Đang tải... (xem toàn văn)
ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Đại học Khoa học tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội Tự đáy lòng mình, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T[.]
ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu - Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Tự đáy lịng mình, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy quan tâm, bảo tận tình Thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Trường Đạị học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, giúp đỡ em suốt trình theo học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Đông Thành - Quảng Ninh gia đình tạo điều kiện cho tơi hồn thành kế hoạch học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Vũ Duy Đạt MỞ ĐẦU Luận văn nhằm cung cấp dạng toán xác suất rời rạc toán ứng dụng phương pháp xác suất giải tốn trung học phổ thơng Chun đề nằm chương trình phục vụ cải cách giáo dục bồi dưỡng học sinh giỏi lớp chuyên toán phục vụ kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic khu vực quốc tế Trong chương trình cải cách giáo dục nay, vấn đề liên quan đến xác suất thống kê phê duyệt để giảng dạy thức trường trung học phổ thơng Ở nhiều nước giới, kì thi học sinh giỏi toán cấp, Olympic Toán khu vực quốc tế có nhiều đề tốn liên quan tới lý thuyết phương pháp xác suất, thống kê Những dạng tốn thường xem thuộc loại khó phần kiến thức nâng cao chuyên đề khơng nằm chương trình thống sách giáo khoa hành bậc trung học phổ thông Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề xác suất phương pháp xác suất, chọn đề tài luận văn ”Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc ứng dụng” Trong đó, khảo sát số lớp toán từ đề thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic nước năm gần chuyên đề Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc Chương Ứng dụng phương pháp xác suất giải tốn trung học phổ thơng Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Chương Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc Trong chương trình bày sở lý thuyết toán áp dụng nâng cao phép tính xác suất đại số, áp dụng quy tắc tổng quát quy tắc cộng, quy tắc nhân, công thức Bernoulli cho phép thử lặp, công thức xác suất đầy đủ, cơng thức Bayes vào ví dụ thực tế Nghiên cứu tính tốn đại lượng đặc trưng biến ngẫu nhiên rời rạc kỳ vọng, phương sai thống kê Tài liệu tham khảo phần [4], [5], [6], [7] 1.1 Phép thử biến cố Định nghĩa 1.1 Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay không gọi thực phép thử Ví dụ 1.1 Thực tung đồng xu bốn lần phép thử nhằm quan sát bốn lần tung đồng xu ta nhận mặt ngửa hay mặt sấp Khi tất kết xảy sau lần tung 24 = 16 Khả xảy kết 16 Định nghĩa 1.2 (xem [4]) Không gian mẫu Ω phép thử T tập hợp tất kết phép thử T cho kết có khả xảy Tập A ⊂ Ω A gọi biến cố ngẫu nhiên Khi A = Ω A gọi biến cố chắn (chắc chắn xảy ra) Khi A = ∅ A gọi biến cố không (không xảy ra) 1.2 Xác suất biến cố Trở lại với ví dụ ta xét biến cố A "kết bốn lần tung có ba lần xuất mặt ngửa" Kết Ω làm A xuất là: NNNN, NSNN, NNSN, NNNS, SNNN Khi năm kết gọi kết có lợi cho biến cố A, khả xảy biến cố A 16 Định nghĩa 1.3 (xem [4]) Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả xảy biến cố thực phép thử 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa 1.4 Xét phép thử T với không gian mẫu Ω hữu hạn Biến cố A ⊂ Ω, tỉ số P (A) = |A| |Ω| gọi xác suất biến cố A Nói cách khác P hàm số xác định tập tất tập Ω, mà tập giá trị P [0,1] |A| ≤ |Ω| với A ⊂ Ω Ta có số tính chất xác suất sau: 1) ≤ P (A) ≤ 1, ∀ A⊂ Ω 2) P (Ω) = 3) P (∅) = Bài toán 1.1 [xem [5]] Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối đồng chất tìm xác suất để có biến cố: A: " Xuất hai mặt sấp" B: "Một mặt sấp, mặt ngửa" C: "Ít mặt sấp" Lời giải Phép thử T