Luận văn một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ

7 MỞ ĐẦU Tìm kiếm là một trong những quá trình cơ bản và quan trọng mà ta có thể bắt gặp mọi lúc mọi nơi [1, 2, 3, 4] Chẳng hạn động vật tìm kiếm thức ăn, con người tìm kiếm đồ vật bị mất hay tìm kiếm[.]

7 MỞ ĐẦU Tìm kiếm trình quan trọng mà ta bắt gặp lúc nơi [1, 2, 3, 4] Chẳng hạn động vật tìm kiếm thức ăn, người tìm kiếm đồ vật bị hay tìm kiếm đám đơng Gần đây, vấn đề tìm kiếm thu hút quan tâm lớn cộng đồng vật lý, tốn học, khoa học máy tính [5] Một cách tự nhiên phải đưa chiến lược tìm kiếm hiệu Thơng thường tất định ngẫu nhiên Trong chiến lược tất định, người tìm kiếm sử dụng luật tất định (khơng thay đổi theo thời gian), ví dụ máy xén cỏ, robot lau nhà, Ngược lại, chiến lược tìm kiếm ngẫu nhiên có luật tiến hóa theo ngẫu nhiên Chiến lược tìm kiếm phụ thuộc vào vấn đề xác định hướng đến thuật tốn tìm kiếm tối ưu Chiến lược bật số chúng chiến lược gián đoạn mà trộn cả: bước ngắn (đến lân cận đó) ta tìm kiếm mục tiêu bước dài (nhảy đến vị trí đó) khơng tìm thấy mục tiêu ta nhảy đến nơi khác [6, 7, 8] Các bước ngắn mơ hình đặc trưng khuếch tán bước ngẫu nhiên (bước tới vị trí liền kề) Ngược lại, bước dài thường xảy ra, mang ý nghĩa kí ức định Ví dụ động vật tìm kiếm thức sau thời gian dài mà khơng hiệu quả, chúng nên quay lại vị trí khứ tiếp tục Tương tự ta tìm kiếm chìa khóa bị mà khơng thấy, ta nên quay lại tìm từ vị trí tìm kiếm để kiểm tra lại Một ví dụ quan trọng khác mơ máy tính hệ lượng Nó cấu hình ban đầu cố gắng tìm đến vị trí lượng tối thiểu toàn cục Tuy nhiên nhiệt độ thấp, hệ tắc vào tối thiểu địa phương thời gian dài Để tăng tốc độ tìm kiếm, nên dừng q trình quay lại cấu hình ban đầu Trong khoa học máy tính, thuật toán tiếng Page-rank hay thuật toán ngẫu nhiên thường bị rơi vào tắc nghẽn thường phải khởi động lại thuật tốn [9]-[13] Chiến lược bước dài mơ hình phụ thuộc vào ứng dụng xác định [4], chẳng hạn quay lại Poissonian đến cấu hình ban đầu, quay lại khơng Poissonian, hay quay lại sử dụng trí nhớ khứ Một phương thức bước dài quan trọng quay lại vị trí xác định với xác xuất hữu hạn Khi ta tìm kiếm khơng thành cơng bước ngắn để tốt ta nên khởi động lại trình tiếp tục Sự ảnh hưởng phương thức quay lại ngẫu nhiên nghiên cứu đa dạng [14]-[17] Mô hình đơn giản tìm kiếm Brownian với quay lại ngẫu nhiên đến vị trí ban đầu giới thiệu Evans and Majumdar [19] Sau mở rộng nghiên cứu theo nhiều cách khác nhau, với nhiều cách quay lại ngẫu nhiên, đa dạng từ hệ đơn hạt hệ nhiều hạt Ví dụ quay lại ngẫu nhiên đến vị trí tốt vị trí ban đầu (có thể chọn ngẫu nhiên) Trong báo [22] năm 2015 tạp chí Physical Review E, tác giả Satya N Majumdar, Sanijb Sabhapandit and Gregory Schehr giới thiệu mơ hình bước ngẫu nhiên lưới Z1 với quay lại (reset đến) vị trí cực đại xác suất cố định r Chiến lược xem kết hợp tìm kiếm tất định tìm kiếm ngẫu nhiên Trong chiến lược tìm kiếm tất định vị trí thăm mà khơng đánh dấu bị lãng quên Nhưng chiến lược này, thăm lại đồng thời ta đến vị trí (bởi quay lại vị trí cực đại) Mơ hình tương tự đến trình động vật tìm kiếm thức ăn Trong thời gian tìm thức ăn, động vật thường di chuyển theo bước ngẫu nhiên [23]-[24] Một cách tự nhiên, động vật thơng minh (có trí nhớ) thường nhớ lại chỗ đi, thăm lại nơi đến khả có thức ăn cao nơi chưa đến Giả sử thiết lập lưới Z1 , động vật bên cạnh di chuyển ngẫu nhiên theo bước ngắn, thăm lại với xác suất cố định khác đến vị trí cực đại cực tiểu Tuy nhiên, động vật già thường có trí nhớ suy giảm theo thời gian, nghĩa xác suất chúng thăm lại nơi đến giảm dần theo theo thời gian Hiện tượng thú vị yêu cầu cần đưa nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ thay đổi theo thời gian Đặc biệt, cần quan tâm liệu tốc độ suy giảm trí nhớ ảnh hưởng đến hoạt động tìm kiếm Trong Luận văn này, chúng tơi nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định trí nhớ suy giảm theo thời gian Trong báo [22], tác giả tính tốn dáng điệu tiệm cận giá trị kì vọng phương sai phương thức hàm sinh với kỹ thuật tính tốn giải tích phức tạp Trong Chương 2, xây dựng cách tiếp cận khác nhằm hồn chỉnh nghiên cứu mơ hình Từ đó, đạt kết mà tác giả đưa đồng thời thu định lý giới hạn quan trọng luật mạnh số lớn định lý giới hạn trung tâm thông thường Ở Chương 3, chúng tơi đề xuất mơ hình hồn chỉnh cho bước ngẫu nhiên có trí nhớ giảm dần theo thời gian Chúng ta thấy chuyển pha theo tốc độ suy giảm trí nhớ dáng điệu tiệm cận kì vọng bước ngẫu nhiên Chương dành để trình bày sơ lược mơ hình kết kiến thức chuẩn bị CHƯƠNG GIỚI THIỆU 1.1 Sơ lược số kết Trong Luận văn này, nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ Cụ thể Chương 2, nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ Z1 đề xuất trước vào năm 2015 [22] Các tác giả nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên mà người không vị trí cực đại có khả reset vị trí cực đại với xác suất cố định r, sang trái phải với xác suất 1−r Ngược lại vị trí cực đại, người bước sang trái phải với xác suất 12 Họ < r < kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên vị trí Xn biến ngẫu nhiên vị trí cực đại Mn tăng trưởng tuyến tính theo thời gian với tốc độ số v(r) D(r) (xem công thức (2.1.5),(2.1.6)): v(r) = r(1 − r) √ , r − 2r2 + 2r − r2 h i p D(r) = (2 − 2r − 5r + 3r ) + (2 − r − r + 2r ) r(2 − r) ×p (1 − r)r2 r(2 − r)[r − 2r2 + p r(2 − r)]3 Bằng cách tiếp cận từ lý thuyết trình tái tạo, kiểm chứng lại ước lượng kì vọng phương sai, đồng thời từ xây dựng định lý 10 11 giới hạn luật mạnh số lớn định lý giới hạn trung tâm thông thường cho Xn Mn (cụ thể Định lý 2.2.1) ta có Luật mạnh số lớn kỳ vọng: Mn h.c.c −−→ v(r) n Xn h.c.c −−→ v(r), n