Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VƯƠNG THỊ THU THỦY RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VƯƠNG THỊ THU THỦY RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành:Lý luận phương pháp giảng dạy mơn Tốn Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC UY - LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Ngọc Uy, người tận tình hướng dẫn em suốt trình em thực đề tài Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới TS Lê Tuấn Anh góp ý cho em để hồn thiện luận văn Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Phương pháp giảng dạy, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn Tin, Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THCS Chu Văn An, Tây Hồ, Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành luận văn Và xin gửi lời cảm ơn đến bố mẹ kính yêu con, bố mẹ động viên nhiều tạo cho điều kiện tốt để có ngày hơm Hà Nội, tháng 11 năm 2008 Tác giả luận văn VƯƠNG THỊ THU THỦY MỤC LỤC TRANG MỤC LỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT MỞ ĐẦU CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1 VAI TRỊ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MƠN TỐN 13 1.1 Vai trị, vị trí mơn Toán 13 1.2 Mục tiêu mơn Tốn THCS 13 TƯ DUY TOÁN HỌC 13 2.1 2.1.1 Khái niệm tư .13 2.1.2 Các hình thức tư 13 2.2 Nội dung tư toán học 13 2.3 Các thao tác tư toán học 13 2.3.1 Phân tích- Tổng hợp 13 2.3.2 So sánh- Tương tự .13 2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa 13 2.3.4 Trừu tượng hóa 13 2.4 Tư .13 Một số loại tư toán học 13 2.4.1 Tư phê phán .13 2.4.2 Tư giải toán 13 2.4.3 Tư sáng tạo 13 2.4.4 Tư thuật toán 13 2.4.5 Tư hàm .25 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC 25 1 - 3.1 Năng lực 25 3.2 Năng lực toán học 25 3.3 Năng lực giải toán 25 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TỐN .25 4.1 Vai trị, chức tập toán .25 4.2 Yêu cầu lời giải toán 25 4.2.1 Lời giải không sai lầm 25 4.2.2 Lập luận có xác 25 4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ .25 4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay 25 4.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý 25 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN .25 5.1 Các bước giải toán G.Polya .25 5.2 Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán 25 MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ 25 6.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu với hoạt động trí tuệ khác 25 6.2 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả phát vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng 25 6.3 Chú trọng bồi dưỡng yếu tố cụ thể TDST 25 6.4 Bồi dưỡng TDST trình lâu dài cần tiến hành tất khâu trình dạy học 25 CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THCS 26 2 - TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÁCH TRÌNH BÀY VÀ CÁCH GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 27 1.1 Thế tốn cực trị hình học .27 1.2 Dạng toán cực trị hình học .27 1.3 Cách trình bày tốn cực trị hình học .27 1.4 Cách giải toán cực trị .28 TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG.36 2.1 Quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu 36 2.2 Quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc 36 2.3 Các bất đẳng thức đường tròn .36 2.4 Bất đẳng thức Côsi 40 2.5 Tỉ số lượng giác 42 RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO CÁC THÀNH PHẦN CƠ BẢN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO 44 RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN 55 BÀI TẬP TỔNG HỢP 74 CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84 KẾT LUẬN 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 MỤC LỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT MỞ ĐẦU CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 - VAI TRỊ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MƠN