PHAN HUY THIEN
Phuong trinh
Trang 2PHAN HUY THIEN
PHƯƠNG TRÌNH |
Trang 3"8 one “eae
Nội dụng chính của cuốn Phương trình Tốn {ý này đang được tác giả giang dụy cho sinh viên các khoa Tốứn, Lÿ và các ngành kỹ thuật cĩ liên
quan cua Trường Đại học Khoa học Tự nhiên — Đại học Quốc gia Hà Nội
Ngồi ra, cuốn sách được bố sung và sửa đơi đề đúp ứng nhụ cau học tập
cua sinh viên các trưởng Đại học Khoa học Tự nhiên và các trường Đại học
KY thud! trong ca noc
Moi liên hệ giữa các đại lượng vật Ip trong tu nhién la phitc tap nhung
c6 guy luat, muc dich cua chung ta la tim ra được các mỗi liên hệ cĩ guy
luật đĩ Cho đến nay, người tạ phân loại các dạng phương trình tốn lý theo mơn học Phương trình đạo hàm riêng, vì nĩ phù hợp với phương pháp giái Cụ thể, cĩ ba dạng phương trình đạo hàm riêng cơ bản: phương trình Hvnerholc phương trình Parabolc và phương trình Elliptic Ndi dung cua cuốn sách bao gơm:
— Chương Ï trình bày việc phán loại các nhương trình đạo hàm riêng cấp 2; tơm tắt cách giải phương trình vì phân cấp 2; khái niệm chuối
Fourier va biéu dién cde todn tr vi phan trong cac hé toa độ cong trực giao
- Chương H trình bày về phương trình Hyperbolie, cịn được gọi là phương trình sơng Nĩ được thiết lập trên cơ sở nghiên cứu các dụo động cua ddy, mang mong, sone đm, sĩng tạo ra do thuy triểu, súng đàn hỏi, SĨHg điện từ KRƯỜNG
- Chương HH trình bày về phương trình Parabolic, cịn được gọi là phương trình truyền nhiệt Phương trình Parabolic khơng chỉ đặc trưng cho
quả trình truyễn nhiét ma con mo ta cac hién tueong khuếch tán như khuếch
tán chất khi, chất lỏng
- Chương IV trình bày về phương trình Elipiic, đặc biệt là lỳ thuyết thể - Chương V đề cập đến các pháp biến đổi tích phân, là cơng cụ quan (trọng đề giải phương trình phương trình vị phân đạo hàm riêng
Trang 4— Chương VII trình bày các hàm đặc biệt như các đa thức trực giao,
hàm (amma, hàm trụ, hàm câu, hàm siêu bội và tính (rực giao của Chúng Cuốn sách cĩ đưa vào một số bài giải mẫu và bài tập cĩ hướng dẫn
Mặc du, tác giả đã cĩ nhiều cố gắng trong quá trình biên soan sao cho Hội dụng kiến thức trong cuốn sách mạng tính khoa hoc và thực tiễn cao nhất Tuy nhiên, cuốn sách khơng tránh khỏi những thiếu sĩi Tác gia rdf
mong nhận dược những ý kiến đĩng gĩp của độc giả để lân xuất bản sau
Trang 5Chương Ï
MO BAU
§1 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH DAO HAM RIENG CAP 2
4 Phương trình đạo hàm riêng cấp 2
Phương trình đạo hàm riêng cấp z là phương trình cĩ đạng
Ou Gu Ou Ou aru
FY) x;u;—., — 3s —~x —=09
Ox, Ox, Gy dx0x, — Ox)' 0x,"
trong dé: F la ham nhiéu bién: x = (xị.x; *„ ) là vector trong khơng gian
Euclide n chiéu R” ; w(x) la ham chua biét; k, +k, + +Á, =m,
Cấp (bậc) của phương trình là cấp của dao ham cấp cao nhất trong phương trình Phương trình tuyên tính cĩ thể viết dưới dạng Lu = (x), trong đĩ tốn tử tuyến tính Lcĩ đạng ˆ i 2h ⁄L=œ|xj+ ahn®esh (x)————— ol) 2 , ( lận ae yy ak, 2 Ay +ay + th, =f
Néu 6(x}=0, phuong trinh được gọi là phương trình thuân nhất
Nghiệm tơng quát của phương trình phụ thuộc vào hàm tùy ý, khác với phương trình vi phân thường là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường phụ thuộc vào hằng SỐ tỦy ý
Trong các bài tốn vật lý, phương trình thường gặp là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 (m = 2)
Vĩ dụ 1; Xét phương trình
Ou | ran
trong mat phang (x,y) nd cé nghiém tong quat u(x,y)= f(y)
0
Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 với hai biến độc lập x,w là hệ thức liên hệ giữa hàm chưa biết ø (x, y) và đạo hàm riêng của nỏ đến cấp 2:
1 — #
Trang 6yt
Tên:
Trường hợp số biển độc lập lớn hơn được mơ tả tương tự
Phương trình vi phân (*) được gọi là tuyển tính đối với đạo hàm cấp 2 nếu nĩ cĩ dang
QU + 2au, +ayu,, + F, (x.v,t,t,,ư, =0 (1.1)
trong d0:@,,, a,,, 4,, la ham cua x va y
Nếu các hệ số a@,,, a,,,4,, khdng chi phu thudc vao x va y ma con phụ thuộc cả vào x, y, ứ, ,ứ, giống như fF thi (1.1) được gọt là phương irình chuẩn tuyến tính
Phương trình (1.1) được gọi là tuyến tính nêu nĩ tuyến tính cả với đạo hàm cập 2: ⁄„ #, „ và đạo hàm cấp l: , +, của nĩ, tức là nĩ cĩ dạng
GU t2a su, tau, +bịH, thu +cuä+ £ =0, (1.2)
trong do: a a), @.6,.6,,¢, £ là các hàm chỉ phụ thuộc vào x và „ Nếu các hệ số của phương trình khơng phụ thuộc vào x, y thì nĩ là phương trình tuyên tính với hệ số hằng số Phương trình được gọi là (huẩn
nhất tiêu f(x,y) = 0
Nhờ phép đối biến: š=@(x,y), n=ự (x,y) và giả sử tổn tại phép biến đối ngược, sẽ nhận được phương trình mới tương đương với phương
trình xuất phát Đương nhiên, vấn đề đặt ra là cĩ thế chọn biến mới như thé
nào sao cho sau khi đơi biển phương trình mới cĩ dang đơn giản nhất? Đề trả lời câu hỏi trên, xét phương trình (1 Ÿ)
