47 u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0] Định nghĩa 2.2: Nghiệm phương trình (4), (5), (6) hàm khơng gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) u (.,.) n ∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] ∂x∂y ∂y đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] kiện ban thuộc cho J a × J b thỏa mãn điều ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] Định lý 2.2: Nếu toán thỏa mãn điều kiện ( H ) a sup p(t , s ) + K ′ab < ( t , s )∈J a × J b n tốn có nghiệm mờ không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) Chứng minh Nghiệm toán điểm bất động toán tử N1′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) xác định sau ϕ ( x, y ) N1′(u )( x, y ) = x x y q′( x, y ) + ∫ p ( s, y )u( s , y ) ds + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt 0 ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] ( x, y ) ∈ J a × J b x q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0) − ∫0 p( s,0).ϕ0 ( x) n Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) α ∈ (0,1] với ( x, y ) ∈ J a × J b x x 0 x x 0 N1′(u )( x, y ) =+ q′( x, y ) ∫ p( s, y )u( s , y ) ds + ∫ Và N1′(u )( x, y ) =+ q′( x, y ) ∫ p( s, y )u( s , y ) ds + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt y (t ,s ) ∫ f ( t , s, u ) dsdt y (t ,s ) H d ([ N1′(u )( x, y )]α ,[ N1′(u )( x, y )]α ) = ( x, y ) ∈ [−r , 0] × [−r , 0] Ta có ( x, y ) ∈ J a × J b (H2 ) từ suy H d ([ N1′(u )( x, y )]α ,[ N1′(u )( x, y )]α ) x x 0 = H d ([q′( x, y ) + ∫ p ( s, y )u( s , y ) ds + ∫ α ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ,[q′( x, y) + ∫ y (t ,s ) x x 0 ≤ ∫ H d ( p( s, y )u( s , y ) ]α ,[ p( s, y )u( s , y ) ]α )ds + ∫ ≤ sup ( t , s )∈J a × J b ∫ y + K ′∫ a +∫ x 0 p (t , s ) ∫ x H d ([u (t + ω , s + ω )]α x ∫ y p ( s, y )u( s , y ) ds ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dsdt ≤ ( sup ( t , s )∈J a × J b QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ (t ,s ) p (t , s ) ∫ a d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dt p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ) Với ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N1′(u )( x, y ), N1′(u )) ≤ ( sup 48 TẠP CHÍ KHOA HỌC y ,[u (t + ω , s + ω )]α )ds ( t , s )∈J a × J b ∫ α ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ) H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt K ′.H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt ≤ sup b x ( t , s )∈J a × J b p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ) +∫ ∫ + K ′∫ a K H d ([u (t + ω , s + ω )] ,[u (t + ω , s + ω )] )dsdt ≤ sup ∫ b d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dsdt ≤ ( sup ( t , s )∈J a × J b ( t , s )∈J a × J b sup ( t , s )∈J a × J b ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dt p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ) Với ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N1′(u )( x, y ), N1′(u )) ≤ ( sup Nếu p (t , s ) ( t , s )∈J a × J b p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ) p(t , s ) + K ′ab < N1′ ánh xạ co nên có điểm bất động nghiệm tốn (4), (5), (6) � Phương trình hàm hyperbolic mờ với điều kiện biên địa phương Ta tiếp tục nghiên cứu toán với điều kiện biên không địa phương sau ∂ u ( x, y ) = f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] ∂x∂y (7) p u ( x, y ) + ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0], i =1, , p (8) u ( x, y ) + ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) = ψ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b , j =1, , m (9) i =1 m j =1 Định nghĩa 3.1: Nghiệm tốn hàm u (.,.) thuộc khơng gian C ([−r , a] × [−r , b], E n ) cho ∂ u ( x, y ) = f ( x, y, u( x, y ) ) với ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] ∂x∂y ,thỏa mãn điều kiện (8), (9) Định lý 3.1: Giả sử toán thỏa mãn điều kiện ( H ) p r ∑ sup g ( x) + ∑ sup h ( y) + K ′ab < i =1 x∈J a i j =1 y∈J b j n tốn (7), (8), (9) có nghiệm C ([−r , a] × [−r , b], E ) Chứng minh Nghiệm toán điểm bất động ánh xạ N 2′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) định nghĩa sau p ϕ ( x, y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) i =1 m − ( , ) ψ x y h j ( y )u (a j + x, y ) ∑ = j N 2′ (u )( x, y ) = p m ′ − − ( , ) ( ) ( , ) q x y g x u x y h j ( y )u (a j , y ) ∑ ∑ i 1 = = i j x y + ∫0 ∫0 f ( t , s, u(t ,s ) ) dsdt ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0] ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b ( x, y ) ∈ J a × J b q2′ ( x, y ) =ϕ ( x,0) +ψ (0, y ) − ϕ (0,0) n Với u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) α ∈ (0,1] TẠP CHÍ KHOA HỌC 49 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ p ϕ ( x , y ) gi ( x)u ( x, bi + y ) − ∑ i = m ψ ( x, y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) j =1 N 2′ (u )( x, y ) = p m ′ − − q ( x , y ) g ( x ) u ( x , y ) h j ( y )u (a j , y ) ∑ ∑ i i =1 j =1 x y + ∫ ∫ f ( t , s, u(t , s ) ) dsdt 0 ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0] ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b ( x, y ) ∈ J a × J b Và p ϕ x y gi ( x)u ( x, bi + y ) ( , ) − ∑ i = m − ψ x y h j ( y )u (a j + x, y ) ( , ) ∑ = j ′ N (u )( x, y ) = p m ′ − − q x y g x u x y h j ( y )u (a j , y ) ( , ) ( ) ( , ) ∑ ∑ i i j = = 1 x y + ∫ ∫ f t , s, u (t , s ) dsdt 0 ( ) ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0] ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b ( x, y ) ∈ J a × J b Nếu ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b theo ( H ) ta có p p i =1 i =1 H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) p ≤ ∑ sup gi ( x) sup H d ([u ( x, bi + y )]α ,[u ( x, bi + y )]α )dsdt α ∈(0,1] i =1 x∈J a p p ≤ ∑ sup gi ( x) d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ) i =1 x∈J a i =1 x∈J a Do đó, với ( x, y ) ∈ J a × [−r ,0] p H1 ( N 2′ (u ), N 2′ (u ) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ) i =1 x∈J a p ∑ sup g ( x) < N2′ ánh xạ co Khi N2′ có điểm bất động Nếu i =1 x∈J a i điểm bất động nghiệm toán Tương tự với ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b , tốn có nghiệm r ∑ sup | h ( y) |< j j =1 y∈J b Nếu ( x, y ) ∈ J a × J b theo ( H ) ta có p p i =1 i =1 H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N 2′ (u )( x, y )]α ) ≤ H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ) 50 TẠP CHÍ KHOA m HỌC ∑ QUẢN + H LÝ ([ VÀhCÔNG ( y )u (NGHỆ a + x, y )]α ,[ d +∫ x j =1 ∫ y j j m ∑ h ( y)u (a j =1 j j + x, y )]α ) H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt ) ... Đạo hàm riêng mờ n đạo hàm riêng mờ ∂f ( t0 , x0 ) mờ xác ∈ En tập Giới ( f ( t , s ) , g ( t , s ))dsdt d f theo biến y điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b định nghĩa tương tự Phương trình hàm hyperbolic. .. co nên có điểm bất động nghiệm toán (4), (5), (6) � Phương trình hàm hyperbolic mờ với điều kiện biên địa phương Ta tiếp tục nghiên cứu toán với điều kiện biên không địa phương sau ∂ u ( x, y )... ,0] → E hàm cho trước hàm u( x , y ) ( s, t ) định nghĩa sau: u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0] Định nghĩa 2.1: Nghiệm phương trình (1), (2), (3) hàm u (.,.)