Ứng dụng tam thức bậc hai và định lý vi ét vào bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

A PhẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán giá trị lớn giá trị nhỏ toán hay gặp kì thi tốt nghiệp, phổ thơng, đại học - cao đẳng đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi, tốn tương đối khó sở lý thuyết ngắn lại đa dạng kỹ thuật thủ thuật làm tốn Nó địi hỏi thời gian lớn để thấu hiểu giải tốn, cịn địi hỏi nhạy cảm khả tư cao Đặc biệt để giải tốn tìm GTLN GTNN kiến thức tổng hợp đại số, giải tích, hình học thường sử dụng Trong phạm vi đó, việc dự đốn GTLN GTNN cịn địi hỏi kinh nghiệm , lẫn thông minh định đường phương tiện để chứng minh Khi giảng dạy phần chúng tơi nhận thấy, đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học tốn ngại giải toán Sự phong phú đa dạng tốn dẫn đến nhiều khó khăn việc tìm lời giải, có nhiều khơng biết đâu, vận dụng kiến thức chương trình học, nhiều học sinh tìm lời giải cách mị mẫm, thiếu định hướng Tơi định chọn chun đề: “Ứng dụng tam thức bậc hai định lý Vi-ét vào tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất”, với mong muốn góp phần nhỏ bé - kinh nghiệm vào việc giảng dạy tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cho học sinh lớp 10 – Trung học phổ thông tạo tiền đề cho học sinh lớp 10 tiếp tục tiếp cận toán kì thi Mục đích nghiên cứu Thơng qua chuyên đề giúp học sinh hiểu sâu nắm phương pháp giải tốn tìm GTLN GTNN, hiểu sâu nắm phần kiến thức quan trọng chương trình tốn 10 phổ thông: Tam thức bậc hai – định lý Vi-ét Khi đưa thêm dạng tập sử dụng ứng dụng tam thức bậc hai vào tập nhằm rèn luyện kỹ lực vận dụng cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh vận dụng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, có khả khám phá khoa học, mở rộng kiến thức, biết áp dụng kiến thức cách hiệu Từ nghiên cứu tìm tịi, sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn tốn, đồng thời đóng góp phần việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn: tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất,…, hình thành cho em thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc sống sau Đối tượng phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 10 – Trường THPT Trần Hưng Đạo – Hà Đông – Hà Nội Thời gian thực Chủ yếu thực thời gian làm tập tự chọn, chủ đề tự chọn nâng cao Các phương pháp nghiên cứu thông qua trình giảng dạy giảng bồi dưỡng học sinh giỏi, tập nâng cao, kiểm tra kì thi học sinh giỏi hàng năm để rút kinh nghiệm Phân tích, nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan B PHÇn néi dung Chương Cơ sở lý luận Trong chương nhắc lại số khái niệm kết mang tính sở phục vụ cho chương sau I Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số biến Định nghĩa: * Cho hàm số f(x) xác định miền D Ta nói số M giá trị lớn hàm số f(x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây: 1, f(x) ≤ M, 2, Tồn x D D, cho f(x0) = M Khi ta ký hiệu: M = f(x) * Cho hàm số f(x) xác định miền D Ta nói số m gọi giá trị bé f(x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây: 1, f(x) ≥ m, 2, Tồn x D D, cho f(x0) = M Khi ta ký hiệu: m = f(x) Nhận xét: Để tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số, người ta sử dụng nhiều phương pháp Trong