(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp giải phương trình vô tỉtrong khuôn khổ chương trình bậc THCS

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Toán học là một những môn khoa học bản mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, mơn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một những chuyên đề xuyên suốt năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp và hoàn thiện bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ giải phương trình một cách thành thạo Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối giải các loại phương trình này Thực ra, cũng là một những vấn đề khó Đặc biệt, với những học Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì là một những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân lại được Nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, cũng rất trăn trở về vấn đề này Vấn đề đặt là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả những lí nêu Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” khn khở chương trình bậc THCS II Mục đích đề tài Trên sở kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn học tập của học sinh, tìm phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất III Phạm vi nghiên cứu Để thực đề tài này, thực nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường THCS Bu PRăng Cụ thể là những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường và của Huyện IV Cơ sở nghiên cứu Để thực đề tài này, dựa sở kiến thức mà tự tìm tịi nghiên qua tài liệu tốn bậc THCS mạng, tài liệu phương pháp giảng dạy, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo mơn Tốn bậc trung học sở V Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: – Phương pháp nâng lên lũy thừa – Phương pháp trị tuyệt đối hóa – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức – Phương pháp đưa về phương trình tích Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Phương pháp đặt ẩn phụ – Giải và biện luận phương trình vô tỉ VI Thời gian nghiên cứu Đề tài thực năm học 2010 - 2011 VII Giới hạn đề tài Đề tài được sử dụng việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh giỏi bộ môn Toán bậc THCS PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Khảo sát tình hình thực tế Năm học 2010 - 2011, được trường THCS Bu PRăng giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn Toán và giải toán máy tính cầm tay Đây là một hội rất tốt để thực hiện đề tài này, phương trình vô tỉ là một những dạng phương trình khó Trong quá trình giải toán học sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh tham gia hai đội tuyển thì những dạng phương trình vô tỉ cũng là một dạng toán mới Trước bồi dưỡng học sinh giỏi, đã thực hiện việc khảo sát môn toán 43 học sinh của lớp Kết quả thu được sau: Giỏi: em Khá:15 em Trung bình: 18 em Yếu: em Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán phụ trách đầu tháng 09 gồm 05 học sinh, qua quá trình bồi dưỡng, chọn lọc trực tiếp Tôi đã chọn được 02 em tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ II Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Phương pháp nâng lên lũy thừa  a) Dạng 1: Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: (1)  Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = b) Dạng 2: Ví dụ Giải phương trình: (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có:  (2)    Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = c) Dạng 3: Ví dụ Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3)     4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16  76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 =  5x2 – 84x + 352 = Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ  x1 = ; x2 = Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = d) Dạng 4: Ví dụ Giải phương trình: (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (4)      45 + 14x + 14 =0 Với x ≥  vế trái của phương trình là một số dương  phương trình vô nghiệm 2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: (1)  Với điều kiện x ≤ Ta có: (1)  |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1)  x – = – x  x = HD: Đáp số: x = Ví dụ Giải phương trình Giải: (2)   Đặt y = (y ≥ 0)  phương trình đã cho trở thành: – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nơng Trang download by : skknchat@gmail.com (2) MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, đó phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái:  vế trái âm Vế phải: ≥  vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có:   Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1)   Ta có: Vế trái ≥ Dấu “=” xảy  x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ví dụ Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + Mà: VP > > 2.22 + = VT < Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = Ví dụ Giải phương trình: Giải: Thử với x = Ta có: (1)  Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: Giải: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm Thật vậy: Với x <  : Tương tự với < x < 2: Ví dụ Giải phương trình: (1) Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nơng Trang download by : skknchat@gmail.com MỢT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1)  x = x= biểu thức hai vế Vậy nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm khoảng Ta chứng minh nghiệm Với : 3x < –2x – <  (3x)2 > (2x + 1)2   (1) khơng có nghiệm Suy ra: khoảng Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) khơng có nghiệm d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ Giải phương trình Giải: điều kiện Áp dụng bất đẳng thức Với điều kiện với ab > Nên: Dấu “=” xảy   Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ Giải phương trình: Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình:   PT vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1)   x1 = 0; x2 = Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) (1)  x=2 5) Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt (1) = y (y ≥ 0) y2 = x +  x = y2 –  x2 = (y2 – 1)2  (2)  (y2 – 1)2 + y – =  y(y  1)(y2 + y  1) = Từ suy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ Giải phương trình: HD: ĐK: x ≥ Đặt (1) =y (1)   y3 + y2 – =  (y – 1)(y2 + 2y + 2) =  y =  x = b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = (3) Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Giải Đặt u = (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: ,v= u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 +  (3)  2(u2 + v2) = 5uv  (2u  v)(u  2v) = Giải ra, xác định x Kết là: x  Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải ĐK: x ≥ –2 (1)  Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = (1)  (a – b)(1 + ab) = a2 – b2  (a – b)(1 – a + ab – b) =  (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ Đặt (1) = u, = v (u, v ≥ 0): (1)  b – a = a2 – b2  (a – b)(a + b + 1) = Mà a + b + >  a = b  x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt = u, (1) = v (u, v ≥ 0) (1)   u – (v2 – u2) – v =  (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải ĐK: x ≥ (1)  Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1)  ab + c = b + ac  (a – 1)(b – c) =  a = b = c Thay ngược trở lại ta x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang 10 download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Giải Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0)  x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu Từ ta có hệ: Nhân vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (4) Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có: d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình Cách 1: Giải tương tự Ta x = Cách 2: Đặt  Ta có hệ: Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt  =u, (u, v ≥ 0): Giải ta có x = nghiệm Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang 11 download by : skknchat@gmail.com  x = MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt  = u,  = v (u, v ≥ 0) Thế ngược trở lại: x = nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt  (u, v ≥ 0)  Ví dụ Giải phương trình: (u, v ≥ 0)  Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt = u, (1) = v (u, v ≥ 0)  (1)  Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt (1)   kết 6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ Giải và biện luận phương trình:  Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  ≥m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2 Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang 12 download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận phương trình với m tham số: (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  – Nếu m ≠ 0: + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ Tóm lại: – Nếu – Nếu hoặc hoặc Phương trình có một nghiệm: : phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận theo tham số m phương trình: Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành  có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m II Kết quả thực hiện Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang 13 download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Qua việc bời dưỡng học sinh giỏi hai môn: Toán và giải toán máy tính cầm tay Tôi đã áp dụng các nội dung của đề tài vào việc bồi dưỡng cho các em Kết quả đạt được sau: a) Cấp Huyện: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh cấp Huyện: 02 em Số học sinh đạt giải: 02 em ( giải ba, công nhận học sinh giỏi) b) Cấp Tỉnh: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: 02 em Số học sinh đạt giải : khơng có III Bài học kinh nghiệm Qua việc thực hiện chuyên đề giải phương trình vô tỉ chương trình của cấp THCS và việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn Toán và Giải toán máy tính cầm tay Bản thân đã rút được một số bài học kinh nghiệm sau: Về công tác chỉ đạo Đây là một công tác quan trọng hàng đầu việc bồi dưỡng học sinh giỏi Trong năm học vừa qua, nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thường xuyên từ phía Ban giám hiệu Nhà trường và Phòng giáo dục đào tạo Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đã và gặt hái được những thành định Nhờ có sự quan tâm đó, mà Trường THCS Bu PRăng trường vùng sâu, vùng xa tỉnh Đắk Nơng có học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2009- 2010 2010 – 2011 Về phía học sinh Để gặt hái được những thành tích đáng kể cơng tác giáo dục Thì học sinh phải là nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, là nhân tố giữ vai trò quyết định sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng Vì chính các em mới là người học, là người thi và là người đem lại những thành tích đó Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 8, 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làm công tác bồi dưỡng cần phải Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nơng Trang 14 download by : skknchat@gmail.com MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ thường xun đợng viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn công việc học tập của mình Về phía giáo viên tham gia trực tiếp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Nếu học sinh giữ vai trò trung tâm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thì vị trí của người thầy lại giữ vai trò chủ đạo Để thực hiện thành công việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên cần phải có thời gian bồi dưỡng nhiều hơn, phải đầu tư thời gian, công sức, phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực Cặp nhật thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao PHẦN III KẾT LUẬN Để hoàn thành đề tài đọc nhều tài liệu kết hợp với kinh nghiệm thân, giúp đỡ nhà trường, đồng nghiệp đưa số phương pháp giải phương trình vơ tỉ khuôn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp Trong trình thực đề tài chắn tơi cịn có số thiểu sót định ngoài những phương pháp mà chắt lọc trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà chưa biết Chính vì vậy, rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Quảng trực, ngày 09 tháng 10 năm 2010 Người thực Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang 15 download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Bạch Xuân Lương NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang 16 download by : skknchat@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ngày … tháng … năm 201…… ( Kí tên, đóng dấu) Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông Trang 17 download by : skknchat@gmail.com ... đưa số phương pháp giải phương trình vơ tỉ khn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp Trong trình thực đề tài chắn tơi cịn có số. .. dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình Cách 1: Giải tương tự Ta x = Cách 2: Đặt  Ta có hệ: Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt  =u, (u, v ≥ 0): Giải ta có x =... dụ Giải phương trình: Giải Đặt = u, (1) = v (u, v ≥ 0)  (1)  Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt (1)   kết 6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ Giải và biện luận phương