TỐN 1.1 Vai trị, vị trí mơn Toán .9 1.2 Mục tiêu mơn Tốn THCS 10 TƯ DUY TOÁN HỌC 10 2.1 2.1.1 Khái niệm tư .10 2.1.2 Các hình thức tư 11 2.2 Nội dung tư toán học 13 2.3 Các thao tác tư toán học 14 2.3.1 Phân tích- Tổng hợp 14 2.3.2 So sánh- Tương tự .14 2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa 15 2.3.4 Trừu tượng hóa 17 2.4 Tư .10 Một số loại tư toán học 17 2.4.1 Tư phê phán .17 2.4.2 Tư giải toán 17 2.4.3 Tư sáng tạo 18 2.4.4 Tư thuật toán 21 2.4.5 Tư hàm .22 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC 23 3.1 Năng lực 23 3.2 Năng lực toán học 23 3.3 Năng lực giải toán 24 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TOÁN .24 4.1 Vai trị, chức tập tốn .24 4.2 Yêu cầu lời giải toán 26 4 - 4.2.1 Lời giải không sai lầm 26 4.2.2 Lập luận có xác 27 4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ .27 4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay 27 4.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý 28 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN .28 5.1 Các bước giải toán G.Polya .28 5.2 Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán 30 MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ 31 6.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu với hoạt động trí tuệ khác 31 6.2 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả phát vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng 32 6.3 Chú trọng bồi dưỡng yếu tố cụ thể TDST 32 6.4 Bồi dưỡng TDST trình lâu dài cần tiến hành tất khâu trình dạy học 33 CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THCS 34 TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÁCH TRÌNH BÀY VÀ CÁCH GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 34 1.1 Thế toán cực trị hình học .34 1.2 Dạng tốn cực trị hình học .34 1.3 Cách trình bày tốn cực trị hình học .35 1.4 Cách giải toán cực trị .36 5 - TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG.40 2.1 Quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu 40 2.2 Quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc 41 2.3 Các bất đẳng thức đường tròn .43 2.4 Bất đẳng thức Côsi 45 2.5 Tỉ số lượng giác 49 RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO CÁC THÀNH PHẦN CƠ BẢN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO 52 RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN 63 BÀI TẬP TỔNG HỢP 82 CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 92 KẾT LUẬN 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 PHỤ LỤC 105 6 - CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT TDST: Tư sáng tạo THCS: Trung học Cơ sở NXB: Nhà xuất ĐHSP: Đại học Sư phạm VD: Ví dụ TH: Trường hợp GV: Giáo viên HS: Học sinh BT: Bài tập 10.đpcm: điều phải chứng minh 4 - 12.Lê Thị Luyện, Một số phương pháp giải toán cực trị, đề tài nghiệp vụ sư phạm, ĐHSPHN, 2001 13.Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng, Các giảng bất đẳng thức Cô-si, NXB Giáo dục, 2006 14.Lê Thống Nhất, Rèn luyện lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông thông qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải tốn, Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm - tâm lý, 1996 15.Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đai học Sư phạm, 2006 16.Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân: Khuyến khích số hoạt động trí tuệ học sinh qua mơn Tốn trường THCS, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1998 17.Nguyễn Bá Kim (CB), Vũ Dương Thụy: Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005 18.Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phương pháp dạy học mơn Tốn, tập 1, NXB Giáo dục, 1992 19.Nguyễn Thế Sơn, Gợi ý hướng dẫn giáo viên vận dụng triết học vật biện chứng vào việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải tập toán, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Sư phạm Hà Nội, 2007 20.