Luận văn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học toán ở phổ thông

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài câu hỏi ban đầu Khung lý thuyết tham chiếu .4 Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn .5 Chương GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG 1.1 Số lớn nhất, số bé nội dung học tập tập số 1.1.1 Phân tích chương trình 1.1.2 Phân tích sách giáo khoa 11 1.2 GTLN, GTNN biểu thức hàm số .20 1.2.1 GTLN, GTNN biểu thức lớp 20 1.2.1.1 GTLN, GTNN biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối 20 1.2.1.2 GTLN, GTNN biểu thức chứa thức bậc hai 21 1.2.2 GTLN, GTNN biểu thức hàm số lớp 23 1.2.3 GTLN, GTNN SGK Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12 .28 1.2.3.1 Chương trình nâng cao .28 1.2.3.1.1 GTLN, GTNN sách Đại số 10 nâng cao 28 1.2.3.1.2 GTLN, GTNN SGK Đại số Giải tích 11 nâng cao .44 1.2.3.1.3 GTLN, GTNN sách Giải tích 12 nâng cao 50 1.2.3.2 Chương trình chuẩn 62 1.3 Bàn thuật ngữ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số .63 1.4 Kết luận 70 Chương MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM CỦA ĐỐI TƯỢNG BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG NGHIÊM NGẶT 73 2.1 Bất đẳng thức khơng nghiêm ngặt SGK Tốn phổ thơng 74 2.1.1 Sách Tốn 74 2.1.2 Sách Toán 74 2.1.3 Sách Toán 76 2.1.4 Sách Toán 77 2.1.5 Các sách Đại số lớp 10 .79 2.1.6 Các sách Đại số, Giải tích lớp 11 12 82 2.2 Kết luận 84 Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .86 3.1 Đối tượng hình thức thực nghiệm 86 3.2 Giới thiệu nội dung thực nghiệm phân tích tiên nghiệm 87 3.2.1 Bài tập 87 3.2.2 Bài tập 90 3.2.3 Bài tập 94 3.2.4 Bài tập 98 3.3 Phân tích hậu nghiệm 102 3.3.1 Bài tập 102 3.3.2 Bài tập 106 3.3.3 Bài tập 107 3.3.4 Bài tập 108 KẾT LUẬN 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC Phụ lục 1: Phiếu điều tra dành cho HS lớp 10, 11, 12 Phụ lục GTLN, GTNN bậc đại học Phụ lục GTLN, GTNN SGK trung học phổ thơng chuẩn Phụ lục Bảng tóm tắt tiến triển đối tượng GTLN, GTNN thể chế dạy học Tốn phổ thơng Phụ lục Vai trò dấu ≤, ≥ SGK Tốn phổ thơng Phụ lục Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GTLN : giá trị lớn GTNN : giá trị nhỏ GV : giáo viên HS : học sinh KNV : kiểu nhiệm vụ NXB : nhà xuất SBT : sách tập SGK : sách giáo khoa SGV : sách giáo viên Tp.HCM : Thành phố Hồ Chí Minh tr : trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Nội dung học tập tập số phổ thông Bảng 1.2: Bảng thống kê KNV T SLN T SBN SGK Toán tiểu học .19 Bảng 1.3: Bảng thống kê KNV liên quan đến GTLN, GTNN Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 38 Bảng 1.5: Bảng thống kê kỹ thuật giải KNV liên quan đến GTLN, GTNN SGK, SBT Đại số 10 nâng cao 43 Bảng 1.6: Bảng thống kê KNV liên quan đến GTLN, GTNN SGK, SBT Đại số Giải tích 11 nâng cao 49 Bảng 1.7: Bảng thống kê kỹ thuật giải KNV liên quan đến GTLN, GTNN hàm số SGK, SBT Giải tích 12 nâng cao 57 Bảng 3.1: Bảng thống kê số lượng làm HS tình 103 Bảng 3.2: Bảng thống kê số lượng làm HS dùng chiến lược CL2.7 106 Bảng 3.3: Bảng thống kê số lượng làm HS tình 107 Bảng 3.4: Bảng thống kê số lượng làm HS tình 108 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài câu hỏi ban đầu Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) đối tượng xuất chương trình phổ thơng mơn Tốn hành Việt Nam trải dài từ bậc tiểu học đến bậc trung học phổ thơng Có nhiều tốn khác liên quan đến đối tượng Chẳng hạn: Ở lớp 4, có tốn tìm số tự nhiên lớn hay số tự nhiên bé số tự nhiên cho: a) Số lớn có ba chữ số số nào? b) Số bé có ba chữ số số nào? (Tốn 4, tr.13) Ở lớp 6, xuất toán ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ số tự nhiên cho trước như: Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết 420 ⋮ 𝑎 700 ⋮ 𝑎 (Toán tập một, tr.56) Ở lớp 9, xuất tốn u cầu tìm GTLN GTNN biểu thức như: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 𝑥 + 𝑥√3 + Giá trị đạt x bao nhiêu? (Bài tập Tốn tập một, tr.16) Hay lớp 12, có tốn sau: Trong hình chữ nhật có chu vi 40cm, xác định hình chữ nhật có diện tích lớn (Giải tích 12 nâng