Skkn hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cực trị trong không gian oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Họ tên: Nguyễn Lê Minh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HĨA NĂM 2022 skkn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài. 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu -3 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN -4 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận. -4 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng biện pháp. 2.3 Nội dung. -6 BÀI TẬP 19 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường. 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ -22 3.1 Kết luận 22 3.2 Kiến nghị 22 Tài liệu tham khảo -23 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT nội dung kiến thức hình học Oxyz phần quan trọng, chương mà năm gần có số lượng câu hỏi xuất nhiều đề thi THPT Quốc Gia, thường xuyên có câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao Bảng thống kê số lượng mức độ câu hỏi phần hình học Oxyz đề thi THPT QG từ năm 2017 đến năm 2021 Mức độ Năm Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng Tổng số cao 2021 3 1 2020 2 2019 2 2018 1 2017 1 Trong trình dạy học chương hình học 12 cho lớp 12C1 trường THPT Nông Cống - lớp gồm em học sinh có lực tốt khối 12 – Lớp chọn trường, Tôi nhận thấy em giải tốt tốn mức độ nhận biết thơng hiểu, số toán mức độ vận dụng vận dụng cao ứng dụng đại số giải tích để giải học sinh làm được, số tốn cực trị khơng gian Oxyz mà cách giải có yếu tố hình học gặp nhiều khó khăn, khơng biết đâu, vận dụng loại kiến thức nào, … tâm lý cịn e ngại, thiếu tự tin, dẫn tới khơng làm loại tập này, kiểm tra tơ bừa, may rủi nên kết thi không tốt Trong khoảng thời gian thi trắc nghiệm từ năm 2017 đến số lượng tốn cực trị khơng gian Oxyz nhiều chưa chia thành dạng Các tài liệu ôn tập sách tham khảo không cập nhật kịp thời, phương skkn pháp giải có nhiều chưa tập hợp thành chuyên đề, điều gây cho em nhiều khó khăn việc ơn tập Xuất phát từ lý thực chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán cực trị khơng gian Oxyz” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh có chuyên đề số phương pháp giải tốn cực trị khơng gian Oxyz, tự tin tiếp cận toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số phương pháp giải tốn cực trị khơng gian Oxyz, ví dụ tập vận dụng tương ứng có đề thi THPT Quốc Gia, đề thi thử Sở GD&ĐT trường THPT nước 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong SKKN sử dụng phương pháp thống kê, tập hợp toán cực trị khơng gian Oxyz có đề thi từ năm 2017 đến 2021 từ chia thành dạng toán, dạng toán đề nghị phương pháp giải 1.5 Những điểm SKKN Sáng kiến kinh nghiệm phần hoàn thiện báo cáo biện pháp nâng cao chất lượng dạy học dự thi Giáo viên giỏi cấp tỉnh năm học 2021 – 2022 Trong SKKN tơi trình bày số phương pháp giải dạng tốn cực trị khơng gian Oxyz ví dụ, phần tập vận dụng chọn lọc lại gọn điển hình skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Một số kiến thức thường sử dụng toán cực trị Oxyz *) Quan hệ đường vng góc đường xiên: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn *) Bất đẳng thức tam giác: Với ba điểm A, B, C ta có bất đẳng thức: Tổng qt: hệ điểm n điểm ta ln có *) Độ dài tổng vectơ không vượt tổng độ dài vectơ: *) Bất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ: Với hai vectơ ta ln có *) Tâm tỉ cự hệ điểm n điểm không gian: Trong không gian cho n điểm Khi n số thực có điểm I thỏa mãn Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm gắn với hệ số Nếu thay hệ số tâm tỉ cự I hệ n điểm hệ số khơng thay đổi skkn Trường hợp đặc biệt I gọi trọng tâm hệ điểm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng biện pháp Trước dạy chuyên đề phần lớn em học sinh khơng làm tốn cực trị khơng gian Oxyz, tâm lý cho khó, vượt ngồi khả mình, số em thực muốn giải tốn khơng biết đâu, vận dụng loại kiến thức nào,… Cũng có em