Trang 7eae + trong đĩ: đu — aS, + 2a56,5, : + đ;;Š ; a, = 45,1, +4, (EN, +76 Fay 6, 1 3 Ay = aun, + 24.7.1, + aM 3
F la ham khơng phụ thuộc vào đạo hàm cấp 2 Nhận xét rằng, nếu phương trình xuất phát tuyến tính, tức là
F{x.y,ujuu, =bu,+bu,t+cur+ f,
thi F cĩ dạng
F(En wut, )= By, + Bou, + yet,
tức là phương trình vẫn tuyến tính Chọn biển š và 1 sao cho một trong các hệ sohé sé &,,.d,,.@,, bang khéng, phương trình sẽ cĩ dạng đơn giản
2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp 2
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã chỉ ra rang, dau cua biểu thức
đ;, —a,,a„, xác định loại của phương trình
au +24, u, +a), u,, +F=0 (*#)
Phương trình (**) tại điểm M được phân loại như sau:
A 3
~ Logi Hyperbolic néu Ay, — A) ay, > 0;
— Loai Elliptic néu a, - a ,a,, <0;
— Loai Parabolic néu địy — 08a = 0
Dễ dàng khăng định được tính đúng đắn của hệ thức :
—T
địy — địyđ;; = (a;, — @,,4, ) D? ,
voi D=E.n,7—0,5,-
Từ đĩ suy ra tính bắt biến của loại phương trình khi thực hiện phép đơi bien, vi định thức hàm Jacobian D trong phép đơi biến là khác khơng Tại mỗi điểm khác nhau trong miễn đã cho, phương trình cĩ thể thuộc các loại khác nhau
Xét miễn G, tại _các điểm trong vùng này phương trình cĩ cùng mội loại Như vậy, qua mỗi điểm của miền G sẽ cĩ 2 đường đặc trưng :
Trang 8nề
me)
SẺ,
Trong mỗi trường hợp trên, đưa được phương trình về dạng đơn giản sau : a) Phuong trinh loai Hyperbolic
ˆ 2 ~
Néu a}, —4@,,a@,, > 0, dat
E=o(xy}, n=w(xy),
đưa phương trình (1.1) về đạng (1.4) Chia hai về của (1.4) cho hệ số của ¿¡ phương trình thu được cĩ dạng
F
MẮP-
ide = D(En wie, } trong do m= —
Đĩ là dạng chính tắc của phương trình loai Hyperbolic
Người ta thường sử dụng đạng chính tắc thứ hai của phương trình loại Hyperbolic nhu sau :
Đặt Ê =œ+,n =œ —B, tức là: a =220 p57, trong đĩ œ và B
là các biển mới Ta cĩ đạo hàm riêng của hàm z theo các biến mới là
1 ] ]
H„ = 5 (Hs +us).%, = 5 (4 = Uy ) tes, = a (ou ~ Uyy |
Thay vào đạng chính tắc của phương trình loại Hyperbolic ở trên phương trình (I.Ì) cĩ dạng
Huy — Mày = Œị trong đĩ ®, = 4œ (1.5) Đĩ là dạng chính tắc thứ hai của phuong trinh loai Hyperbolic
b) Phương trình loại Parabolic
Néu aj, —a,,a,, = 0 suy ra yy = Yad, - Dat: €= (x,y), n=n(x¥)
khi các hệ số biển đổi thành
— 3 3 2 2
đi = AG + 2A 6.8, +6) = ab, + 2a Sb, tab) = (fan &.+ an &,)
Vi a) =J4a,,a,, suyra
a, =a, ‘ST, + Mp (En, +6, ]>a„E,n, = (Van + Vax §, | 4) 7 TY an n, }=0
Trang 9ara] “eg ¬ (1.6) F trong d6 D=—-—— địa
Cc) Phương trình loại Elliptic
Néu aj, -4,,4,, <0, dat: €= (x,y), n=9*(x,y) Nhu vay, phuong
trình loại Elliptic sẽ cĩ dạng giơng như phương trình loại Hyperbolic
Để khơng gặp biến phức, ta đưa vào biên mới a va B với giọ* n@—0% 2ˆ 2¡ nảy ta cĩ: 3 " 3 a6 + 205 Ê † a6, = sao cho: £=a+/8, n=a-—iP Trong truong hop _ 2 2 ? 2 = (a0! +2ã,;0 0, + đ;;0, )- (28; + 24,,8,B, + 4B; }+ + 2i{ a, ct B + th; (ap K + œ,D, + a,,œ 8 * = 0, tức là ứ, =đ, và ø; =0 Phương trình (1.4) sau khí chia cho hệ SỐ của u, CĨ dang F Ug + Ugg = P(a,B,u,u4,,u,), trong dd @=-— (1.7) ta;
Ta nhận được đạng chỉnh tắc của phương trình loai Elliptic
Như vậy, do tính phụ thuộc vào dẫu của biểu thức a? — a¡,đ;,, ta cĩ thể đưa phương trình (1.1) về các dạng sau:
~ Néu a2, —a,,a,, > 0 (loai Hyperbolic): u,,—u,, =@ hay uw, =@; — Néu a’, —a@,,4,, <0 (loai Elliptic): uw tu, =@D;
~Néu a;, -— @,,4,, = 0 (loai Parabolic): 4, =@ xv
3 Các ví dụ
Vĩ dụ †: Đưa phương trình sau về dạng chính tắc XỈM,~y 8, =0
Giai: Theo nhu phuong trinh (1.]) ta co
| đu =x’, a, = 9, a, =-y,F=0, độ — 8,433 =x’y" >0
Trang 10alt Patt x (ayy ~\y (œ&} =O => (xdy+ yax)(xảy~ ydx) = 0 dy dx xdy + ydx = Ú vã x Iny+Inx =InC, xdy=ydx =0 Ỷ dy de 5 y x Ta cĩ hai họ đường cong đặc trưng: Iny-Inx=In€, xy = C} vig x :
Thực hiện phép đối biến mới: š = xy, n= =
Tính các đạo hàm riêng theo các biến cũ qua cac dao ham riêng theo các biển mới: Yo ye a 1 mm HS Mab FGM, SUK AMS 5 a "- 3) Mà guy Guy Cu y Ho = ar i 7 ap A ¬ 1 4 2- ae? ơjơnx” ơn x ` By x? | | Our , Fu aul =— HH, X -F Hạ — =~ x° +2 +
ays) 8 Ban ơn x
Thay các giá trị đạo hàm cấp 2 vào phương trinh vi phân đã cho ta được 2 2 2,, 2 2 “(Sy Dae vÝ T4“ TT ca et gg nt te | (Ste Oru tâm)" 24 3 ;x +2 oF cen x on x on x oF, a ay On x 2 3 ¬
= 4 Oe y+? ou y ~0= Ou _iewl 9 Ou teu ig
BO” Bn x am 2ơnxy Bay 2 Sn
tức là phương trình được đưa về dạng chính tac Vĩ dụ 2: Đưa phương trình sau về đạng chính tắc — 3, 2 — x Ho SUS FU, Hynde, Oz , _ 2 ,O°z —x5In x-2ysinx + yo — = Ox” exoy oy" Giai: Ta cĩ + 1 2 2 3 + 3 7 3
đi SH Xx, a, =-YSINX, Gy = ¥" > a@,—-a,a,, = y sin’ x-—y' sin’ x =0 Vay phuong trinh đã cho thuộc dang Parabolic Phuong trình đặc trưng cĩ dạng:
Trang 11"Be,