tung hai đồng xu cân đối đồng chất Không gian mẫu: Ω = {SS, N N, N S, N N }, |Ω| = A = {SS}, |A| = B = {SN, N S}, |B| = C = {SS, SN, N S}, |C| = 3 nên P (A) = = 0, 25; P (B) = = 0, 5; P (C) = = 0, 75 4 Bài tốn 1.2 [xem [7] trang 447] Hiện có nhiều giải xổ số trao giải thưởng lớn cho người chọn sáu số số n số nguyên dương đầu tiên, n thường nằm khoảng từ 30 đến 60 Tìm xác suất mà người chọn sáu số số 40 số? Lời giải Chỉ có đạt giải thưởng lớn Tổng số cách để chọn sáu số số 40 C40 = Do đó, khả chiến thắng 40! = 3838380 34!6! ≈ 00000026 3838380 Bài tốn 1.3 Một hộp có a cầu trắng, b cầu đen, lấy ngẫu nhiên hai cầu Tìm xác suất để biến cố sau xảy a) A : "Quả cầu thứ trắng" b) B : "Quả cầu thứ hai trắng biết cầu thứ trắng" Lời giải a) Ta có số cách lấy hai bóng là: (a + b)(a + b − 1) nên |Ω| = (a + b)(a + b − 1) Số cách lấy bóng trắng, thứ hai tùy ý a.(a + b − 1) nên |A| = a(a + b − 1) Vậy P (A) = a(a + b − 1) a = (a + b)(a + b − 1) a+b b) Sau lần đầu lấy trắng, số cách để lần thứ hai lấy trắng (a − 1) nên |B| = a − Số cách để lấy từ a + b − a + b − 1, tức |Ω| = a + b − nên P (B) = a−1 a+b−1 Bài toán 1.4 Lấy ngẫu nhiên từ tú lơ khơ 52 Tìm xác suất biến cố sau A : "Lấy màu đỏ" B : "Lấy cơ, hai rơ, ba bích" C : "Lấy át, hai J, ba 9, hai 2" D : "Lấy ba chất chọn trước" Lời giải (cách) nên |Ω| = C Để lấy từ 52 tú có C52 52 Ta cần lấy đỏ, đen, nên |A| = C26 C26 = 171028000 Ta cần lấy cơ, rơ, bích, tép, nên 3 C13 = 22620312 .C13 C26 |B| = C13 Ta cần lấy át, hai J, ba 9, hai 2, nên |C| = C41 C42 C43 C42 = 576 Ta cần lấy ba chất năm thuộc ba chất khác nên |D| = 133 C39 = 286575757 Ta có: 171028000 = 0, 227268; 752538150 22620312 P (B) = = 0, 03006; 752538150 576 P (C) = = 0, 000007654; 752538150 286575757 = 0, 2188148 P (D) = 752538150 P (A) = Bài tốn 1.5 Có n người khách khỏi nhà mà khơng lấy mũ Chủ nhà khơng biết rõ chủ mũ nên gửi trả họ cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để a) Cả n người không nhận mũ b) Cả n người trả mũ c) Có k người (1 ≤ k ≤ n − 1) trả mũ Lời giải Ta có:|Ω| = n! a) Gọi biến cố A : "Cả n người không nhận mũ" Khi đó:|A| = Dn , nên P (A) = Dn n! b) Gọi biến cố B : "Cả n người trả mũ" Khi đó:|B| = 1, nên P (B) = n! c) Gọi biến cố C : "Có k người trả mũ" Để có k người trả mũ có n − k người khơng trả mũ, nên |C| = n−1 X Cnk Dn−k ; k=1 n−1 P P (C) = 1.2.2 Cnk Dn−k k=1 n! Định nghĩa thống kê xác suất Định nghĩa 1.5 Tần suất xuất biến cố n phép thử tỷ số số phép thử biến cố xuất tổng số phép thử thực Ta ký hiệu số phép thử n, số lần xuất biến cố A k Tần suất xuất biến cố A f (A) thì: f (A) = k n Định nghĩa 1.6 Xác suất xuất biến cố A phép thử số p không đổi mà tần suất f xuất biến cố n phép thử dao động xung quanh p, số phép thử n tăng lên vơ hạn P (A) ≈ f (A) Bài tốn 1.6 Có thể xem xác suất sinh trai theo dõi 88200 trẻ sơ sinh vùng có 45000 trai Lời giải Ta có P (A) ≈ f (A) = 4500 = 0, 51 88200 Tức xác suất sinh trai xấp xỉ 0,51 Hay tỉ lệ sinh trai gái xấp xỉ 51 nam, 50 nữ 1.3 Định lý cộng xác suất Theo định nghĩa biến cố biến cố tập khơng gian mẫu Ω nên biến cố có phép tốn tập hợp, sở ta xây dựng số cơng thức tính xác suất khác Định nghĩa 1.7 Biến cố C tổng hai biễn cố A B , kí hiệu A + B, C xảy có hai biến cố xảy Nói cách khác, ta viết C = A + B ⇔ C = A ∪ B Mở rộng n C = A1 + A2 + + An ⇔ C = ∪ Ai i=1 Định nghĩa 1.8 Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng đồng thời xảy phép thử Về mặt tập hợp A B xung khắc tương đương A ∩ B = ∅ Định nghĩa 1.9 Nhóm n biến cố A1 , A2 , , An gọi xung khắc đôi hai biến cố xung khắc Tức Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i, j = 1, n Định lý 1.1 (Định lý cộng xác suất) Cho A B hai biến cố xung khắc, P (A + B) = P (A) + P (B) Chứng minh Ta có A + B = A ∪ B, giả sử |A| = m1 , |B| = m2 , tất kết không gian mẫu n Do |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, mà |A ∩ B| = ∅ nên |A ∪ B| = |A| + |B| = m1 + m2 Suy ra: P (A ∪ B) = (m1 + m2 )/n; P (A) + P (B) = m1 /n + m2 /n = (m1 + m2 )/n Vậy ta có P(A + B) = P(A) + P(B) Hệ 1.1 Cho A1 , A2 , , An nhóm biến cố đơi xung khắc, ta có: P (A1 + A2 + + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) Bài toán 1.7 Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia điểm 10 0,1; trúng bia điểm 0,2; trúng bia điểm 0,25 điểm 0,45 Xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để xạ thủ điểm Lời giải Gọi A1 biến cố "Xạ thủ bắn trúng điểm 10" Gọi A2 biến cố "Xạ thủ bắn trúng điểm 9" Gọi A biến cố "Xạ thủ bắn điểm" Vậy A = A1 + A2 Vì A1 , A2 xung khắc nên ta có: P (A1 + A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) = 0, + 0, = 0, Định nghĩa 1.10 Nhóm biến cố A1 , A2 , , An gọi nhóm đầy đủ biến cố A1 + A2 + + An = Ω Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i, j = 1, n Hệ 1.2 Nếu A1 , A2 , , An tạo thành nhóm đầy đủ biến cố ! n n X X P (Ai ) = i=1 P (Ai ) = i=1 Định nghĩa 1.11 Hai biến cố A B gọi đối lập chúng tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, tức A ∪ B = Ω A ∩ B = ∅ Khi ta kí hiệu biến cố đối (đối lập) biến cố A A Hệ 1.3 Nếu A A hai biến cố đối lập, ta có P (A) = − P (A) Bài tốn 1.8 Trong hịm có n sản phẩm có m phẩm m ≤ n Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm, tìm xác suất để k sản phẩm có phẩm (k ≤ n) Lời giải Gọi A biến cố "k sản phẩm lấy phẩm", biến cố đối A "k sản phẩm lấy phế phẩm" Do P (A) = − P (A) k Mà |A| = Cn−m , k ≤ n − m, nên P (A) = − k Cn−m Cnk Bài tốn 1.9 Trong hịm có 10 chi tiết có chi tiết hỏng Tìm xác suất lấy ngẫu nhiên chi tiết khơng có q chi tiết hỏng Lời giải Gọi A biến cố "Trong chi tiết lấy khơng có chi tiết hỏng" Gọi A1 biến cố "Trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng" Gọi A0 biến cố "Trong chi tiết lấy khơng có q chi tiết hỏng" Khi A = A0 + A1 , A0 , A1 hai biễn cố xung khắc P (A) = P (A0 + A1 ) = P (A0 ) + P (A1 ) Mà P (A0 ) = 1.4 C86 C21 C85 ; P (A ) = nên P (A) = 2/15 + 8/15 = 2/3 = = 6 15 C10 C10 Định lý nhân xác suất Bây ta xét trường hợp biến cố C giao hai biến cố A, B Định nghĩa 1.12 Biến cố C gọi tích hai biến cố A B , C xảy A B xảy Về mặt tập hợp: C = A.B ⇔ C = A ∩ B Định nghĩa 1.13 Biến cố A gọi tích n biến cố A1 , A2 , , An A n Q xảy tất n biến cố A1 , A2 , , An xảy Kí hiệu: A = Ai i=1 Định nghĩa 1.14 Hai biến cố A, B gọi độc lập với việc xảy biến cố không làm thay đổi xác suất xảy biến cố ngược lại Hai biến cố A, B khơng độc lập hai biến cố gọi phụ thuộc Ví dụ 1.2 Trong bình có cầu trắng, cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu Gọi A biến cố "Lấy cầu trắng" P (A) = 3/5 Quả cầu bỏ lại vào bình tiếp tục lấy cầu Gọi B biến cố "Lần thứ hai lấy cầu trắng" P (B) = 3/5, P (B) không phụ thuộc vào A nên A, B độc lập Tuy nhiên ta lấy cầu trắng khơng bỏ lại vào bình ta có P (B) = 1/2 Khi A, B phụ thuộc Chú ý: Nếu A B hai biến cố độc lập A B, A B , A B độc lập với Định nghĩa 1.15 Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập đôi Ai , Aj độc lập, i 6= j, i, j = 1, n Định nghĩa 1.16 Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập toàn phần với biến cố độc lập với tổ hợp biến cố cịn lại ... thông Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề xác suất phương pháp xác suất, chọn đề tài luận văn ? ?Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc ứng dụng” Trong... sát số lớp tốn từ đề thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic nước năm gần chuyên đề Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc Chương Ứng dụng phương pháp xác. ..1 MỞ ĐẦU Luận văn nhằm cung cấp dạng toán xác suất rời rạc toán ứng dụng phương pháp xác suất giải toán trung học phổ thơng Chun đề nằm chương trình phục