làm dạng lại không làm dạng kia, lời giải nhiều bắt chước, không nắm chất, không nắm mấu chốt, nguyên nhân xuất lời giải Hệ thống tập dùng để luyện tập củng cố kiến thức cho nội dung chưa cập nhật thường xuyên chưa phù hợp với đặc điểm lớp Điều phản ánh kết thi KSCL lần em học sinh trước dạy chuyên đề Kết thi KSCL lần lớp 12C1 năm học 2019 – 2020 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) Dưới 49 hs 0% 18 hs 36.7% 20 hs 40.8% 11 hs 22.5% Kết thi KSCL lần lớp 12A3 năm học 2020 – 2021 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) Dưới 40 hs 0% hs 12.5% 15 hs 37.5% 20 hs 50% Kết thi KSCL lần lớp 12B1 năm học 2021 – 2022 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) Dưới 45 hs 0% 15 hs 33.3% 20 hs 44.5% 10 hs 22.2% Mà mục tiêu nhà trường lớp 12C1; 12B1 có nhiều học sinh có điểm thi THPT mơn tốn điểm, phấn đấu có học sinh đạt điểm 10 Đối với lớp 12A3 có nhiều học sinh đạt điểm 8, mơn tốn kỳ thi THPT quốc gia 2.3 Nội dung Dạng 1: Trong không gian Oxyz cho điểm A cố định Tìm điểm M di động hình (H) ((H) đường thẳng mặt phẳng) cho khoảng cách AM nhỏ skkn Phương pháp Gọi H hình chiếu vng góc A lên hình (H), , AM nhỏ M hình chiếu A lên hình (H) Dạng 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A B cố định Viết phương trình mặt phẳng qua B cách A khoảng lớn Phương pháp Gọi (P) mặt phẳng qua B, H hình chiếu A lên (P), nên A cách (P) khoảng lớn AB Vậy (P) mặt qua B có véctơ pháp tuyến Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm Biết mặt phẳng (P) qua A cách B khoảng lớn Phương trình mặt phẳng (P) A B C D Dạng 3: Trong không gian Oxyz cho điểm A; B mp(P) Tìm cho: nhỏ lớn Phương pháp nhỏ TH1 Nếu A B nằm hai phía so với mp (P) , dấu “=” xảy M giao điểm AB mp(P) skkn TH2 Nếu A B nằm phía mp (P) Gọi Khi đối xứng với A qua (P) dấu “=” xảy M giao điểm mp(P) lớn TH1 Nếu A, B nằm phía so với mp (P) , dấu “=” xảy M giao điểm đường thẳng AB với mp(P) skkn TH2 Nếu A, B nằm khác phía so với mp(P) gọi mp(P) Khi đối xứng với A qua , dấu “=” xảy M giao với mp(P) Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho cho Tìm điểm nhỏ Lời giải Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = Vậy M, N phía với mp(Oxy) Đường thẳng d qua M vng góc mp(Oxy) có pt: skkn Gọi H giao điểm d với mp(Oxy) Ta có mà Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy) H trung điểm MM' nên M'(1; 2; −¿3) Ta có IM + IN = IM' + IN  M'N  Min (IM + IN) = M'N  I giao điểm M'N mp(Oxy) M'N qua M ' có VTCP nên có phương trình: Điểm I  M’N  I( + 3t', + 2t', −¿3 + 8t') I  (Oxy)  −¿3 + 8t' =  t' =8  17 11   ; ;0  Vậy I   Ví dụ Trong khơng gian với hệ truc tọa độ Oxyz cho mặt phẳng hai điểm lớn Giá trị abc nằm (P) cho A Điểm B 12 C 24 Lời giải Ta có A, B nằm hai phía mặt phẳng (P) Gọi D -24 điểm đối xứng với B qua mp(P) Phương trình đường thẳng skkn Gọi H giao điểm nên mp(P) H trung điểm ta có Tọa độ điểm M giao điểm mp(P)  abc = 24 Chọn đáp án C Dạng 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm số thực số thực thỏa mãn mp(P) Xét: Tìm điểm M thuộc mp(P) cho có giá trị nhỏ T có giá trị nhỏ T có giá trị lớn Phương pháp Gọi I điểm thỏa mãn 10 skkn Ta có với Khi Nên nhỏ MI nhỏ Vậy M hình chiếu I lên mp(P) Vì khơng đổi T có giá trị nhỏ MI bé T có giá trị lớn MI bé nên MI nhỏ M hình chiếu I lên mp(P) Ví dụ Cho mặt phẳng Tìm điểm nhỏ nhất, biết nhỏ nhất, biết cho: 11 skkn nhỏ nhất, biết Lời giải: Gọi I điểm cho Ta có Do I cố định nên không đổi Vậy nhỏ nhỏ nhất, M hình chiếu I (P) Đường thẳng d qua I vng góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến (P) làm vectơ phương nên có phương trình (d): M giao điểm (d) (P) Kết luận: nhỏ Làm tương tự câu Gọi I điểm cho Khi 12 skkn nhỏ Viết phương trình đường thẳng ⇔M hình chiếu I (P) qua I vng góc với (P) M giao (P) Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm Xét điểm thay đổi mặt phẳng (Oxz), giá trị nhỏ biểu thức A B C D Lời giải Gọi I điểm thỏa mãn Ví