=> sin’ xdy" + 2ysin xdxdy + yd = {sin xdy + xdx} =0 => sinsdy + yáy =0 & » <9.=5 Iny +intg’ = Inc
y sinx
K _
=> ytEs tte aC
là đường cong tích phần đặc trưng
Thực hiện phép đổi biến: - + wo Š= ytgs; 1 = y (hàm tủy ÿ) Tính các đạo hàm theo biễn mới: È = oy ¬ ax 2, 3X) 2) @ In ¬ ŠZ ức em Ly oe đổ đớn ở, x ©, cx G& Ax dy ox 2 Ox 2X Ấy 5 6& cy On ey ơy S2 ơn A 5 i AP : = Tờ 2 3 3 ¢ 5 T1 Ey a2 8 5 _S: gỄ+2 ởz ig 2422 Ox đốc À xX Sin 5 20 :* sin 2 2 Oy OR 2 EON 2 OO Oz ol OF iy X az y ez1 1 xây 2| Ø@” ”2 aay sin? = 2 int ® z @z &2z
ax?’ dxdy" oy"
Trang 12s3? Ors x 2tg— ; 2 Vi sin x = —~~2— : ead — Sin x = aon 2x 2 1 1+tg° — 62 ta cĩ dạng chính tắc của phương trình là Giái: Trong trường hợp này a,,=l@,=-l,a, =2>a,-a,a, =-1<0 Phương trình thuộc dạng Elliptic, cĩ phương trình đặc trưng
dy’ + 2dxdy + 2dx? =0= y? +2y'+2=0
=(y+1} +Ì=0= y+l=#i= y'=-]+¿
Ta nhận được 2 họ đặc trưng ảo: Yo-ltiody=(-ltijd= ng Thực hiện phép đổi biến: š = y+x, fị =x ta được Cz oz oe - Oz On _ Oz OZ Oo KH, oz On _ OZ | ox o& Ox “ân & a on’ oy GŠ 0y ơn 3y OE” az (SS a (2= Sa ST MP Oz, oF về, Gx’ GB a ơEơn â dE On ax ơn ax ae “se On?’ az _ởz z 0 4 OZ z On - G°z 1 Oz Oz _ Oz eS z OM _ Oz
axdy ơE” &x xã ơ ốc” GE Gn’ dy? EP Gy xan or
Thay các giá trị của đạo hàm riêng vào phương trình đã cho ta thụ được
02 15 Oz %2 _2Ấ7 s3 az 20% | p= 02, 82% ai
a «OB On “ân? ơ ` ơn OE? 6° ơn
Đĩ là dạng chính tắc của phương trình Elliptic
Trang 13
ưng
ren a2
§2 GIẢI PHƯƠNG TRINH VI PHAN CAP 2
Chúng ta nhäc lại mội số cách giải phương trình vi phân thường Xét
phương trình vị phân tuyên tính cĩ dạng
| đ”y d’'y dy -
L(y) = dy (x) ae’ a, G) vĩ + T (x) +a, (x)y =f (x) ` (1 8)
trong dé: a,(x), a,(x), , @,(x) là các hàm liên tuc trong khoang a<x<h Va dy (x) z 0 trong khống œ < x<ð Cách chung để giải phương trình (1.8)
là: trước hết giải phương trình thuần nhất cấp ø là ø(y}=0, thu được một
tập nghiệm cơ bản {y, (x) ¥; (x) ¥, (2)} , nghiệm tổng quát y„ của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tỉnh của tập nghiệm cơ bản:
y =Ciw,(x)+€C;9;(x)+ +€„w,(x), (1.9) trong đĩ: €., C,, ,.C, là các hang SỐ tùy ý
Tiếp theo, tìm bất cứ nghiệm riêng y„ Hảo của phương trình vị phân khơng thuân nhat L(y) = F(x) Để giải phương trình này, ta thường đùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng Khi đĩ nghiệm tơng quát của phuong trinh (1.8) sé la
yHy.ty,
Trong các bài tốn ứng dụng, nghiệm phương trình vị phân (1.8) địi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đĩ Số điều kiện này trong hâu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2:
2
tg x) GF tai (3) +a,(x)=0, a<x<b (1.10)
bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tai x =a cé dang:
yla)=a, y'(a}=B,
với o B la cdc hang sé
Trang 14+E:
_ 5"
mu
“aba
Điều kiện bổ sung (1.11) được gọi là điểu kiện biên
Phương trình vi phân (1.10) với điều kiện biên (1.1 1) được gọi là bài tốn biên Nghiệm của bài tốn biên phụ thuộc vào điều kiện biến Bài tốn biên khơng chỉ cĩ một nghiệm, mà nĩ cĩ vơ sơ nghiệm Điều kiện biên cĩ dạng
e¡y(4)+e,y'(a)+ V(b) +e.) (b)=e (6) + Ca¥’ (b)+ Cry(a}tcy,y (a) =f
trong do c,,f=1 2.7 =1, 2,3, 4 va a, B là các hăng số: được gọi là điều kiện biên hân hợp,
Bài tốn biên hỗn hợp thường khĩ giải Xét phương trình tuyến tính cấp 1: dy L(y)==" + p(x)y=a(x), (1.12) Đề giải phương trình (1.12) trước hết giải phương trình thuận nhất L(y)='? + p(x)y=0 dx (1.13) để thu được nghiệm tống quát y„ Ta cĩ thể tách biến phương trình (1.13) cĩ dạng dy ** =—p(x)ák, (1.14) J Dat , , dP P(x)= [p(E)de vol —= p(x) (1.15) 5 dx Tich phan (1.84) thu duoc Iny=—P(x}+€ => „ma =6 Pore =¢ PERE = ye C 9 Œ= of CC
Vậy nghiệm tơng quát (1.13) là y =Cje “®),
Dùng phương pháp biển thiên hãng số và giả thiết một nghiệm riêng cĩ
dang y, = u(x)e N trong dé C, & trong nghiém tổng quát đã được thay
Trang 15"ai
SE
”„
dy du — mu) ‘ 45)
ác 99,740) 856 sas) usuls)= fatto,
Suy ra nghiém riéng y, =e faleyel dg, ọ Nghiệm tơng quát của phương trình (†.2) cĩ dạng "¬ (1.16) ù
Một phương pháp khác để giải phương trình tuyến tính cấp ! (1.12) là
nhân phương trình với thừa số tích phân #”” với P{x)= [oleae dé thu được phương trình vi phân oft’) dy + c*?p(x)y _ e | Ny (x) ax trong đĩ e"t) ^ +e*p(x)y= —(e) suy ra d (e J|~e” (x) dư y]~= G\ x) Phuong trinh nay dé dang tich phan dé thu được nghiệm cho boi (1.16), 1 Phương trình vi phân cấp 2
Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 cĩ dang (1.10) Chả sử ty, (x).y, (x)) là tập nghiệm cơ bản của phương trình ví phân tuyến tính thuần nhất cấp 2
3
de dy
L{y)= ay (x) ý +a, (x) +a,(x)y =0,
Suy ra nghiệm tổng quát cĩ đạng
y¥, = C3 (x)+ Cy, (x) (1.17)
trong đĩ: C¡, C, là các hãng số tùy ý
Dùng phương pháp biến thiên hãng số tìm một nghiệm riểng của phương trình vi phân khơng thuần nhất
