Trong bối cảnh hiện nay toàn ngành giáo dục đang nỗ lực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học, theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Đảng và Nhà nước ta khẳng định: “ Giáo dục là quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho phát triển”. Điều đó thể hiện trong các Nghị quyết của Trung ương. Nghị quyết đã khẳng định : “Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học” Trong luật giáo dục đã khẳng định “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học”. Nói cách khác là việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo con người mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh từng ngày, từng giờ của khoa học kỹ thuật. Môn toán là một môn khoa học, những tri thức, kỹ năng toán học cùng với phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác, môn toán là công cụ của nhiều ngành khoa học. Môn toán giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp phương thức tư duy và hoạt động như toán học hoá hướng đến thực tế, thực tiễn và xây dựng thuật toán, phát triển và giải quyết vấn đề. Những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới. Ta thấy được môn toán có vai trò quan trọng trong đời sống và trong kỹ thuật. Vì vậy người thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy được tính tích cực của học sinh nhất là học sinh giỏi. 2.Thực trạng vấn đề. Trong quá trình giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán cơ bản mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh. Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng và lật ngược các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học toán. Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi chúng tôi được tiếp xúc với rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đã làm thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn toàn giống với bài toán cũ. Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công tác nâng cao chất lượng đại trà trường chúng tôi nói riêng và học sinh toàn huyện nói chung. Chúng tôi xin được trình bày đề tài: “ Một số phương pháp giải các bài toán tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất” Trong các bài toán tìm ước chung và bội chung ở lớp 6, học sinh thường lúng túng khi bắt gặp các dạng toán tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Bởi lý do các em chưa nắm rõ được phương pháp giải cụ thể, và các dạng toán này liên quan đến kiến thức cũ đòi hỏi học sinh phải tư duy cao trong từng bứơc giải. Mặt khác các dạng toán tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) có liên quan mật thiết đến các ví dụ thực tế mà các em hay gặp, ví dụ như: Chia số bút sao cho số bút trong mỗi hộp đều bằng nhau, hoặc 2 đội cùng làm một công việc nhưng yêu cầu mỗi đội khác nhau và yêu cầu đi tìm công việc cần làm.
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Trong bối cảnh toàn ngành giáo dục nỗ lực thực đổi phương pháp dạy học, theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Đảng Nhà nước ta khẳng định: “ Giáo dục quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục đầu tư cho phát triển” Điều thể Nghị Trung ương Nghị khẳng định : “Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành thạo nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học” Trong luật giáo dục khẳng định “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh phù hợp với đặc điểm lớp học, mơn học” Nói cách khác việc dạy học theo chương trình nhằm mục tiêu đào tạo người thích ứng với phát triển nhanh mạnh ngày, khoa học kỹ thuật Mơn tốn mơn khoa học, tri thức, kỹ toán học với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn khoa học khác, mơn tốn cơng cụ nhiều ngành khoa học Mơn tốn giúp học sinh hình thành phát triển phương pháp phương thức tư hoạt động toán học hoá hướng đến thực tế, thực tiễn xây dựng thuật toán, phát triển giải vấn đề Những kỹ cần cho người lao động thời đại Ta thấy môn tốn có vai trị quan trọng đời sống kỹ thuật Vì người thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực học sinh học sinh giỏi 2.Thực trạng vấn đề Trong q trình giảng dạy nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng việc định hướng, liên kết, mở rộng lật ngược tốn vấn đề quan trọng, khơng giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố tốn để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho em học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng lật ngược toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh hứng thú phát triển lực tự học cách khoa học học toán Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh thấy đa số học sinh khơng nhớ làm chí có khác lời văn nội dung lại hồn tồn giống với tốn cũ Chính vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận tốn cũ, tốn tổng qt…đồng thời góp phần vào việc đổi phương 1 pháp dạy học theo hướng tích cực bồi dưỡng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả sáng tạo học tốn cho học sinh muốn góp phần vào công tác nâng cao chất lượng đại trà trường chúng tơi nói riêng học sinh tồn huyện nói chung Chúng tơi xin trình bày đề tài: “ Một số phương pháp giải tốn tìm ước chung lớn bội chung nhỏ nhất” Trong tốn tìm ước chung bội chung lớp 6, học sinh thường lúng túng bắt gặp dạng tốn tìm ước chung lớn bội chung nhỏ Bởi lý em chưa nắm rõ phương pháp giải cụ thể, dạng tốn liên quan đến kiến thức cũ địi hỏi học sinh phải tư cao bứơc giải Mặt khác dạng tốn tìm ước chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN) có liên quan mật thiết đến ví dụ thực tế mà em hay gặp, ví dụ như: Chia số bút cho số bút hộp nhau, đội làm công việc yêu cầu đội khác u cầu tìm cơng việc cần làm Không vận dụng vào tập thực tế, phương pháp giải tốn tìm ƯCLN BCNN tiền đề cho học sinh giải tốn lớp sau này, ví dụ như: tìm mẫu chung phân số, tìm nhân tử chung … Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh hiểu định nghĩa ƯCLN BCNN hai hay nhiều số - Đưa phương pháp phù hợp giải toán - Các dạng thường gặp bước giải tập, từ kết ƯCLN NBCNN tìm ước chung bội chung - Ứng dụng tốn tìm ƯCLN BCNN vào tốn thực tế - Tạo cho học sinh có nhạy bén lôgic cao giải toán khác Đối tượng nghiên cứu - Các phương pháp giải tốn tìm ước chung lớn bội chung nhỏ - Học sinh lớp trường THCS - Các học tập lớp học sinh lớp Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, tài liệu liên quan đến đề tài - Điều tra trắc nghiệm khách quan - Dạy thực nghịêm 2 PHẦN II NỘI DUNG NGHIN CỨU Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Phần lớn học sinh tích cực lắng nghe thầy giảng - Được quan tâm tổ môn ban giám hiệu nhà trường - Học sinh chủ yếu dân tộc thiểu số, khả tiếp thu kiến thức hạn chế - Một vài em kiến thức cộng trừ hai số - Đồ dùng chuyên nghành hạn chế Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Học sinh có tinh thần học tập chưa cao Kết học tập mơn tốn thấp, học sinh trình bày làm sơ sài chưa xoáy sâu vào trọng tâm - Học sinh lười học mơn Tốn - Học sinh hiểu phần lý thuyết có chưa chắn mơ hồ định nghĩa,các khái niệm, công thức…nên thường dẫn đến sai lầm làm tập - Nhầm lẫn tìm bội chung nhỏ với ước chung lớn Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (ƯCLN) a Định nghĩa Ước chung lớn (ƯCLN) hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số b Các phương pháp tìm ƯCLN * Phương pháp liệt kê: Muốn tìm ước chung lớn hai hay nhiều số ta thực hiện: Bước Tìm ước số Bước Tìm ước chung số Bước Từ ước chung xem số lớn ƯCLN VD: Tìm ƯCLN(8,12) Ư(8) = {1;2;4;8} U(12) = {1;2;4;6;12} 3 ƯC(8,12) = {1;2;4} Vậy ước chung lớn : - Yêu cầu + Học sinh nắm vững cách tìm ước chung hai hay nhiều số + Tính tốn phải cẩn thận xác - Ưu điểm + Tương đối dễ hiểu + Dễ dàng kiểm chứng lại kết + Rất thích hợp cho việc dạy học dẫn dắt vào - Nhược điểm + Yêu cầu học sinh nắm vững tìm ước ước chung số + Mất thời gian + Chỉ thực số nhỏ + Khả xác cịn thấp * Phương pháp phân tích số thừa số nguyên tố Muốn tìm ước chung lớn hai hay nhiều số ta thực theo bước sau: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung lấy với số mũ nhỏ (ở đưa việc lấy số mũ nhỏ lên bước 2) VD: Tìm ƯCLN(20,30) 20 = 2.2.5 = 22.5 30 = 2.3.5 Thừa số nguyên tố chung là: 2; (mũ nhỏ 1, 1) ƯCLN(20,30) = 2.5 =10 - Yêu cầu + Học sinh phải nắm vững cách phân tích số thừa số nguyên tố + Biết thừa số nguyên tố chung + Biết tính phép tính luỹ thừa + Hiểu chất việc tìm ước chung lớn 4 - Ưu điểm + Độ xác cao + Tìm ước chung lớn với số lớn + Nhanh gọn + Giúp tìm ước chung c nhanh - Nhược điểm + Vận dụng nhiều kiến thức + Khả nhận biết học sinh hạn chế để giải c Chú ý + Nếu số cho khơng có thừa số nguyên tố chung ước chung lớn 1, ta gọi số nguyên tố + Trong số cho có số ước số ƯCLN số nhỏ 3.2 TÌM ƯC THƠNG QUA ƯCLN VD: Tìm ƯCLN(8,12) Ư(8) = {1;2;4;8} Ư(12) = {1;2;4;6;12} ƯC(8,12) = {1;2;4} Vậy ước chung lớn : Dựa vào ví dụ ta thấy ước 1; 2; ước 4, mà uớc chung lớn Như : tìm ước chung lớn ta suy ước chung số ước ƯCLN ƯC(a,b) = Ư(ƯCLN(a,b)) 3.3 CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: Tìm ước chung lớn theo bước Bài 1: tìm ƯCLN a) 56 140 56 = 2.2.2.7 = 23.7 140 = 2.2.5.7 = 22.5.7 Thừa số nguyên tố chung : 22; ƯCLN(56,140) = 22.7 = 2.2.7 = 28 5 b) 60 180 60 = 2.2.3.5 = 22.3.5 180 = 2.2.3.3.5 = 22.32.5 Thừa số nguyên tố chung : 22; 3; ƯCLN(60,180) = 22.3.5 = 2.2.3.5 = 60 c) 24, 84 180 24 = 2.2.2.3 = 22.3 84 = 2.2.3.7 = 22.3.7 180 = 2.2.3.3.5 = 22.32.5 Thừa số nguyên tố chung riêng: 22; ƯCLN(24,84,180) = 22.3 = 2.2.3 =12 DẠNG 2: Tính nhanh Dựa vào phần ý ta có tập sau Bài 2: Tính nhanh a) ƯCLN(10,20,5) = b) ƯCLN(7,135,190) =1 c) ƯCLN(8,16,32) = d) ƯCLN(7,5,8) = DẠNG 3: Tìm x với điều kiện x Đối với dạng tốn giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách suy luận dựa vào dự kiện biết Bài 3: tìm x biết M M x lớn 420 x 700 x M M Giải Vì 420 x 700 x nên suy x ∈ ƯC(420,700) Ngoài x số lớn nên x ƯCLN 420 700 Do ta tìm ƯCLN(420,700) 420 = 2.2.3.5.7=22.3.5.7 700 = 2.2.5.5.7 = 22.5.7 Thừa số nguyên tố chung : 22; 5; ƯCLN(420,700) = 22.5.7 = 2.2.5.7 = 140 6 Ngoài cách suy luận để nhanh gọn ta vẽ mơ sau x ∈ ƯC(420,700) x ∈ ƯCLN(420,700) x số lớn DẠNG : Tìm ước chung thơng qua ƯCLN Bài 4: tìm ước chung 60 140 Giải Ở ví dụ ta biết ƯCLN(24,84,180) =12 ƯC(24,84,180) = Ư (12) = {1;2;3;4;6;12} 3.4 CÁC DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ Đây toán mà phần lớn học sinh vận dụng cách tìm ƯC ƯCLN để tìm - Đặc điểm chung toán là: Từ kiện cho yêu cầu học sinh phải chia cho chẵn số - Để làm tốn này, HS thực theo bước sau : Bước 1: đặt ẩn số cần tìm, đưa điều kiện ẩn Bước 2: Phân tích đề đưa dạng toán liện hệ đến kiện vốn có Bước 3: Tiến hành giải xem ẩn có thỗ mãn điều kiện hay khơng Bài tốn 1: Mai Lan người mua cho tổ số bút chì màu Mai mua 28 cây, Lan mua 36 Biết số bút hộp số bút lớn a) Gọi a số bút hộp, tìm mối quan hệ a với 28, 36, b) Tìm số a nói c) Hỏi Mai Lan mua hộp? GIẢI a) Gọi a số bút hộp a > Vì số bút hộp nên a ∈ ƯC(28,36) b) Tìm a nói Vì a ∈ ƯC(28,36) nên ta có tìm ƯCLN(28,36) suy ước chung 28 = 2.2.7 = 22.7 7 36 = 2.2.3.3 = 22.32 Thừa số nguyên tố chung : 22 ƯCLN(28,36) = 22 = 2.2 = hộp ƯC(28,36) = Ư (4) = {1;2;4} Vì a > nên a = c) Vậy Lan mua số hộp bút : 28 : = hộp Vậy Mai mua số hộp bút : 36 : = hộp Bài tốn 2: Lan có bìa hình chữ nhật kích thước 75cm 105cm Lan muốn cắt mảnh hình vng cho bìa cắt hết, khơng cịn thừa mảnh Tính độ dài lớn hình vng.