n → ∞, E[Mn ] E[Xn ] = lim = v(r), n→∞ n→∞ n n lim với v(r) cho (2.1.5) Định lý giới hạn trung tâm phương sai: Mn − µ0 λn d √ → − N (0, D(r)) n Xn − µ0 λn d √ → − N (0, D(r)), n n → ∞ Var[Mn ] Var[Xn ] = lim = D(r), n→∞ n→∞ n n lim với D(r) cho (2.1.6) Ở Chương Luận văn, ta nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm theo thời gian Lúc thời điểm n, xác suất reset vị trí cực đại rn = min{ nra , 12 } Chúng ta dáng điệu tiệm cận kì vọng biến ngẫu nhiên vị trí vị trí cực đại thay đổi theo giá trị a Cụ thể, Định lý 3.0.1 ta có Dáng điệu tiệm cận E[Xn ] E[Mn ]: E[Xn ] = FX (a, r) n→∞ ϕa (n) lim E[Mn ] = FM (a, r) n→∞ ψa (n) lim Khi < a < 1: ϕa (n) = ψa (n) = n1−a/2 , √ FX (a, r) = FM (a, r) = 2r 2−a 12 Tại a = 1: ϕa (n) = ψa (n) = √ n, r FX (a, r) = 2r2 B(3/2, r), π r FM (a, r) = (2r2 + r) B(3/2, r) π Khi a > 1:    −a n    ϕa (n) = log n     1 ψa (n) = < a < 23 , a = 32 , a > 32 , √ n, FX (a, r) = λ2 (a, r) − λ3 (a, r) + λ4 (a, r), FM (a, r) = λ1 (a, r) + λ5 (a, r), với λ1 (a, r), λ2 (a, r), , λ5 (a, r) số Bổ đề 3.2.8 Chúng ta thấy < a < 1, dáng điệu tiệm cận kì vọng Mn Xn cỡ, hàm tỷ lệ Nhưng a = 1, chúng cỡ khác hàm tỷ lệ Còn a > dáng điệu tiệm cận E[Xn ] nhỏ hẳn E[Mn ] Do mô hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm xảy tượng chuyển pha theo giá trị a Hơn nữa, thu dáng điệu tiệm 13 cận hàm tỷ lệ: p r  ∼ v(r)     pr    ∼ v(r)    q2    π FM (a, r) ∼ q    π    √    2r     √2r a = 0, r → 0, a → 0, r → 0, a = 1, r → 0, a → 1+ , r → 0, a = 1, r → ∞, a → 1− , r → ∞  0 FX (a, r) = 0 a = 1, r → 0, a → 1+ , r → 0,  pr    ∼ v(r)     p r ∼ v(r) FX (a, r) ∼ √   2r     √   2r a = 0, r → 0, a → 0, r → 0, a = 1, r → ∞, a → 1− , r → ∞ Bây ta thấy lại trường hợp trí nhớ cố định < r < 1, D(r → 0) = 12 Từ suy phương sai Mn Xn cỡ tuyến tính khác hệ số tỷ lệ với trường hợp r = (với hệ số tỷ lệ DM (0) = 1−2/π DX (0) = 1), nghĩa r = điểm kỳ dị Trong báo [22], tác giả nghiên cứu chuyển pha điểm kỳ dị r = thông qua mơ hình tương đương với trường hợp a = đưa hàm tỷ lệ (xem công thức (124),(132) [22]): E[Mn ] √ n n→∞ FM (r) = lim p √ = √ [(r + 1/2)erf( r) + r/π exp(−r)] 2r 14 p √ = √ [(r − 1/2)erf( r) + r/π exp(−r)] 2r R z Trên hàm erf(z) = √2π exp(−u2 )du E[Xn ] √ n n→∞ FX (r) = lim Dựa vào dáng điệu tiệm cận hàm tỷ lệ r → r → ∞ (xem công thức (125) (133)), tác giả suy hàm tỷ lệ nội suy trơn hai trường hợp rn = r = rn > 0, r → ∞ Từ nghiên cứu cách tiếp cận báo kết lý thuyết thực nghiệm, công thức tường minh hàm tỷ lệ báo đưa chưa xác (cụ thể Nhận xét 3.2.7) Bên cạnh đó, cơng thức tường minh FM (1, r) FX (1, r) mà xây dựng điểm chuyển pha a = nghiệm mô 1.2 Kiến thức chuẩn bị Trong phần này, giới thiệu số kiến thức kết cần thiết lý thuyết bước ngẫu nhiên lý thuyết q trình tái tạo Bên cạnh đó, số tính chất cần thiết sử dụng cho kết chương đề cập đến 1.2.1 Bước ngẫu