Đào Tam, Dạy học hình học trường trung học phổ thông, NXB ĐHSP, 2005 21.Nguyễn Đức`Tấn, Chuyên đề Bất đẳng thức cực trị hình học phẳng, NXB Giáo duc, 2004 22.Nguyễn Cảnh Tồn, Nên học tốn -thế cho tốt?, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006 4 - 23.Trần Thúc Trình, Đề cương môn học rèn luyện tư dạy học toán, Viện khoa học Giáo dục, Hà Nội, 2003 24.Hội Tốn học Việt Nam, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục 25.Hội Toán học Việt Nam, Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ, Tập I, NXB Giáo dục, 2005 26.Hội Toán học Việt Nam, Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ, Tập II, NXB Giáo dục, 2006 27.Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập năm Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục, 2003 28.Tạp chí Trung học Phổ thơng, tháng năm 1993 29.Tạp chí Trung học Phổ thông, số 32, tháng năm 2000 5 - PHỤ LỤC Chuyên đề: Các tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học phẳng I Mục tiêu: Giúp học sinh - Nắm hệ thống kiến thức dùng giải toán cực trị - Rèn luyện kĩ vận dụng linh hoạt, sáng tạo lí thuyết học vào giải toán - Biết xuất phát từ vấn đề giải quyết, thông qua nhận xét để đề xuất vấn đề mới, góp phần bồi dưỡng phát triển lực tư toán học, khả tự học, tự nghiên cứu II Chuẩn bị: Thước kẻ, Compa, phấn màu III Tiến trình dạy học: Tiết 1,2 Hoạt động 1 : giới thiệu có hệ thống tốn cực trị hình học Thời gian 3’ Hoạt động GV HS GV giới thiệu khái niệm Ghi bảng I Thế toán cực trị hình học tốn cực trị hình học 7’ II Các dạng tốn cực trị hình học GV: tốn cực trị thường có dạng Cơ đưa tốn, nhận dạng xem 6 - Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng tốn có dạng nào? Bài tốn 1: Xác định vị trí Bài tốn dựng hình dây qua điểm P đường trịn cho dây có độ dài nhỏ Bài toán 2: Chứng minh Bài toán chứng minh dây qua điểm P đường trịn (O), dây vng góc với OP có độ dài nhỏ Bài tốn 3: Cho đường trịn Bài tốn tính tốn (O; R) điểm P nằm đường trịn có OP = h Tính độ dài nhỏ dây qua P GV: với dạng III Cách trình bày tốn cực trị hình cực trị hình học vậy, học ta có cách để trình bày Ta nghiên cứu thơng qua hệ thống ví dụ sau: Ví dụ 1: Trong tam giác có đáy1 diện tích, tam giác có 7 - Thời Hoạt động GV HS gian Ghi bảng chu vi nhỏ nhất? Giải: Vẽ ABC có cạnh BC=a.Qua A kẻ đường thẳng d, d // BC (khơng đổi) Vì diện tích ABC không đổi nên đường cao ABC khơng đổi Học sinh phân tích Vậy đỉnh tam giác có tốn hướng dẫn đáy, diện tích phải chạy đường GV để có lời giải d d’ (đối xúng với d qua BC) Ta có B' A0 d A Mặt khác P (ABC) = AB + AC + BC B H = AB + AC + a C  P(ABC) nhỏ AB + AC nhỏ Gọi B’ điểm đối xứng B qua d Xét ABC có AB + AC = AB’ + AC > B’C Mà ta có AB’ + AC  A0B’ + A0C Dấu “=” xảy điểm A, B’, C thẳng hàng Khi A A0 Do A0B’ = A0B = A0C nên ABC cân A0 Kết luận: Trong tam giác có cùng diện tích tam giác cân có đáy, 8 - Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng chu vi nhỏ Vậy nêu kết luận Cách Vẽ hình có chứa đại lượng dạng tốn ví hình học mà ta phải tìm cực trị thay dụ điều kiện đại lượng đại lượng tương đương Người ta thường dùng cách đầu cho dạng “Tìm hình H thỏa mãn điều kiện cực trị tốn” Ví dụ Chứng minh tam giác có đáy diện tích, C'' tam giác cân có chu vi nhỏ Giải: Vẽ ABC A' A x y cân A, cạnh BC không đổi Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Trên xy lấy điểm A’ B C Ta chứng minh P (ABC) < P (A’BC), tức AB +AC ≤ A’B + A’C Gọi C’’ điểm đối xứng với C qua xy AC = AC’’  A’B + A’C ≥ AB + AC’ Dấu “=” xảy A, B, C thẳng hàng (như ví dụ 1) Học sinh đưa nhận xét Cách 2: Đưa hình (theo yêu cầu đầu bài) chứng minh hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị)1lớn nhỏ yếu tố tương ứng 9 - Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng hình đưa Người ta thường dùng cách chứng minh hình dạng hình có cực trị nói rõ đầu Ví dụ : Cho hình vng ABCD cạnh a Xét hình thang cân có đỉnh cạnh hình vng Tìm hình thang cân có diện tích lớn A x N a-x B Giải: Gọi hình thang MNPQ hình thỏa mãn điều kiện đầu MN // BD; M P PQ // BD y Gọi AM = x, PC = y Vậy MNPQ hình thang cân D a-y Q Hình C Gọi S : diện tích hình vng ABCD S1 : diện tích hình thang MNPQ S2 : tổng diện tích tam giác S = S1 + S2  S1 = S - S2 Để diện tích S1 đạt giá trị lớn diện tích S2 đạt giá trị nhỏ Ta có: 1 1 - Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng Dấu “=” xảy  x + y - a = x=a-y Vậy với AN = BP Khi đường chéo hình thang MNPQ song song với cạnh hình vng ABCD Cách Thay tìm giá trị lớn đại lượng việc tìm giá trị nhỏ đại lượng khác ngược lại Hoạt động 2: Truyền thụ cho học sinh số kiến thức thường dùng để giải toán cực trị Thời gian 12’ Hoạt động GV HS Kiến thức dùng để giải - Ghi bảng IV.1Kiến thức thường dùng 1 1 - Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng tốn cực trị có nhiều Quan hệ đường vng góc, đường Hơm hệ thống lại xiên, hình chiếu số kiến thức Các bất đẳng thức đường trịn Hoạt động 3: Giải tốn Thời Hoạt động GV HS gian Ghi bảng V Bài tập Bài tập 1: Chứng minh 12’ tam giác ABC có góc A khơng đổi tổng AB + AC khơng đổi tam giác cân A tam giác có chu vi nhỏ GV : Hãy đọc đề toán để Đây toán cực trị có dạng chứng nêu dạng tốn minh Cách giải toán Đề cho biết hình dạng hình cần chứng minh nên cách làm là: vẽ hình theo yêu cầu đầu chứng minh hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Học sinh tìm Giả sử  ABC cân A cách giải tốn A  AMN có hướng dẫn GV chung góc A AM + AN = AB + B Ta cần chứng minh 1 - M cho C K H I N AC BC Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng < MN Cách 1: Cách 2: A M M' C B N Cách 3: A M M' C B N Học sinh đọc toán, vẽ Bài tập hình, ghi giả thiết kết luận, Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) cắt phân tích tốn để A B (O O’ hai nửa mặt đến lời giải phẳng đối bờ AB) Một cát tuyến di động qua B cắt (O) C cắt (O’) D cho B nằm C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để chu vi  ACD nhận giá trị lớn Hướng dẫn giải: Vẽ1đường kính AM đường trịn (O) 1 - Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng đường kính AN đường trịn (O’) Ta có: Suy M, B, N thẳng hàng O, O’, A cố định; (O,R) (O,R’) cố định  M, N cố định  Do (P ACD ACD P AMN ~  không đổi nên P ACD max  AC max 1 1 - nên tương ứng chu vi  ACD  AMN) Vì AMN Tiết 3,4: Hoạt động Truyền thụ kiến thức Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng I Lý thuyết Bất đẳng thức Cơsi Trung bình cộng hai số khơng âm lớn trung bình nhân chúng hay (x + y)2  4xy Dấu “=” xảy  x = y Hệ bất đẳng thức Cơsi * Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số * Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số 1 1 - Hoạt động 2 : Đặc biệt hóa, khái quát hóa liệu toán ban đầu để đề xuất toán Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng II Bài tập A M Bài toán: Cho đường tròn (O;r) nội tiếp  r O ABC Kẻ đường thẳng qua O cắt hai cạnh r C N B CA, CB tam giác theo thứ tự M N Đường thẳng MN vị trí  CMN có diện tích nhỏ nhất? HS phân tích kiện Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, tốn để diễn đạt đường thẳng qua O cắt hai tốn sau cạnh góc C M N Chứng minh  CMN có diện tích nhỏ CO đường cao tam giác Hoặc diễn đạt Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, đường thẳng qua O cắt hai cạnh góc C M N Chứng minh  CMN có diện tích nhỏ CO trung tuyến tam giác Nếu bỏ điều kiện điểm Cho điểm O nằm góc C Một đường O thuộc tia phân giác góc thẳng qua O cắt hai cạnh góc C, ta có kết khác C M N  CMN có diện tích nhỏ mạnh hơn: CO trung tuyến tam giác 1 1 - Thời gian Hoạt động GV HS Ghi bảng M D Bài tốn có cách giải O I C N E Cách M H O C K N Cách Hướng dẫn nhà - Hồn thiện lời giải tốn làm lớp - Luyện giải dạng toán cực trị hình học theo phương pháp học 1 1 - 1 1 -