cao, tr.24) GTLN GTNN đối tượng phổ biến môn học khác phổ thông Chẳng hạn mơn Vật lí lớp 10 có u cầu sau: Một vật đặt mặt phẳng nghiêng (góc nghiêng 𝛼 = 30o ), truyền vận tốc ban đầu v o = 2m/s (hình vẽ) Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng 0,3 Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn giá trị nhỏ trong… a) Tính gia tốc vật b) Tính độ cao lớn (H) mà vật đạt tới c) Sau đạt tới độ cao H, vật chuyển động ? (Vật lí 10 nâng cao, tr.106) Mặt khác, toán GTLN, GTNN có mặt nhiều kì thi từ cấp độ bình thường tốn kiểm tra trường, lớp đến tốn kì thi tốt nghiệp phổ thơng, kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng kì thi học sinh giỏi lẫn thi quốc tế Chẳng hạn sau câu đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây: Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1;4] 𝑥 ≥ 𝑦, 𝑥 ≥ 𝑧 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 𝑃 = 𝑥 2𝑥+3𝑦 𝑦 𝑧 + 𝑦+𝑧 + 𝑧+𝑥 (trích Đề thi Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011) Các toán GTLN GTNN gắn liền với thực tế sinh động Xin đưa toán phổ thơng: Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng 𝑃(𝑛) = 480 − 20𝑛 (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? (Giải tích 12 nâng cao, tr.22) Những điều cho thấy GTLN GTNN đối tượng xuất chương trình phổ thơng với vị trí quan trọng Chúng tồn nhiều dạng thuật ngữ khác “số lớn nhất”, “cao nhất”, “to nhất”, “nhiều nhất”, ứng với GTLN “số bé nhất”, “nhỏ nhất”, “thấp nhất”, “ít nhất”, ứng với GTNN Chúng quan sát lưu ý từ sách giáo viên (SGV) Giải tích 12 nâng cao liên quan đến đối tượng sau: Sau định nghĩa, nhắc lại điều sau đây: Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn giá trị nhỏ trong… Muốn chứng tỏ số M (hoặc m) GTLN (hoặc GTNN) hàm số f tập hợp D, cần chứng tỏ a) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚) với 𝑥 ∈ 𝐷; b) Tồn điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 cho 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑚) Điều kiện b) quan trọng, không bỏ qua Một số học sinh khơng ý đến nó, mắc sai lầm Ta xét tập 16: Tìm GTLN GTNN hàm số 𝑓(𝑥) = sin4 𝑥 + cos4 𝑥 Có học sinh lập luận sau: Vì 𝑓(𝑥) ≥ với 𝑥 ∈ ℝ nên min𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = Vì sin4 𝑥 ≤ cos4 𝑥 ≤ với 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑓(𝑥) ≤ + = với 𝑥 ∈ ℝ Do max𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = Các kết luận sai Tại sao? Thật ra, ta có min𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = max𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = Học sinh mắc sai lầm khơng để ý đến điều kiện b) (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.39) Từ cho thấy, có học sinh (HS) lớp 12 bị mắc sai lầm theo kiểu (chúng gọi sai lầm SL): o Nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 có max𝑥∈𝐷 𝑓 (𝑥) = 𝑀 mà không quan tâm đến việc tồn 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑀 o Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 có min𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑚 mà không quan tâm đến việc tồn 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑚 Vậy sai lầm bắt nguồn từ đâu? Chúng có phổ biến HS lớp 12 học sinh lớp khơng? Chúng có phải bắt nguồn từ số tốn liên quan đến GTLN GTNN lớp không? Hoặc chúng có phải cách trình bày sách giáo khoa (SGK) khơng? Ngồi sai lầm trên, cịn sai lầm khác HS giải tốn GTLN GTNN hay khơng? Có thể có nhiều nguyên nhân giải thích cho sai lầm nhận xét đối tượng bất đẳng thức khơng nghiêm ngặt dường đóng vai trị tạo nên khó khăn sai lầm HS việc giải toán GTLN GTNN Đặc biệt, đề cập đến đối tượng GTLN GTNN phổ thông, Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn giá trị nhỏ trong… số SGK sử dụng bất đẳng thức không nghiêm ngặt để mô tả chúng Chẳng hạn định nghĩa GTLN GTNN hàm số SGK Giải tích 12 nâng cao sau: Giả sử hàm số f xác định tập hợp D (𝐷 ⊂ ℝ) a) Nếu tồn điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 cho 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑜 ) với 𝑥 ∈ 𝐷 số M = f(x o ) gọi giá trị lớn hàm số f D, kí hiệu 𝑀 = max𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) b) Nếu tồn điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥𝑜 ) với 𝑥 ∈ 𝐷 số m = f(x o ) gọi giá trị nhỏ hàm số f D, kí hiệu min𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) (Giải tích 12 nâng cao, tr.18) Những ghi nhận khiến chọn đề tài Giá trị lớn giá trị nhỏ dạy học Toán phổ thông làm chủ đề cho luận văn Cụ thể, luận văn trả lời cho câu hỏi ban đầu sau: - Các đối tượng GTLN GTNN đưa vào chương trình phổ thơng nào? Nhằm mục đích gì? Có tốn liên quan đến đối tượng đó? Chúng tiến triển qua khối lớp? - Các đối tượng bất đẳng thức khơng nghiêm ngặt có vai trị đối tượng GTLN GTNN? Chúng có phải yếu tố gắn liền với sai lầm học sinh không? - Kết lựa chọn hệ thống dạy học ảnh hưởng đến việc học HS đối tượng GTLN, GTNN đến việc giải dạng toán liên quan đến đối tượng này? Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu đặt phạm vi didactic toán, với việc vận dụng lý thuyết sau đây: - Lý thuyết nhân chủng học Cụ thể, sử dụng khái niệm "quan hệ thể chế", "quan hệ cá nhân", "tổ chức toán học" - Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm (a priori) phân tích hậu nghiệm (a posteriori) - Ngồi ra, chúng tơi cịn sử dụng khái niệm hợp đồng dạy học để phục vụ cho việc nghiên cứu Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn giá trị nhỏ trong… Mục đích nghiên cứu Chúng tơi xác định khái niệm: - Mối quan hệ thể chế R(I,O), với I thể chế dạy học phổ thơng mơn Tốn hành Việt Nam, O đối tượng GTLN, O GTNN, O gọi chung cho O O Trong luận văn này, gọi thay cụm từ “thể chế dạy học phổ thơng mơn Tốn hành Việt Nam” “thể chế” hay “thể chế dạy học” - Mối quan hệ cá nhân R(X,O), với X người học (HS) người dạy (GV) Dựa theo khung lý thuyết tham chiếu chọn câu hỏi xuất phát ban đầu, đề câu hỏi nghiên cứu sau mà việc tìm kiếm số yếu tố cho phép trả lời chúng mục đích nghiên cứu luận văn này: CH1 Các đối tượng GTLN GTNN xây dựng tiến triển thể chế dạy học Tốn phổ thơng? Đặc trưng tổ chức toán học gắn liền với đối tượng gì? Các tổ chức tốn học tiến triển qua khối lớp? CH2 Các đối tượng bất đẳng thức khơng nghiêm ngặt có đặc trưng thể chế dạy học Tốn phổ thơng? Kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải liên quan đến đối tượng này? CH3 Những quy tắc hành động nào, quan niệm HS vận dụng góp phần tạo sai lầm SL? Cịn có sai lầm khác gắn liền với việc giải tốn GTLN GTNN khơng? Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Nhằm đạt mục đích nghiên cứu đề ra, xác định phương pháp nghiên cứu sau: Để trả lời cho câu hỏi CH1, nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng GTLN GTNN qua việc phân tích chương trình SGK phổ thơng mơn Tốn hành Việt Nam Chúng cố gắng làm rõ cách xây dựng đối tượng trên, tổ chức toán học với tiến triển chúng qua khối lớp Những kết thu cho phép trả lời cho câu hỏi Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn giá trị nhỏ trong… CH1 trình bày chương 1: “GTLN GTNN thể chế dạy học Tốn phổ thơng” Sau đó, chúng tơi dựa vào SGK hành Việt Nam để rút số đặc trưng sư phạm đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt Điều trình bày chương 2: “Một số đặc trưng sư phạm đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt” giúp trả lời cho câu hỏi CH2 Từ kết phân tích trên, chúng tơi hình thành nên giả thuyết nghiên cứu nhận định cần kiểm tra tồn Chúng kiểm chứng giả thuyết kiểm tra nhận định cách xây dựng tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm HS qua phiếu câu hỏi, thực nghiệm GV qua phiếu thăm dò ý kiến Các kết nhận cho phép đưa câu trả lời cho câu hỏi CH3 trình bày chương 3: “Nghiên cứu thực nghiệm” Những nghiên cứu sơ đồ hóa sau: NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam Giả thuyết, nhận định NGHIÊN CỨU ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM THỰC NGHIỆM bất đẳng thức không ngặt Kiểm chứng giả thuyết SGK Việt Nam Kiểm tra nhận định Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn giá trị nhỏ trong… - Phần tử lớn cận tập hợp (nếu có) cận tập hợp Tương tự, phần tử nhỏ cận tập hợp (nếu có) cận tập hợp - Một tập hợp mà khơng có phần tử lớn có cận Đặc biệt, tập hợp có phần tử lớn phần tử lớn cận tập hợp Điều xảy tương tự cho khái niệm phần tử nhỏ cận tập hợp ■ Về khái niệm GTLN, GTNN hàm số biến [14]: Có hai “loại” GTLN, GTNN hàm số Đó cực trị địa phương hàm số (bao gồm cực đại địa phương cực tiểu địa phương hàm số) cực trị toàn cục hàm số (bao gồm cực đại toàn cục cực tiểu tồn cục hàm số) Trong đó, cực trị địa phương hàm số, có, xảy lân cận điểm xét thuộc tập xác định hàm số Cịn cực trị tồn cục hàm số, có, xảy tồn tập xác định hàm số Các thuật toán tìm giá trị cực trị hàm số (cực trị địa phương hay cực trị toàn cục) dành cho hàm số liên tục tập xác định Đồ thị dùng để minh họa cơng cụ để tìm giá trị cực trị hàm số Cách tìm hay ví dụ việc tìm giá trị cực trị hàm số không liên tục tập xác định không đề cập đến ■ Về GTLN, GTNN hàm số nhiều biến: Các tốn tìm GTLN, GTNN hàm số nhiều biến phận quan trọng ngành toán học đại Lý thuyết tối ưu Đây ngành toán học phát triển giúp giải nhiều lớp toán phục vụ thực tiễn Từng lớp toán khác có thuật tốn khác để giải Do thời gian hạn hẹp, không xem xét cách thức giải toán liên quan đến GTLN, GTNN hàm số nhiều biến bậc đại học Phụ lục GTLN, GTNN SGK trung học phổ thông chuẩn GTLN, GTNN SGK Đại số 10 Đối với sách Đại số 10, xem xét xuất đối tượng GTLN, GTNN hai chương sách Đại số 10 nâng cao Đối với chương II “Hàm số bậc bậc hai”, khơng thấy u cầu chương trình liên quan đến đối tượng xét Dạo quanh hoạt động, ví dụ, tập chương cuối chương, SGK SBT, không thấy tốn u cầu tìm GTLN hay GTNN hàm số sách Đại số 10 nâng cao Chúng tơi nhận thấy có xuất việc xác định đỉnh parabol – đồ thị hàm số bậc hai – có liên quan đến việc xác định GTLN, GTNN hàm số bậc hai Tuy nhiên, cụm từ “GTLN” “GTNN” không thấy xuất chương Đối với chương IV “Bất đẳng thức, bất phương trình”, yêu cầu chương trình liên quan đến đối tượng GTLN, GTNN sau: Kỹ năng: - Biết vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân hai số vào việc chứng minh số bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức đơn giản (SGV Đại số 10, tr.18) Trong chương này, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (bất đẳng thức Cauchy) hai số không âm, HS tiếp nhận đầy đủ bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Tuy nhiên, yêu cầu cho thấy chương trình khơng đề cập đến việc ứng dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối vào việc tìm GTLN, GTNN biểu thức hay hàm số Ngoài ra, việc ứng dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm không đưa tài liệu Chúng tiếp tục xem xét đến toán liên quan đến GTLN, GTNN chương thấy chúng xuất hai §1 “Bất đẳng thức” §4 “Bất phương trình bậc hai ẩn” SGK Đại số 10 nâng cao có phần Cụ thể, §1, sau mơ tả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm số hệ nó, SGK đề cập đến ứng dụng hình học như: Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ (Đại số 10, tr.77) Tuy nhiên, tác giả viết SGK không đưa hoạt động hay ví dụ việc tìm GTLN hay GTNN biểu thức hay hàm số Chúng quan sát SGK §1 toán liên quan đến GTNN đối tượng hình học mà hướng dẫn SGV sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tia Ox Oy lấy điểm A B thay đổi cho đường thẳng AB ln tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính Xác định tọa độ A B để đoạn AB có độ dài nhỏ (Đại số 10, tr.79) Liệu điều có mâu thuẫn với u cầu, mục đích học tập mà chương trình đưa khơng chúng dẫn đến việc kỹ thuật bất đẳng thức không HS quan tâm tìm GTLN, GTNN hàm số hay biểu thức Khi quan sát SBT, thấy rõ quan tâm tác giả viết SBT vấn đề tốn GTLN, GTNN hàm số có hội xuất kiến thức mà HS cần nhớ SBT đề cập: Khái niệm GTLN, GTNN Xét hàm số y = f(x) với tập xác định D Ta định nghĩa 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 a) M GTLN hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇔ � ∃𝑥𝑜 ∈ 𝐷, 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑀 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 b) m GTNN hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇔ � ∃𝑥𝑜 ∈ 𝐷, 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑚 (Bài tập Đại số 10, tr.103) Tổ chức toán học sau xuất hiện:  T LN.NN.HS : Tìm GTLN (GTNN) hàm số y = f(x) D Kỹ thuật 𝜏BĐT.HS : bất đẳng thức Trong đó, có tốn thuộc KNV Và ngồi ứng dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm, tác giả viết SBT cịn dùng thêm bất đẳng thức: ∀𝐴 ∈ ℝ+ , √𝐴 ≥ Ở §4 “Bất phương trình bậc hai ẩn”, KNV T B.LN.NN.HB.ĐG kỹ thuật đỉnh đa giác lồi xuất SGK Đại số 10 nâng cao toán thuộc KNV dường mang tính chất giới thiệu theo mục tiêu dạy học chương trình là: “giúp HS thấy khả áp dụng thực tế bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn” (SGV Đại số 10, tr.108) Tóm lại: HS tiếp cận cách tường minh khái niệm GTLN hàm số GTNN hàm số SBT Đại số 10 Ở SGK SBT Đại số 10, có xuất đối tượng GTLN, GTNN xuất lại mờ nhạt hẳn so với SGK, SBT Đại số 10 nâng cao Các KNV có liên quan đến đối tượng xuất T LN.NN.HS , T B.LN.NN.HB.ĐG Chúng không thấy xuất kỹ thuật đồ thị, bảng biến thiên hay kỹ thuật công thức Có xuất kỹ thuật bất đẳng thức phải giải KNV T LN.NN.HS SGK khơng đưa tốn thuộc KNV mà chúng xuất SBT Điều gây khó khăn cho HS sau học lớp 10 họ yêu cầu sử dụng công cụ bất đẳng thức không nghiêm ngặt (đặc biệt bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm) để tìm GTLN, GTNN hàm số hay biểu thức họ học SGK Liên quan đến quy tắc QT GV hợp đồng dạy học mà dự đốn phần phân tích SGK Đại số 10 nâng cao, tiếp tục nhận thấy toán thuộc KNV T LN.NN.HS , T B.LN.NN.HB.ĐG đưa SBT SGK Đại số 10, biểu thức hay hàm số có GTLN (nếu xét GTLN) hay GTNN (nếu xét GTNN) Chúng cho rằng, để đạt mục tiêu học tập chương trình đề ra, HS làm quen giải toán thuộc KNV T LN.NN.HS , T B.LN.NN.HB.ĐG SGK SBT Do đó, chúng tơi dự đốn có tồn quy tắc QT GV GV Liên quan đến sai lầm SL, nhận thấy tất lời giải SGK, SBT, SGV Đại số 10 cho toán thuộc KNV T LN.NN.HS , T B.LN.NN.HB.ĐG , tác giả viết SGK rõ tồn “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để f(x o ) = M” “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để f(x o ) = m” Do đó, việc trình bày lời giải tài liệu khơng phải nguyên nhân gây nên sai lầm SL HS GTLN, GTNN SGK Đại số Giải tích 11 Trong tài liệu này, đối tượng GTLN GTNN xuất xuất chương I “Hàm số lượng giác phương trình lượng giác” SGK Đại số Giải tích 11 nâng cao KNV liên quan đến GTLN, GTNN T LN.NN.HS Kỹ thuật dùng để giải KNV kỹ thuật bất đẳng thức Trong đó, bất đẳng thức không nghiêm ngặt sử dụng là: “−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥 ∈ ℝ”, “−1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥 ∈ ℝ” Minh họa: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = + 3cosx (Bài tập Đại số Giải tích 11, tr.8) Hướng dẫn SBT: Vì −1 ≤ cos𝑥 ≤ nên −3 ≤ 3cos𝑥 ≤ 3, −1 ≤ + 3cos𝑥 ≤ Vậy GTLN hàm số 5, đạt cos𝑥 = ⇔ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ GTNN hàm số -1, đạt cos𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ (Bài tập Đại số Giải tích 11, tr.8) Số lượng toán bao gồm: toán SGK 10 toán (ứng với 10 hàm số) SBT Đối chiếu với SBT Đại số Giải tích 11 nâng cao, chúng tơi khơng thấy có xuất kỹ thuật tập giá trị SGK SBT Đại số Giải tích 11 Chúng tơi tiếp tục dự đoán tồn quy tắc QT GV hợp đồng dạy học hàm số đưa có GTLN (nếu xét GTLN) hay GTNN (nếu xét GTNN) Chúng tơi nhận thấy việc trình bày lời giải SGK, SGV, SBT nguyên nhân gây nên sai lầm SL HS GTLN, GTNN SGK Giải tích 12 Trong SGK Giải tích 12, đối tượng GTLN, GTNN xuất chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” SGK Giải tích 12 nâng cao trình bày §3 “Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số” Mục đích, yêu cầu là: Tính GTLN GTNN đoạn số hàm số thường gặp Nắm vững phương pháp tính GTLN (GTNN) hàm số có đạo hàm đoạn, khoảng (SGV Giải tích 12, tr.40) Khác với chương trình nâng cao, khái niệm GTLN hàm số, GTNN hàm số định nghĩa tường minh lớp 12 SGK Giải tích 12 nâng cao, chương trình chuẩn, việc định nghĩa khái niệm xuất tường minh SBT Đại số 10 Ở SGV Giải tích 12 có đoạn: “mặc dù học, để giúp HS nhớ kĩ khái niệm GTLN GTNN, SGK trình bày mục “Định nghĩa”” (SGV Giải tích 12, tr.40) 17 Tuy nhiên, khơng có tập SGK Giải tích 12 minh họa lại kỹ thuật bất đẳng thức giúp giải KNV T LN.NN.HS SGK Giải tích 12 nâng cao mà SGK tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số Ví dụ sau minh họa sau SGK định nghĩa khái niệm GTLN, GTNN hàm số: Ví dụ Tìm GTNN GTLN hàm số 𝑦 = 𝑥 − + khoảng (0; +∞) Giải Trên khoảng (0; +∞), ta có 𝑦 ′ = − 𝑦 ′ = ⇔ 𝑥 − = ⇔ 𝑥 = Bảng biến thiên: 𝑥2 = 𝑥 −1 𝑥2 ; 𝑥 Từ bảng biến thiên ta thấy khoảng (0; +∞) hàm số có giá trị cực tiểu nhất, GTNN hàm số Vậy min(0;+∞) 𝑓(𝑥) = −3 (tại x = 1) Không tồn GTLN f(x) khoảng (0; +∞) (Giải tích 12, tr.19 – 20) Định nghĩa khái niệm GTLN, GTNN hàm số sách Giải tích 12 giống SBT Đại số 10 mà minh họa 17 Như vậy, khơng đề bước để tìm GTLN, GTNN hàm số, SGK thể việc tìm GTLN, GTNN hàm số bảng biến thiên thông qua ví dụ cụ thể Khi đó, tổ chức tốn học sau xuất hiện:  T LN.NN.HS : Tìm GTLN (GTNN) hàm số y = f(x) D Kỹ thuật 𝜏BBT.HS : bảng biến thiên • Bước 1: Vẽ bảng biến thiên hàm số D; • Bước 2: So sánh giá trị hàm số đầu mút tập D (nếu có) điểm mà hàm số thay đổi chiều biến thiên thuộc D Giá trị lớn (nhỏ nhất) GTLN (GTNN) hàm số Cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật bảng biến thiên là: tính đơn điệu hàm số, đồ thị hàm số Còn việc lập bảng biến thiên lúc nhờ vào ứng dụng đạo hàm Cụ thể, bước lập bảng biến thiên là: • Bước 1: Xác định tập xác định D hàm số; • Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) Tìm điểm x i (i = 1;2;…;n) mà đạo hàm khơng xác định; • Bước 3: Sắp xếp điểm x i theo thứ tự tăng dần xét dấu f’(x) khoảng xác định; • Bước 4: Xét tính đơn điệu hàm số khoảng xác định từ dấu f’(x) Lập bảng biến thiên hàm số Ngoài việc đưa vào bảng biến thiên với tư cách cơng cụ để tìm GTLN, GTNN hàm số, SGK Giải tích 12 cịn đưa vào cách tìm “gọn hơn” cách dùng số quy tắc số lớp hàm số định SGK nhận xét: Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu đoạn [a;b] hàm số đồng biến nghịch biến đoạn Do đó, f(x) đạt GTLN GTNN đầu mút đoạn Nếu có số hữu hạn điểm 𝑥𝑖 (𝑥𝑖 < 𝑥𝑖+1 ) mà f’(x) khơng xác định hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng (𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 ) Rõ ràng GTLN (GTNN) hàm số đoạn [a;b] số lớn (số nhỏ nhất) giá trị hàm số hai đầu mút a, b điểm 𝑥𝑖 nói (Giải tích 12, tr.21) Điều cho thấy, có hai lớp hàm số liên tục đoạn mà việc tìm GTLN, GTNN chúng khơng cần dùng bảng biến thiên mà cần dùng quy tắc, tác giả viết SGK ý đến: - Nếu hàm số không đơn điệu đoạn [a;b] xét (lớp hàm số thỏa mãn điều kiện ĐK) tiến hành tìm GTLN, GTNN theo quy tắc sau: Tìm điểm x , x ,…, x n khoảng (a;b), f’(x) f’(x) khơng xác định Tính f(a), f(x ), f(x ),…, f(x n ), f(b) Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có: (Giải tích 12, tr.22) 𝑀 = max 𝑓(𝑥), [𝑎;𝑏] 𝑚 = 𝑓(𝑥) [𝑎;𝑏] - Nếu hàm số đơn điệu đoạn GTLN, GTNN đạt đầu mút đoạn Như vậy, so với SGK Giải tích 12 nâng cao, SGK Giải tích 12 khơng đưa quy tắc để tìm GTLN, GTNN hàm số thỏa điều kiện ĐK mà đưa thêm vào việc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đơn điệu đoạn cách dùng quy tắc cho trước mà không dùng đến bảng biến thiên Trước đó, SGK Giải tích 12 cịn đưa ví dụ sau đây: Ví dụ Tính GTNN GTLN hàm số y = sinx 𝜋 7𝜋 a) Trên đoạn � ; 𝜋 �; b) Trên đoạn � ; 2𝜋� Giải Từ đồ thị hàm số y = sinx, ta thấy ngay: 𝜋 7𝜋 a) Trên đoạn 𝐷 = � ; 𝜋 𝜋 7𝜋 � ta có 𝑦 � � = , 𝑦 � � = 1, 𝑦 � � = − Từ max𝐷 𝑦 = 1; min𝐷 𝑦 = − 𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋 b) Trên đoạn 𝐸 = � ; 2𝜋� ta có 𝑦 � � = , 𝑦 � � = 1, 𝑦 � � = −1, 𝑦(2𝜋) = Vậy max𝐸 𝑦 = 1; min𝐸 𝑦 = −1 (Giải tích 12, tr.20 – 21) Như vậy, đồ thị tác giả viết SGK quan tâm đến việc tìm GTLN, GTNN hàm số Khi đó, qua ví dụ, hoạt động tập SGK SBT, nhận thấy KNV T LN.NN.HS kỹ thuật bảng biến thiên KNV kỹ thuật sau xuất hiện:  T B.LN.NN.HS : Tìm giá trị biến để hàm số f(x) đạt GTLN (GTNN) D Kỹ thuật 𝜏BBT.B.HS : bảng biến thiên  T LN.NN.HS : Tìm GTLN (GTNN) hàm số y = f(x) D Kỹ thuật 𝜏ĐT.HS : đồ thị  KNV T LN.NN.HS.ĐK : Tìm GTLN (GTNN) hàm số y = f(x) [a;b] thỏa điều kiện ĐK Kỹ thuật 𝜏QT.HS : quy tắc 18  KNV T LN.NN.HS.ĐĐ : Tìm GTLN (GTNN) hàm số y = f(x) liên tục đơn điệu [a;b] Kỹ thuật 𝜏QTĐĐ.HS : hàm số đơn điệu • Bước 1: Tính f’(x) • Bước 2: Nếu f’(x) > với x thuộc [a;b] GTLN hàm số f(b) (GTNN hàm số f(a)) Nếu f’(x) < với x thuộc [a;b] GTLN hàm số f(a) (GTNN hàm số f(b)) Chúng tự hỏi: Công cụ thể chế ưu tiên việc tìm GTLN, GTNN hàm số? Là bảng biến thiên, quy tắc hay đồ thị? Cũng SGK SBT Giải tích 12 nâng cao, toán liên quan đến đối tượng GTLN, GTNN hàm số SGK SBT Giải tích 12 xoay quanh việc tìm Chúng tơi gọi tên kỹ thuật quy tắc để thống với cách gọi tên phần phân tích SGK Giải tích 12 nâng cao (mục 1.2.3.1.3) 18 GTLN GTNN hàm số yêu cầu tìm GTLN hàm số, tìm GTNN hàm số thường xuất cho hàm số Do đó, chúng tơi thống kê số lượng hàm số tốn tìm GTLN, GTNN hàm số SGV, SGK, SBT hướng dẫn giải với mục đích so sánh ưu tiên kỹ thuật: Kỹ thuật Số lượng hàm số SGK Ví dụ, hoạt động Bài tập 2 SBT Ví dụ Bài tập 10 Tổng Bảng biến thiên 20 Quy tắc Hàm số đơn điệu Đồ thị 1 Bảng thống kê kỹ thuật giải KNV liên quan đến GTLN, GTNN hàm số SGK, SBT Giải tích 12 Qua việc xem xét này, nhận thấy kỹ thuật bảng biến thiên chiếm ưu tốn tìm GTLN, GTNN hàm số Tuy nhiên, kỹ thuật quy tắc khơng có ưu có hàm số mà tác giả viết SGK dùng kỹ thuật để tìm GTLN, GTNN chúng (trong SGK SBT Giải tích 12 nâng cao vỏn vẹn hàm số) Ở phần “kiến thức cần nhớ” SBT Giải tích 12 phân rõ cách tìm (có ví dụ) GTLN, GTNN hàm số Một là, dùng kỹ thuật quy tắc để tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn thỏa điều kiện ĐK Hai là, dùng kỹ thuật bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục khoảng Những điều hình thành nên hai xu hướng khác tìm GTLN, GTNN hàm số HS: là, yêu cầu tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn, HS dùng kỹ thuật quy tắc; hai là, yêu cầu tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng, HS dùng bảng biến thiên Các tác giả viết SGK hồn tồn khơng nhắc đến phần “kiến thức cần nhớ” kỹ thuật hàm số đơn điệu đồ thị việc tìm GTLN, GTNN hàm số Điều kết hợp với bảng thống kê cho thấy rằng, kỹ thuật hàm số đơn điệu đồ thị chế ưu tiên so với kỹ thuật quy tắc bảng biến thiên Qua việc xem xét này, nhận thấy hàm số yêu cầu tìm GTLN, GTNN liên tục tập xác định SGK SBT không khảo sát hàm số không liên tục tập xác định việc tìm GTLN, GTNN chúng Và đó, kỹ thuật bảng biến thiên, quy tắc, hàm số đơn điệu áp dụng cho hàm số liên tục tập xác định, lớp hàm số khơng liên tục tập xác định khơng Mặt khác, tất tập xác định hàm số yêu cầu tìm GTLN, GTNN khoảng hay đoạn Chúng không thấy tác giả viết SGK xét đến tập xác định nửa khoảng hay hợp nhiều khoảng, nhiều đoạn, nhiều nửa khoảng,… Điều tuân theo yêu cầu chương trình: Về kĩ năng: - Biết cách tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn, khoảng ([2], tr.180) Chúng muốn xem xét thêm ảnh hưởng việc dạy học bảng biến thiên đến việc tìm GTLN, GTNN hàm số chương trình trung học phổ thông chuẩn so sánh số nét khác biệt việc trình bày hai SGK Giải tích lớp 12 ảnh hưởng đến việc tìm GTLN, GTNN hàm số HS Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp, không xem xét điều Để tìm hiểu thêm ảnh hưởng việc dạy học bảng biến thiên đến việc tìm GTLN, GTNN hàm số, người đọc tham khảo luận văn Nguyễn Trường Sinh (2012) (tài liệu [10]) Tóm lại, đối tượng GTLN GTNN xuất SGK Giải tích 12 dạng GTLN, GTNN hàm số Các KNV liên quan đến chúng xoay quanh việc tìm GTLN GTNN hàm số Các kỹ thuật xuất giúp cho việc tìm bảng biến thiên, quy tắc, hàm số đơn điệu đồ thị hai kỹ thuật bảng biến thiên quy tắc thể chế ưu tiên Trong đó, kỹ thuật bảng biến thiên ưu tiên Một lần nữa, nhận thấy tất lời giải SGK, SBT, SGV Giải tích 12 cho tốn tìm GTLN, GTNN hàm số, tác giả viết SGK rõ tồn “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để f(x o ) = M” “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để f(x o ) = m” Do đó, việc trình bày lời giải tài liệu nguyên nhân gây nên sai lầm SL HS Phụ lục Bảng tóm tắt tiến triển đối tượng GTLN, GTNN thể chế dạy học Toán phổ thông Cấp tiểu học Cấp THCS Cấp THPT Thuật ngữ Sự xuất khái niệm hàm số KNV Số lớn nhất, số bé dãy số Xuất ngầm ẩn với tập xác định tập tập số tự nhiên có từ đến phần tử, tập giá trị tập tập số tự nhiên* Tìm số lớn nhất, số bé dãy số hữu hạn cho trước Công cụ tìm GTLN, GTNN - Dãy số; - So sánh (số lớn hơn, số bé hơn) Công cụ ưu tiên So sánh Chỉ mang tính chất tham khảo Học kì I GTLN, lớp GTNN học kì I biểu thức lớp Có xuất khơng có mối liên Tìm GTLN, GTNN biểu hệ việc tìm GTLN, GTNN thức biến hàm số hay biểu thức Bất đẳng thức25 Học kì II lớp GTLN, GTNN hàm số y=ax2 (a≠0) Xuất hàm số biến y=ax2 (a≠0) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=ax2 (a≠0) Đồ thị hàm số Lớp 10 - GTLN, GTNN biểu thức; - GTLN, GTNN hàm số - Xuất có mối liên hệ với việc tìm GTLN, GTNN hàm số hay biểu thức biến; - Có xuất ngầm ẩn khái niệm hàm số nhiều biến việc tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều biến - Tìm GTLN, GTNN hàm số biến; - Tìm GTLN, GTNN biểu thức biến, biểu thức nhiều biến - Đồ thị hàm số; - Bảng biến thiên; - Bất đẳng thức; - Thuật tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức bậc hai biến miền đa giác lồi - Công thức −∆/4𝑎 hàm số bậc hai mối liên hệ với đồ thị hàm số bậc hai; - Bất đẳng thức Lớp 11 - GTLN, GTNN biểu thức; - GTLN, GTNN hàm số - Xuất hàm số lượng giác; - Khơng xuất việc tìm GTLN, GTNN hàm số nhiều biến - Tìm GTLN, GTNN hàm số biến; - Tìm GTLN, GTNN biểu thức biến ● 11 nâng cao: - Bất đẳng thức; - Tập giá trị ● 11 chuẩn: Bất đẳng thức Lớp 12 GTLN, GTNN hàm số - Xuất hàm số mũ, logarit; - Không xuất việc tìm GTLN, GTNN hàm số nhiều biến - Tìm GTLN, GTNN hàm số biến ● 12 nâng cao: Bảng biến thiên - Bất đẳng thức; - Bảng biến thiên; - Quy tắc; ● 12 chuẩn: - Đồ thị hàm số; - Bảng biến thiên; - Quy tắc; - Hàm số đơn điệu Minh họa: 3a) Tìm số lớn số: 4375; 4735; 4537; 4753 * (Toán 3, tr 100) Hàm số ngầm ẩn là: 𝑓: {1; 2; 3; 4} ⟶ ℕ, với 𝑓 (1) = 4375; 𝑓 (2) = 4735; 𝑓(3) = 4537; 𝑓 (4) = 4753 Bài tốn hiểu tốn tìm GTLN hàm số f 𝐷 = {1; 2; 3; 4} Bất đẳng thức Phụ lục Vai trò dấu ≤, ≥ SGK Tốn phổ thơng Lớp 10 11 12 Dạng xuất Một chữ ≤ số; Một số ≤ chữ; Một chữ ≥ chữ Vai trò dấu ≤, ≥ - Mô tả tập hợp; - Thể phạm vi số dư phép chia hai số tự nhiên; - Thể điều kiện để thực số phép tính tập số tự nhiên - Thể điều kiện để thực số phép Một chữ ≥ chữ; tính tập số hữu tỉ; Một chữ ≥ số; - Thể phạm vi giá trị giá trị tuyệt Biểu thức chữ ≥ số; đối số; Biểu thức chữ ≤ số - Thể GTLN, GTNN biểu thức; - Thể tính chất bất đẳng thức: liên hệ Biểu thức chữ ≥ số; thứ tự phép cộng, liên hệ thứ tự Biểu thức chữ ≤ số; Biểu thức chữ ≥ biểu thức chữ; phép nhân; Biểu thức chữ ≤ biểu thức chữ; - Mơ tả bất phương trình; - So sánh giá trị hai biểu thức số Biểu thức số ≥ biểu thức số; Biểu thức số ≤ biểu thức số; - Thể điều kiện để số có bậc hai; Một chữ ≥ 0; - Thể giá trị bậc hai số học số; Biểu thức chữ ≥ 0; - Thể điều kiện xác định biểu thức đại Một số ≥ số số dấu căn; - Thể giá trị thức bậc hai; - Thể điều kiện biến đổi thức; - So sánh giá trị hai biểu thức số; Biểu thức số ≤ số; - Mô tả tập hợp; Biểu thức số ≤ biểu thức số; - Mô tả điều kiện xác định hàm số; điều Một số ≤ chữ; kiện xác định phương trình; Một chữ ≤ số; - Mô tả số bất đẳng thức không nghiêm Biểu thức chữ ≥ số ngặt đúng; - Mô tả bất phương trình, hệ bất phương trình; - Mơ tả điều kiện xác định hàm số; tập giá Một số ≤ chữ; trị hàm số, điều kiện xác định phương Một chữ ≤ số; trình; Một chữ ≤ chữ; Biểu thức chữ ≥ biểu thức chữ; - Mô tả số bất đẳng thức không nghiêm Biểu thức chữ ≤ biểu thức chữ ngặt đúng; - Mô tả số lượng phần tử lấy tập hợp Biểu thức chữ ≤ số; hữu hạn phần tử; Biểu thức chữ ≥ số - Thể điều kiện số dãy số - Mô tả điều kiện xác định hàm số; - Mô tả khái niệm GTLN, GTNN hàm số; - Mơ tả bất phương trình Phụ lục Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011 ... SGK Việt Nam Kiểm tra nhận định Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn giá trị nhỏ trong? ?? Chương GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN PHỔ THƠNG Mục tiêu chương tìm câu trả lời cho... y=0 x=0 Giá trị nhỏ hàm số y=0 Nếu a