nhiên dừng Cho (Xk )k≥1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối (i.i.d.) Chúng ta xét bước ngẫu nhiên (Sn )n≥0 có gia số (Xk )k≥1 cho S0 = Sn = Sn−1 + Xn với n ≥ Trước hết ta có bổ đề hội tụ dãy ứng với thời điểm ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên hội tụ Bổ đề 1.2.1 Cho (Yn )n≥0 dãy biến ngẫu nhiên (Nt )t≥0 dãy tăng số 15 h.c.c h.c.c (i) Giả sử Yn −−→ Y n → ∞ Nt −−→ ∞ t → ∞ Khi h.c.c YNt −−→ Y t → ∞ p h.c.c (ii) Giả sử Yn −−→ Y n → ∞ Nt → − ∞ t → ∞ Khi đó, p − Y t → ∞ YNt → Chứng minh Với (i), ta đặt A = {ω : Yn (ω) Y (ω)}, B = {ω : Nt (ω) ∞} and C = {ω : YNt (ω) (ω) Y (ω)} Khi đó, C ⊆ A ∪ B, ta thu (i) Để chứng minh (ii), ta dãy (YNt )t≥0 có dãy hội tụ hầu chắn Thật vậy, giả sử (Ntk )k≥0 dãy (Nt )t≥0 Theo giả thiết ta có Ntk hội tụ theo xác suất đến ∞ Do đó, tồn dãy (Ntkj )j≥0 hội tụ hầu chắn Kết hợp điều với giả thiết h.c.c h.c.c Yn −−→ Y n → ∞ (i) suy YNtk −−→ Y j → ∞ Do ta kết j p luận YNt → − Y t → ∞ Định lý 1.2.2 Xét bước ngẫu nhiên (Sn )n≥0 với gia số i.i.d (Xk )k≥1 Giả sử h.c.c Nt −−→ ∞ t → ∞ Khi đó, E[|X1 |] < ∞ E[X1 ] = µ, SNt h.c.c −−→ µ Nt Hơn nữa, Nt h.c.c t −−→ t → ∞ (1.2.1) θ ∈ (0, ∞) t → ∞, SNt h.c.c −−→ µθ t t → ∞ (1.2.2) Chứng minh Bởi luật mạnh số lớn Bổ đề 1.2.1 ta có phần đầu chứng minh Biến đổi đại số, ta có phần thứ hai SNt SNt àNt Nt Nt h.c.c = ì +à à, t Nt t t t → ∞ 16 Tiếp theo, có định lí giới hạn trung tâm bước ngẫu nhiên với thời gian ngẫu nhiên Định lý 1.2.3 [[25], Định lý Anscombe] Xét bước ngẫu nhiên (Sn )n≥0 với gia số i.i.d (Xk )k≥1 Giả sử E[X] = Var[X] = σ ∈ (0, ∞) Xét dãy thời điểm ngẫu nhiên (Nt )t≥0 thỏa mãn Nt p → − θ t t → ∞ (1.2.3) Khi đó, (i) SNt d √ → − N (0, 1) t → ∞, σ Nt (1.2.4) SNt d √ → − N (0, 1) t → ∞ σ tθ (1.2.5) (ii) Chúng ta gọi N thời gian dừng dãy tăng σ-đại số (Fn )n≥1 (chẳng hạn Fn = σ(X1 , X2 , , Xn ), F0 = {∅, Ω}), với n ≥ {N = n} ∈ Fn Bây ta thu đẳng thức quan trọng cho moment bậc moment bậc tổng dừng Định lý 1.2.4 [[29], Định lý 1.5.3] Xét bước ngẫu nhiên (Sn )n≥0 với gia số i.i.d (Xk )k≥1 Nếu E[X1 ] = µ E[N ] < ∞ E[SN ] = µE[N ] (1.2.6) Hơn nữa, σ = Var[X1 ] < ∞ E[(SN − N µ)2 ] = σ E[N ] (1.2.7) ... E[Nt ] = CHƯƠNG BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ CỐ ĐỊNH Bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định (cụ thể hơn, có khả reset đến vị trí cực đại với xác xuất cố định) kiểu mơ hình xác suất có trí nhớ đề xuất... cổ đi? ??n cho trình tái tạo, thu định lí giới hạn cho bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định 2.1 MƠ HÌNH TỐN HỌC Chúng ta xem xét người bước lưới Z1 , xuất phát từ vị trí ban đầu gốc Gọi biến ngẫu nhiên. .. đưa đồng thời thu định lý giới hạn quan trọng luật mạnh số lớn định lý giới hạn trung tâm thông thường Ở Chương 3, chúng tơi đề xuất mơ hình hồn chỉnh cho bước ngẫu nhiên có trí nhớ giảm dần theo