dụ Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng điểm Điểm nhỏ Giá trị A 11 B 15 ba thuộc mp(P) cho C D 10 Lời giải Gọi I điểm thỏa mãn nhỏ M hình chiếu I lên mp(P) Phương trình đường thẳng qua I 13 skkn vng góc với (P) , M giao điểm (P) Chọn đáp án C Dạng Trong không gian Oxyz cho điểm A, B đường thẳng Tìm cho trước cho đạt giá trị nhỏ Phương pháp : Giả sử , khảo sát hàm Ví dụ Cho đường thẳng Tìm tọa độ điểm 1) 2) 3) có giá trị nhỏ hai điểm cho: nhỏ nhỏ nhỏ Lời giải 1) Gọi Ta có Xét hàm số 14 skkn Ta có (*)  Xét hàm số nên hàm số g(u) đồng biến R  Do từ (*) ta có Bảng biến thiên hàm số f : t −∞ −¿ +∞ +¿ Từ bảng biến thiên suy Vậy đạt , tức 2) Gọi 15 skkn Q đạt giá trị nhỏ Tức 3) Có Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ đạt Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho: phương trình: Ta có: Tìm điểm đường thẳng d có cho: nhỏ , d có VTCP Nhận thấy Mặt phẳng (P) qua MN vng góc với d có phương trình là: x −¿2y + z −¿2 = 16 skkn Gọi I = d Vì I (P), I d (P) nên: (7 + t) −¿ 2(3 −¿2t) +(9 + t) −¿ = Dạng Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d mp (P) cắt nhau, viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với (P) góc nhỏ Phương pháp Gọi I giao điểm đường thẳng d mp (P), d lấy điểm M khác I Gọi H K hình chiếu M lên (P) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Khi Ta có nên α nhỏ (Q) mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng (MHI) Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng phẳng Gọi (P) mặt phẳng chứa mặt tạo với 17 skkn góc nhỏ Phương trình mặt (P) có dạng với Khi tích abcd bao nhiêu? A 120 B 60 C -60 D -120 Lời giải Mặt phẳng (P) điểm Do ta có chọn phương án D Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm mp(P) : Gọi (Q) mặt phẳng qua hai điểm A B tạo với (P) góc nhỏ A Giá trị B C D Lời giải Có Khi Chọn đáp án D BÀI TẬP 18 skkn Bài tập Cho điểm sử điểm mp Giả điểm thuộc (P) cho có giá trị lớn Tính A T = B T = 10 C T = Bài tập Cho điểm phẳng D T = Điểm thuộc mặt cho tổng khoảng cách nhỏ Tính A 15 B 12 C 14 D 10 Bài tập Trong không gian Oxyz cho Điểm thuộc mặt phẳng cho biểu thức lớn Tính A 17 B 12 C Bài tập Cho cho D 14 điểm thuộc mặt phẳng đạt giá trị nhỏ Tính giá trị a + b + c A – B – 0,2 C – D Bài tập Cho mặt phẳng Tồn điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất, giá trị nhỏ gần với số ? A 16,7 B 15,3 C 43,7 D 23,9 Bài tập Cho cho Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) ngắn A (– 2;– 3;0) B (2;– 3;0) C (2;3;0) D (– 2;3;0) Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Tồn điểm M thuộc mặt phẳng cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Giá trị nhỏ A B 12 C D 19 skkn Bài tập Cho ba điểm , điểm mặt phẳng nhỏ Tính a + b + c A Bài tập Cho cho thuộc cho biểu thức B – đạt giá trị C D Điểm thuộc mp đạt giá trị nhỏ Giá trị nhỏ A 100 B 142 C 113 D 108 Bài tập 10 Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm Điểm thuộc mặt phẳng (Oyz) cho nhỏ Tính a + b + c A B đạt giá trị C D – Bài tập 11 Cho ba điểm mp(P) cho biểu thức Với O gốc tọa độ, khoảng cách OM A Điểm M thuộc đạt giá trị lớn B C D Bài tập 12 Cho ba điểm Điểm trục Ox cho A thuộc nhỏ Giá trị nhỏ B C D Bài tập 13 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng điểm Biết điểm giá trị nhỏ Khi đó, tổng A B – thuộc  cho C hai đạt D Bài tập 14 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Điểm cho A – thuộc đường thẳng d đạt giá trị nhỏ Tính a + b + c B C – D – 20 skkn 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi áp dụng SKKN dạy học thấy học sinh tơi dạy có kiến thức cách hệ thống hứng thú với phần này, em tự tin gặp toán cực trị dạng đề thi , giải nhanh xác yêu cầu đề Khi chia sẻ biện pháp với đồng nghiệp thấy đồng nghiệp ủng hộ góp ý nhiều ý kiến bổ ích giúp tơi ngày hồn thiện SKKN Chuyên đề tài liệu tốt để em tham khảo Để tổng hợp chuyên đề tham khảo nhiều nguồn tài liệu khác nhau, thường xuyên bổ sung tập qua năm từ nguồn tập đề thi THPT quốc