chuyên đề chủ yếu sử dụng hai phương pháp sau: a) Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số: i, Bằng cách sử dụng kiến thức biết, ta lập bảng biến thiên hàm số miền D cho ii, Dựa vào bảng biến thiên so sánh giá trị đặc biệt để tìm đáp số cho tốn ( Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp cần đặc biệt ý điều sau đây: Nếu trình giải, ta dùng phép đổi biến (để cho toán đơn giản hơn), tốn tương đương, ta phải xác định lại miền xác định mà ta tìm GTLN GTNN hàm số đơn giản hóa) b) Phương pháp miền giá trị hàm số: Ta xét toán sau đây: Tìm GTLN GTNN hàm số f(x), với x Gọi giá trị tuỳ ý hàm số xét miền D cho, điều có nghĩa hệ phương trình sau (ẩn x) có nghiệm: Tuỳ dạng hệ (1), (2) mà ta có điều kiện thích hợp Trong nhiều trường hợp điều kiện (sau biến đổi thu gọn) đưa dạng: (3) giá trị f(x), nên từ (3) ta có: Như để tìm GTLN GTNN hàm số, dùng phương pháp này, ta quy việc tìm điều kiện để phương trình (có thêm điều kiện phụ) có nghiệm II Tam thức bậc hai Định nghĩa: Tam thức bậc hai (đối với biến x ) biểu thức dạng: f(x) = ax2 + bx +c a, b, c số cho trước với a ≠ .Nghiệm tam thức bậc hai f(x) nghiệm phương trình bậc hai f(x) = Định lý : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), – 4ac - Nếu ∆ < 0, f(x) dấu với hệ số a với x R ∆ = b2 x - Nếu ∆ = 0, f(x) dấu với hệ số a với - Nếu ∆ > 0, f(x) có hai nghiệm x1 x2 (x1 < x2), f(x) trái dấu với hệ số a với x nằm khoảng (x1;x2) (tức với x1 < x < x2) f(x) dấu với hệ số a với x nằm đoạn [x1 ; x2] (tức với x < x1 x > x2) * Chú ý: Ta dùng biệt thức thu gọn ∆’ = b’2 – ac, b = 2b’ thay cho ∆ kết tương tự III Định lý Vi-ét Định lý Vi-ét thuận Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm thực x x2 thì: Định lý Vi-ét đảo Nếu có số x y mà x, y nghiệm phương trình bậc hai sau: X2 – SX + P = 0, (điều kiện để tồn hai số x, y S2 – 4P ≥ 0) 3.Trường hợp đặc biệt i) Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (1), có hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 0, phương trình có hai nghiệm số ii) Nếu phương trình (1) có hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a - b + c = 0, phương trình có hai nghiệm số -1 iii)Nếu phương trình (1) có hệ số a, c trái dấu phương trình ln có hai nghiệm số thực phân biệt, nghiệm âm, nghiệm dương Chương Ứng dụng tam thức bậc hai định lý vi-ét vào giải toán Trong phần này, ta ứng dụng tính chất định tính định hình tam thức bậc hai để xác định giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số, biểu thức I Phương pháp đưa khảo sát tam thức bậc hai Bài toán 1: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) tập D R f(x) giá trị nhỏ nhất: m = Tìm giá trị lớn nhất: M = f(x) (Tìm GTLN GTNN tam thức bậc hai tập cho trước) Phương pháp: + Xét dấu a để xác định dáng điệu parabol (P): y = f(x) + Xét hồnh độ đỉnh (P): có thuộc D không? + Kết luận Các tập D cụ thể xét sau: < ý : D = [α ; > ] a>0 a xI α  o x Trường hợp: y y f (x)  o xI x  m = f(α) M = f(α) Khơng có GTLN Khơng có GTNN xI o x D = ( - ∞; α ] [ ;+∞) a>0 a Thì ta có: A A < D Ví dụ 1: < C > > GTNN A m GTLN A n Cho pt: x2 – mx + m – = C = D = , gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: Hướng dẫn: *Trước hết ta tìm điều kiện để Điều kiện để Theo Vi-ét thì: *Tiếp theo ta áp