đ°y d |
L(»)= a(x) 5 + 4,(x)& +a, (x)y = F(x) (1.18)
Trang 16cĩ dạng y„=(x)y,(x)+v(x)z;(x) (1.19) trong đĩ: u(x) va v(x) la cdc ham thay thé hang sé C, C, trong (1.17) Các hàm ø.v cần tìm để thỏa mãn hệ phương trình u’(x)y,(x)+v' (x) y, (x) =0 F(x) (1.20) ⁄)5(6)+v)90)<a 0-4, 9)*0 Dùng quy tắc Cramer giải hệ (1.20) đối với ¡' và v' ta được: ° 3:4) (3) 0 du 2 7) „ PO AG 49-5001 sổ /rá" bBT s0] ) y6) z0) du —92(x)F@), dv _ x(x)F@) 7 nay de a,(x)W (x) dx a(x) (x) (21) trong dé W (x)= y Oe nn là định thức Wronskian Các phương trình (1.21) sau khi tích phân sẽ thu được các ham u(x) và v(x): y,{8)F (5) u=u(x)= ‘Jee cW sứ ore la “ = v(x D72 ae oe
trong đĩ œ là hăng số nào đĩ
Trang 17Ore) at %, "9, Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 1»z@)»)=»6)»;@)|£Ƒ (2) yey ty, =Cy, (x)+C,y, (x) + để Tu J p()W (4) (1.24) Một trong những phương trình vi phân cấp 2 cĩ cách giải đơn giản là đ?F —+À# =0, ˆ (1.25) ax”
Phương trình này xuất hiện do VIỆC nghiên cửu nhiều phương trình vị phân đạo hàm riếng trong tọa độ Đề-các (Descartesian) đơi với các hiện tượng vật lý và kỹ thuật Phương trinh vị phân Gl 25) chira tham so A vi thé ta sẽ xét 3 trường hợp của tham số : âm, dương và băng khơng
« Trưởng hợp l: X==œ° (œ>0) Phương trình vị phần cĩ dạng
d’F
de -
là phương trình vi phân cấp 2 với hệ số hăng số, vì thế người ta cĩ thể giả thiết nĩ cĩ một nghiệm mũ #=e”"; ta cĩ phương trình đặc trưng là m=O m°=( =( với nghiệm đặc trưng | và tập nghiệm cơ bản là m=-O oF =0,
er, eh Nếu biết được tập nghiệm cơ bản của các nghiệm, cĩ thể tạo nên một tơ hợp tuyên tính của các nghiệm này và sinh ra một tập võ hạn các nghiệm khác
F{x)= QGe*+C,e
trong dé C,.C, la cdc hằng số tùy ý, nĩ phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung
là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên |
Trang 18“E er oy ro, ane e Truong hop 2; =0 Boye ` Ha - Nghiệm phương trình vi phân ie Q co cac dang sau: x 7 F{xy=C,+C,x F {x)= K,+K,(x-x,) « Trưởng hợp 3: À =œˆ ((0>0) Bor : + F =0 là phương trình vì phân cấp 2 với - Phương trình vi phan hệ sơ hằng số, vì thể cĩ thê giả thiết nĩ cĩ một nghiệm mũ #' =e”*", ta cĩ m= TQ) phương trình đặc trưng zmỈ +œ” =0 với các nghiệm đặc trưng m =—Ì@0
và tập nghiệm cơ bản là len em] Nếu biết được tập nghiệm cơ bản cĩ thé tạo nên một tơ hợp tuyến tinh cia các nghiệm nay va sinh ra mot tap vd hạn các nghiệm khác
F(x)=Ge+0ye™,
trong d6 C,,C, la cdc hang s6 tuy y, né phu thudc vao cdc diéu kién bé sung
là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên |
Từ tính ty y cla C,.C, c6 thé viét nghiém duéi nhiéu cach nhu sau : F(x)=Ce"+C,e™; Fe ( x F(x F(x với C,j.C,.x„ là các hãng sơ tùy ý x)= x= Ce 4 CeO, x)=C, sinox+C, cosax: }= C, sin@(x-x,)+C,cosm(x-x,),
2 Phuong trinh Cauchy —- Euler
Phương trình Cauchy — Euiler là phương trình cĩ dạng xà dy ~— +ax——+a,y=0, 1.26 ax” eb 2 ( ) đ,X
trong đĩ: dœ,.4,.đ, là các hăng số tùy ý
Trang 19“ ty Pg, dy dy dt | (1) dx dt dx dt\x/} dy da ed - 2/2) oe dx dx | dt\x dt\ x" x dP dua phuong trinh (1.26) vé dang +
a, 3+ (aya) sayy =O (1.27)
Giá sử phương trình (1.27) cĩ nghiệm dưới dạng mũ y=¿”, ta cĩ phương trình đặc trưng:
ayn +(a,—a,)m+a, =0, (1.28)
Phương trinh này cũng cĩ thé được suy ra ngay từ (1.27) bảng cách giả sử nghiệm cĩ dạng y=x”=>+'=e”=e”"' x”, Nghiệm của phương trinh đặc trưng xác định loại nghiệm cĩ thể tơn tai do dạng của phương trình Cauchy-Euler Xét các trường hợp sau:
e Trường hợp 1: Nêu phương trình đặc trưng cĩ hai nghiệm thực phân biệt m= œ và ø =ÍÌ thì phương trình vị phân (1.26) cĩ tập nghiệm cơ bản là {x”,x”} vì thế nghiệm tổng quat cd dang y=Cx"+C,x°, với
C¡,C, là các hãng số tùy ý
« Trường hợp 2 Nếu phương trình đặc trưng cĩ nghiệm thực kép m =0 thì tập nghiệm cơ bản của phương trình (1.27) 06 dang fe“ te} Phép biến đổi ¢ = Inx cho tap nghiém cơ bản ix”, x" In x} của phương trình (1.26) Nghiệm tổng quát cĩ dạng y= Cư” +€,x”Inx, trong đĩ €,,C, là các hằng số tùy ý
e Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng cĩ nghiệm phức dạng | m=0Œ+TƯ, m=œ_—fB thì tập nghiệm cơ ban của phuong trinh (1.27} cd dạng te" cosfr e” sin Br} Phép biến đối ¢=Inx cho tập nghiệm cơ ban le” cos(BIlnx), e” sin(BInx)) của phương trình (1.26) Nghiệm tổng quát
cé dang y=C,x* cos(Blnx}+C,x" sin(Bln x) trong d6 C,,C, 1a các hãng
SỐ tùy Ý
Trang 20§3 KHAI NIEM CHUOI VA TICH PHAN FOURIER † Khái niệm
an : ` HTX x oe : ca
Tap cac ham I.sin—~ cos-—— là các hàm riêng trực giao nhau
trong khoảng (—!.) Hàm f(x) duoc gọi là đơn từng khúc trong một
khoảng nào đĩ, cĩ nghĩa là khoảng này cĩ thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đĩ, hàm f(x) va dao ham /'{x) liên tục Tập các hàm trực giao ở trên cĩ thể dùng để biểu diễn hàm tron từng khúc /ƒ(x) dưới dang chuỗi