gia, đề thi thử Sở GD&ĐT trường Kết thi KSCL lần 4, thi THPT Quốc Gia lớp Tôi dạy hai năm gần Kết thi KSCL lần lớp 12C1 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) Dưới 49 (0%) 20 (40.8%) 24(49%) 5(10.2%) Nhận thấy kết tốt SKKN áp dụng trao đổi với tổ chuyên môn Ban giám hiệu nhà trường áp dụng cách làm cho số chủ đề kiến thức khác chương trình ôn thi có kết quả: Kết thi THPT QG năm 2020 lớp 12C1 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) 49 0(0)% 28(57.1%) 20(40.8%) Dưới 1(2.1%) Kết thi KSCL lần lớp 12A3 năm học 2020 – 2021 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) Dưới 40 6(15%) 18(45%) 16(40%) Kết thi THPT Quốc Gia lớp 12A3 năm 2021 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) Dưới 40 6(15%) 20(50%) 14(35%) Kết thi KSCL lần lớp 12B1 năm học 2021 – 2022 Tổng số HS Điểm 10 Điểm [9;10) Điểm [8;9) Dưới 21 skkn 45 2(4.4%) 18(40%) 20(44.4%) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 5(11.2%) 3.1 Kết luận - Sáng kiến kinh nghiệm hệ thống số phương pháp giải dạng toán cực trị không gian Oxyz giúp học sinh học tốt chương hình học 12 - Khi sử dụng biện pháp vào dạy học thấy kết nâng cao rõ rệt, học sinh hứng thú hơn, tự tin - Dạy học theo chuyên đề cách tập hợp toán chủ đề kiến thức, phân dạng từ xây dựng toán gốc phương pháp giải cách dạy học hiệu quả, giúp học sinh có kiến thức cách hệ thống, qua nâng cao chất lượng dạy học - Sáng kiến kinh nghiệm tổng hợp kinh nghiệm thân, nên cịn nhiều thiếu sót, mong góp ý thầy cơ, đồng nghiệp để chun đề tơi ngày hồn thiện 3.2 Kiến nghị - Nhà trường xây dựng kế hoạch giáo dục theo định hướng pháp triển lực người học, phù hợp với việc dạy học theo chủ đề kiến thức - Nhà trường tạo môi trường học tập chủ động tích cực em học sinh giúp em có nhiều hứng thú học tập - Tổ chuyên môn, thầy cô xây dựng chuyên đề theo chủ điểm kiến thức, bàn luận, bổ sung phương pháp giải, ví dụ điển hình, qua năm làm cho chuyên đề ngày hồn thiện có chiều sâu - Với hình thức thi trắc nghiệm số lượng tập nhiều nên thầy cô giáo phải thường xuyên chủ động cập nhật tốn từ phân dạng xây dựng toán gốc phương pháp giải 22 skkn Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương - Phạm Khắc Ban – Lê Huy Hùng – Tạ Mân, Hình học 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2010 [2] Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề, NXBGD Việt Nam, 2008 [3] Đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn từ 2017 – 2021 [4] Đề thi thử THPT Quốc Gia mơn tốn số Sở GD [5] Huỳnh Đức Khánh, Huỳnh Thanh Tuấn, … Trắc nghiệm toán 12 tuyển chọn, NXB Đồng Nai, 2019 [6] Lê Hồnh Phị, Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012 [7] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vectơ giải tốn hình học khơng gian, NXBGD Việt Nam, 2008 Cam kết Tôi cam đoan SKKN viết, khơng chéo nội dung người khác Xác nhận Hiệu trưởng Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2022 Người viết SKKN Nguyễn Lê Minh 23 skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN TT Cấp đánh giá xếp loại Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Hướng dẫn học sinh giải số Sở GD&ĐT Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Năm học đánh giá xếp loại 2016 – 2017 tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phương pháp hàm số 24 skkn ... dạng toán cực trị khơng gian Oxyz? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh có chuyên đề số phương pháp giải tốn cực trị khơng gian Oxyz, tự tin tiếp cận toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số phương... nghiệm hệ thống số phương pháp giải dạng toán cực trị không gian Oxyz giúp học sinh học tốt chương hình học 12 - Khi sử dụng biện pháp vào dạy học thấy kết nâng cao rõ rệt, học sinh hứng thú hơn,... học dự thi Giáo viên giỏi cấp tỉnh năm học 2021 – 2022 tơi Trong SKKN tơi trình bày số phương pháp giải dạng toán cực trị khơng gian Oxyz ví dụ, phần tập vận dụng chọn lọc lại gọn điển hình skkn