dụng kiến thức biết để tìm GTLN, GTNN biểu thức B Cách 1: Ta thêm, bớt để đưa B dạng phần Ta biến đổi B sau: 33 hướng dẫn , (m -1) Vậy GTLN B m = Với cách thêm, bớt khác ta lại có: Vậy GTNN B Cách 2: Ta đưa B phương trình bậc hai với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình có nghiệm m, (áp dụng toán 2) Ta viết : , < m ẩn, B tham số > Ta xét hai trường hợp: *Với B = : *Với B ≠ : Điều kiện để (2) có nghiệm là: Kết hợp lại ta có: *GTLN biểu thức B đạt m = *GTNN biểu thức B đạt m = -2 Nhận xét: Nhờ định lí Vi- et mà ta biểu diễn biểu thức B hàm bậc hai tham số m Từ ta tìm GTLN, GTNN B cách áp dụng toán 34 Ví dụ 2: Giả sử hai nghiệm phương trình: Tìm GTNN biểu thức S = Hướng dẫn: Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm : Theo định lí Vi-et, ta có : Suy ra: Do hàm số với nghịch biến khoảng , nên Kết luận: GTNN biểu thức S 0, đạt Nhận xét: Nhờ định lí Vi- et mà ta biểu diễn biểu thức S hàm bậc hai tham số m Từ ta tìm GTNN S cách áp dụng toán 35 Ví dụ 3: Giả sử pt: có hai nghiệm dương Chứng minh pt: có hai nghiệm dương Gọi nghiệm tìm GTNN tổng Hướng dẫn: *Trước hết ta chứng minh : có hai nghiệm dương Thật vậy, theo giả thiết pt: có hai nghiệm dương a c dấu (2) a b trái dấu (3) Để chứng minh pt: có hai nghiệm dương ta cần chứng minh: a c dấu ( a b trái dấu ( ) ) Thật ta có, theo (1) : Theo (2) a b dấu b c trái dấu 36 Vậy: có hai nghiệm dương *Theo định lí Vi-et ta có: Kết luận: GTNN tổng Nhận xét: Bài toán ta áp dụng nhiều phương pháp để giải Song áp dụng định lí Vi-ét ngắn gọn thuận tiện nhất.Ta cần khéo léo áp dụng định lí Vi-ét biến đổi để đưa tổng x3 + x4 biểu diễn x1 x2 trên, sau vận dụng phần hướng dẫn Ví dụ 4: Cho phương trình : (1) a, Giải biện luận số nghiệm phương trình theo m b, Tìm m cho: Hướng dẫn: a, Ta có: 37 đạt GTNN + Nếu >0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 + Nếu phương trình có nghiệm kép *Với m = -3 x1 = x2 = -2 *Với m = x1 = x2 = + Nếu b, Với , phương trình vơ nghiệm phương trình (1) có nghiệm Ta viết Theo định lí Vi-ét ta có: Kết luận: Ví dụ 5: Tìm GTNN hàm số y = f(x) = Hướng dẫn: 38 miền D = Gọi giá trị tùy ý hàm số miền D = , tức hệ sau (ẩn x) có nghiệm: Trước hết ta tìm điều kiện để (2) có nghiệm Ta có: (2) có nghiệm , (3) Vậy: với điều kiện (3) (2) có nghiệm Mặt khác, theo định lí Vi-ét ta có: suy (2) có hai nghiệm dương < , mà < < (3) điều kiện để hệ (1), (2) có nghiệm Kết luận: , đạt Ví dụ 6: Tìm GTLN, GTNN biểu thức: , biết Giải: 39 Ta viết: Đặt , ta có , Ta có: *Tìm GTNN biểu thức A: Ta có: Vậy GTNN A 45, đạt khi , , nên nghiệm phương trình: (1) Giải ta nghiệm: Vậy *Tìm GTLN biểu thức A: 40 Ta có: (1) Viết A dạng: Do (1), nên , Vậy GTLN A 101, đạt , tức Kết luận: *GTLN A 101, đạt ( ) ( ) *GTNN A 45, đạt ( ) ( ) Nhận xét: Trong để tìm GTLN, GTNN biểu thức A, ta sử dụng phương pháp đổi biến , tìm GTLN, GTNN biến (đối với ), sau ta quay lại tìm theo ( cách sử dụng định lí Vi- et) Như để ứng dụng định lí Vi-ét tốn địi hỏi học sinh tư mềm dẻo biến đổi khéo léo, hợp lí Bài tập áp dụng [1] Gọi nghiệm phương trình sau: a, b, Tìm giá trị để có giá trị nhỏ 41 [2] Gọi nghiệm phương trình sau: a, b, Tìm giá trị [3] Gọi để có giá trị nhỏ nghiệm phương trình sau: a, b, Tìm giá trị để có giá trị GTNN [4] Cho phương