f(x)=a, Sf cos +8, sin ”) —— (1.29
ast
được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biéu digén hàm f (x) trong khoảng
Trang 21‘Beh fg ( fot we _— — " =—¬——_Èš 2-1 r le sin * dx= nm 1 sh Lo+nn lh sin” ——
Do đĩ biểu điển chuỗi lượng giác Fourier của ham f(x)=e* trong
khoang xae dinh (—Z, 2) cĩ dạng
¬ S1 l} shữ my _2mm(~l} : sh sin |,
OP ta L Pour L
Trang 22acoff[n ] := Sqrt[2/a] Integrate ([f[x]*f2[x,n],{x,-L/2,L/2}] bcoff[n ] := Sqrt[2/a] ntegrate[f[x]*£1[x,n],{(x,-a/2,a/21] Biểu điễn chuỗi Fourier cĩ dạng l es 2nn G8, 2H1 x= Sd) a, COS — x + 6, Sin— x „#=l
Sau đĩ vẽ để thị khi ø„ =3, m„ =10 và m„„ =100, ta thấy răng với
fn, càng lớn thì khai triển chuỗi Fourier càng gần sát giá trị thực của hàm
f{x)=x
four[x ,nmax ] ;= 1/2 acoff[0] +
Sum[ acoff[n] £2[ƒx,n],{ín,1i,nmax}] +
Trang 23Tee Tớ oo ta max=100 Plot[Evaluate[{four[x,100],f£[x]}],{x,-a/2,a/2}] | 0.5 7
Hình 1.3 Khai triển hàm f(x) = x bang chudi Fourier voi nm =100
2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
L) Điều kiện Dirichlet đễ tồn tại một chuỗi Fourier là : — Hàm f(x) phai Ja đơn trị và tuần hồn với chu kỷ 27;
~ Ham f(x) cĩ một số hữu hạn các cực đại và cực tiêu, một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong khoảng (—-z,#)
2) Giả sử khoảng (—!,L)là khoảng Fourier đẩy đủ của hàm ƒ(x) Chuỗi Fourier xác định ở điểm x ngoai khoang Fourier day đủ của ham f(x}, khi dé cho phép khai trién tuân hồn hàm f(x) xde định ngồi khoảng Fourier đây đủ
3) Dấu băng (=} trong biểu thức (1.29) cĩ thể được thay bằng dấu gần bằng (>), cĩ nghĩa là "⁄zơng đương với", bởi vì chuỗi bên phải khơng phải'
hội tụ thành hàm f(x) đối với mọi giá trị của x Chuỗi Fourier chỉ biểu
diễn hàm f{x) trong khoang Fourier đầy-đủ Một cách chọn khác, người ta
cĩ thể xác định hàm /(x) là mở rộng của hàm f(x) bên ngồi khoảng
Fourier day du Nhu vay, / (x) là mở rộng tuần hồn của hàm
f(x) =E<x<L cĩ tính chất ƒ{x+2U}= Ÿ{x} ngược lại hàm ƒ(x) đối
với mọi x khơng phải là hàm tuân hồn
Trang 244) Ham f(x) gol la co mot biêu điên chuối Fourier khi cac hé sd
a,„a, và b_ được tính cụ thê Do đĩ, cĩ mội số hàm khơng cĩ biểu diễn
ma + F , 7 i ] a” : mA in R¬
chuối Fourier, ví dụ như các hàm: —,—- khơng cĩ biếu điển chuỗi lượng
x x
giác Fourler trong khoảng (-Z,L) Chú ý răng, các hàm này khơng xác định ở một hoặc vài điểm trong khoảng (—¿,E}
5) Hàm ƒ(x) được gọi là cĩ bước nhảy gián đoạn tai diém x, néu
f(xy) = lim f(x, —£) oH /{x}= lim % +€)
E>ũ EL
Néu ham f(x) va f’{x) 1a lién tuc timg khue trong khoang (-L,L) thi biểu diễn chuỗi Fourier của hàm ƒ (x) thỏa mãn các điều kiện:
- Hội tụ về hàm ƒ(x) tại điểm mà hàm ƒ#(x) là liên tục:
— Hội tụ về đoạn mở rong tuần hồn của hàm f(x) nếu x ở ngoải khoảng Fourier đây đủ;
— Tai điểm x; cĩ bước nhảy gián đoạn hữu han thi biểu diễn chuỗi
¬ X xÌ + _ ¬—
Fourier cua ham /ƒ{x) hội tụ về s7 )+ f(x )| là giá trị trung bình
của giới hạn trái và phải của bước nhảy gián đoạn
Nv
a ATX ATX tas ae
6) Hàm Š„(x)= ø Ya cos T— + 6, sin Hắn ĐỌI là tơng riêng
n=]
thie N no biéu dién tong cia N sé hang dau tién Ngudi ta thuong vé x4p
xi ham S, (x) khi biéu diễn chuỗi Fourier bing dé thi Ham f{x) bat ky
Trang 25a eng trong đĩ; CĨ =-/4;+bˆ được gọi là biên độ; 0, = atg| 1 được gọi là 5 , x4 ATLY «qs - - `
pha; so hang thir n: C, ‘in| 0, duoc goi la dao déng diéu hoa thir a
Dao dong diéu hoa thir nhat (n =1) duge goi la dao động điều hồ cơ bản 3 Ham chẵn và hàm lẻ
Trang 26„
Hàn
~ Néu f(x) 1a mét ham chin, biểu diễn Fourier của nĩ la
T(x)=a, + Ya, cos Ú<x<1, „=l trong do: a, va a, được xác định theo cơng thức: | f ly =7J/Œ)&: a "` cos đề > —x, -Lex<Q Vi du 7: Tim chuoi Fourier cuaham f(x)=4 x, O<xedel Giai: Vi f(x) là ham chan, nén chudi Fourier [4 chudi cosin: % ATEX f(x)=a,+ > a, cos ¬ n=l với các hệ số: a ¬" ` Ũ Lẻ : 2) f f a, =7 [F(x)eos™™ a= 4 cos dx =z| HC | 0 Suy ra biêu điển chuỗi Fourier theo hàm cosin của f{x) là: x=s- <9 )" Jeo
Trang 27ga eo Pa “eg Vi du 3: Tim khai triển chuỗi Fourier cho ham sĩng hình vuơng Hayat ,„ 0<x< - /+21)=/G) —=L<x<0 ở đây /Z(x) là một hàm lẻ của x Tìm khai triển chuỗi sin Fourier cua ham f(x) Giai: = _ ATX f(x)= 5.8, sin Hl i trong dé 4, =2 [())sin dx =-^[I —cosnn] = =f -(-1)'| 0 fig Hit Vậy khai triển chuỗi sin Fourier của / (x) cd dang ¬ 2 a] ATX f(x)= =|1- —1 [sin f(x) 2 ¬u-(-) ĩ Một dạng viết khác của chuỗi Fourier này là thay lại chỉ số tơng | AS 1 , (Qm+) f (x)=— > sin! m+ \)nx — on +1 L 4l, mx 1 3n 1 Sax 1 Fax — —| sin —— + — sin —— + —sin —— +—sin—— + | i 3 L5 L 7 EZ TL Gọi tổng thứ ø của chuỗi là 44+ 1 (2m+l)nx 3 =— › Ax) 1 Im+1 LỒ Ví du +_ Xét hàm cĩ dạng 2,~2<x<Ơ ‘(x)= : #{x+4]= /|x) Vx A ) ‘* O<x<2 /\ ) ⁄\ ) Dạng biêu diễn chuỗi Fourier của hàm này là
f(x)=a,+ Y[«, cos +5, sin
hel
trong đĩ:
a=s- | p(a)de= 1 [r(e)ar=) fades ác Tố: —È 3
Trang 28'Ệ ak ie ™ đ nix 3 ATX _2 „ = 4 [2cos = de + freon = “|! -(-]1) J
é, = fn sin dee [2sin7 Sat fesin a
Ttr dé suy ra biéu dién Fourier 3.34 -2 a5 + Lali) "Joos + sin mi TT ~2 HT Đĩ là tơng của hai ham chin va lẻ ; F(x) “SS ¬ [1 (-1)" Joos G,{x)= 3= ne] PET 2
4 Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier a) Biéu dién Fourier duéi dạng lượng giác Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác cĩ dạng
Trang 29#
tử eg,
(x)= B+ Sf 4 cos +B sin | —-Lexel,
f
trong đĩ: 4-4 Jf (x)o0s ade,
Một số trường hợp ham f(x) xác định trong khoảng œ<x<œ+2Ú, với f(x+2L)= f(x) cĩ biểu diễn dưới dang chuỗi lượng giác Fourier nhì sau (2) =4 +S { 4,008" 4 5,sin™), n=l vớt các hệ số được xác định theo cơng thức: yi ƒ /(x)a: 1 c+? a,=— J f (x)cos— dx; 1 +i Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euler Lt , AMX | ATX ; e* =cos—-+isin——; 7 =-l L fame _ MRS fanny — HETK { * ) H e* +e? _ wm e' ~e = cos —— = —W—-— | SII = ; L 2 h 2¡
b) Biêu diện Fourier dưới dụng mũ
Tir (*) ta cĩ khai triển chuỗi Fourier dang mii
f(x) rk +(e vente f wet) (em _ il |
Trang 30i C= 2(4, -_1,)=s a rÍ[ f (x)cos “= Tif («sin a | i — , pour fd “3y J f(x) bx: i Cos —(A, +iB,)= val f (x)cos —+if (x)sin —— tha Như vậy r _ = T ame a TINT; f F(x)=O,4+ Vee" + YC Le y=] n=Ï Thay tơng cuỗi cùng # băng —n tạ cĩ - (" + „it, of + Le, C em + 0 n= Biểu thức này là dạng phức của chuỗi Fourier #) _ s Che H=—*%= * ” I ‘ ' TY Ẻ, trong đĩ C, “3z J7Œ)e dx =
§4 CÁC HỆ TỌA ĐỘ CONG TRỰC GIAO
Giả sử x.y,z là tọa độ Đề-các của một điểm nào đĩ, cịn x,.x,.x, là tọa
độ của hệ tọa độ cong trực giao cũng của điểm này Xét yếu tố khoảng trong hệ tọa độ Đề-các và hệ tọa độ cong trực giao ds* = dx’ + dự + dz = hệ dvệ + hi + hệ dyv} trong đĩ h = (2) HỆ (2), ¡ =1,2,3:; là các hệ số Metric hay Ox, y Ỷ
cịn được gọi là hệ số Lame,
Các hệ tọa độ trực giao được đặc trưng đầy đủ bằng ba hé sé Metric
hị.h,.h, Ta đưa vào biêu diễn các tốn tử grad, div, rot và tốn tử Laplax A trong các hệ tọa độ cong trực giao khác nhau, dạng tổng quát của chúng cĩ đạng:
Trang 31836
a, Ex, |
“ i | Gu Cu au
div A =——-| —-(h,h, A, )+ — (hh, A.) + = (Ah, A, ) |: Wk sels) SC) 2 (hla)
hi, hội, yi, rot 4-1 cổ: cổ: oe ` hhh) Ox, Ox, Ox, hA hA, h.A, | | afha a) afhh a) ahh a Au = ——} —| -++ — |†+——| ———— |†+——|_-—>—- | |, hhh lơi ( ho ơx ) ax.) h, ax, } dx, hk, a, +
trong đĩ; 7.i /, là vector cơ sở cĩ độ đài băng đơn vị: A =(4,4,.4) là
vector tủy ý; œ=w(x,.x;.x,} là một hàm vơ hướng: 44 = 4,(x,.x,.x,) k =1,2,3 4 Hệ toa dé Dé-cac Các trục tọa độ cong trùng với hệ tọa độ Đề-các vuơng gĩc: X=xX x, =v; Dh =), A, =1,4, =1 X,=2
Trang 32"8
et
ae
2 Hệ tọa độ trụ
Xét hệ tọa độ cong x, =r,x, =@,x, =z liên hệ với hệ tọa độ Đề-các bởi
các hệ thức x =rcoso =rsino.z =z.„ các bê mặt của hệ tọa độ cong này
khi r=const là mặt trụ, khi @= const là mặt nhăng, khi z=const là mặt phăng vì thể cịn được gọi là hệ foa độ trụ Hệ số Metric hala, ark, =), do đĩ các tốn tử grad, div rot và tốn tử Laplax A trong hệ tọa độ trụ
được viết:
Cu> 1du- Ơu-
gradu = —i +-—i, +—i,; or reo” oz” divd=+2 (rajel OA; oh, r Or ron oz hori, cũ rotdat}e& & 2) rjoOr Om ð A, ¥A, A 3 Hệ tọa độ cầu
Xét hệ tọa độ cong x, =r,x, =Ø,x, =@ liên hệ với hệ tọa độ Hé-cac boi cac hé thc x=rsinOcose,y=rsinOsing,z=rcos@, cdc bé mặt của hệ
tọa độ cong này khi r = const là mặt cầu, khi (=const là mặt phẳng, khi z=const la mặt nĩn, vì thế cịn được gọi là hệ tọa độ cầu Hệ số Metric h, =1,h, =r,h, =rsinÐ, do đĩ các tốn tử grad, div, rot và tốn tử Laplax
Trang 34Chương II
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
§1 KHÁI NIỆM VẺ PHƯƠNG TRÌNH SĨNG
Phương trình sĩng cịn được gọi là phương trình Hyperbolic, nĩ đĩng một vai trị quan trọng trong vật lý cũng như các ngành kỹ thuật, được thiết lập trên cợ sở nghiên cứu các dao động của: dây màng mỏng, sĩng âm, sĩng Tạo ra do thuỷ triểu, sĩng đàn hồi, sĩng điện từ trường Chuyên động sĩng là sự đi chuyển nhiễu loạn một mơi trường vật chất cĩ quy luật, dưới sự ảnh hưởng của một nguồn sĩng nào đĩ Trong qua trinh truyền sĩng năng lượng và moment của hệ được truyền từ nguồn sĩng Sự di chuyền của sĩng cĩ thê là dọc ngang hoặc xoắn
Sĩng được phân loại thành sĩng cơ học và sĩng điện rư Sĩng cơ học địi hỏi mỗi trường vật chất đàn hồi để lan truyền, vì thể thường được gọi là sĩng đàn hồi Mơi trường đàn hồi được đặc trưng bởi một tập hợp liên tục các điểm mà tại đĩ một sự di chuyên của một điểm lập tức tác động lên các điểm lân cận bởi các lực và phản lực Phan luc ở các điểm lân cận sinh ra do chính các lực tác động lên chúng, do tính liên tục của các quá trình này nên sự đi chuyển ban đâu truyền sang mơi trường đàn hồi theo cách các điểm lân cận bị ảnh hưởng như một hàm số của thời gian Sĩng điện từ khác với sĩng cơ học ở chỗ nĩ cĩ thể truyền qua chân khơng
Hình 2.l1a mơ 1ả một sợi dây đài bị một đệ địch chuyền ngang lúc ban
đầu và sau đĩ tha ra, tinh dan hai của sợi dây tạo nên các lực cơ găng đây độ dịch chuyên lúc ban đầu của dây về phía sau dé phần dây bị dịch chuyền lúc đầu trở về vị trí cân băng Các lực này ảnh hưởng trực tiếp đến các điểm ở bên phải của độ dịch chuyển Các điểm lân cận bị đây xuống va vì thé dé dich chuyén co xu hudng chuyén dong về phía bên phải với một tốc độ nào đĩ và nĩ phụ thuộc vào các tỉnh chất vật liệu của sợi dây Đây là một ví dụ điển hình của sĩng truyền ngang trong đĩ độ dịch chuyên trong mơi trường đàn hồi vuơng gĩc với hướng truyền sĩn B
Trang 35ets Roth, &s,
ape
L
theo chiêu dọc, gây nên sự căng ra và nén lại của lị xo tạo nên các lực tác dụng lên khối vật bên cạnh Nếu khối vật sát phía bên trái bị một dịch chuyển ban đầu về phía bên phải, gây nên một tác động nén theo kiêu dây
truyền cho các khối vật phía bên phải Đây là một ví dụ về sĩng truyền dọc hay sĩng do tác động nén súng dao động vung gĩc vớ! Vị trí cân bằng hướng truyền năng lượng sỏng ie | | Song doc
a) * Độ lệch ngang lúc ban đầu
| Hướng truyền năng lượng
Sĩng ngang Song dao déng song song voi hướng truyền năng lượng sĩng b) 2)°005082Nq006800mgeetaa0Nsanaoooaneaagaf2 - 1 Hưởng truyền năng lượng c) ——KXM TỊ[TITIIIITIITTTT ———xIIIIHEtrlTTTTTTT) Hình 2.† Dao động của sĩng dọc và sĩng ngang > TP
Hình 2.1c mơ tả một chất khí với mật độ p chứa bền trong một ống tru trịn, cĩ thiết điện là 4 Giả sử cĩ một pif-tơng (piston) bị truyền một xung lực #, làm cho pit-tơng dịch chuyển với tốc độ e trong khoảng thời gian A¿ Sự tác động đột ngột này làm nén chất khí ở bên trong ơng và sinh ra một sĩng nén di chuyển về bên phải Đĩ là ví dụ về sĩng đọc,
Sĩng âm cũng là ví dụ của sĩng dọc, trong khi một sợi dây đao động là
ví dụ của một sĩng ngang Sĩng dọc chuyên động theo hướng năng lượng được truyền, trong khi sĩng ngang chuyển động theo hướng vuơng gĩc với
hướng năng lượng được truyền Mặt sĩng là bể mặt chuyển động trong
khơng gian 3 chiêu, trong khơng gian 2 chiều rút gọn thành một đường cong và thành một điểm trong khơng gian ] chiều Mặt sĩng được đặc trưng bởi tốc độ sĩng như nhau tại mọi điểm trên mặt sĩng Vị dụ, từ một nguồn điểm
ở đĩ cĩ thể tạo nên một sĩng cầu lan truyền theo tất cả các hướng của mặt
sĩng là một hình cầu, trong khơng gian 2 chiều mặt sĩng là một hình trịn,
Trang 36cịn theo một hướng mặt sĩng chi la mét diém Néu ngudn sdng là một đường thăng, mặt sĩng sẽ là một hình trụ chuyển động trong khơng sian 3 chiêu và sẽ là một đường thăng chuyên động trong khơng pian 2 chiều Nêu nguồn là một mặt phăng, mặt sĩng là một mặt phăng y Y | a) x b) x y 4 _ y = fix) vl / 7S ¥ = F(X - a) yl Y _ X -d pO a > -| x, X Dee eee eee yore nee e cence eens C}
Hinh 2.2 Biéu dién hình dạng chuyển động của sĩng
Trước hết, xét các đặc trưng tốn học của một chuyên động sĩng Xét một đường cong liên tuc thy ¥ y= fx) đặc trưng cho một vải dạng sĩng hay là hình sĩng tại một thời điểm nào đĩ Một đạng sĩng nhỏ được cho bởi đường cong trên hình 2.2a Giả sử hình dạng của sĩng là khơng đổi khi nĩ chuyền động, điều này sẽ khơng đúng khi mơi trường khơng đơng nhất hoặc dị thường Bây giờ tất cả các ký hiệu trên đỗ thị này được thay thế x băng X,
y băng Y ở mọi nơi dé thu được hình 2.2b Đặt đỗ thị (X.Y) phía trên đồ thị
(x.z) sao cho trực Y' năm trùng với đường thăng x= ø như trên hình 2.2c
Chúng ta biểu điễn đường cong ¥ = ƒ(X} trong hệ trục tọa độ x và y
Theo hình 2.2c ta thấy x=ø+ X, y=V do đĩ phương trình mơ tả đường cong Y= f(X) co dang y= f(x-a) trén hệ trục tọa độ x và y Khống cách ¿ bảng tốc độ truyền sĩng ð nhân với thời gian f, do dé 4 =ar Nhu vậy, đường cong y= f (x-at) mơ tả sĩng truyền vẻ bên phải theo hướng
trục x, Tương tự, cĩ thể mơ tả một dạng sĩng g(x) khi truyền về bên trái,
Trang 37
sản „to
tủ
Xét một chuyển động sĩng tổng quát
u=u(x.t)= f(x-at)+ g(x+ar) (2.1)
trong đĩ: cĩ một dạng sĩng truyền về bên phải, một dạng sĩng khác truyền vệ bên trái; e là hang số tốc độ truyền sĩng: /, ø là hàm đặc trưng cho dạng sĩng tùy y Đạo hàm riêng của chúng cĩ dạng si = f'(x-at)+ g'(x+at) Sa = f"(x—at)+2"(x+at) t= f'(x-at)(~a)+g'(x+at)(a) Lên Số cá c0, = = f"(x-at)a’ + 9"(x+atja’ nou y= f'(x—cr)a’ +g" (xt era’ Vay phuong trinh séng 1 chiéu la + 3 Ou pl _¢ (2.2) Or ox Lập luận tương tự, trong tọa độ Đề-các phương trình sĩng 2 chiều và 3 chiều cĩ dạng: Oru | oS HN ar ox? oy" , (2.3)
Ou Or _ gf Ou, Ou eu) _ aya, œ%ˆ By’ az?
trong đĩ: ¿ là hằng số tốc độ, V là tốn tử Laplace 2 hoặc 3 chiều
Phương trình trên cĩ thể thêm vào số hạng đặc trưng cho nguồn sĩng phát ra, sơ hạng làm cho sĩng tắt dẫn làm thay đổi hình dạng sĩng Số hạng
* i “pA ae GA n ‘* : : Cu ` , £
tắt dân ty lệ với tốc độ truyên sĩng cĩ dạng Bo Phương trình sĩng cĩ
f
thê được viết trong hệ tọa độ khác bằng việc thay tốn tử Laplace VÝ trong
các hệ tọa độ cong khác nhau
Ta cĩ phương trình sĩng trong các hệ tọa độ khác nhau:
Trang 38
Tea độ Dang cua phone trình oe =a Vu t+ sứ yz, r at}
Đề e-cac ‘ ay Ou Lax" ou Cru + Oru ay ae + G\A.¥.2, (x JZ t}
r Oru „|1Lêƒ du) 1 eu Sul (+.0,2,1) mm 0 ag =F rr > a ¬.¬ U2, m ar |r rl or vr’ OB" as" 4 ¿? 3 n3 ae | 1 au ` TTF ere) —— 74+ - sin8 ~ xxx Cầu or cr ` ở ar | r- sinỚ Ø8 \ OO} r sin 8øœ ta(r.8,œ,9 |
Phương trình sĩng cĩ trong rất nhiều bài tốn vật lý Chúng ta sẽ xét phương trỉnh dao động của dây, phương trình chuyên động của sĩng âm trong mơi trường chất khi hoặc chất lỏng, phương trình chuyên động của sĩng điện từ
§2 PHƯƠNG TRÌNH DAO DONG CUA DAY
1 Phuong trinh dao déng cua day
Xét một sợi đây cĩ chiều đài 7, với mọi điểm được căng ra theo chiều dài của trục x Mỗi điểm của sợi dây đài /L cĩ thể biểu thị bằng hồnh độ x của nĩ Ïa mơ tả quá trình dao động của dây theo vị trí của mỗi diém đã cho của sợi dây tại các thời điểm khác nhau, bang cach dia ra vector dịch chuyên của sợi đây tại vị trí x va tai thoi diém ¢ cé dạng
u=(u, (x.£).m;(x,f},
sợi dây chỉ năm trong mặt phăng (u,x) và sao cho vector dịch chuyển # u,(x,£)) Dé dom gian, giả sử quá trình dao động của vuơng gĩc với trục x tại thời điểm bất kỳ Như vậy, việc mơ tả quả trình
dao động chỉ cẩn mot ham u(x,t} dac trung cho dé dich chuyén vuơng gĩc
VỚI SỢI dây,
Xét sợi dây như sợt chỉ đàn hoi dé uốn, về mặt tốn học khái niệm dan hỏi để uốn thể hiện ở chỗ sức căng xuất hiện trong dây luơn luơn hướng theo tiếp tuyến với dạng đường cong tức thời của nĩ, điều đĩ biểu thị dây khơng bị cán trở khi uỗn 1 cong
Trang 39Khi sử dụng điều kiện này, ta tính được độ dài đường cong của sợi dây
khi dao động trên đoạn (x,,x, ):
S'= [y+ (ua eX, —-x,=S
Như vậy, trong giới hạn của bài tốn lý tưởng này, cĩ thể cho rằng độ đài của sợi day khơng đơi khi dao động Đo đĩ, theo định luật Hooke, độ lớn
sức căng ¿ tại mỗi điểm khơng thay đổi theo thời gian T(x + Ax) ud Bu:Ax Đoạn dây được xét a x x xX + AX
Hình 2.3 Dao động của dây
- Sức căng 7 tại mỗi điểm khơng phụ thuộc vào toạ độ x, tức là: T(x)=T, =const Thật vậy, hình chiêu sức căng trên trục x và ký hiệu là 7, va 7, : T(x I (x) =T(x)cos® -— ~T(x); I+(z,)
T, (x) =T(x)sin@ = T(x)ig0 = T(x)u,,
trong đĩ 6 là gĩc giữa tiếp tuyến của đường cong u(x,t) vGi truc x
Trén doan ( Xi,x;} cĩ tác dụng của lực sức căng, ngoại lực và lực quản
tính, tơng hình chiếu của tất cả các lực trên trục x cần phải băng khơng (ở đây giới hạn chỉ xét các dao động ngang) Vì ngoại lực và lực quán tính theo giả thiết hướng đọc theo trục cho nên
T (x,}—T?, (x)= 0 =? T (x, ) = f, (x, )
Do tính tùy ý của đoạn (xị, x2), suy ra sức căng khơng phụ thuộc vào x: T(x) =T,
Đề chơ thuận tiện, ta đưa vào các kỹ hiệu:
„ =(x,f) là độ dịch chuyển dao động ngang của dây;
Trang 40p = p{x) 1a mat độ khối lượng chiêu đài của sợi đây; T7 =T{x) là sức căng của sợi dây;
w = w(x} 14 ngoai luc tinh trên một đơn vị độ dai; ry : u = = là tốc độ dao động ngang của sợi dây; 2 f= tự
B lả hệ sơ tãt dân tuyên tính với giả thiết lực tặt dan tỷ lệ với vận tốc dao động của sợi đây,
xét một đoạn dãy với mật độ ø tính trên một đơn vị độ dài năm trong we oa 4s ¬ - ƠM(X) khoảng giữa x và x+Ax Trên hình 2.43 các đạo hàm TH và ư + Ax “ ose! SS ) là độ dốc của tiếp tuyên đường cong ở các đầu Ax: x _ bul x + Ax,f) Ou (xf cây Ox
Lực bên ngồi tác dung lên đoạn Ax bao gồm: ngoại lực wAx và lực làm sĩng yếu đi (lực tat dan) Bu,Ax, trong đĩ lực tắt dân tỷ lệ với vận tốc dao động của dây và bỏ qua trọng lực Mọi chuyển động hậu hết là theo phương thăng đứng, do đĩ sức căng theo phương chuyên động ngang trong trạng thái cân băng là như nhau tại mọi điểm:
Pr (x + Ax)cos®, =T(x)cos0,=T