(số tự nhiên đơn vị làm cm) GIẢI Gọi a (cm) cạnh hình vng cần tìm Vì cần chia hình chữ nhật theo hình vng nên: a Vì độ dài lớn nên a ∈ ∈ ƯC(75,105) ƯCLN(75,105) Tính ƯCLN(75,105) 75 = 3.5.5 = 3.52 105 = 3.5.7 Thừa số nguyên tố chung : 3;5 ƯCLN(75,105) = 3.5 = 15 Vậy a = 15 cm 3.5 BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN) a ĐỊNH NGH ĨA Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ tập hợp bội chung số b CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM BCNN * Phương pháp liệt kê Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số ta thực theo bước sau: Bước Tìm bội số Bước Tìm bội chung số Bước Từ bội chung, xét bội nhỏ bội chung nhỏ 8 VD: Tìm BCNN(6,8) B(6) = {0;6;12;18;24;30;36;42;48…} B(8) = {0;8;16;24;32;40;48;56;64…} BC(6,8) = {0;24;48;72…} Vậy BCNN(6,8) = 24 - Yêu cầu + Học sinh nắm cách tìm bội số, từ suy bội chung bội chung nhỏ nhấ số - Ưu điểm + Phương pháp tương đối dễ hiểu dễ thực thích hợp để dẫn dắt vào + Có thể dung để kiểm chứng lại kết áp dụng vào phương pháp khác - Nhược điểm + Địi hỏi học sinh phải hiểu tìm bội chung bội số + Tương đối nhiều thời gian + Độ xác cịn thấp + Chỉ áp dụng số nhỏ * Phương pháp phân tích số thừa số nguyên tố Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số ta thực sau: Bước : Phân tích số thừa số nguyên tố Bước : Chọn thừa số nguyên tố chung riêng, lấy với số mũ lớn Bước : Lấy tích thừa số nguyên tố đố BCNN Yêu cầu - Học sinh phải nắm vững cách phân tích số thừa số Nguyên tố - Biết thừa số nguyên tố chung riêng - Biết tính phép tính luỹ thừa - Hiểu chất việc tìm bội Ưu điểm + Độ xác cao +Tìm ước chung lớn với số lớn + Nhanh gọn 9 + Giúp tìm BC hai hay nhiều số - Nhược điểm + Vận dụng nhiều kiến thức + Khả nhận biết học sinh hạn chế để giải c Chú ý + Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN tích số VD: BCNN(5,7,8) = 5.7.8 =280 + Trong số cho , có số bội số BCNN số lớn VD: BCNN(12,16,48) = 48 3.6 TÌM BC THƠNG QUA BCNN VD: B(4) = {0;4;8;12;16;20;24;28…} B(6) = {0;6;12;18;24;30;36;42;…} BC(4,6) = {0;12;24;36;48; } BCNN(4,6) = 12 Ta thấy 0; 12; 24; 36; 48…là bội 12 Vậy để tìm BC hai hay nhiều số ta tìm bội BCNN số 3.7 CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: Tìm BCNN phương pháp phân tích số thừa số nguyên tố Bài 1: tìm BCNN a) 60 280 60 = 2.2.3.5 = 22.3.5 280 = 2.2.2.5.7 =23.5.7 Thừa số nguyên tố chung riêng : 23; 3; 5; BCNN(60,280) = 23.3.5.7 = 840 b) 12 = 2.2.2 =23 12 = 2.2.3 = 22.3 Thừa số nguyên tố chung riêng : 23; BCNN(8,12) = 23.3 = 24 10 10 Bài 2: tìm BCNN a) 10,12 15 10 =2.5 12 = 2.2.3 = 22.3 15 = 3.5 Thừa số nguyên tố chung riêng : 22; 3; BCNN(10,12,15) =22.3.5 = 60 b) 100,120 200 100 = 2.2.5.5 = 22.52 120 = 2.2.3.3.5 = 22.32.5 200 = 2.2.2.5.5 = 23.52 Thừa số nguyên tố chung riêng: 23; 32; 52 BCNN(100;120;200) = 22.32.52 = 600 DẠNG 2: Tính nhanh Đối với dạng toán HS vận dụng ý để làm Bài 3: Tính nhanh a) BCNN(5,7,19) =5.7.19 = 665 b) BCNN(19,41) = 19.41 = 789 c) BCNN(16,32,64) = 64 d) BCNN(18,9,72) = 72 DẠNG 3: Tìm BC thơng qua BCNN Đối với dạng tốn HS tìm BCNN sau tìm bội BCNN BC Bài 4: tìm BC a) 100, 120 200 Ta có BCNN (100,120,200)=600 Vậy BC(100,120,200) = B(600) = {0;600;1200;1800;2400…} b) 6, 18 20 = 2.3 18 = 2.3.3 =2.32 20 = 2.2.5 = 22.5 Thừa số nguyên tố chung riêng : 22; 32; 11 11 BCNN = 22.32.5 = 180 Vậy BC(6,18,20) = B(180) = {0;180;360;540…} DẠNG 4: Tìm x Đối với dạng toán rèn cho HS khả tư , từ kiện sẳn có để tìm đáp án Bài 5: Tìm x nhỏ a) M M x nhỏ biết x 15 x 18 M M Giải Vì x 15 x 18 nên x Mà x nhỏ nên x ∈ ∈ BC(15,18) BCNN(15,18) Ta tìm BCNN(15,18) 15 = 3.5 18 = 2.3.3 = 2.32 Thừa số nguyên tố chung riêng : 2; 32; BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 Vậy x = 90 b) M M x 12 x 21 150