trình: Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 cho biểu thức có giá trị GTNN [5] Cho phương trình: Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a, đạt GTLN b, [6] Giả sử đạt GTNN nghiệm phương trình Xác định p cho để có giá trị GTNN 42 43 KẾT LUẬN Đa số học sinh đại trà có đủ khả tiếp nhận nội dung tam thức bậc hai, định lý vi-et số ứng dụng SGK, học sinh có khả tự giải số lượng lớn tập mà giáo viên đưa mức độ trung bình, trung bình giải hướng dẫn giáo viên Tuy nhiên cịn có tập khó tập tìm GTLN, GTNN đòi hỏi vận dụng số ứng dụng tam thức bậc hai định lí Vi-et, mà ứng dụng khơng có SGK, giáo viên cần đưa ứng dụng vào tập, tập tự chọn nâng cao thực tế giảng dạy cho thấy hướng dẫn gợi ý giáo viên, em biết vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức Các em hứng thú say mê mơn tốn hơn, từ phát huy tính tích cực độc lập sáng tạo, khả suy luận logic Với chuyên đề vận dụng giảng dạy năm học 2009 2010 2010 -2011, thấy học sinh tiến nhiều việc định hướng giải tập, việc trình bày việc kết luận toán Đặc biệt học sinh trung bình tự nhiên khắc phục sai lầm Mặc dù cố gắng q trình viết chun đề, xong khơng tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Tơi mong đóng góp bổ xung, góp ý chân thành quý thầy cô, bạn đồng nghiệp để chuyên đề tơi áp dụng rộng rãi có tính thiết thực Hướng phát triển chuyên đề là, phát triển ứng dụng định lý Vi-ét thành công cụ tương đương định lý đảo dấu tam thức bậc hai giải toán Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Hà đông, ngày 20 tháng 05 năm 2011 Người viết: Trần thị hương 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa toán 10 – nâng cao - Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nguyễn Văn Nho - Tam thức bậc hai ứng dụng Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm -Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp - tập một- tác giả: Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, PhanVăn Hạp,Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình Thịnh MỤC LỤC 45 A PhẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu .2 Thời gian thực .2 Các phương pháp nghiên cứu B PHÇn néi dung Cơ sở lý luận I Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số biến Định nghĩa: .3 II Tam thức bậc hai Định nghĩa: .4 Định lý III Định lý Vi-ét Định lý Vi-ét thuận Định lý Vi-ét đảo 3.Trường hợp đặc biệt Ứng dụng tam thức bậc hai định lý vi-ét vào giải toán .7 I Phương pháp đưa khảo sát tam thức bậc hai II Phương pháp đưa việc áp dụng điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai 20 III Định lí Vi-ét ứng dụng vào tốn tìm GTLN GTNN biểu thức nghiệm, hàm số biểu thức 33 KẾT LUẬN 44 ý kiến đánh giá xếp loại 46 47 ... có hai nghiệm số thực phân biệt, nghiệm âm, nghiệm dương Chương Ứng dụng tam thức bậc hai định lý vi- ét vào giải toán Trong phần này, ta ứng dụng tính chất định tính định hình tam thức bậc hai. .. III Định lý Vi- ét Định lý Vi- ét thuận Định lý Vi- ét đảo 3.Trường hợp đặc biệt Ứng dụng tam thức bậc hai định lý vi- ét vào giải toán .7 I... xác định giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số, biểu thức I Phương pháp đưa khảo sát tam thức bậc hai Bài toán 1: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) tập D R f(x) giá trị nhỏ nhất: